Rachunek-calkowy---cd., Matematyka, Analiza


CAŁKI WIELOKROTNE, KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHOWNE.

Całka podwójna i jej obliczanie przez dwukrotne całkowanie.

Niech 0x01 graphic
będzie funkcją ciągłą w pewnym domkniętym obszarze 0x01 graphic
na płaszczyźnie. Podzielmy obszar 0x01 graphic
w dowolny sposób na 0x01 graphic
obszarów częściowych o polach 0x01 graphic
, wybierzmy w każdym z nich po jednym (dowolnym zresztą) punkcie 0x01 graphic
obliczmy odpowiadające tym punktom wartości funkcji i utwórzmy sumę:

0x01 graphic

nazywaną sumą całkowitą funkcji 0x01 graphic
po obszarze 0x01 graphic
.

Oczywiście, wartość sumy całkowitej zależy i od sposobu podziału obszaru 0x01 graphic
na n obszarów składowych i od wyboru punktów 0x01 graphic
w tych obszarach. Innymi słowy, dla dane funkcji 0x01 graphic
i dla każdego obszaru domkniętego 0x01 graphic
, gdzie funkcja 0x01 graphic
jest określona, można utworzyć nieskończenie wiele różnych sum całkowych.

Jeżeli jednak 0x01 graphic
rośnie nieograniczenie i największa ze średnic obszarów częściowych dąży przy tym do zera, to wszystkie te sumy całkowite dążą do jednej i tej samej granicy. Granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji 0x01 graphic
po obszarze 0x01 graphic
i oznaczamy symbolem 0x01 graphic
.

Całka podwójna ma te same podstawowe własności co zwykła całka oznaczona: obszar całkowania w całce podwójnej można dzielić na części, całka podwójna sumy funkcji jest równa sumie całek poszczególnych składników, czynnik stały wolno wyłączyć przed znak całki podwójnej.

Obliczanie całki podwójnej 0x01 graphic
sprowadza się do obliczenia jednej lub kilku (w zależności od obszaru) całek iterowych (dwukrotnych) dwukrotnych postaci:

0x01 graphic

albo

0x01 graphic

z których każda jest wynikiem kolejnego obliczania dwóch zwykłych całek oznaczonych.

W całce iterowanej 0x01 graphic
funkcja 0x01 graphic
jest najpierw całkowana względem 0x01 graphic
, przy tym 0x01 graphic
traktuje się jako stałą, a następnie otrzymamy wynik całkuje się względem 0x01 graphic
.

W całce iterowanej 0x01 graphic
całkowanie odbywa się w odwrotnej kolejności, najpierw całkujemy względem 0x01 graphic
, traktując przy tym 0x01 graphic
jako stałą, a następnie otrzymamy wynik całkuje się względem0x01 graphic
.

Z reguły przy pierwszym całkowaniu granice są zmienne i zależą od tej zmiennej, która jest przy tym traktowana jako stała. Natomiast granice przy drugim całkowaniu są zawsze stałe.

Całka podwójna we współrzędnych biegunowych.

Jeżeli obszar całkowania w całce podwójnej jest odniesiony do współrzędnych biegunowych 0x01 graphic
i jest dzielony na obszary częściowe promieniami0x01 graphic
, wychodzącymi z bieguna, i okręgami współśrodkowymi 0x01 graphic

0x01 graphic

Zwykle całki podwójne we współrzędnych biegunowych wyrażają się całkami iterowanymi o postaci

0x01 graphic

Granice całkowania względem 0x01 graphic
wyznaczają zakres zmienności 0x01 graphic
przy stałej, aczkolwiek dowolnej wartości 0x01 graphic
. Granice całkowania względem 0x01 graphic
są stałe i przedstawiają odpowiednio najmniejszą i największą spośród wartości 0x01 graphic
w całym obszarze.

Z reguły, granice całki wewnętrznej (względem 0x01 graphic
)zależą od 0x01 graphic
. Obie granice są stałe tylko w tym przypadku, gdy obszar całkowania jest wynikiem kołowym albo różnicą wycinków kołowych o środku w biegunie (początku) układu. Granice całki zewnętrznej (względem 0x01 graphic
) są zawsze stałe.

Przy zastosowaniu całek podwójnych do zadań z zakresu geometrii i fizyki, zwykle wielkość poszukiwana jest wyrażona pewną całką podwójną odniesioną do współrzędnych prostokątnych, a dopiero potem w wielu przypadkach jest sprowadzana, w celu uproszczenia obliczeń, do współrzędnych biegunowych. Obowiązuje przy tym następująca reguła.

