Matematyka

Mieczysław Kula

Wyższa Szkoła

Bankowości i Finansów

w Katowicach

Wykład 3

Druga pochodna

Def. Pochodną pochodnej funkcji f (x) nazywamy

drugą pochodną

funkcji i

oznaczamy f

′′

(x).

Warunek wystarczający istnienia ekstremum

Niech f (x) będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w pewnym

otoczeniu punktu x

0

i niech f

′

(x

0

) = 0.

Jeżeli f

′′

(x

0

) > 0, to funkcja f (x) ma w punkcie x

0

minimum lokalne; jeżeli

natomiast f

′′

(x

0

) < 0, to funkcja f (x) ma w punkcie x

0

maksimum lokalne.

Wypukłość funkcji

Definicja

Funkcję f (x) określoną w przedziale [a, b] nazywamy

wypukłą

|

wklęsłą

jeśli nierówność

f

(sx

1

+ tx

2

) 6 sf (x

1

) + tf (x

2

)

|

f

(sx

1

+ tx

2

) > sf (x

1

) + tf (x

2

)

zachodzi dla wszystkich wartości s, t ∈ [0, 1], s + t = 1 i dla wszystkich

punktów x

1

,

x

2

∈ [a, b].

Punkt na wykresie funkcji, w którym zachodzi zmiana jej wypukłości

nazywamy

punktem przegięcia funkcji

.

Wypukłość funkcji

Tw. 1. Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) jest dodatnia w każdym punkcie

przedziału (a, b), to krzywa o równaniu y = f (x) jest w tym przedziale

wypukła.

Tw. 2. Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) jest ujemna w każdym punkcie

przedziału (a, b), to krzywa o równaniu y = f (x) jest w tym przedziale

wklęsła.

Tw. 3. Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) ma wartość zero w punkcie x

0

i

w otoczeniu punktu x

0

zmienia znak, to punkt P

0

(x

0

,

f

(x

0

)) jest punktem

przegięcia krzywej o równaniu y = f (x).

Badanie funkcji (pełne)

1

Wyznaczyć dziedzinę funkcji.

2

Obliczyć pochodną.

3

Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.

4

Wyznaczyć przedziały, w których pochodna ma stały znak.

5

Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji.

6

Obliczyć drugą pochodną.

7

Wyznaczyć miejsca zerowe drugiej pochodnej.

8

Wyznaczyć przedziały, w których druga pochodna ma stały znak.

9

Określić wypukłość i punkty przegięcia funkcji.

10

Wyznaczyć asymptoty funkcji.

Na podstawie wyników powyższych obliczeń można naszkicować wykres

funkcji.

Badanie funkcji - przykład

Zbadać monotoniczność, ekstrema lokalne, wypukłość i asymptoty funkcji

f

(x) =

x

2

x

− 1

1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji.

x

∈ D

f

⇐⇒ x − 1 6= 0 ⇐⇒ x 6= 1

D

f

= (−∞, 1) ∪ (1, ∞) = R \ {1}.

Badanie funkcji - przykład

6. Obliczyć drugą pochodną.

f

′

(x) =

x

2

− 2x

(x − 1)

2

f

′′

(x) =

(2x − 2)(x − 1)

2

− (x

2

− 2x)2(x − 1)

(x − 1)

4

=

[(2x − 2)(x − 1) − 2(x

2

− 2x)](x − 1)

(x − 1)

4

=

2x

2

− 2x − 2x + 2 − 2x

2

+ 4x

(x − 1)

3

=

2

(x − 1)

3

Badanie funkcji - przykład

f

′′

(x) =

2

(x − 1)

3

7. Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.

Brak miejsc zerowych.

8. Wyznaczyć przedziały, w których druga pochodna ma stały znak.

f

′′

(x) > 0 ⇐⇒

2

(x − 1)

3

>

0 ⇐⇒

⇐⇒ x − 1 > 0 ⇐⇒ x > 1

Podobnie f

′′

(x) < 0 dla x < 1.

Badanie funkcji - przykład

Zatem, druga pochodna jest ujemna w przedziale (−∞, 1).

Druga pochodna jest dodatnia w przedziale (1, ∞).

9. Określić wypukłość i punkty przegięcia funkcji.

Funkcja jest wypukła w przedziale (−∞, 1).

Funkcja jest wklęsła w przedziale (1, ∞).

