Matematyka

Mieczysław Kula

Wyższa Szkoła

Bankowości i Finansów

w Katowicach

Wykład 2

Granice i pochodne

funkcji

Otoczenie liczby

Otoczeniem

liczby rzeczywistej a nazywamy dowolny przedział postaci

(a − ε, a + ε), gdzie ε > 0.

-

a

a

− ε

a

+ ε

(

)

Sąsiedztwem

liczby rzeczywistej a nazywamy dowolny zbiór postaci

(a − ε, a + ε) \ {a}, gdzie ε > 0.

Granica ciągu

Mówimy, że liczba rzeczywista a jest

granicą ciągu

a

n

przy n dążącym do

nieskończoności, gdy w każdym otoczeniu liczby a zawarte są prawie
wszystkie wyrazy tego ciągu.
Zapis:

lim

n

→∞

a

n

= a.

Granica ciągu

Mówimy, że ciąg a

n

jest zbieżny

do nieskończoności

do minus nieskończoności

jeśli prawie wszystkie wyrazy tego ciągu

są większe

są mniejsze

od dowolnie wybranej liczby rzeczywistej.

lim

n

→∞

a

n

= ∞

lim

n

→∞

a

n

= −∞.

Przykłady

1. Wszystkie wyrazy ciągu a

n

=

1
n

o numerach większych od 1000 należą

do otoczenia zera (-0,001 , 0,001).
Ogólnie wszystkie wyrazy tego ciągu o numerach większych od

1
ε

należą do

otoczenia zera postaci (−ε, ε).
Stąd wynika, że

lim

n

→∞

1
n

= 0.

Przykłady

2. Załóżmy, że b

n

= a

n

jest ciągiem geometrycznym i |a| < 1. Wszystkie

wyrazy tego ciągu o numerach większych od 1000 należą do otoczenia zera

(−|a|

1000

, |a|

1000

).

Ogólnie wszystkie wyrazy tego ciągu o numerach większych od log

|a|

ε

należą do otoczenia zera postaci (−ε, ε).
Stąd wynika, że lim

n

→∞

a

n

= 0

Przykłady

3. Ciąg a

n

= (−1)

n

nie ma granicy. Wszystkie wyrazy ciągu o numerach

parzystych są równe 1, a wszystkie wyrazy o numerach nieparzystych są
rowne -1.
Stąd wynika, że nieskończenie wiele wyrazów tego ciągu leży poza
otoczeniem (−

3
2

, −

1
2

) liczby -1 i podobnie nieskończenie wiele wyrazów

tego ciągu leży poza otoczeniem (

1
2

,

3
2

) liczby 1.

Ponadto, jeśli a 6= −1 i a 6= 1 to wszystkie wyrazy tego ciągu leżą poza
otoczeniem (a − ε, a + ε) liczby a, gdzie ε jest mniejszą z liczb |a − 1| i

|a + 1|.

Logarytm naturalny

Można udowodnić, że

e

= lim

n

→∞



1 +

1
n



n

≈ 2, 7182818284590452353602874713527...

Jeśli podstawą funkcji wykładniczej jest liczba e to taką funkcję
oznaczamy czasem

exp

tzn exp x = e

x

.

Jeśli podstawą funkcji logarytmiczej jest liczba e to taką funkcję
oznaczamy

ln

tzn. ln x = log

e

x

i nazywamy

logarytmem naturalnym

.

Granica funkcji

Liczbę g nazywamy

granicą funkcji

f

(x) w punkcie x

0

, jeżeli dla każdego

ciągu (x

n

) spełniającego warunki

1

x

n

∈ D

f

dla wszystkich liczb naturalnych n;

2

x

n

6= x

0

dla wszystkich liczb naturalnych n;

3

lim

n

→∞

x

n

= x

0

.

ciąg (f (x

n

)) jest zbieżny do g .

Zapis:

lim

x

→x

0

f

(x) = g

Granice jednostronne

Jeżeli zastąpimy warunek 2 warunkiem

2’. x

n

> x

0

, dla x

n

∈ D

f

2”. x

n

< x

0

, x

n

∈ D

f

to taką granicę nazywamy

prawostronną

lewostronną

i oznaczamy

lim

x

→x

+

0

f

(x) = g

lim

x

→x

−

0

f

(x) = g .

