teoria względności

teoria względności

ver-28.06.07

interferometr Michelsona

interferometr Michelsona

eter?

Albert Michelson
1852 Strzelno, Kujawy –
1931 Pasadena Kalifornia

1931 Pasadena, Kalifornia
Nobel - 1907

http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm

szczególna teoria względności

szczególna teoria względności

Albert Einstein (1905):

a. zasada względności

g ę

postulaty:

b. c = const

(3.0 10

8

m/s)

a. wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkich
układach inercjalnych (niezmienniczość względem
transformacji współrzędnych)

j

p

ę

y

)

b. prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich
układach inercjalnych (doświadczenie Michelsona-Morleya)

Einstein

Einstein

v

0

0

x

x'

0'

Albert Einstein
(1879 – 1955)
Nobel – 1915

x

0

Nobel 1915

jednorodny czas

tak

jednorodna przestrzeń

tak

jednorodna przestrzeń

tak

izotropowa przestrzeń tak

b

l t

i !

absolutny czas

nie!

jaka transformacja?

jaka transformacja?

(

)

(

)

t

v

x

x

t

v

x

x

0

=

′

′

+

′

=

γ

γ

v

0

γ

=

?

(

)

t

v

x

x

0

−

=

γ

0'

'

0

t

c

x

ct

x

′

=

′

=

x'

x

(

)

t

v

c

ct

0

′

+

=

γ

(

)

2

0

2

2

2

v

c

c

−

=

γ

(

)

(

)

t

v

c

t

c

t

v

c

ct

0

0

−

=

′

+

γ

γ

2

2

0

1

1

1

1

β

γ

−

=

=

v

c

v

0

=

β

2

1

−

c

transformacja Lorentza

transformacja Lorentza

v

0

( )

β

t

0'

0

( )

2

1

β

β

β

−

−

−

=

′

x

ct

ct

x

x

0

x'

0

x

2

1

β

β

−

−

=

′

x

ct

t

c

c

v

=

0

β

c

v

c

<

0

c

- prędkość graniczna (światła)

transformacja odwrotna

transformacja odwrotna

( )

2

1

β

β

β

−

−

=

′

t

ct

x

x

2

1

β

β

−

−

=

′

x

ct

t

c

( )

β

′

+

′

t

c

x

v

0

( )

2

1

β

β

β

′

+

′

=

−

=

x

t

c

ct

x

0'

x'

0

x

2

1

β

−

=

ct

x

x

zasada korespondencji

zasada korespondencji

( )

2

1

β

β

−

−

=

′

ct

x

x

transformacja Lorentza

2

1

β

β

−

−

=

′

x

ct

t

c

transformacja Lorentza

t

′

gdy v

0

<< c :

t

t

t

v

x

x

=

′

−

=

′

0

transformacja Galileusza

(

)

Galileusz

Lorentz

lim

=

(

)

0

→

β

jednoczesność zdarzeń

jednoczesność zdarzeń

(

)

(

)

t

x

t

x

,

,

2

1

(

)

t

x

,

2

2

1

1

1

β

β

−

−

=

′

x

ct

t

c

w innym układzie:

Lorent

2

2

2

1

β

β

−

−

=

′

x

ct

t

c

w innym układzie:

Lorentz:

2

1

2

1

t

t

x

x

′

≠

′

→

≠

(

)

(

)

2

1

2

1

2

1

x

x

t

t

c

−

−

=

′

−

′

β

β

a przyczynowość?

skrócenie Fitzgeralda Lorentza

skrócenie Fitzgeralda-Lorentza

v

0

1

2

0

l

x

x

l

′

−

′

=

0´

0

x'

1

x'

2

x

1

x

2

1

2

x

x

l

−

=

pręt spoczywa w 0´

x

1

x

2

( )

1

β

−

′

ct

x

t

t

t

=

=

2

1

( )

( )

2

2

1

1

1

β

β

β

−

′

−

=

′

ct

x

x

ct

x

x

Lorentz:

2

0

1

β

−

= l

l

( )

2

2

2

1

β

β

−

=

x

w układzie własnym pręt jest najdłuższy

w układzie własnym pręt jest najdłuższy

relatywistyczne jądro

relatywistyczne jądro

y

0,75 c

0,90 c

,

,

x

dylatacja czasu

dylatacja czasu

(

)

(

)

2

1

1

1

,

,

t

x

t

x

′

′

′

′

1

2

t

t

t

′

−

′

=

′

Δ

2

1

1

1

β

β

−

′

−

′

=

x

t

c

ct

′

Δ

Δ

t

t

t

t

2

2

2

1

1

β

β

β

−

′

−

′

=

x

t

c

ct

2

1

2

1

β

−

=

−

=

Δ

t

t

t

>

Δ

t´

Lorentz:

β

2

0

1

β

−

Δ

=

Δ

t

t

czas własny t jest najkrótszy

1

β

czas własny t

0

jest najkrótszy

paradoks bliźniąt

paradoks bliźniąt

i

i k

i

przykład:

μ →

e + 2

ν

τ

0

= 2

⋅

10

-6

s

promienie kosmiczne

600m? nie!

