Algebra z geometri analityczn

Egzamin poprawkowy, semestr zimowy 2004/2005

Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si egzamin, nazw egzaminu

(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok

studiów, imi i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadz cej wiczenia), dat oraz sporz dzi poni sz

tabelk . Ponadto prosz ponumerowa , podpisa i spi

zszywaczem wszystkie pozostałe kartki pracy.

B7

1 2 3 4 5 6 Suma

Tre ci zada prosz nie przepisywa . Rozwi zanie zadania o numerze n nale y napisa na n-tej kartce
pracy

. Na rozwi zanie zada przeznaczono 120 minut, za rozwi zanie ka dego zadania mo na otrzyma

od 0 do 5 punktów. W rozwi zaniach nale y dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa

wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wyci gane wnioski.

Ponadto prosz sporz dza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1.

Na płaszczy nie zespolonej naszkicowa zbiór

.

{

z ∈ C

: z z = 1 + ( 2 − i ) z + ( 2 + i ) z }

2.

Znale wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu

.

W ( x ) = x

4

+

1
2

(

x

3

+

x

2

+

x −

1 )

3.

Rozwi za równanie macierzowe

.

X

2

=

4 1
0 9

4.

Stosuj c operacje elementarne na wierszach podanego wyznacznika obni aj ce

jego stopie obliczy

.

1 1 −1 1 3
0 2 4 1 3
0 1 1 −1 2
0 −1 3 5 1
2 3 4 9 9

5.

Stosuj c wzory Cramera rozwi za układ równa

.

2x − y + 4z = 5

x +

3y − 2z = −2

3x + y + z = 0

6.

Znale obj to i pole powierzchni równoległo cianu rozpi tego na wektorach

.

→

a = (

2, −1, 1 ),

→

b = (

0, 3, 1 ),

→

c = (

1, 1, 0 )

!!!

Egzamin trwa 90 minut.
Prosz

wybra

pi

zada

spo ród sze ciu

.

Algebra z geometri analityczn

Egzamin poprawkowy, semestr zimowy 2004/2005

Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si egzamin, nazw egzaminu

(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok

studiów, imi i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadz cej wiczenia), dat oraz sporz dzi poni sz

tabelk . Ponadto prosz ponumerowa , podpisa i spi

zszywaczem wszystkie pozostałe kartki pracy.

B8

1 2 3 4 5 6 Suma

Tre ci zada prosz nie przepisywa . Rozwi zanie zadania o numerze n nale y napisa na n-tej kartce
pracy

. Na rozwi zanie zada przeznaczono 120 minut, za rozwi zanie ka dego zadania mo na otrzyma

od 0 do 5 punktów. W rozwi zaniach nale y dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn. formułowa

wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wyci gane wnioski.

Ponadto prosz sporz dza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1.

Na płaszczy nie zespolonej naszkicowa zbiór

.

{

z ∈ C

: ( 3 + i ) z + ( 3 − i ) z = z z − 1 }

2.

Znale wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu

.

W ( x ) = x

4

−

2

3

(

x

3

−

x

2

+

x ) −

1

3

3.

Rozwi za równanie macierzowe

.

Y

2

=

1 0
3 4

4.

Stosuj c operacje elementarne na wierszach podanego wyznacznika obni aj ce

jego stopie obliczy

.

1 1 −2 1 1
0 2 −3 4 5
3 4 −8 4 2
0 1 4 3 4
0 −1 5 6 8

5.

Rozwi za podany układ równa wykorzystuj c wzory Cramera

.

2x + y + 2z = 1
2x − 2y + 3z = 0

x −

3y + 4z = 3

6.

Obliczy pole powierzchni i obj to równoległo cianu rozpi tego na wektorach

.

→

u = (

0, 1, 2 ),

→

v = (

1, 0, 2 ),

→

w = (−

2, 1, −1 )

!!!

Egzamin trwa 90 minut.
Prosz

wybra

pi

zada

spo ród sze ciu

.

Algebra z geometri analityczn

Egzamin podstawowy, semestr zimowy 2004/2005

Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si egzamin, nazw egzaminu

(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,

rok studiów, imi i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadz cej wiczenia), dat oraz sporz dzi

po- ni sz tabelk . Ponadto prosz ponumerowa , podpisa i spi zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.

