1

EKONOMETRIA 1

wykład 11

dr Beata Madras-Kobus

Weryfikacja merytoryczna oszacowanego modelu
obejmuje

interpretację

oszacowań

parametrów

modelu i ich analizę, polegającą na badaniu zgodności
znaków ocen parametrów z wiedzą ekonomiczną o
modelowanym zjawisku.

Oszacowany

model

ekonometryczny

przyjmuje

postać:

Ocena a parametru strukturalnego

α, występującego

przy zmiennej X w modelu ekonometrycznym
oznacza, o ile przeciętnie wzrośnie (gdy a>0) lub
zmaleje (gdy a<0) wartość zmiennej objaśnianej Y,
gdy wartość zmiennej X wzrośnie o jedną jednostkę.

3

Dopasowanie modelu do danych

empirycznych

Po

oszacowaniu

parametrów

modelu

ekonometrycznego należy zbadać stopień
zgodności modelu z danymi empirycznymi.

Analiza dopasowania modelu do danych
empirycznych polega na porównaniu wartości
empirycznych zmiennej objaśnianej y

i

, z

wartościami teoretycznymi wyznaczonymi z
modelu

, i = 1,2, …, n.

Model

tym

lepiej

pasuje

do

danych

empirycznych im reszty

co do wartości bezwzględnej są mniejsze.

Miary określające stopień zgodności modelu z
danymi

empirycznymi

obliczane

są

na

podstawie wartości reszt.

O dopasowaniu modelu ekonometrycznego do danych
empirycznych informuje wariancja składnika losowego

. Informuje ona o zmienności składnika losowego.

Nieobciążonym i zgodnym estymatorem wariancji
składnika losowego jest:

gdzie:

e – wektor reszt, czyli wektor odchyleń rzeczywistych wartości

zmiennej objaśnianej od jej wartości teoretycznych,

n – liczba obserwacji

Dopasowanie modelu do danych empirycznych

Odchylenie standardowe reszt

2

Odchylenie standardowe reszt modelu (in.
standardowy błąd estymacji) wyznacza się ze
wzoru:

Odchylenie standardowe reszt wskazuje, o ile
przeciętnie zaobserwowane wartości zmiennej
objaśnianej

różnią

się

od

wartości

teoretycznych tej zmiennej wyznaczonych z
modelu.

Dopasowanie modelu do danych empirycznych

Odchylenie standardowe reszt

Suma kwadratów reszt jako miara dopasowania
modelu do danych empirycznych ma tę wadę, że
przeskalowanie

zmiennej

objaśnianej

powoduje

zmianę jej wartości. Z tego powodu w praktyce
częściej wykorzystuje się miary wyprowadzone dzięki
dekompozycji

wariancji

zmiennej

objaśnianej.

Całkowitą zmienność zmiennej objaśnianej określaną
jako:

Analiza wariancji zmiennej objaśnianej

można rozbić na dwie części:

czyli:

Odejmując średnią y od obu stron otrzymujemy:

Następnie tożsamość (*) podnosimy obustronnie do
kwadratu:

(*)

Po zsumowaniu uzyskujemy:

można zapisać jako:

Wyrażenie:

Wiadomo, że:

Zatem:

i stąd:

gdzie:

ogólna suma kwadratów odchyleń

wartości

empirycznych zmiennej objaśnianej od wartości
średniej, całkowita zmienność zmiennej

suma

kwadratów

odchyleń

wartości

teoretycznych zmiennej objaśnianej od wartości
średniej,

zmienność

zmiennej

objaśnianej

wyjaśniona przez model

suma kwadratów reszt, zmienność zmiennej

objaśnianej niewyjaśniona przez model

Całkowita zmienność zmiennej objaśnianej, SST, jest zatem sumą
zmienności zmiennej objaśnianej wyjaśnianej przez model (SSR)
oraz zmienności zmiennej objaśnianej niewyjaśnianej przez
model (SSE):

ANALIZA
WARIANCJI

df

SS

MS

F

Istotność F

Regresja

k

SSR

SSR/k

Wartość

statystyki F

poziom

istotności

Resztkowy

n-k-1

SSE

SSE/(n-k-1)

Razem

n-1

SST

12

Dopasowanie modelu do danych empirycznych

Analiza wariancji zmiennej objaśnianej

w programie Excel

ANALIZA
WARIANCJI

df

SS

MS

F

Istotność F

Regresja

2

0,594

0,297

346,5

1E-07

Resztkowy

7

0,006

0,000857143

Razem

9

0,6

3

Wartość współczynnika determinacji jest liczbą z przedziału [0, 1].
Gdyby dopasowanie modelu do danych było idealne to R

2

= 1,

ponieważ wszystkie reszty e

t

byłyby równe 0.