Badanie funkcji - przykład

10. Wyznaczyć asymptoty funkcji f (x) =

x

2

x −

1

.

Wyznaczamy asymptotę ukośną.

a

= lim

x→∞

1

x

f

(x) = lim

x→∞

1

x

·

x

2

x −

1

= lim

x→∞

x

x −

1

= lim

x→∞

1

1 −

1
x

= 1.

b

= lim

x→∞

[f (x) − ax] = lim

x→∞



x

2

x −

1

−

x



=

lim

x→∞

 x

2

−

x

2

+ x

x −

1



= 1.

Stąd wynika, że funkcja ma asymptotę ukośną o równaniu y = x + 1.

Funkcja ma asymptotę pionową o równaniu x = 1, bo lim

x→1

+

x

2

x −

1

= ∞.

Elastyczność funkcji

Przykład : Funkcja popytu na pewne dobro w zależności od ceny wyraża się

wzorem

q

(p) = 8000 − 300p − 3p

2

.

1

Jaka jest wielkość popytu gdy cena p = 10 zł ?

2

O ile zmieni się popyt gdy cena wzrośnie o 0,3 zł?

3

Obliczyć względny przyrost ceny i względną zmianę popytu.

4

Jak zmieni się popyt przy zmianie ceny o 1 %?

Elastyczność funkcji

Odp.:

1

Wielkość popytu wynosi

q

(10) = 8000 − 300 · 10 − 3 · 10

2

= 4700.

2

Wielkość popytu przy zwiększonej cenie wynosi

q

(10, 3) = 8000 − 300 · 10, 3 − 3 · 10, 3

2

= 4591, 73.

Zmiana popytu wynosi

∆q(10) = q(10, 3) − q(10) = −108, 27.

Elastyczność funkcji

3

Względny przyrost ceny wynosi:

∆p

p

=

0, 30

10

·

100% = 3%.

Względna zmiana popytu

∆q(10)

q

(10)

=

−

108, 27

4700

·

100% = −2, 3%.

4

Wzrost ceny o 1 % powoduje zmianę popytu o -2,3/3 = -0,77 %

(znak minus oznacza spadek).

Elastyczność funkcji

Def. Dana jest funkcja f (x) określona dla x > 0, przyjmująca tylko wartości

dodatnie i różniczkowalna w obszarze istnienia, oraz h - przyrost argumentu

x

. Iloraz

f

(x + h) − f (x)

f

(x)

nazywamy

względnym przyrostem funkcji w punkcie x

, natomiast iloraz

h
x

względnym przyrostem argumentu x

.

Elastyczność funkcji

Granicę

Ef

(x) = lim

h→0

f

(x + h) − f (x)

f

(x)

 h

x

=

lim

h→0

x

f

(x)

f

(x + h) − f (x)

h

=

x

f

(x)

f

′

(x)

stosunku przyrostu względnego funkcji do przyrostu względnego

argumentu, gdy h → 0 nazywamy

elastycznością funkcji f

(x) w punkcie x

.

Elastyczność Ef (x

0

) funkcji f (x) określa procentową zmianę wartości

funkcji w punkcie x

0

, jeśli argument funkcji wzrośnie o 1%.

Elastyczność funkcji

Def. Jeżeli q(p) oznacza funkcję popytu w zależności od ceny, to jej

elastyczność nazywamy

elastycznością cenową popytu.

Przykład

(ciąg dalszy) Elastyczność cenowa powyższej funkcji popytu dla

p

= 10 wynosi

Eq

(10) =

10

q

(10)

q

′

(10) =

10 · (−60)

4700

= −0, 766

.

To oznacza, że przy cenie p = 10 wzrost ceny o jeden procent spowoduje

spadek popytu o 0,77%.

Elastyczność funkcji

Granicę

Ef

(x) = lim

h→0

f

(x + h) − f (x)

f

(x)

 h

x

=

lim

h→0

x

f

(x)

f

(x + h) − f (x)

h

=

x

f

(x)

f

′

(x)

stosunku przyrostu względnego funkcji do przyrostu względnego

argumentu, gdy h → 0 nazywamy

elastycznością funkcji f

(x) w punkcie x

.

Elastyczność Ef (x

0

) funkcji f (x) określa procentową zmianę wartości

funkcji w punkcie x

0

, jeśli argument funkcji wzrośnie o 1%.