Przykłady granic funkcji

lim

x

→a

c

= c;

(granica funkcji stałej)

lim

x

→a

x

= a;

(granica funkcji identycznościowej)

lim

x

→0

+

1

x

= ∞;

lim

x

→0

−

1

x

= −∞;

Działania na granicach funkcji

Tw. Jeśli istnieją granice funkcji f (x) oraz g(x) w punkcie x

0

i są

skończone to:

1

lim

x

→x

0

(f (x) ± g (x)) = lim

x

→x

0

f

(x) ± lim

x

→x

0

g

(x)

2

lim

x

→x

0

(f (x) · g (x)) = lim

x

→x

0

f

(x) · lim

x

→x

0

g

(x)

3

lim

x

→x

0

f

(x)

g

(x)

= lim

x

→x

0

f

(x)/ lim

x

→x

0

g

(x)

pod warunkiem, że g(x) 6= 0 w pewnym sąsiedztwie punktu x

0

oraz

lim

x

→x

0

g

(x) 6= 0

Podobne wzory są spełnione dla granic jednostronnych.

Asymptota pionowa

Jeśli funkcja f (x) jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu a oraz
przynajmniej jedna z granic jednostronnych jest nieskończona, to prostą o
równaniu x = a nazywamy

asymptotą pionową

tej funkcji w punkcie a.

Asymptota ukośna

Prostą o równaniu y = ax + b nazywamy

asymptotą ukośną

krzywej o

równaniu y = f (x), jeżeli zachodzi:

lim

x

→−∞

[f (x) − (ax + b)] = 0 lub

lim

x

→∞

[f (x) − (ax + b)] = 0.

Szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, gdy a = 0, jest

asymptota

pozioma

o równaniu y = b.

Asymptota ukośna

Tw. Jeżeli krzywa o równaniu y = f (x) ma asymptotę ukośną o równaniu

y

= ax + b, to

a

= lim

x

→−∞

f

(x)

x

lub

a

= lim

x

→∞

f

(x)

x

i

b

= lim

x

→−∞

[f (x) − ax] lub b = lim

x

→∞

[f (x) − ax]

Przykład

Wyznaczmy asymptotę ukośną funkcji

f

(x) =

3x

2

− 2x − 1

x

.

a

= lim

x

→∞

f

(x)

x

= lim

x

→∞

3x

2

− 2x − 1

x

2

= lim

x

→∞

(3 − 2

1

x

−

1

x

2

) = 3.

b

= lim

x

→∞

[f (x) − ax] = lim

x

→∞

[

3x

2

− 2x − 1

x

− 3x] =

lim

x

→∞

(−2 −

1

x

) = −2.

Stąd wynika, że funkcja ma asymptotę ukośną o równaniu y = 3x − 2.

Ciągłość funkcji

Niech funkcja f (x) będzie określona w przedziale [a, b] oraz niech

x

0

∈ [a, b]. Mówimy, że funkcja f (x) jest

ciągła

w punkcie x

0

, jeżeli

lim

x

→x

0

f

(x) = f (x

0

).

Funkcja jest ciągła w przedziale, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego

przedziału.

Przykłady funkcji ciągłych

Funkcje wielomianowe są ciągłe w przedziale (−∞, ∞).

Funkcje pierwiastkowe i wymierne są ciągłe w każdym przedziale
zawartym w dziedzinie.

Funkcje wykładnicze są ciągłe w przedziale (−∞, ∞), to znaczy

lim

x

→u

a

x

= a

u

dla wszystkich liczb rzeczywistych u.

Funkcje logarytmiczne są ciągłe w przedziale (0, ∞), to znaczy

lim

x

→u

log

a

x

= log

a

u

dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich u.

Pochodna funkcji

Pochodną funkcji

f

(x) w punkcie x

0

nazywamy

f

′

(x

0

) = lim

h

→0

f

(x

0

+ h) − f (x

0

)

h

.

Wyrażenie

f

(x) − f (x

0

)

x

− x

0

nazywamy

ilorazem

różnicowym

funkcji f (x) w punkcie x

0

.

Iloraz różnicowy funkcji f (x) w punkcie x

0

może mieć również postać

f

(x

0

+ h) − f (x

0

)

h

. (podstawienie x = x

0

+ h).

