Pole skalarne i pole wektorowe  

Niech  P=(x,  y,  z)  należy  do  obszaru  V R

3

.  Jeżeli  każdemu  punktowi  P  przyporządkujemy 

liczbę f(x, y, z), to mówimy, że w obszarze V zostało określone pole skalarne. Jeżeli każdemu 
punktowi  P=(x,  y,  z)    należącemu  do  obszaru  V R

3

  przyporządkujemy  wektor  F(P),  to 

mówimy, że w obszarze V zostało określone pole wektorowe. 

 

 

 

Gradient  pola  skalarnego.  Niech  w  obszarze  V  dane  będzie  pole  skalarne,  tzn.  funkcja 
f(x, y, z). Zakładamy, że f jest klasy C

1

. Gradientem tego pola nazywamy wektor 

             

 

 

            

 

 

            

 

 

            

 

 

 

Dywergencja pola wektorowego. Niech w obszarze V dane będzie pole wektorowe F. 

Zakładamy, że F jest klasy C

1

. 

Dywergencją pola wektorowego F nazywamy pole skalarne określone wzorem 

        

 

 

             

 

 

             

 

 

          

Mówimy, że pole F jest bezźródłowe, gdy w danym obszarze V mamy div W = O. 

 

 

 

Rotacja pola wektorowego. Niech w obszarze V dane będzie pole wektorowe F. Zakładamy, 

że F jest klasy C

1

. 

Rotacją pola wektorowego F nazywamy pole wektorowe określone wzorem 

        

 

 

 

 

  

 

  

 

  

 

 

 

      

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 

   

Jeśli         , to pole nazywamy bezwirowym. 

 

 

 

Potencjał  pola  wektorowego.  Pole  wektorowe  F  nazywamy  polem  potencjalnym,  jeżeli 
istnieje takie pole skalarne f=f(x, y, z), dla którego 

          

 

 

 

Warunkiem  koniecznym  i  wystarczającym  istnienia  potencjału  f  pola  wektorowego  F  w 
obszarze jednospójnym V jest rot F = O. Wówczas potencjał pola F jest określony wzorem 

                           

 

 

 

       

 

         

 

 

 

       

 

   

 

      

 

 

 

    

Jeśli pole wektorowe F jest potencjalne, to całka krzywoliniowa skierowana jest równa przyrostowi 
potencjału 

                         

  

 

 

 

 

 

Twierdzenie  Greena.  Jeżeli  l  jest  krzywą  płaską  zamkniętą  zorientowaną  dodatnio  i 
ograniczającą obszar jednospójny D, przy czym w obszarze D dane są funkcje X(x, y) i Y(x, y) 
klasy C

1

 w obszarze D i na brzegu l, to 

                              

 

 

   

 

 

     

 

 

 

 

Wniosek 

   

 
 

           

 

 

 

 

 
Twierdzenie Greena-Gaussa-Ostrogradskiego. Jeżeli powierzchnia S ograniczająca obszar 
jednospójny V jest wypukła, wektor normalny N do powierzchni S jest skierowany na zewnątrz 
obszaru  V  oraz  współrzędne  X,  Y,  Z  wektora  F  są  klasy  C

1

  wraz  z  brzegiem  S,  to  strumień 

wektora  pola  W  =  [X,  Y,  Z]  przez  zamkniętą  powierzchnię  S  jest  równy  całce  potrójnej  z 
dywergencji wektora pola F rozciągniętej na obszar V