3. Dziaùania na macierzach
Macierz¹ transponowan¹
macierzy
A
jest macierz
A
T
otrzymana poprzez zamian
ê
wierszy na kolumny (lub kolumn na wiersze) z zachowaniem kolejno
œci.
Macierz
A
T
nazywamy te
¿ krótko transpozycj¹ A
.
..........................................................................................
PRZYK£AD
1. Dla macierzy
8
6
6
5
0
2
A
transpozycj
¹
jest macierz:
8
6
0
6
5
2
T
A
.
2. Dla macierzy
1
0
2
0
5
4
0
0
1
B
transpozycj
¹ jest macierz
1
0
0
0
5
0
2
4
1
T
B
.
3. Dla macierzy
2
1
4
2
2
2
0
3
3
2
5
1
i
i
i
i
i
i
C
transpozycj
¹ jest macierz
2
4
2
3
2
2
0
5
1
2
3
1
T
i
i
i
i
i
i
C
.
............................................................................................
£atwo sprawdziã, ¿e
transponowanie po raz kolejny macierzy transponowanej
powoduje powr
ót do jej wyjœciowej postaci, tzn.:
A
A
T
T
Macierze, kt
óre nie
ulegaj
¹ zmianie podczas transpozycji nazywamy
macierzami
symetrycznymi
.
Spe
ùniaj¹ one zale¿noœã:
A
A
T
Przyk
ùadem macierzy symetrycznej jest macierz
jednostkowa, bowiem
I
I
T
.
..........................................................................................
PRZYK£AD
1. Macierz
1
3
3
2
jest macierz
¹ symetryczn¹,
gdy
¿
1
3
3
2
1
3
3
2
T
.
transpozycja
macierz
symetryczna
id2100109 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
2. Macierz
i
i
i
i
i
2
5
3
0
3
5
2
0
2
1
jest macierz
¹ symetryczn¹, gdy¿
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
2
5
3
0
3
5
2
0
2
1
2
5
3
0
3
5
2
0
2
1
T
.
............................................................................................
Mno¿enie macierzy przez liczbê
polega na pomno
¿eniu ka¿dego elementu
macierzy przez t
ê liczbê, co zapisujemy
ij
ij
a
c
a
c
.
…
.......................................................................................
PRZYK£AD
1. Obliczy
ã
2
1
3
0
2
1
2
.
Rozwi
¹zanie
4
2
6
0
4
2
2
2
1
2
3
2
0
2
2
2
1
2
2
1
3
0
2
1
2
.
2. Obliczy
ã
3
1
4
5
1
2
3
2
0
3
i
i
i
.
Rozwi
¹zanie
9
3
12
3
15
3
6
3
9
6
0
3
3
1
3
4
3
5
3
1
3
2
3
3
3
2
3
0
3
3
1
4
5
1
2
3
2
0
3
i
i
i
i
i
i
i
i
i
.
…
.........................................................................................
mno
¿enie
przez liczb
ê
Dodawanie dwóch macierzy
mo
¿na wykonaã wtedy, gdy maj¹ one ten sam
wymiar. Dodaje si
ê wtedy odpowiadaj¹ce sobie elementy, co zapisujemy
mxn
ij
ij
mxn
ij
mxn
ij
b
a
b
a
.
Dodawanie macierzy jest przemienne oraz
ù¹czne.
Natomiast dodanie do macierzy
dodawanie
macierzy
macierzy zerowej odpowiedniego wymiaru nie zmieni wyniku (m
ówimy wtedy, ¿e
macierz zerowa jest elementem neutralnym dodawania macierzy).
Wùasnoœci dodawania macierzy:
1.
A + B = B + A
(przemienno
ϋ)
2.
(A + B) + C = A + (B + C)
(
ù¹cznoœã)
3.
A
+ 0 = A (O
jest tu macierz
¹ zerow¹)
4.
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
..........................................................................................
PRZYK£AD
Dla macierzy
3
2
4
5
0
1
A
,
2
1
4
0
2
3
B
,
0
1
2
4
5
2
C
obliczy
ã:
a)
A+B
b)
A+C
c)
B+3C
T
d)
2A3B
T
Rozwi
¹zanie
a) Dzia
ùanie A+B
jest niewykonalne, poniewa
¿ macierze A
i
B
maja r
ó¿ne wymiary
(dodajemy macierze o takich samych wymiarach).
b)
3
3
2
1
5
1
0
3
1
2
2
4
4
5
5
0
2
1
0
1
2
4
5
2
3
2
4
5
0
1
C
A
c)
T
3C
B
2
1
4
0
2
3
T
0
1
2
4
5
2
3
2
1
4
0
2
3
0
4
1
5
2
2
3
2
1
4
0
2
3
0
3
4
3
1
3
5
3
2
3
2
3
2
1
4
0
2
3
0
12
3
15
6
6
0
2
12
1
3
4
15
0
6
2
6
3
2
11
1
15
4
3
.
d)
2A
3B
T
=
3
2
4
5
0
1
2
T
2
1
4
0
2
3
3
6
4
8
10
0
2
2
4
2
1
0
3
3
6
4
8
10
0
2
6
12
6
3
0
9
12
16
2
7
0
7
6
6
12
4
6
8
3
10
0
0
9
2
..........................................................................................
Macierze, kt
óre speùniaj¹ warunek
A
A
T
nazywamy macierzami
skoœnie symetrycznymi
(lub
macierzami antysymetrycznymi
).