Reguła de l’Hospitala

Załóżmy, że funkcje

f

(x)

g

(x)

,

f

′

(x)

g

′

(x)

są określone w otoczeniu punktu x

0

i

lim

x→x

0

f

(x) = lim

x→x

0

g

(x) = 0 lub lim

x→x

0

f

(x) = ±∞ i lim

x→x

0

g

(x) = ±∞.

Jeżeli istnieje granica lim

x→x

0

f

′

(x)

g

′

(x)

, to istnieje także granica lim

x→x

0

f

(x)

g

(x)

i

granice te są równe, tzn.

lim

x→x

0

f

(x)

g

(x)

= lim

x→x

0

f

′

(x)

g

′

(x)

.

Reguła de l’Hospitala - przykład

Zauważmy, że wyrażenie lim

x→1

ln x

x −

1

jest symbolem nieoznaczonym typu

0
0

.

Stosując regułę de l’Hospitala mamy

lim

x→1

ln x

x −

1

= lim

x→1

(ln x)

′

(x − 1)

′

= lim

x→1

1
x

1

= 1

Reguła de l’Hospitala

Regułę de l’Hospitala można stosować również gdy x → ±∞.

Jeżeli granica ilorazu pochodnych jest również wyrażeniem

nieoznaczonym, to można próbować, stosować ponownie regułę de

l’Hospitala.

Przykład:

lim

x→∞

6x

2

+ 3x − 4

3x

2

−

11

=

lim

x→∞

(6x

2

+ 3x − 4)

′

(3x

2

−

11)

′

= lim

x→∞

12x + 3

6x

=

=

lim

x→∞

(12x + 3)

′

(6x)

′

= lim

x→∞

12

6

= 2

Reguła de l’Hospitala

Jeżeli lim

x→x

0

f

(x)g (x) jest wyrażeniem nieoznaczonym typu 0 · (±∞),

wartość tego wyrażenia można próbować obliczyć stosując regułę de

l’Hospitala do wyrażenia

lim

x→x

0

f

(x)

1

g

(x)

typu

0
0

.

Jeżeli lim

x→x

0

f

(x) − g (x) jest wyrażeniem nieoznaczonym typu ∞ − ∞,

to można próbować zastosować regułę de l’Hospitala do wyrażenia

lim

x→x

0

1

g

(x)

−

1

f

(x)

1

f

(x)g (x)

typu

0
0

Funkcje wielu zmiennych

Oznaczmy R

n

= R × R × · · · × R

|

{z

}

n

. Niech D ⊆ R

n

.

Jeśli każdemu

elementowi (x

1

,

x

2

, . . . ,

x

n

) ∈ D przyporządkujemy dokładnie jeden element

z

należący do R, to mówimy, że zostało określone odwzorowanie zbioru D

w zbiór R. Odwzorowanie takie nazywamy

funkcją n-zmiennych

.

(Zapis F (x

1

,

x

2

, . . . ,

x

n

) = z ∈ R

.

)

Funkcje wielu zmiennych - przykłady

Obrazem geometrycznym (wykresem) funkcji F (x

,

y

) określonej

wzorem F (x

,

y

) = ax + by + c , gdzie a

,

b

,

c ∈ R jest płaszczyzna.

Obrazem geometrycznym (wykresem) funkcji

F

(x

,

y

) =

p

r

2

−

x

2

−

y

2

jest powierzchnia półkuli o promieniu r i środku w początku układu

współrzędnych.

Funkcje wielu zmiennych

Funkcja liniowa f (x

1

, . . . ,

x

n

) = a

1

x

1

+ · · · + a

n

x

n

+ b

Dziedzina: D

f

= R

n

Przeciwdziedzina: V

f

= R.

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa:

F

(x

,

y

) = x

a

y

b

,

gdzie a

,

b

są ustalonymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi i a + b = 1

D

F

= [0

, ∞

) × [0

, ∞

)

Przeciwdziedzina: V

f

= [0

, ∞

).

Funkcje wielu zmiennych

Warstwicą (poziomicą)

powierzchni o równaniu z = F (x, y ),

nazywamy rzut na płaszczyznę Oxy linii, wzdłuż której płaszczyzna

z = c (c jest pewną stałą) przecina tę powierzchnię.

Uwaga

Jeżeli z = F (K , L) jest funkcją produkcji, która wyraża zależność poziomu

wyników od poniesionych nakładów (np. kapitał i praca), to poziomicę

takiej funkcji nazywamy

izokwantą

. Każdy punkt leżący na ustalonej

izokwancie jest zestawem nakładów prowadzącym do tego samego poziomu

wyników.