Aby całkę podwójną odniesioną do współrzędnych prostokątnych przekształcić na całkę podwójną we współrzędnych biegunowych, trzeba w wyrażeniu podcałkowym wyrazić współrzędne biegunowe, wg wzorów0x01 graphic
, 0x01 graphic
i zamiast 0x01 graphic
postawić 0x01 graphic
.

Obliczanie pół za pomocą całki podwójnej.

Pole S płaskiego obszaru D jest równe całce podwójnej z 0x01 graphic
, rozciągniętej na obszar D.

0x01 graphic

We współrzędnych prostokątnych 0x01 graphic
, więc

0x01 graphic

a we współrzędnych biegunowych 0x01 graphic
, więc

0x01 graphic

Masa, środek ciężkości i moment bezwładności.

Niech dana będzie płaska figura materialna (płytka). Jeśli przez 0x01 graphic
oznaczamy gęstość powierzchniową masy w punkcie 0x01 graphic
, to masa 0x01 graphic
, współrzędne środka ciężkości 0x01 graphic
i momenty bezwładności płytki względem osi 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, i względem początku układu dane są wzorami

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

(0x01 graphic
i 0x01 graphic
- momenty statyczne płytki względem osi 0x01 graphic
i 0x01 graphic
; dla płytki jednorodnej 0x01 graphic
i wzory upraszczają się po wyłączeniu 0x01 graphic
przed znaki całek)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Dla jednorodnej bryły materialnej w kształcie walca, ograniczonej od góry powierzchnią 0x01 graphic
i mającej za podstawę obszar D leżący na płaszczyźnie 0x01 graphic
.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Całka potrójna i jej obliczanie przez trzykrotne całkowanie.

Niech funkcja 0x01 graphic
będzie określona i ciągła w pewnym domkniętym obszarze 0x01 graphic
przestrzeni. Podzielmy obszar 0x01 graphic
na n obszarów częściowych w dowolny sposób. Oznaczmy objętości obszarów częściowych przez 0x01 graphic
i wybierzmy każdym z nich pewien punkt 0x01 graphic
. Obliczmy wartość funkcji 0x01 graphic
w tych punktach i utwórzmy sumę

0x01 graphic

nazywamy sumą całkowa funkcji 0x01 graphic
po obszarze 0x01 graphic
.

Tworząc sumę całkową obszar 0x01 graphic
można dzielić na obszary częściowe w różny sposób i w różny tez sposób można wybierać w tych 0x01 graphic
obszarów częściowych po jednym punkcie 0x01 graphic
. Dla każdej więc funkcji i dla każdego obszaru 0x01 graphic
można utworzyć dowolnie wiele sum całkowych. Jeśli jednak 0x01 graphic
rośnie nieograniczenie, a średnia największego z obszarów częściowych dąży przy tym do zera, to wszystkie te sumy całkowite zmierzają do jednej i tej samej granicy. Granicę tę nazywamy całką potrójną funkcji 0x01 graphic
po obszarze 0x01 graphic
i oznaczamy symbolem 0x01 graphic
.

Własności całek potrójnych SA analogiczne do własności całek podwójnych i zwykłych całek oznaczonych: obszar całkowania wolno dzielić na części składowe, całka sumy funkcji jest równa sumie całek poszczególnych składników, czynnik stały wolno wyłączyć przed znaki całki.

Obliczanie całki potrójnej sprowadza się do obliczenia całki trzykrotnie iterowanej, tj. do kolejnego obliczenia trzech zwykłych jednokrotnych całek oznaczonych względem każdej ze zmiennych współrzędnych punktu przestrzeni trójwymiarowej.

Jeśli obszar całkowania jest odniesiony do układu współrzędnych prostokątnych 0x01 graphic
i jest dzielony na obszary elementarne za pomocą płaszczyzn układu, to objętość obszaru elementarnego wynosi 0x01 graphic
i całka potrójna ma postać

0x01 graphic

Jeśli przy tym obszar 0x01 graphic
ma tę samą własność, że proste poprowadzone przez jego punkty wewnętrzne, równolegle do osi 0x01 graphic
, przecinają jego granicę tylko w dwóch punktach, to całkę potrójną można obliczyć ze wzoru

0x01 graphic

w którym 0x01 graphic
jest rzutem obszaru 0x01 graphic
na płaszczyznę 0x01 graphic
,a 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są równaniami powierzchni ograniczających obszar 0x01 graphic
od dołu i od góry.