M7

1 2 3 4 5 6 Suma

Tre ci zada prosz nie przepisywa . Rozwi zanie zadania o numerze n nale y napisa na n-tej
kartce pracy

. Na rozwi zanie zada przeznaczono 120 minut, za rozwi zanie ka dego zadania mo na

otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwi zaniach nale y dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn.

formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia

wyci gane wnioski. Ponadto prosz sporz dza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1.

Wyznaczy pierwiastki stopnia

z liczby zespolonej

.

2

z =

21 + 20i

2.

Funkcj wymiern

rozło y na rzeczywiste na ułamki proste.

3x − 4

(

x

2

+

2 ) ( x

2

+

7 )

3.

Znale wzór ogólny na macierz

dla

i udowodni go metod

0 1
2 0

2n

n ∈ N

indukcji matematycznej.

4.

Rozwi za podany układ równa przekształcaj c odpowiednio jego macierz

rozszerzon

.

3x + y + z + t = 10

x

+

2z + 2t = 7

z + t =

2

2x + y − z − t = 3

5.

Wierzchołki czworo cianu

znajduj si w punktach

,

OPQR

O = (

0, 0, 0 )

. Obliczy pole trójk ta

,

P = (

1, −1, 0 ), Q = ( 1, 0, 1 ), R = ( 0, 1, −2 )

OSR

je eli

jest rodkiem odcinka

. Sporz dzi rysunek.

S

PQ

6.

Wskaza punkty, w których płaszczyzna

π

: ( x, y, z ) = ( 4, 1, 5 ) + s ( 1, 1, −3 ) + t ( 1, 2, −3 ), s, t ∈ R,

przecina o

oraz o

.

Ox

Oy

!!!

Egzamin trwa 90 minut.
Prosz

wybra

pi

zada

spo ród sze ciu

.

Algebra z geometri analityczn

Egzamin poprawkowy, semestr zimowy 2004/2005

Na pierwszej stronie pracy prosz napisa nazw kursu, z którego odbywa si egzamin, nazw egzaminu

(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,

rok studiów, imi i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadz cej wiczenia), dat oraz sporz dzi

po- ni sz tabelk . Ponadto prosz ponumerowa , podpisa i spi zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.

M8

1 2 3 4 5 6 Suma

Tre ci zada prosz nie przepisywa . Rozwi zanie zadania o numerze n nale y napisa na n-tej
kartce pracy

. Na rozwi zanie zada przeznaczono 120 minut, za rozwi zanie ka dego zadania mo na

otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwi zaniach nale y dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn.

formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia

wyci gane wnioski. Ponadto prosz sporz dza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1.

Znale pierwiastki stopnia

z liczby zespolonej

.

2

z = −

21 + 20i

2.

Funkcj wymiern

rozło y na rzeczywiste na ułamki proste.

1 − 2x

(

x

2

+

3 ) ( x

2

+

5 )

3.

Znale wzór ogólny na macierz

dla

i udowodni go metod

0 3
1 0

2n

n ∈ N

indukcji matematycznej.

4.

Rozwi za podany układ równa przekształcaj c odpowiednio jego macierz

rozszerzon

.

4x

+

z − t =

13

−

x + y − z + t = −

6

3x

+

z − t =

10

6x + y + z − t = 17

5.

Czworo cian

ma wierzchołki w punktach

,

ABCD

A = (

0, 0, 0 ), B = ( 0, 1, 1 )

Punkt

jest rodkiem boku

. Znale pole

C = (

1, 1, −1 ), D = ( 0, 1, 3 ).

E

BC

trójk ta

. Sporz dzi rysunek.

AED

6.

W jakich punktach osie

oraz

przecinaj płaszczyzn

Oy

Oz

?

π

: ( x, y, z ) = ( 2, 6, 2 ) + s ( 3, −2, 1 ) + t ( 2, −2, 1 ), s, t ∈ R

!!!

Egzamin trwa 90 minut.
Prosz

wybra

pi

zada

spo ród sze ciu

.