Algebra z geometri analityczn

Egzamin podstawowy, semestr zimowy 2004/2005

Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si zaliczenie, termin

zaliczenia (podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział,

kierunek, rok studiów, imi i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadz cej wiczenia), dat oraz
sporz dzi poni sz tabelk . Ponadto prosz ponumerowa , podpisa i spi zszywaczem wszystkie
pozostałe kartki pracy.

E3

1 2 3 4 5 6 Suma

Tre ci zada prosz nie przepisywa . Rozwi zanie zadania o numerze n nale y napisa na n-tej
kartce pracy

. Na rozwi zanie zada przeznaczono 120 minut, za rozwi zanie ka dego zadania mo na

otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwi zaniach nale y dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn.

formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wyci gane

wnioski. Ponadto prosz sporz dza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1.

Na płaszczy nie zespolonej naszkicowa zbiór

.

{

z ∈ C

:

z −

3

2i − z

≥

1 }

2.

W zbiorze liczb zespolonych rozwi za równanie

.

z

2

−

3z + 3 − i = 0

3.

Wyznaczy macierz

spełniaj c zale no

B

.

1 3
2 1

⋅

B ⋅

−

1 0
2 1

=

0 −5

10 0

4.

Okre li liczb rozwi za podanego układu równa i nast pnie rozwi za go:

.

x +

3y + 2z − u = 1

x +

4y

+

2u = −1

3x + 11y + 2z + 3u = −1

x +

2y + 4z − 4u = 3

5.

Uzasadni , e rzuty prostok tne punktów

na

A = (

1, 2, 0 ), B = ( 2, 1, 0 )

płaszczyzn

tworz wraz z pocz tkiem układu współrz dnych

π

: x + y − z = 0

trójk t równoboczny.

6.

W jakim punkcie i pod jakim k tem przecinaj si proste

oraz

, gdzie

.

l

1

:

x =

1 + 3t

y =

2 − t

z =

1 + 2t

l

2

:

x = −

2 + s

y =

3 + 2s

z = −

1 + 3s

s

, t ∈ R

!!!

Egzamin trwa 90 minut.
Prosz

wybra

pi

zada

spo ród sze ciu

.

Algebra z geometri analityczn

Egzamin podstawowy, semestr zimowy 2004/2005

Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si zaliczenie, termin

zaliczenia (podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział,

kierunek, rok studiów, imi i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadz cej wiczenia), dat oraz
sporz dzi poni sz tabelk . Ponadto prosz ponumerowa , podpisa i spi zszywaczem wszystkie
pozostałe kartki pracy.

E4

1 2 3 4 5 6 Suma

Tre ci zada prosz nie przepisywa . Rozwi zanie zadania o numerze n nale y napisa na n-tej
kartce pracy

. Na rozwi zanie zada przeznaczono 120 minut, za rozwi zanie ka dego zadania mo na

otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwi zaniach nale y dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn.

formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wyci gane

wnioski. Ponadto prosz sporz dza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1.

Na płaszczy nie zespolonej naszkicowa zbiór

.

{

z ∈ C

:

z +

2i

3 − z

≥

1 }

2.

Znale wszystkie liczby zespolone

spełniaj ce równanie

.

z

z

2

+

3z + 3 + i = 0

3.

Wyznaczy macierz

z równania

D

.

0 1
1 2

⋅

D ⋅

2 4
2 1

=

0 12

−

6 0

4.

Okre li liczb rozwi za podanego układu równa i nast pnie rozwi za go:

.

x −

2y + 3z + t = 1

x − y +

4z

=

2

3x − 4y + 11z + t = 5

x −

3y + 2z + 2t = 0

5.

Uzasadni , e rzuty prostok tne punktów

na

P = (

0, 2, 1 ), Q = ( 2, 3, 1 )

płaszczyzn

tworz wraz z pocz tkiem układu współrz dnych

π

: x + y + z = 0

trójk t równoboczny.

6.

Wyznaczy punkt oraz k t, pod jakim przecinaj si proste

oraz

, gdzie

.

k

1

:

x =

2 + t

y =

2 + 2t

z = −

1 + 3t

k

2

:

x =

3 + 4s

y =

4 + s

z =

2 + 5s

s

, t ∈ R

!!!

Egzamin trwa 90 minut.
Prosz

wybra

pi

zada

spo ród sze ciu

.