Współczynnik determinacji R

2

informuje, w jakim stopniu

zmienność zmiennej objaśnianej wyjaśniona została przez model.

Dzieląc obustronnie powyższy wzór przez SST
otrzymujemy:

Wyrażenie SSR/SST nazywane jest współczynnikiem
determinacji i oznaczane R

2:

Współczynnik determinacji

Współczynnik

korelacji

wielorakiej

R

jest

pierwiastkiem

kwadratowym

ze

współczynnika

determinacji R

2

Współczynnik korelacji wielorakiej można traktować
jako współczynnik korelacji pomiędzy wartościami
empirycznymi zmiennej objaśnianej i wartościami
teoretycznymi zmiennej objaśnianej wyznaczonymi na
podstawie liniowego modelu ekonometrycznego.

Interpretacja:
Współczynnik korelacji wielorakiej informuje, w
jakim stopniu są skorelowane ze sobą empiryczne i
teoretyczne wartości zmiennej objaśnianej.

Inne miary dopasowania modelu do danych

Badając jego istotność stawiamy hipotezy:

Sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka:

Ma ona rozkład Fishera-Snedecora o m

1

= 1 oraz m

2

=

n-2 stopniach swobody.

15

Z tablic testu F dla zadanego poziomu istotności

oraz

dla m

1

i m

2

stopni swobody odczytuje się wartość

krytyczną F*.

Interpretacja:
Jeśli

, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

H

0

. Oznacza to, że współczynnik korelacji wielorakiej

jest nieistotnie różny od zera, a dopasowanie modelu
do danych jest zbyt słabe.

Jeśli

, to hipotezę H

0

należy odrzucić na rzecz

hipotezy H

A

. Współczynnik korelacji wielorakiej jest

istotny, a stopień dopasowania modelu do danych jest
dostatecznie wysoki.

16

Interpretacja: φ

2

informuje, jaka część całkowitej

zmienności

zmiennej objaśnianej nie została

wyjaśniona przez model.

Wyrażenie

SSE/SST

nazywane

jest

współczynnikiem zbieżności i oznaczane φ

2

:

Współczynnik zbieżności

W przypadku gdy w modelu nie występuje wyraz
wolny, do mierzenia jakości dopasowania modelu do
danych

należy

wykorzystać

niescentrowany

współczynnik determinacji:

Niescentrowany

współczynnik

determinacji

przyjmuje wartości z przedziału [0, 1].

Niescentrowany współczynnik determinacji.

4

19

Dopasowanie modelu do danych empirycznych

Statystyki regresji w programie Excel

Statystyki regresji

Wielokrotność R

współczynnik korelacji wielorakiej

R kwadrat

współczynnik determinacji

Dopasowany R kwadrat

skorygowany współczynnik determinacji

Błąd standardowy

odchylenie standardowe reszt modelu

Obserwacje

n

Statystyki regresji

Wielokrotność R

0,99499

R kwadrat

0,99

Dopasowany R kwadrat

0,98714

Błąd standardowy

0,02928

Obserwacje

10

Przykład 1
Korzystając z KMNK oszacować zależność wydatków
konsumpcyjnych (y

t

) od dochodów (x

t

).

t

wydatki dochód

1

150

200

2

250

300

3

300

400

4

350

400

5

400

500

6

380

500

7

450

600

8

400

700

Rozwiązanie

szacujemy model:

t

1

200

150

30000

40000

2

300

250

75000

90000

3

400

300

120000

160000

4

400

350

140000

160000

5

500

400

200000

250000

6

500

380

190000

250000

7

600

450

270000

360000

8

700

400

280000

490000

Σ

3600 2680 1305000 1800000

stąd

czyli model ma postać:

Standardowe

błędy

S(a)

i

S(b)

szacunku

parametrów strukturalnych

α i β wyznacza się ze

wzorów:

Standardowe błędy szacunku informują, o ile przeciętnie
wartość zmiennej objaśniającej X odchyla się od wartości
średniej.