Pochodne cząstkowe

Jeżeli obliczymy pochodną funkcji F (x

1

,

x

2

, . . . ,

x

n

) względem

zmiennej x

i

przyjmując, że pozostałe zmienne mają ustalone wartości,

to otrzymaną funkcję nazywamy

pochodną cząstkową

funkcji

F (x

1

,

x

2

, . . . ,

x

n

) względem zmiennej x

i

.

(Oznaczenia F

′

x

i

(x

1

,

x

2

, . . . ,

x

n

) =

∂

F (x

1

,

x

2

, . . . ,

x

n

)

∂

x

i

, dla

i = 1, 2, . . . , n)

(Stosujemy również oznaczenia:

F

′

x

(x, y ) =

∂

F (x, y )

∂

x

,

F

′

y

(x, y ) =

∂

F (x, y )

∂

y

)

Pochodne cząstkowe - przykład

Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji

F (x, y ) = x

3

+ 2xy

2

+ y

2

+ 2x − 5y + 1.

F

′

x

(x, y ) =

∂

F (x, y )

∂

x

= (x

3

+ 2xy

2

+ y

2

+ 2x − 5y + 1)

′

x

=

= 3x

2

+ 2y

2

+ 0 + 2 − 0 + 0 = 3x

2

+ 2y

2

+ 2.

F

′

y

(x, y ) =

∂

F (x, y )

∂

y

= (x

3

+ 2xy

2

+ y

2

+ 2x − 5y + 1)

′

y

=

= 0 + 2x · (2y ) + 2y + 0 − 5 + 0 = 4xy + 2y − 5.

Pochodne cząstkowe

Dla funkcji produkcji F (K , L) pochodne cząstkowe

∂

F (K , L)

∂

K

∂

F (K , L)

∂

L

nazywamy

krańcową produkcyjnością kapitału

i

krańcową wydajnością

pracy

.

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Pochodne cząstkowe F

′

x

i

(x

1

,

x

2

, . . . ,

x

n

) =

∂

F (x

1

,

x

2

, . . . ,

x

n

)

∂

x

i

, dla

i = 1, 2, . . . , n nazywamy

pochodnymi pierwszego rzędu

.

Pochodne cząstkowe pochodnych pierwszego rzędu nazywamy

pochodnymi drugiego rzędu

.

∂

2

F (x

1

,

x

2

, . . . ,

x

n

)

∂

x

i

∂

x

j

oznacza pochodną cząstkową względem zmiennej

x

j

funkcji, która jest pochodną cząstkową funkcji F (x

1

,

x

2

, . . . ,

x

n

)

względem zmiennej x

i

.

Podobnie obliczamy pochodne wyższych rzędów.

Funkcja n zmiennych ma:

n pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu,

n

2

pochodnych cząstkowych drugiego rzędu,

n

3

pochodnych cząstkowych trzeciego rzędu, itd.

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Definicja

Otoczeniem punktu

P(x

0

,

y

0

) o promieniu δ na płaszczyźnie nazywamy

wnętrze koła K (x

0

,

y

0

, δ

) o środku w punkcie P i promieniu δ.

Definicja

Mówimy, że funkcja F (x, y ) ma w punkcie P(x

0

,

y

0

)

maksimum lokalne

minimum lokalne

,

jeżeli istnieje takie otoczenie K (x

0

,

y

0

, δ

) punktu P , że

dla każdego (x, y ) ∈ K (x

0

,

y

0

, δ

) zachodzi nierówność

F (x, y ) 6 F (x

0

,

y

0

).

F (x, y ) > F (x

0

,

y

0

).

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Warunek konieczny istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja F (x, y ) ma w punkcie P(x

0

,

y

0

) ekstremum lokalne i ma w

tym punkcie pochodne cząstkowe I rzędu, to

∂

F (x, y )

∂

x

(x

0

,

y

0

) = 0 ,

∂

F (x, y )

∂

y

(x

0

,

y

0

) = 0.

