8. Rachunek całkowy: pojęcie całki nieoznaczonej, własności całki nieoznaczonej, metody

całkowania: całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie, pojęcie całki
oznaczonej, interpretacja geometryczna całki oznaczonej, własności całki oznaczonej,
obliczanie pól ograniczonych krzywymi, całki niewłaściwe. Przykłady wykorzystania
rachunku całkowego w ekonomii.

 

c

ctgx

dx

x

c

x

xdx

c

x

dx

x

c

x

xdx

c

arctgx

dx

x

c

tgx

dx

x

c

x

xdx

c

x

dx

x

c

x

dx

c

x

F

dx

x

f



































































2

2

2

2

3

2

sin

1

sin

cos

ln

1

2

1

1

cos

1

cos

sin

3

)

(

C

x

C

t

tdt

dt

dx

t

x

dx

x







































)

5

sin(

sin

cos

5

)

5

cos(

C

x

C

t

dt

t

dt

dx

dt

dx

t

x

dx

x





































































5

5

4

4

)

2

3

(

10

1

10

1

2

1

2

1

2

2

3

)

2

3

(









































C

x

x

x

xdx

x

x

x

g

x

x

g

x

x

F

x

x

f

xdx

x

cos

sin

sin

sin

1

)

(

'

)

(

sin

)

(

cos

)

(

cos







































C

x

e

dx

e

e

x

x

g

x

x

g

e

x

F

e

x

f

dx

xe

x

x

x

x

x

x

)

1

(

1

)

(

'

)

(

)

(

)

(

Zadanie 1. (pojęcie całki nieoznaczonej, własności całki nieoznaczonej, metody całkowania:

całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie) Rozwiąż poniższe całki nieoznaczone:

a)



3

2

1



x

dx

b)



x e

2

x

dx

c)



sin x cos x dx

d)



sin x e

cos x

dx

e)



e

x

sin x dx

f)



(5x

2

– 6x + 3 –

x

2

+

2

5

x

)dx

g)



2

1

x

x



dx

h)



(x

2

+ 4)

5

x dx

i)



x

x

dx

j)



x

x

3

dx

k)



2

x

x

dx

l)



1

3



x

dx

m)



x

2

e

x

dx

n)



e

x

cos x dx

o)



x

x

sin

1

cos



dx

p)



5

1



x

dx

q)



(2x + 1)

3

dx

Zadanie 2. Rozwiąż poniższe całki oznaczone (pojęcie całki nieoznaczonej)

a)



10

0

x e

2

x



dx

b)





8

6

cos x · e

sin x

dx

c)



3

1

x cos x dx

Zadanie 3. (interpretacja geometryczna całki oznaczonej) Oblicz pole zbioru ograniczonego

krzywymi o równaniach:

a)

i

b)

i

c)

i i ,

Zadanie 4. (interpretacja ekonomiczna całki oznaczonej) Jeżeli funkcja

opisuje koszty krańcowe

w przedziale

, to całka

oznacza przyrost kosztów w przedziale

. Podobną

interpretację otrzymamy dla innych wielkości, jak: zysk, wielkość produkcji, cena itd.

a) Badania wykazały, że liczba ryb w stawie wzrasta w ciągu

miesięcy z prędkością

sztuk na miesiąc. O ile wzrośnie liczba ryb w ciągu roku?

b) Badania wykazały, że sprzedaż kurtek w okresie jesienno-zimowym wzrasta w ciągu

miesięcy z prędkością

sztuk na miesiąc. O ile wzrośnie sprzedaż od września do

stycznia?

Zadanie 5. (całki niewłaściwe) Sprawdzić, czy istnieje całka niewłaściwa i obliczyć ją:

a)

b)

c)

d)