KOD
ZDAJÑCEGO
Miejsce na naklejk´ z kodem
LISTOPAD
ROK 2009
Za rozwiàzanie
wszystkich zadaƒ
mo˝na otrzymaç
∏àcznie 50 punktów.
PESEL ZDAJÑCEGO
Wpisuje zdajàcy przed rozpocz´ciem pracy
ARKUSZ PRÓBNEJ
MATURY Z OPERONEM
MATEMATYKA
POZIOM ROZSZERZONY
Czas pracy 180 minut
Instrukcja dla zdajàcego
1. Sprawdê, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13 stron (za-
dania 1–11). Ewentualny brak zg∏oÊ przewodniczàcemu
zespo∏u nadzorujàcego egzamin.
2. Rozwiàzania zadaƒ i odpowiedzi zamieÊç w miejscu na to
przeznaczonym.
3. W rozwiàzaniach zadaƒ przedstaw tok rozumowania pro-
wadzàcy do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie u˝ywaj korektora, a b∏´dne zapisy przekreÊl.
6. Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
7. Obok ka˝dego zadania podana jest maksymalna liczba
punktów, którà mo˝esz uzyskaç za jego poprawne rozwià-
zanie.
8. Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
˚yczymy powodzenia!
Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON.
Kopiowanie w ca∏oÊci lub we fragmentach bez zgody wydawcy zabronione. Wydawca zezwala na kopiowanie zadaƒ
przez dyrektorów szkó∏ bioràcych udzia∏ w programie Próbna Matura z OPERONEM.
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 1
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Zadanie 1. (4 pkt)
Rozwià˝ uk∏ad równaƒ:
x
y
x
y
3
3
2
=
+
=
+
(
.
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 2
3
Zadanie 2. (5 pkt)
OkreÊl, jakà liczbà – dodatnià czy ujemnà, jest sin
cos
x
x
+
, wiedzàc, ˝e
,
x
2
!
r r
b
l
i
sin
cos
tg
x
x
x
1
1
3
1
0
+
-
+
=
^
b
h
l
.
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 3
4
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Zadanie 3. (5 pkt)
Obrazem odcinka AB, gdzie
( ,
A
1 0
=
) i
,
B
2 1
= ^
h w jednok∏adnoÊci o skali >
k
1
i Êrodku P jest odcinek
CD
, gdzie
( , ),
( , ).
C
D
4 0
6 2
=
=
Zapisz równanie okr´gu o Êrodku w punkcie P i promieniu AB .
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 4
5
Zadanie 4. (4 pkt)
Wyka˝, ˝e dla >
a
1
i >
x
1
zachodzi nierównoÊç log
log
log
x
a
100
a
x
H
+
.
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 5
6
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Zadanie 5. (3 pkt)
Spiral´ tworzymy nast´pujàco: kreÊlimy pó∏okràg
o Êrednicy AB
r
2
=
i Êrodku O, do tego pó∏okr´gu
dorysowujemy pó∏okràg o Êrednicy OB i Êrodku C.
Nast´pnie kreÊlimy pó∏okràg o Êrednicy OC i Êrod-
ku D itd. Oblicz d∏ugoÊç spirali z∏o˝onej z dziesi´-
ciu tak otrzymanych pó∏okr´gów.
O
A
B
C
D
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 6
7
Zadanie 6. (5 pkt)
Wyka˝, ˝e suma odwrotnoÊci pierwiastków wielomianu ( )
W x
x
x
x
x
4
2
4
4
3
2
=
+
-
-
+
jest liczbà wy-
miernà.
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 7
8
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Zadanie 7. (4 pkt)
Punkty równoodleg∏e od prostej o równaniu y
2
1
= -
i punktu
,
P
0
2
1
=
b
l
nale˝à do wykresu funkcji f .
Znajdê wzór tej funkcji.
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 8
9
Zadanie 8. (4 pkt)
Boki trójkàta ABC sà równe , ,
a b c
. Oblicz d∏ugoÊç Êrodkowej poprowadzonej z wierzcho∏ka A do bo-
ku .
a
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 9
10
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Zadanie 9. (5 pkt)
Liczby naturalne parzyste od 2 do 100 zapisujemy kolejno jedna za drugà, tworzàc liczb´ naturalnà .
a
Czy liczba a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej? Wskazówka: zbadaj podzielnoÊç sumy cyfr.
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 10
11
Zadanie 10. (5 pkt)
OkreÊl, dla jakich wartoÊci parametru k równanie
(
)
, (
)
x
k
x
k
1
0 5
5
0
2
+
+
+
+
=
ma dwa ró˝ne pier-
wiastki dodatnie.
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 11
12
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Zadanie 11. (6 pkt)
Trapez o ramionach d∏ugoÊci 6 i 10 jest opisany na okr´gu. Odcinek ∏àczàcy Êrodki ramion trapezu dzie-
li trapez na dwie cz´Êci, których pola pozostajà w stosunku :
3 5
. Oblicz d∏ugoÊci podstaw trapezu.
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 12
13
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 13
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 14
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 15
LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 16