Algebra z geometri analityczn

Egzamin podstawowy, semestr zimowy 2004/2005

Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si egzamin, nazw egzaminu

(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok

studiów, imi i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadz cej wiczenia), dat oraz sporz dzi poni sz tabelk .
Ponadto prosz ponumerowa , podpisa i spi

zszywaczem wszystkie pozostałe kartki pracy.

N3

1 2 3 4 5 6 Suma

Tre ci zada prosz nie przepisywa . Rozwi zanie zadania o numerze n nale y napisa na n-tej kartce pracy.

Na rozwi zanie zada przeznaczono 120 minut, za rozwi zanie ka dego zadania mo na otrzyma

od 0 do 5 punktów. W rozwi zaniach nale y dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa

wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wyci gane wnioski.

Ponadto prosz sporz dza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1.

Naszkicowa na płaszczy nie zespolonej wszystkie liczby

spełniaj ce oba

z

podane warunki

(

Re z )

2

+ (

Im z )

2

=

10, ( Re z )

4

− (

Im z )

4

=

80.

2.

Wyznaczy liczby rzeczywiste

wiedz c, e liczba

jest pierwiastkiem

a

, b

1 + 2i

wielomianu

.

W ( z ) = z

4

+

az

2

+

b

3.

Stosuj c wzór na macierz odwrotn obliczy

.

1 −2 3
3 1 4
2 5 1

−

1

4.

Dla jakich warto ci parametru

podany układ równa jest układem Cramera?

q

Rozwi za go w pozostałych przypadkach:

x +

4y − 2z = −q

3x + 5y − qz = 3
qx +

3qy + z = q

.

5.

Znale punkt

le cy na osi

, którego odległo ci od punktu

A

Oz

oraz od płaszczyzny

s jednakowe.

P = (

0, −1, 1 )

π

: x − 2y − 2z + 5 = 0

6.

Okre li wzajemne poło enie w przestrzeni prostych

,

.

l

1

:

x +

2y − 7z − 12 = 0

3x − y + 7z + 6 = 0

l

2

: 1 − x =

y −

2

4

=

z +

1

!!!

Egzamin trwa 90 minut.
Prosz

wybra

pi

zada

spo ród sze ciu

.

Algebra z geometri analityczn

Egzamin podstawowy, semestr zimowy 2004/2005

Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si egzamin, nazw egzaminu

(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok

studiów, imi i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadz cej wiczenia), dat oraz sporz dzi poni sz tabelk .
Ponadto prosz ponumerowa , podpisa i spi

zszywaczem wszystkie pozostałe kartki pracy.

N4

1 2 3 4 5 6 Suma

Tre ci zada prosz nie przepisywa . Rozwi zanie zadania o numerze n nale y napisa na n-tej kartce pracy.

Na rozwi zanie zada przeznaczono 120 minut, za rozwi zanie ka dego zadania mo na otrzyma

od 0 do 5 punktów. W rozwi zaniach nale y dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa

wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wyci gane wnioski.

Ponadto prosz sporz dza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1.

Przedstawi na płaszczy nie zespolonej wszystkie liczby

spełniaj ce oba

z

podane warunki

(

Re z )

2

− (

Im z )

2

=

5, ( Re z )

4

− (

Im z )

4

=

65.

2.

Znale rzeczywiste współczynniki

wielomianu

c

, d

V ( z ) = z

4

+

cz

2

+

d

wiedz c, e liczba

jest pierwiastkiem tego wielomianu.

3 − i

3.

Stosuj c wzór na macierz odwrotn obliczy

.

1 2 5
3 1 −2
4 3 1

−

1

4.

Dla jakich warto ci parametru

podany układ równa jest układem Cramera?

p

Rozwi za go w pozostałych przypadkach:

.

x − py −

3pz = 2

px +

3y + 5z = 2p

2x − y − 4z = 4p

5.

Na osi

znale punkt

równo oddalony od punktu

i od

Oy

B

Q = (

2, 0, 1 )

płaszczyzny

.

π

: 2x + y + 2z − 7 = 0

6.

W jaki sposób wzgl dem siebie poło one s proste

,

?

k

1

:

3 − x

2

=

y +

1 =

z −

1

3

k

2

: 2

x +

7y − z + 2 = 0

x −

7y + 3z + 13 = 0

!!!

Egzamin trwa 90 minut.
Prosz

wybra

pi

zada

spo ród sze ciu

.