Wzór ten sprowadza obliczenie całki potrójnej do kolejnego obliczenia zwykłej (jednokrotnej) całki oznaczonej względem zmiennej 0x01 graphic
, przy czym zmienne 0x01 graphic
traktuje się jako stałe, i całki potrójnej o zmiennych całkowania 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, rozpostartej na obszar 0x01 graphic
leżący w płaszczyźnie 0x01 graphic
.

Z reguły granice całki wewnętrznej (jednokrotnej) są zmienne. Zależą one od tych dwóch zmiennych, które przy obliczaniu tej całki są traktowane jako stałe. Granice obydwu całek będą stałe tylko wtedy, gdy obszarem całkowania jest walec prosty, o tworzących równoległych do osi 0x01 graphic
i podstawach leżących na płaszczyznach równoległych do płaszczyzny 0x01 graphic
.

Zamieniając rolę zmiennych 0x01 graphic
, y i 0x01 graphic
we wzorze powyżej, można otrzymać inne analogiczne wzory na obliczanie całki potrójnej za pomocą kolejnego obliczania całki zwykłej i całki podwójnej.

Przy obliczaniu całki potrójnej w podany wyżej sposób, niekiedy, po obliczaniu całki wewnętrznej, warto przed obliczeniem całki podwójnej wprowadzić współrzędne biegunowe. O tym sposobie obliczania całki potrójnej mówimy, że polega on na sprowadzeniu całki do współrzędnych walcowych, zmienne 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są właśnie współrzędnymi walcowymi punktu 0x01 graphic
.

Całkę potrójną można też obliczać inaczej: najpierw obliczyć całkę podwójną, o zmiennym obszarze całkowania, a potem całkę jednokrotną.

Obliczanie wielkości za pomocą całki potrójnej.

Objętość, masę, współrzędne środka ciężkości oraz momenty bezwładności bryły, obliczamy wg następujących wzorów:

  1. Objętość obszaru przestrzennego 0x01 graphic

0x01 graphic

  1. Masa bryły materialnej wypełniającej obszar 0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
- gęstość objętościowa masy w punkcie 0x01 graphic
bryły.

  1. Współrzędne środka ciężkości 0x01 graphic
    bryły

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
i 0x01 graphic
- momenty statyczne bryły względem płaszczyzny układu, wyrażające się wzorami

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Dla bryły jednorodnej 0x01 graphic
wzory upraszczają się po wyłączeniu 0x01 graphic
przed znaki całek.

  1. Momenty bezwładności bryły względem osi 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    oraz względem początku0x01 graphic
    układu współrzędnych

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Całki krzywoliniowe i ich obliczanie, Warunek niezależności od drogi całkowania.

Rozważmy pewną funkcję 0x01 graphic
ciągłą w każdym punkcie 0x01 graphic
łuku 0x01 graphic
. Podzielmy ten łuk w dowolny sposób na 0x01 graphic
łuków częściowych, częściowych długościach 0x01 graphic
i wybierzmy na każdym z nich po jednym, dowolnym zresztą, punkcie 0x01 graphic
. Obliczmy wartość funkcji 0x01 graphic
w tych punktach i utwórzmy sumę

0x01 graphic

nazywaną sumą całkowitą funkcji 0x01 graphic
po łuku 0x01 graphic
.

Naturalnie, dla każdej danej funkcji 0x01 graphic
i dla każdego danego łuku 0x01 graphic
można utworzyć nieskończenie wiele różnych sum całkowitych, dzieląc w różny sposób łuk na0x01 graphic
części i w różny sposób wybierając w każdym z łuków częściowych po jednym punkcie 0x01 graphic
. Jednakże gdy 0x01 graphic
rośnie nieograniczenie i gdy przy tym długość największego z łuków częściowych zmierza do zera, to wszystkie te sumy całkowe mają jedną i te samą wspólną granicę. Granicę tę nazywamy całką krzywoliniową (względem długości łuku) funkcji 0x01 graphic
po łuku 0x01 graphic
i oznaczamy symbolem 0x01 graphic
.