..........................................................................................
PRZYK£AD
Macierz
0
3
4
5
3
0
1
2
4
1
0
2
5
2
2
0
jest przyk
ùadem macierzy skoœnie symetrycznej
, bowiem
0
3
4
5
3
0
1
2
4
1
0
2
5
2
2
0
0
3
4
5
3
0
1
2
4
1
0
2
5
2
2
0
0
3
4
5
3
0
1
2
4
1
0
2
5
2
2
0
T
.
..........................................................................................
macierz
sko
œnie
symetryczna
Je
¿eli macierz A
ma wymiar
mn
, a macierz
B
ma wymiar
n
x
k
, to ich
iloczyn
C
=
AB
b
êdzie miaù wymiar m
x
k
, przy czym elementy macierzy
C
wyznaczane s
¹ ze wzoru
:
nj
in
j
i
j
i
j
i
ij
b
a
...
b
a
b
a
b
a
c
3
3
2
2
1
1
.
Powy
¿szy wzór mo¿na zapisaã krócej u¿ywaj¹c znaku „sigm
a
”
n
k
kj
ik
ij
b
a
c
1
.
Mno
¿enie dwóch macierzy A
i
B
ma wi
êc
wtedy sens, gdy macierz
A
ma tyle kolumn
co macierzy
B
wierszy. Potocznie mo
¿na powiedzieã, ¿e
macierze mno
¿y siê
mno
¿¹c „wiersz prze
z kolumn
ê” co ilustruje poni¿szy
schemat:
mno
¿enie
macierzy
i
.
.
.
a
a
a
.
.
.
in
2
i
1
i
.
.
.
b
.
.
.
b
b
.
.
.
nj
j
2
j
1
.
.
.
.
.
.
c
.
.
.
.
.
.
ij
–
ty wiersz
j
–
ta kolumna
Mno
¿enie
macierzy
nie jest przemienne
, ale jest
ù¹czne.
Pomno
¿enie macierzy
przez macierz jednostkow
¹ odpowiedniego wymiaru nie
zmieni wyniku (m
ówimy
wtedy,
¿e macierz
jednostkowa jest elementem neutralnym mno
¿
enia macierzy).
Wùasnoœci iloczynu macierzy
1. (AB)C = A(BC)
(
ù¹cznoœã)
2.
(A+B)C = AC + BC
oraz
C(A+B) = CA + CB
(rozdzielno
ϋ)
3.
AI = A
oraz
IA=A
4.
(A B)
T
= B
T
A
T
..........................................................................................
PRZYK£AD
Obliczy
ã
2
5
3
4
3
2
4
0
2
1
Rozwi
¹zanie
Pierwsza z macierzy w podanym iloczynie ma wymiar 3x2, za
œ druga jest macierz¹
kwadratowa stopnia drugiego. Iloczyn
2
5
3
4
3
2
4
0
2
1
wi
êc istnieje
(pierwsza
macierz ma dwie kolumny, a druga macierz ma dwa wiersze). Wynik b
êdzie
macierz
¹ o wymiarze 2x3.
2
5
3
4
3
2
4
0
2
1
0
23
8
20
1
16
6
6
15
8
8
0
20
0
4
3
10
4
2
3
3
2
5
3
4
2
2
4
3
0
5
4
4
0
2
2
3
1
5
2
4
1
..........................................................................................
PRZYK£AD
Dla macierzy
3
2
4
5
0
1
A
,
2
1
4
0
2
3
B
,
0
1
2
4
5
2
C
obliczy
ã:
a)
AB
b)
AC
c)
BC
Rozwi
¹zanie
a)
2
2
2
3
3
2
2
3
4
2
2
4
1
3
0
2
3
4
2
5
4
0
2
1
1
5
0
0
3
1
2
1
4
0
2
3
3
2
4
5
0
1
x
x
x
AB
6
15
8
8
6
8
8
3
12
10
2
5
3
b) iloczyn
AC
nie istnieje, bowiem macierz
A
ma 3 kolumny, a macierz
C
ma 2
wiersze
c)
3
3
3
2
2
3
0
2
4
1
1
2
5
1
2
2
2
1
0
4
4
0
1
4
5
0
2
4
2
0
0
2
4
3
1
2
5
3
2
2
2
3
0
1
2
4
5
2
2
1
4
0
2
3
x
x
x
BC
4
7
3
0
4
8
12
13
10
4
2
5
4
1
0
4
8
12
2
15
4
6
............................................................................................
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
cztery dzia ania na l zespolonych
Dzia ania na pot gach i p
Operacje na macierzach id 33628 Nieznany
Ania03 Ania na uniwersytecie
3 Zadania do wykladu Dzialania na macierzach rzad macierzy
Laboratorium 11 5 3 Konfiguracja urz dze ko cowych u ytkownika do wspó dzia ania z sieci IP
3.Zadania do wykladu Dzialania na macierzach rzad macierzy
Matematyjka Dzialania na macierzach
Zasada dzia éania stacji paszowej
Formy erozyjne utworzone wskutek dzia ania lodowcˇw
Dzia ania polityczne
formy dzia ania
Chemioterapia dzia+éania niepo+ ¦ůdane
DZIA ANIA PROMOCYJNE RYNKU , Inne
DZIA ALNO NA WYSPACH HOOL, Inne
więcej podobnych podstron