Obliczanie pochodnych nazywamy różniczkowaniem. Jeśli funkcja ma
pochodną w punkcie x

0

, to mówimy, że jest

różniczkowalna

w tym

punkcie.

Interpretacja geometryczna pochodnej

-

6

tg α =

f

(x)−f (x

0

)

x

−x

0

x

0

f

(x

0

)



































x

f

(x)

|

{z

}

x

−x

0






























f

(x) − f (x

0

)

α

Interpretacja geometryczna pochodnej

-

6

tg α =

f

(x)−f (x

0

)

x

−x

0

x

0

f

(x

0

)

x

f

(x)

|

{z

}

x

−x

0






















f

(x) − f (x

0

)

α

Interpretacja geometryczna pochodnej

-

6

tg α = f

′

(x

0

)

x

0

f

(x

0

)

α

Pochodna funkcji

Iloraz różnicowy

f

(x)−f (x

0

)

x

−x

0

jest równy tangensowi kąta nachylenia

siecznej przechodzącej przez punkty (x

0

, f (x

0

)) oraz (x, f (x)) wykresu

funkcji.

Pochodna funkcji w punkcie x

0

jest równa tengensowi kąta nachylenia

stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x

0

, f (x

0

)).

Reguły różniczkowania

Tw. Jeśli funkcje f (x) i g(x) posiadają pochodne w pewnym zbiorze A, to

1

(af (x))

′

= af

′

(x)

2

(f (x) ± g (x))

′

= f

′

(x) ± g

′

(x)

3

(f (x)g (x))

′

= f

′

(x)g (x) + f (x)g

′

(x)

4

 f (x)

g

(x)



′

=

f

′

(x)g (x) − f (x)g

′

(x)

[g (x)]

2

5

(f (g (x)))

′

= f

′

(g (x))g

′

(x).

Pochodne podstawowych funkcji

1. c

′

= 0

2. (x

a

)

′

= ax

a

−1

3’. (e

x

)

′

= e

x

3”. (ln x)

′

=

1

x

4’. (a

x

)

′

= a

x

ln a

4”. (log

a

x

)

′

=

1

x

ln a

Interpretacja pochodnej w ekonomii

Funkcję C : [0, ∞) −→ R nazywamy funkcją kosztów producenta, jeśli
wyprodukowanie x jednostek pewnego produktu kosztuje C (x) złotych.
Załóżmy, że zakład produkuje s jednostek tego produktu.

Pytanie 1

Jaki jest średni koszt wyprodukowania jednej jednostki tego
towaru?.

Pytanie 2

Przypuśćmy, że zakład zamierza zwiększyć produkcję o h
jednostek. Jaki będzie średni koszt dodatkowej produkcji?

Interpretacja pochodnej w ekonomii

Odp. 1 Średni koszt obliczony dla całej produkcji jest równy

C

(s)
s

.

Odp. 2 Średni koszt dodatkowej produkcji jest równy

C

(s + h) − C (s)

h

Ćwiczenie Wykonać obliczenia dla funkcji kosztów

C

(x) = 0.1x

2

+ 3x + 500 i s = 100. Sprawdzić, czy produkcja jest

opłacalna i czy warto zwiększać produkcję, jeśli wiadomo, że cena rynkowa
produkowanego towaru wynosi 20 zł.

Koszt krańcowy

Def. Pochodną funkcji kosztów (jeżeli istnieje)

C

′

(s) = lim

h

→0

C

(s + h) − C (s)

h

nazywamy

kosztem krańcowym

przy produkcji s (lub kosztem krańcowym

s

-tej jednostki).

Zastosowania pochodnych do badania funkcji.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f (x) jest różniczkowalna (tzn. posiada pochodną) w
przedziale (a, b), to jest ciągła w tym przedziale.

Twierdzenie Lagrange’a

Jeśli funkcja f (x) jest ciągła w pewnym przedziale [a, b] i posiada
pochodną w każdym punkcie wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki
punkt c ∈ (a, b), że

f

′

(c) =

f

(b) − f (a)

b

− a

.

Pochodna a monotoniczność funkcji

Tw. Załóżmy, że funkcja f (x) jest różniczkowalna w przedziale (a, b).