Podobnie określa się całki 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
względem rzutów łuku (czyli całki względem współrzędnych). Całki te określamy jako granicę sum całkowitych funkcji 0x01 graphic
wziętych po łuku 0x01 graphic
, z tą jedynie różnicą, że tworząc ich sumy całkowite wartości funkcji 0x01 graphic
w punktach 0x01 graphic
(łuku) mnożymy nie przez długości odpowiednich łuków częściowych 0x01 graphic
, lecz przez ich rzuty 0x01 graphic
lub0x01 graphic
na osi układu.

Całka krzywoliniowa 0x01 graphic
oznacza sumę całek krzywoliniowych wyżej podanych postaci.

Całkę krzywoliniową po zamkniętej płaskiej linii 0x01 graphic
przy dokładnym kierunku obiegu tej linii (w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara) oznaczamy symbolem 0x01 graphic
, a przy ujemnym kierunku obiegu symbolem0x01 graphic
.

Zwykła (prostoliniowa) całka oznaczona jest szczególnym przypadkiem całki krzywoliniowej, w której linią całkowaną jest prostoliniowy odcinek osi układu.

Przy zmianie kierunku obiegu krzywej na przeciwny całka krzywoliniowa zmienia znak

0x01 graphic

Krzywą, po której przebiega całkowanie, wolno dzielić na części

0x01 graphic

Obliczenie całki krzywoliniowej 0x01 graphic
sprowadza się do obliczenia zwykłej całki oznaczonej. W tym celu korzystając z równania (lub z równań) linii całkowania 0x01 graphic
przekształcamy wyrażenie podcałkowe na funkcje jednej zmiennej. Wartości, jakie zamienna ta przebiera na początku i na końcu łuku 0x01 graphic
, określają granice otrzymanej całki oznaczonej.

Na ogół wartość całki krzywoliniowej zależy od tego, po jakiej linii całkujemy. Wartości całek branych wzdłuż różnych linii łączących punkty 0x01 graphic
i 0x01 graphic
mogą być różne.

Jeśli jednak w pewnym jednospójnym obszarze 0x01 graphic
wyrażenie 0x01 graphic
jest różniczką zupełną, to całka krzywoliniowa 0x01 graphic
nie zależy od drogi całkowania łączącej punkty 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, a całka wzięta po dowolnej krzywej zamkniętej, lezącej w obszarze 0x01 graphic
, jest równa zeru.

Wyrażenie0x01 graphic
jest różniczka zupełną funkcji 0x01 graphic
, w pewnym jednospójnym obszarze, jeżeli 0x01 graphic
i jeżeli 0x01 graphic
są ciągłe w tym obszarze.

Obliczanie wielkości za pomocą całek krzywoliniowych.

Całki krzywoliniowe, podobnie jak i pozostałe rodzaje całek oznaczonych służą do obliczania różnych wielkości geometrycznych i fizycznych.

Za pomocą całek krzywoliniowych łatwo oblicza się następujące wielkości;

  1. Długość łuku 0x01 graphic
    płaskiej albo przestrzennej linii

0x01 graphic

  1. Pole figury, lezącej na płaszczyźnie 0x01 graphic
    i ograniczonej zamkniętą linią 0x01 graphic

0x01 graphic

  1. Masę 0x01 graphic
    łuku materialnego 0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
oznacza gęstość liniową materiału w punkcie 0x01 graphic
łuku.

  1. Współrzędne środka ciężkości 0x01 graphic
    łuku 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

(W przypadku równomiernego rozkładu masy 0x01 graphic
wzory upraszczają się po wyłączeniu 0x01 graphic
przed znaki całek).

  1. Pracę 0x01 graphic
    , jaką wykazuje siła 0x01 graphic
    działająca na punkt, przy jego przemieszczeniu się wzdłuż łuku 0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
składowe siły wzdłuż osi współrzędnych.

Całki powierzchniowe i ich obliczanie przez zamianę na całki podwójne.

Niech funkcja 0x01 graphic
będzie określona i ciągła w każdym punkcie gładkiej powierzchni 0x01 graphic
. Podzielmy tę powierzchnię w dowolny sposób na 0x01 graphic
płatów częściowych polach równych 0x01 graphic
i wybierzmy w każdym z nich po jednym, dowolnym zresztą, punkcie 0x01 graphic
. Obliczamy wartości funkcji 0x01 graphic
w tych punktach i utwórzmy sumę

0x01 graphic

nazywamy sumę całkowita funkcji 0x01 graphic
wzglądem pola powierzchni 0x01 graphic
.