Warunki istnienia ekstremum

Warunek wystarczający istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja F (x, y ) ma w pewnym otoczeniu punktu P(x

0

,

y

0

) ciągłe

pochodne cząstkowe drugiego rzędu, przy czym

F

′

x

(x

0

,

y

0

) = 0

i

F

′

y

(x

0

,

y

0

) = 0,

oraz

W (x

0

,

y

0

) = det

"

F

′′

xx

(x

0

,

y

0

) F

′′

xy

(x

0

,

y

0

)

F

′′

yx

(x

0

,

y

0

) F

′′

yy

(x

0

,

y

0

)

#

>

0,

to funkcja F (x, y ) ma w punkcie P(x

0

,

y

0

) ekstremum lokalne.

Jeżeli F

′′

xx

(x

0

,

y

0

) < 0 to funkcja ma maksimum lokalne, a gdy

F

′′

xx

(x

0

,

y

0

) > 0, to funkcja ma minimum lokalne.

Warunki istnienia ekstremum - uwagi

Jeżeli W

(x

0

,

y

0

) < 0, to funkcja nie ma ekstremum lokalnego w

punkcie P

(x

0

,

y

0

).

Jeżeli W

(x

0

,

y

0

) = 0, to twierdzenie nie rozstrzyga istnienia

ekstremum lokalnego w punkcie P

(x

0

,

y

0

).

Jeśli funkcja jest wystarczająco regularna w otoczeniu P

(x

0

,

y

0

), to

F

′′

xy

(x

0

,

y

0

) = F

′′

yx

(x

0

,

y

0

).

Ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych - przykład

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych:

F

(x, y ) = x

3

+ 3xy

2

− 15x − 12y + 7.

1. Obliczamy pochodne cząstkowe:

F

′

x

(x, y ) = 3x

2

+ 3y

2

− 15

oraz

F

′

y

(x, y ) = 6xy − 12

2. Wyznaczamy wspólne miejsca zerowe pochodnych cząstkowych.

(

F

′

x

(x, y ) = 0

F

′

y

(x, y ) = 0

lub równoważnie

(

3x

2

+ 3y

2

= 15

6xy

= 12

Ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych - przykład

(

3x

2

+ 3y

2

= 15

6xy

= 12

Odejmujemy stronami i dzielimy przez 3:

3x

2

− 6xy + 3y

2

= 3

x

2

− 2xy + y

2

= 1

Stosujemy wzór skróconego mnożenia

(x − y)

2

= 1

Stąd otrzymujemy:

x − y = 1

lub

x − y = −1.

Ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych - przykład

x

= y + 1

lub

x

= y − 1.

Podstawiamy do równania 6xy

= 12 i dzielimy przez 6:

(y + 1)y = 2

lub

(y − 1)y = 2.

Otrzymujemy równania kwadratowe:

y

2

+ y − 2 = 0

lub

y

2

− y − 2 = 0.

Ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych - przykład

y

2

+ y − 2 = 0

lub

y

2

− y − 2 = 0.

Wyznaczamy pierwiastki:

y

1

= −2 y

2

= 1

lub

y

3

= −1 y

4

= 2.

Stąd wyliczamy

x

1

= −1 x

2

= 2

lub

x

3

= −2 x

4

= 1.

Pochodne cząstkowe zerują się w czterech punktach:

(−1, −2) , (2, 1) , (−2, −1) , (1, 2)

Ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych - przykład

F

′

x

(x, y ) = 3x

2

+ 3y

2

− 15

oraz

F

′

y

(x, y ) = 6xy − 12

Obliczamy drugie pochodne cząstkowe:

F

′′

xx

(x, y ) = 6x

F

′′

xy

(x, y ) = 6y

F

′′

yx

(x, y ) = 6y

F

′′

yy

(x, y ) = 6x

i wyznacznik

W

(x, y ) =







F

′′

xx

(x, y ) F

′′

xy

(x, y )

F

′′

yx

(x, y ) F

′′

yy

(x, y )







=







6x

6y

6y

6x







= 36x

2

− 36y

2

= 36(x

2

− y

2

).

Ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych - przykład

W

(x, y ) = 36(x

2

− y

2

).

Ponieważ W

(1, 2) = −108 < 0 oraz W (−1, −2) = −108 < 0 więc

funkcja F

(x, y ) nie ma ekstremów lokalnych w punktach (1, 2) i

(−1, −2).

Ponieważ W

(2, 1) = 108 > 0 oraz W (−2, −1) = 108 > 0 więc

funkcja F

(x, y ) ma ekstrema lokalne w punktach (2, 1) i (−2, −1).

