8.  Rachunek całkowy: pojęcie całki nieoznaczonej, własności całki nieoznaczonej, metody 

całkowania: całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie, pojęcie całki 
oznaczonej, interpretacja geometryczna całki oznaczonej, własności całki oznaczonej, 
obliczanie pól ograniczonych krzywymi, całki niewłaściwe. Przykłady wykorzystania 
rachunku całkowego w ekonomii. 

 

c

ctgx

dx

x

c

x

xdx

c

x

dx

x

c

x

xdx

c

arctgx

dx

x

c

tgx

dx

x

c

x

xdx

c

x

dx

x

c

x

dx

c

x

F

dx

x

f



































































2

2

2

2

3

2

sin

1

sin

cos

ln

1

2

1

1

cos

1

cos

sin

3

)

(

 

C

x

C

t

tdt

dt

dx

t

x

dx

x







































)

5

sin(

sin

cos

5

)

5

cos(

   

 

C

x

C

t

dt

t

dt

dx

dt

dx

t

x

dx

x





































































5

5

4

4

)

2

3

(

10

1

10

1

2

1

2

1

2

2

3

)

2

3

(

 









































C

x

x

x

xdx

x

x

x

g

x

x

g

x

x

F

x

x

f

xdx

x

cos

sin

sin

sin

1

)

(

'

)

(

sin

)

(

cos

)

(

cos

                 







































C

x

e

dx

e

e

x

x

g

x

x

g

e

x

F

e

x

f

dx

xe

x

x

x

x

x

x

)

1

(

1

)

(

'

)

(

)

(

)

(

 

Zadanie  1.  (pojęcie  całki  nieoznaczonej,  własności  całki  nieoznaczonej,  metody  całkowania: 

całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie) Rozwiąż poniższe całki nieoznaczone:  

a) 



3

2

1



x

dx 

 

 

 

b) 



x e

2

x

 dx 

 

 

 

c) 



sin x cos x dx 

 

 

d) 



sin x e

cos x

 dx 

 

 

e) 



e

x

 sin x dx   

 

 

f) 



(5x

2

 – 6x + 3 – 

x

2

 + 

2

5

x

)dx 

 

g) 



2

1

x

x



dx   

 

 

 

h) 



(x

2

 + 4)

5

 x dx 

 

 

 

i) 



x

x

dx 

 

 

 

j) 



x

x

3

dx 

 

 

 

k) 



2

x

x

dx 

 

 

 

l) 



1

3



x

dx   

 

 

m) 



x

2

 e

x

 dx 

 

 

 

n) 



e

x

 cos x dx   

 

 

o) 



x

x

sin

1

cos



dx 

 

 

 

p) 



5

1



x

dx   

 

 

 

q) 



(2x + 1)

3

 dx  

 

Zadanie 2. Rozwiąż poniższe całki oznaczone (pojęcie całki nieoznaczonej)

 

a) 



10

0

x e

2

x



dx 

 

 

 

 

 

 

 

b) 





8

6

cos x · e

sin x

 dx 

 

 

 

 

 

 

c) 



3

1

x cos x dx  

 

Zadanie  3.  (interpretacja  geometryczna  całki  oznaczonej)  Oblicz  pole  zbioru  ograniczonego 

krzywymi o równaniach: 

a) 

     

 

 i 

     

 

 

b) 

           i      

 

    

c) 

         i          i       ,        

 

 

  

Zadanie 4. (interpretacja ekonomiczna całki oznaczonej) Jeżeli funkcja 

     opisuje koszty krańcowe 

w  przedziale 

      ,  to  całka          

 

 

  oznacza  przyrost  kosztów  w  przedziale 

      .  Podobną 

interpretację otrzymamy dla innych wielkości, jak: zysk, wielkość produkcji, cena itd. 

a)  Badania  wykazały,  że  liczba  ryb  w  stawie  wzrasta  w  ciągu 

   miesięcy  z  prędkością      

 
 

 

sztuk na miesiąc. O ile wzrośnie liczba ryb w ciągu roku? 

b)   Badania  wykazały,  że  sprzedaż  kurtek  w  okresie  jesienno-zimowym  wzrasta  w  ciągu 

  

miesięcy  z  prędkością 

       

 

  sztuk  na  miesiąc.  O  ile  wzrośnie  sprzedaż  od  września  do 

stycznia? 

        

 

 

 

   

   

        

 

 

                                      

 

  

 

   

    

        

 

 

 

 

Zadanie 5. (całki niewłaściwe) Sprawdzić, czy istnieje całka niewłaściwa i obliczyć ją: 

a) 

 

 

 

 

  

 

 

 

b) 

   

 

  

  

 

 

 

c) 

 

 

 

 

  

  

 

  

 

d)