Ponieważ w opisanym tu procesie tworzenia sum całkowych powierzchnię 0x01 graphic
można dzielić na 0x01 graphic
płatów częściowych w różny sposób i w każdym z nich rozmaicie wybierać po jednym punkcie0x01 graphic
, więc dla każdej danej funkcji 0x01 graphic
i dla każdej danej powierzchni 0x01 graphic
można utworzyć nieskończenie wiele różnych sum całkowych. Jeśli jednak dla 0x01 graphic
rosnącego nieograniczenie największa ze średnic płatów częściowych zmierza do zera, to wszystkie te sumy całkowe będą miały jedną i tylko jedną wspólną granicę. Granicę tę nazywamy całką funkcji 0x01 graphic
po płacie powierzchniowym lub całką względem pola powierzchni 0x01 graphic
i oznaczamy symbolem

0x01 graphic

Analogicznie określa się całki powierzchnie względem współrzędnych (względem rzutów płata)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Całki te są granicami sum całkowych funkcji 0x01 graphic
,0x01 graphic
lub 0x01 graphic
branymi po powierzchni 0x01 graphic
, z tą jednak różnicą, że przy ich tworzeniu wartości funkcji w punktach 0x01 graphic
mnoży się ich przez pola 0x01 graphic
elementarnych płatów częściowych, lecz przez ich rzuty na płaszczyzny 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
układu współrzędnych.

Całka powierzchniowa względem współrzędnych o postaci ogólnej

0x01 graphic

jest sumą całe powierzchniowych współrzędnych.

Obliczanie całek powierzchniowych obu typów składa sprowadza się do obliczenia całek podwójnych po obszarze płaskim, W tym celu wychodząc z równania danej powierzchni 0x01 graphic
wyrażenie podcałkowe w całce powierzchniowej podstawiamy jako funkcję dwóch zmiennych, przebiegających obszar powstały przez zrzutowanie 0x01 graphic
na płaszczyznę układu odpowiadającą tym zmiennym.

Jeśli więc powierzchnia 0x01 graphic
, na którą rozciąga się całka powierzchniowa ma równanie 0x01 graphic
, to całkę powierzchniową pierwszego typu (po płacie powierzchni) zamieniamy na podwójną (a następnie obliczamy) wg wzorów

0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
oznacza rzut obszaru 0x01 graphic
na płaszczyznę 0x01 graphic
.

Natomiast całkę powierzchniową drugiego typu (względem rzutów płata) zamieniamy na podwójną wg wzoru

0x01 graphic

Podwójny znak po prawej stronie równości wiąże się z tym, że całka występująca po lewej stronie może być rozciągnięta na dwie różne strony powierzchni 0x01 graphic
. Znak plus odpowiada całkowaniu po górnej stronie powierzchni 0x01 graphic
(zwróconej w stronę dodatniego kierunku osi 0x01 graphic
), minus - odpowiada całowaniu po dolnej stronie powierzchni 0x01 graphic
(zwróconej w stronę ujemnego kierunku osi 0x01 graphic
).

Jeśli na całej rozważanej powierzchni 0x01 graphic
zmiennej 0x01 graphic
nie można wyrazić jednoznacznie w funkcji 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to powierzchnię 0x01 graphic
trzeba podzielić na części, dla których jest to możliwe, a całkę braną po takiej powierzchni obliczyć jako sumę całek rozciągniętych na części składowe.

Analogicznie oblicza się całki powierzchniowe obu rodzajów, gdy powierzchnia 0x01 graphic
jest dana równaniem o postaci 0x01 graphic
albo 0x01 graphic
. Przy tym dla całek powierzchniowych drugiego typy przed całką podwójną stawia się znak plus albo minus, zależnie od tego, całka powierzchniowa jest brana po stronie powierzchni 0x01 graphic
zwróconej w dodatnim, czy też w ujemnym kierunku odpowiedniej osi układu (prostopadłej do płaszczyzny układu, na której leży obszar całkowania a całce podwójnej).

Całka powierzchniowa wzglądem współrzędnych 0x01 graphic
wzięta po płacie powierzchni cylindrycznej o tworzących równoległych do osi 0x01 graphic
jest równa zeru. W analogicznych przypadkach równe zeru są tez całki powierzchniowe względem współrzędnych 0x01 graphic
albo 0x01 graphic
.