Ponieważ F

xx

(2, 1) = 12 > 0 więc funkcja F (x, y ) ma minimum

lokalne w punkcie

(2, 1).

Ponieważ F

xx

(−2, −1) = −12 < 0 więc funkcja F (x, y ) ma

maksimum lokalne w punkcie

(−2, −1).

Rachunek całkowy

Całka nieoznaczona

Dana jest funkcja f

(x). Funkcję F (x) taką, że F

′

(x) = f (x)

nazywamy

funkcją pierwotną

funkcji f

(x).

Poszukiwanie funkcji pierwotnej nazywamy

całkowaniem

.

Jest to operacja odwrotna do różniczkowania.

Przykład:

Funkcją pierwotną funkcji f

(x) = 2x + 3 jest każda z funkcji:

F

(x) = x

2

+ 3x,

F

(x) = x

2

+ 3x + 1,

F

(x) = x

2

+ 3x + π itp.

Całka nieoznaczona

Jeśli F

(x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x), to każda funkcja postaci

F

(x) + C , gdzie C jest dowolną stałą jest również funkcją pierwotną

f

(x).

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji f

(x) nazywamy

całką nieoznaczoną

i oznaczamy

Z

f

(x)dx = F (x) + C .

Parametr C nazywamy

stałą całkowania

.

Całki nieoznaczone podstawowych funkcji

1

Z

0dx

= C

2

Z

dx

= x + C

3

Z

x

a

dx

=

1

a

+ 1

x

a

+

1

+ C (a 6= −1)

4

Z

x

−1

dx

= ln |x| + C

5

Z

e

x

dx

= e

x

+ C

6

Z

a

x

dx

=

a

x

ln a

+ C

Podstawowe wzory rachunku całkowego

1

Z

F

′

(x)dx = F (x) + C

2

Z

f

(x)dx



′

= f (x)

3

Z

(af (x) ± bg (x)) dx = a

Z

f

(x)dx ± b

Z

g

(x)dx

Podstawowe wzory rachunku całkowego

4

Całkowanie przez podstawianie x

= g (t)

Jeśli funkcja f

(x) jest całkowalna, a funkcja g (x) ma ciągłą

pochodną, to

Z

f

(x)dx =

Z

f

(g (t))g

′

(t)dt

5

Całkowanie przez części

Z

f

(x)g

′

(x)dx = f (x)g (x) −

Z

f

′

(x)g (x)dx

6

Z

f

′

(x)

f

(x)

dx

= ln |f (x)| + C

Przykład 1

Z

 4x

√

x

+ 2

3

√

x

+ 2x − 1

x



dx

=

Z

 4x

√

x

x

+

2

3

√

x

x

+

2x

x

−

1

x



dx

=

Z



4

√

x

+

2

3

√

x

2

+ 2 −

1

x



dx

=

4

Z

√

xdx

+ 2

Z

1

3

√

x

2

dx

+ 2

Z

dx

−

Z

1

x

dx

=

Przykład 1

4

Z

√

xdx

+ 2

Z

1

3

√

x

2

dx

+ 2

Z

dx

−

Z

1

x

dx

=

4

Z

x

1

2

dx

+ 2

Z

x

−

2

3

dx

+ 2

Z

dx

−

Z

1

x

dx

=

4

x

3

2

3
2

+ 2

x

1

3

1
3

+ 2x − ln |x| + C =

8
3

√

x

3

+ 6

3

√

x

+ 2x − ln |x| + C

Przykład 2 (Całkowanie przez części)

Z

ln x dx

=

Z

1 ln x dx

=

Z

f

′

(x)g (x)dx =

f

(x)g (x) −

Z

f

(x)g

′

(x)dx = x ln x −

Z

x

1

x

dx

=

x ln x

−

Z

dx

= x ln x − x + C = x(ln x − 1) + C

Przyjmujemy

f

(x) = x

f

′

(x) = 1

g

(x) = ln x

g

′

(x) =

1

x

Przykład 3 (Całkowanie przez podstawianie)

Z

5

√

3x

− 2

dx

Stosujemy podstawienie: z

= 3x − 2.

Wtedy dz

= (3x − 2)

′

dx

= 3dx

Stąd,

Z

5dx

√

3x

− 2

=

5
3

Z

3dx

√

3x

− 2

=

5
3

Z

dz

√

z

=

5
3

Z

z

−

1

2

dz

=

=

5
3

1

−

1
2

+ 1

z

−

1

2

+1

!