Wnioskowanie o parametrach liniowego modelu

ekonometrycznego

Analiza wielkości błędów standardowych ocen

parametrów

Wyznaczenie

standardowych

błędów

szacunku

parametrów a i b ma na celu sprawdzenie, czy stopień
dokładności szacunku wszystkich parametrów jest
wystarczająco wysoki.
Do

interpretacji

wygodnie

jest

posługiwać

się

względnym średnim błędem szacunku:

Zbyt

wielki

względny

średni

błąd

szacunku

(przekraczający 50% wartości szacowanego parametru)
przekreśla

wartość

poznawczą

liczbowej

oceny

parametru.

24

5

Wnioskowanie o parametrach liniowego modelu ekonometrycznego

Przedziały ufności dla parametrów strukturalnych

Estymator a

j

ma rozkład normalny o średniej

α

j

i odchyleniu

standardowym

σ

j

, co można zapisać jako a

j

: N(

α

j

,

σ

j

).

Zatem:

W praktyce zamiast nieznanego

σ

j

stosuje się S(a

j

), czyli:

Aby zbudować przedział ufności dla parametru

α

j

, j = 1, 2, …, k,

przy współczynniku ufności (1-

γ), należy dobrać z tablic rozkładu

t-Studenta taką wartość t

γ, n-(k+1)

, aby spełniona była relacja:

Wnioskowanie o parametrach liniowego modelu ekonometrycznego

Przedziały ufności dla parametrów strukturalnych

Oznacza to, że:

Przedział ufności dla parametru

α

j

ma postać:

Długość przedziału ufności zależy od poziomu istotności

γ, liczby stopni

swobody oraz wielkości standardowych błędów szacunku parametrów.
Przedział ufności jest tym węższy, im wyższa jest wartość poziomu istotności,
większa liczba stopni swobody (a więc bardziej liczna próba) oraz niższa
wartość standardowego błędu szacunku parametru.

Testowanie hipotez dotyczących wartości parametrów

strukturalnych

Badanie istotności zmiennych objaśniających

Test t-Studenta

Badając istotność wpływu zmian wartości j-tej zmiennej
egzogenicznej na zmiany wartości zmiennej endogenicznej można
stosować statystyczny test istotności.
Testujemy hipotezy:

H

0

:

α

j

= 0

H

A

:

α

j

0

Statystyka:

ma rozkład t-Studenta z n - 2 stopniami swobody.

Z tablic rozkładu t-Studenta należy odczytać wartość t* = t

γ,n-2

Badanie istotności zmiennych objaśniających

Test t-Studenta

Interpretacja:

Jeżeli t>t* to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy
alternatywnej. Oznacza to, że zmienna X

j

ma statystycznie

istotny wpływ na zmienną objaśnianą Y. Prawdopodobieństwo
popełnienia błędu, polegającego na podjęciu błędnej decyzji
weryfikacyjnej wynosi

.

Jeżeli t<t* to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
na korzyść hipotezy alternatywnej. Oznacza to, że zmienna X

j

ma statystycznie nieistotny wpływ na zmienną objaśnianą Y.

Parametr

strukturalny

Ocena

parametru

Standardowy

błąd

szacunku

Wartość

statystyki

t-Studenta

Wartość-p

Dolny kraniec 95%

przedziału ufności

Górny kraniec 95%

przedziału ufności

α

0

a

0

S(a

0

)

t

1

poziom

α

1

a

1

S(a

1

)

t

2

istotności

α

2

a

2

S(a

2

)

t

3

Precyzja oszacowań parametrów strukturalnych

modelu ekonometrycznego w programie Excel

Współczynniki

Błąd

standardowy

t Stat

Wartość-p

Dolne 95%

Górne 95%

Przecięcie

-0,78

0,458444575 -1,701405234 0,132657615

-1,86404916 0,30404916

x

1

0,6

0,226778684 2,645751311

0,0331455

0,063753625 1,13624638

x

2

0,9

0,196396101 4,582575695 0,002535996

0,435597016 1,36440298