1

Jeśli f

′

(x) = 0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja jest

stała w tym przedziale.

2

Jeśli f

′

(x) > 0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja jest

rosnąca w tym przedziale.

3

Jeśli f

′

(x) < 0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja jest

malejąca w tym przedziale.

Ekstrema lokalne - warunek konieczny

Definicja

Mówimy, że funkcja f (x) ma w punkcie x

0

maksimum lokalne

minimum lokalne

jeżeli istnieje takie otoczenie (x

0

− δ, x

0

+ δ) punktu x

0

,

że dla każdego x ∈ (x

0

− δ, x

0

+ δ) zachodzi nierówność

f

(x) 6 f (x

0

)

f

(x) > f (x

0

)

Warunek konieczny

Jeżeli funkcja różniczkowalna f (x) ma w punkcie x

0

ekstremum lokalne, to

f

′

(x

0

) = 0.

Ekstrema lokalne - warunek wystarczający

Twierdzenie (Warunek wystarczający)

Jeśli funkcja f (x) jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x

0

,

f

′

(x

0

) = 0 i w pewnym otoczeniu punktu x

0

pochodna zmienia znak,

tzn. dla x ∈ (x

0

− δ, x

0

+ δ)

f

′

(x) < 0, gdy x < x

0

f

′

(x) > 0, gdy x < x

0

f

′

(x) > 0, gdy x

0

< x

f

′

(x) < 0, gdy x

0

< x

to funkcja f (x) ma w punkcie x

0

minimum lokalne

maksimum lokalne.

Ekstrema lokalne - warunek wystarczający

Twierdzenie

Jeśli funkcja f (x) jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x

0

i

f

′

(x

0

) = 0 oraz pochodna f

′

(x) w sąsiedztwie punktu x

0

ma stały znak, to

funkcja f (x) nie ma ekstremum lokalnego w punkcie x

0

.

Badanie funkcji (częściowe)

1

Wyznaczyć dziedzinę funkcji.

2

Obliczyć pochodną.

3

Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.

4

Wyznaczyć przedziały, w których pochodna ma stały znak.

5

Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji.

Badanie funkcji - przykład

Przykład:

Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji

f

(x) =

x

2

x

− 1

1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji.

x

∈ D

f

⇐⇒ x − 1 6= 0 ⇐⇒ x 6= 1

D

f

= (−∞, 1) ∪ (1, ∞) = R \ {1}

Badanie funkcji - przykład

f

(x) =

x

2

x

− 1

2. Obliczyć pochodną.

f

′

(x) =

(x

2

)

′

(x − 1) − x

2

(x − 1)

′

(x − 1)

2

=

2x(x − 1) − x

2

· 1

(x − 1)

2

=

x

2

− 2x

(x − 1)

2

Badanie funkcji - przykład

f

′

(x) =

x

2

− 2x

(x − 1)

2

3. Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.

f

′

(x) = 0 ⇐⇒ x

2

− 2x = 0 ⇐⇒ x(x − 2) = 0

x

1

= 0

x

2

= 2

Badanie funkcji - przykład

4. Wyznaczyć przedziały, w których pochodna ma stały znak.

f

′

(x) > 0 ⇐⇒

x

2

− 2x

(x − 1)

2

> 0 ⇐⇒

⇐⇒ (x

2

− 2x > 0 ∧ (x − 1)

2

6= 0)

x

2

− 2x jest funkcją kwadratową z najwyższym współczynnikiem dodatnim,

zatem f

′

(x) > 0 dla x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, ∞).

Podobnie f

′

(x) < 0 dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, 2).

Zatem, pochodna jest dodatnia w przedziałach (−∞, 0) i (2, ∞).
Pochodna jest ujemna w przedziałach (0, 1) i (1, 2).

Badanie funkcji - przykład

5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.
Funkcja f (x) jest rosnąca w przedziałach (−∞, 0) i (2, ∞).
Funkcja f (x) jest malejąca w przedziałach (0, 1) i (1, 2).
W punkcie x

1

= 0 funkcja ma maksimum lokalne o wartości f (0) = 0.

W punkcie x

2

= 2 funkcja ma minimum lokalne o wartości f (2) = 4.