30km

π

+

2

0

1

β

τ

τ

−

=

01

.

0

1

2

≅

−

β

ν

μ

v

μ

= (1 – 10

–4

)

c

μ

+

⎯ν

μ

test szczególnej teorii względności!

e

+

ν

e

http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/lightclock.swf

transformacja prędkości

transformacja prędkości

v

t

d

v

x

d

dt

dx

v

′

+

′

=

=

0

2

0

1

β

−

′

+

′

=

t

v

x

x

x

d

c

v

t

d

dt

′

+

′

2

0

2

2

0

1

β

−

′

+

′

=

x

c

v

t

t

Lorentz:

1

β

0

v

v

v

′

+

′

=

2

0

1

c

v

v

′

+

c

v

c

v

=

→

=

′

korespondencja:

0

v

v

v

+

′

=

czasoprzestrzeń

czasoprzestrzeń

( )

2

1

β

β

−

−

=

′

ct

x

x

2

1

1

β

β

β

−

−

=

′

x

ct

t

c

Herman von Minkowski

czterowektory

punkt świata - zdarzenie (ct, x, y, z)

(1908):

czterowektory

linia świata - proces

punkt świata zdarzenie (ct, x, y, z)

interwał czasoprzestrzenny

interwał czasoprzestrzenny

2

2

2

2

z

y

x

l

Δ

+

Δ

+

Δ

=

Δ

3-wymiarowa przestrzeń euklidesowa:

y

4-wymiarowa przestrzeń pseudoeuklidesowa:

2

2

2

2

l

t

c

s

Δ

−

Δ

=

Δ

2

2

2

2

l

t

c

s

′

Δ

′

Δ

′

Δ

2

1

β

β

Δ

−

Δ

=

′

Δ

t

t

c

t

c

2

2

2

l

t

c

l

t

c

s

Δ

−

Δ

=

Δ

−

Δ

=

Δ

(

)

2

2

1

1

β

β

β

Δ

−

Δ

=

′

Δ

−

t

c

l

l

Lorentz:

1

β

−

s

s

Δ

=

′

Δ

interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorentza

interwały

interwały

l

t

c

Δ

>

Δ

interwał rzeczywisty (czasowy)

d

i

h d

t

i j

0

0

=

′

Δ

∨

′

l

zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu…
przyczynowość

l

t

c

Δ

<

Δ

0

=

′

Δ

∨ t

interwał urojony (przestrzenny)
zdarzenia jednoczesne, nie powiązane

0

0

=

Δ

∨

′

t

zdarzenia jednoczesne, nie powiązane
przyczynowo… gdzie indziej

l

t

c

Δ

=

Δ

interwał świetlny (zerowy)

interwały (cd )

interwały (cd.)

ct

ct'

D

F

2

2

2

2

x

t

c

s

Δ

−

Δ

=

Δ

x'

B

C

D

E

0

0´

x

A

AB – interwał przestrzenny (

Δ

s

< 0)

0

0´

x

AB interwał przestrzenny (

Δ

s

0)

CD – interwał czasowy (

Δ

s

> 0)

EF – interwał zerowy (

Δ

s =

0)

EF – interwał zerowy (

Δ

s =

0)

stożek świata

stożek świata

t

przyszłość

tu i teraz

y

ł ść

x

przeszłość

dynamika relatywistyczna

y

y

y

pęd

pęd

równania Newtona

nie

są niezmiennicze

względem transformacji Lorentza...

∑

∑

≠

=

⇒

const

v

m

p

i

i

r

r

relatywistyczny pęd:

2

1

β

−

=

v

m

p

def

r

r

1

β

… zachowuje się

i koresponduje do:

v

m

p

r

r

=

masa relatywistyczna

masa relatywistyczna

można interpretować tak:

v

m

p

r

r

r =

2

1

β

−

=

v

m

p

r

r

2

0

1

β

−

=

m

m

r

gdzie:

β

m

r

m

r

- masa relatywistyczna

m

0

- masa spoczynkowa

( i

i

i

!)

(niezmiennicza!)

m

0

v

c

cyklotron

równanie ruchu

równanie ruchu

d

r ⎞

⎛

F

v

m

dt

d

r

r

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

2

1

β

jest niezmiennicze!

