Pole skalarne i pole wektorowe

Niech P=(x, y, z) należy do obszaru V R

3

. Jeżeli każdemu punktowi P przyporządkujemy

liczbę f(x, y, z), to mówimy, że w obszarze V zostało określone pole skalarne. Jeżeli każdemu
punktowi P=(x, y, z) należącemu do obszaru V R

3

przyporządkujemy wektor F(P), to

mówimy, że w obszarze V zostało określone pole wektorowe.

Gradient pola skalarnego. Niech w obszarze V dane będzie pole skalarne, tzn. funkcja
f(x, y, z). Zakładamy, że f jest klasy C

1

. Gradientem tego pola nazywamy wektor

Dywergencja pola wektorowego. Niech w obszarze V dane będzie pole wektorowe F.

Zakładamy, że F jest klasy C

1

.

Dywergencją pola wektorowego F nazywamy pole skalarne określone wzorem

Mówimy, że pole F jest bezźródłowe, gdy w danym obszarze V mamy div W = O.

Rotacja pola wektorowego. Niech w obszarze V dane będzie pole wektorowe F. Zakładamy,

że F jest klasy C

1

.

Rotacją pola wektorowego F nazywamy pole wektorowe określone wzorem

Jeśli , to pole nazywamy bezwirowym.

Potencjał pola wektorowego. Pole wektorowe F nazywamy polem potencjalnym, jeżeli
istnieje takie pole skalarne f=f(x, y, z), dla którego

Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia potencjału f pola wektorowego F w
obszarze jednospójnym V jest rot F = O. Wówczas potencjał pola F jest określony wzorem

Jeśli pole wektorowe F jest potencjalne, to całka krzywoliniowa skierowana jest równa przyrostowi
potencjału

Twierdzenie Greena. Jeżeli l jest krzywą płaską zamkniętą zorientowaną dodatnio i
ograniczającą obszar jednospójny D, przy czym w obszarze D dane są funkcje X(x, y) i Y(x, y)
klasy C

1

w obszarze D i na brzegu l, to

Wniosek

Twierdzenie Greena-Gaussa-Ostrogradskiego. Jeżeli powierzchnia S ograniczająca obszar
jednospójny V jest wypukła, wektor normalny N do powierzchni S jest skierowany na zewnątrz
obszaru V oraz współrzędne X, Y, Z wektora F są klasy C

1

wraz z brzegiem S, to strumień

wektora pola W = [X, Y, Z] przez zamkniętą powierzchnię S jest równy całce potrójnej z
dywergencji wektora pola F rozciągniętej na obszar V