+ C =

10

3

√

z

+ C =

10

3

√

3x

− 2 + C

Całka oznaczona

Całka oznaczona w odróżnieniu od całki nieoznaczonej jest pewną

liczbą przyporządkowaną danej funkcji.

W przypadku funkcji dodatniej całka oznaczona oznacza pole

powierzchni zawartej między wykresem funkcji i osią Ox.

Obliczmy przybliżoną wartość pola pod wykresem funkcji:

Całka oznaczona

-

6

a = x

0

c

1

x

1

c

2

x

2

x

i −1

c

i

x

i

x

n−1

c

n

x

n

= b

Całka oznaczona

-

6

a = x

0

c

1

x

1

c

2

x

2

x

i −1

c

i

x

i

x

n−1

c

n

x

n

= b

Dzielimy przedział [a, b] na n części punktami:

a

= x

0

<

x

1

< . . . <

x

n

= b.

Pole i-tego prostokąta jest równe f (c

i

)(x

i

−

x

i

−

1

).

Całka oznaczona

-

6

a = x

0

c

1

x

1

c

2

x

2

x

i −1

c

i

x

i

x

n−1

c

n

x

n

= b

Przybliżona wartość pola jest równa S

n

=

P

n
i =1

f

(c

i

)(x

i

−

x

i

−

1

) =

= f (c

1

)(x

1

−

x

0

) + f (c

2

)(x

2

−

x

1

) + · · · + f (c

n

)(x

n

−

x

n

−

1

).

Wyrażenie to nazywamy

sumą całkową Riemanna

.

Całka oznaczona

-

6

a = x

0

c

1

x

1

c

2

x

2

x

i −1

c

i

x

i

x

n−1

c

n

x

n

= b

Przybliżona wartość pola jest równa S

n

=

P

n
i =1

f

(c

i

)(x

i

−

x

i

−

1

) =

= f (c

1

)(x

1

−

x

0

) + f (c

2

)(x

2

−

x

1

) + · · · + f (c

n

)(x

n

−

x

n

−

1

).

Dokładność przybliżenia wzrasta gdy długości przedziałów częściowych

dążą do zera.

Całka oznaczona - definicja

Ciąg podziałów przedziału [a, b] nazywamy normalnym, jeśli odległości

między sąsiednimi punktami podziału w kolejnych podziałach dążą do

zera.

Jeśli ciąg sum całkowych (S

n

) jest zbieżny do tej samej granicy

właściwej S przy każdym normalnym ciągu podziałów niezależnie od

wyboru punktów pośrednich c

i

, to funkcję f nazywamy całkowalną w

przedziale [a, b], a liczbę S nazywamy

całką oznaczoną

(

całką

Riemanna

) funkcji f w granicach od a do b i oznaczamy

Z

b

a

f

(x)dx.

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego

Wzór Newtona-Leibniza

Jeśli F (x) oznacza funkcję pierwotną funkcji f (x)

określonej i ciągłej w przedziale [a, b], to

Z

b

a

f

(x)dx = F (b) − F (a).

Własności całki oznaczonej

Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna w przedziale [a, b], to

funkcja pierwotna funkcji f (x) jest równa

F

(x) =

Z

x

x

0

f

(t)dt

dla x ∈ [a, b]

Z

b

a

f

(x)dx = −

Z

a

b

f

(x)dx

Z

b

a

f

(x)dx =

Z

c

a

f

(x)dx +

Z

b

c

f

(x)dx,

dla c ∈ [a, b]

Przykład 1

Obliczyć pole pod wykresem funkcji f (x) = 1 − x

2

-

6

−

1

1

1

Z

1

−

1

(1 − x

2

)dx =

"

x −

1
3

x

3

#

1

−

1

= (1 −

1
3

) − (−1 −

1
3

·

(−1)

3

) =

1 −

1
3

+ 1 −

1
3

=

4
3

.

Przykład 2

Intensywność dostaw zboża do elewatora wyraża funkcja

f

(t) = −0, 01t

2

+ t + 200

(f (t) -ilość zboża dostarczona w dniu o numerze t).

Obliczyć całkowitą ilość zboża w elewatorze w 100-nym dniu skupu.

Z

100

0

(−0, 01t

2

+ t + 200)dt =



−

0, 01

3

t

3

+

1
2

t

2

+ 200t



100

0

= 21666, 67