F

p

d

r

r

F

dt

p =

v

d

r

F

dt

v

d

m

r

=

relatywistyczna energia

relatywistyczna energia

dE

mc

d

dt

v

m

d

d

F

⎟

⎞

⎜

⎛

⎟

⎞

⎜

⎛

2

r

r

r

r

k

dE

mc

d

dt

v

v

m

dt

d

s

d

F

=

⎟⎟

⎠

⎜⎜

⎝

−

=

⎟⎟

⎠

⎜⎜

⎝

−

=

⋅

2

2

1

1

β

β

r

r

2

2

mc

mc

E

=

2

1

mc

E

k

−

−

=

β

mc

2

– energia spoczynkowa (v =

0)

0)

korespondencja

korespondencja

1

2

2

2

mc

mc

E

k

−

=

β

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

2

mv

c

v

mc

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

≅

−

β

(

)

L

+

+

=

−

−

2

1

1

2

2

1

x

x

2

2c

⎠

⎝

2

mc

E

E

k

+

=

energia

energia
całkowita

energia
spoczynkowa

energia całkowita

energia całkowita

2

2

1

β

−

=

mc

E

2

1

β

−

=

mv

p

ale

4

2

2

2

2

c

m

p

c

E

+

=

zachowuje się…

p

E

1

2

2

⎟

⎞

⎜

⎛

p

mc

p

mc

mc

p

mc

E

1

1

1

2

2

2

2

2

+

=

⎥

⎤

⎢

⎡

⎟

⎞

⎜

⎛

+

≅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

korespondencja?

m

mc

mc

mc

2

2

1

+

=

⎥

⎦

⎢

⎣

⎟

⎠

⎜

⎝

+

≅

E, pc, mc

2

– jednostki energii (MeV)

trójkąt energii

trójkąt energii

k

E

mc

E

+

=

2

4

2

2

2

2

c

m

c

p

E

+

=

2

2

=

mc

E

pc

2

1

β

−

α

2

mc

v

=

α

sin

c

w spoczynku:

2

mc

E

=

p

y

czterowektory

czterowektory

2

2

2

2

2

c

m

p

c

E

=

−

niezmiennik transformacji

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

z

y

x

p

p

p

c

E

,

,

,

czterowektor energii - pędu

β

′

+

′

c

E

p

x

2

1

β

−

=

c

p

x

transformacja Lorentza:

′

E

2

1

β

β

−

′

+

′

=

x

p

c

E

c

E

[

]

z

y

x

ct

2

2

2

2

s

l

t

c

=

−

β

[

]

z

y

x

ct

,

,

,

prędkość światła

prędkość światła

2

4

2

2

m

c

p

c

E

+

=

czyli: v

=

c

cp

E

m

=

⇒

= 0

czyli: v

=

c

2

2

2

1

Ev

p

mv

p

=

⎪⎪

⎬

⎫

−

=

β

2

2

2

1

c

p

mc

E

⎪

⎪

⎭

⎬

−

=

β

obiekt o masie zerowej (np. światło) musi
poruszać się z prędkością graniczną c

p

ę p ę

ą g

ą

równoważność masy i energii

równoważność masy i energii

m

1

m

2

E

E

+

4

2

2

2

2

c

m

p

c

E

+

=

p

– p

M

2

1

2

2

1

2

1

m

m

c

E

E

m

m

M

k

k

+

>

+

+

+

=

M

reakcja rozszczepienia:

L

+

+

+

→

→

+

n

Rb

Cs

U

n

U

2

94

37

140

55

236

92

235

92

kg

10

4

28

−

⋅

=

Δm

kg

10

4

Δm

J

10

4

11

2

−

⋅

≈

Δ

=

Δ

m

c

E

spalanie węgla (C + O

2

= CO

2

) –

50 · 10

6

razy mniej

materia energia

materia - energia

Xe

π

_

π

_

π

_

Au +Au

Au +Au

foton

foton

E

c

p

E

ω

ω

h

h

=

=

niezerowy pęd!

c

ogólna teoria względności:

E

m

ω

h

=

=

ogólna teoria względności:

2

2

c

c

m

g

=

=

w ruchu pionowym:

gl

gl

m

E

ω

h

=

=

Δ

w ruchu pionowym:

2

c

gl

m

E

g

=

=

Δ

2

c

gl

ω

ω

=

Δ

c

1960 doświadczenie Pounda i Rebki - grawitacyjne przesunięcie:

Δω

/

ω

=

2·10

-15

koniec

d i

i

zagadnienia

• postulaty Einsteina

i t f

t M M

• interferometr M-M
• transformacja Lorentza
• dylatacja czasu
• skrócenie F-L
• transformacja prędkości
• interwał
• rel. równanie ruchu
• masa rel.
• energia rel.

energia rel.

• prędkość światła
•

glossary

glossary

• special relativity
• m-m experiment
• speed of light

• rest mass energy
• correspondence principle
• momentum of photon

• speed of light
• L transformation
• length contaction
• time dilation

• momentum of photon
• space-time vector
• momentum-energy vector
• Minkowski space-time

• twin paradox
• muon decay
• relativistic mass, energy, momentum
• speed limit

• simultaneity
• space time intervals
• light-cone
• space time light – like point

• speed limit
• energy-mass relationship
• four-vectors
• space-time

• space,time, light – like point
• hypersurface of the present
• world-line
•

•