Jeśli 0x01 graphic
jest powierzchnią zamkniętą, to całkę po zewnętrznej stronie powierzchni oznaczamy symbolem 0x01 graphic
a po wewnętrznej symbolem 0x01 graphic
.

Całkę po zamkniętej powierzchni 0x01 graphic
można przekształcić na całkę potrójną po obszarze 0x01 graphic
, ograniczonym tą powierzchnią, i na odwrót, za pomocą wzoru Gaussa-Ostrogradskiego

0x01 graphic

przy czym funkcje 0x01 graphic
wraz z pochodnymi pierwszego rzędu powinny być ciągłe w obszarze 0x01 graphic
.

Związek między całką po nie zamkniętej powierzchni 0x01 graphic
i całką krzywoliniową po konturze 0x01 graphic
, ograniczającym tę powierzchnię, dany jest wzorem Stokesa

0x01 graphic

przy czym funkcje 0x01 graphic
wraz z pochodnymi pierwszego rzędu powinny być ciągłe w obszarze 0x01 graphic
zawierającym 0x01 graphic
.

Kierunek obiegu konturu 0x01 graphic
i strona powierzchni 0x01 graphic
, po której całkujemy, związane są następującą regułą: obieg konturu 0x01 graphic
widzimy od tej strony powierzchni 0x01 graphic
, po której odbywa się całkowanie, powinien być przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

Jeśli za pomocą powyższego wzoru przekształcimy całkę krzywoliniową po konturze zamkniętym na całkę powierzchniową, to jako 0x01 graphic
można przyjąć dowolną (kawałkami-gładką) powierzchnię, rozpięta na konturze 0x01 graphic
i pozostającą w obszarze 0x01 graphic
.

W przypadku gdy 0x01 graphic
jest płaskim obszarem 0x01 graphic
płaszczyzny 0x01 graphic
0x01 graphic
, powyższy wzór upraszcza się

0x01 graphic

Tę szczególną postać wzoru Stokesa nazywamy wzorem Greena.

Obliczanie wielkości za pomocą całek powierzchniowych.

  1. Pole powierzchni 0x01 graphic

0x01 graphic

  1. Masa powierzchni materialnej

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
oznacza gęstość powierzchniową rozkładu masy w punkcie 0x01 graphic
powierzchni 0x01 graphic

  1. Współrzędna środka ciężkości 0x01 graphic
    powierzchni 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
- momenty styczna powierzchni 0x01 graphic
względem układu.

Jeśli powierzchnia jest jednorodna, to 0x01 graphic
i wzory te upraszczają się po wyłączeniu 0x01 graphic
przez znaki całek.

Obszar płaski nazywamy jednospójnym, jeśli każda linię zamkniętą, lezącą w tym obszarze, można ściągnąć do punktu, nie wyprowadzając ja przy tym poza obszar.

Tak nazywamy powierzchnie, które w każdym swym punkcie maja określoną płaszczyznę styczną.

Dokładniej: przy odchodzeniu konturu 0x01 graphic
po stronie powierzchni 0x01 graphic
, po której całkujemy, przylegająca do konturu część powierzchni 0x01 graphic
powinna znajdować się z lewej strony.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
3 - Metody całkowania cd. Miara i całka, Analiza matematyczna
2 - Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej. Metody całkowania, Analiza matematyczna
Podstawy analizy matematycznej, rachunek całkowy, szeregi, tom 2, Andrzej Kaczyński
RACHUNEK CAŁKOWY. CAŁKA OZNACZONA I JEJ ZASTOSOWANIA, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
RACHUNEK CAŁKOWY. CAŁKA OZNACZONA I JEJ ZASTOSOWANIA, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
Kordecki W, Jasiulewicz H Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Przykłady i zadania
19 rachunek calkowy 5 6 funkcje o wahaniu skonczonym
AMI 25 1 Rachunek calkowy podstawowe typy zadan id 59059 (2)
1.Powierzchnie, matematyka, analiza
RRJ, Analiza matematyczna 1,2,3, Analiza 3
rachunkowość przedsiębiorstw (1 str) 6 część, Analiza ekonomiczna - analiza odnosz?ca si? do dzia?al
analiza sciaga, studia, Matma, Analiza Matematyczna, analiza, Ściągi
pd1, Informatyka SGGW, Semestr 2, Analiza, Analiza matematyczna, analiza
Ebook Matematyka Analiza Matematyczna 2
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA wprowadzenie

więcej podobnych podstron