Iloczyn skalarny 

def. dla prostokątnej podstawy, gdy wektory tworzące mają wspólną miarę i długość. 

Iloczyn skalarny dwóch wektorów można wyrazić w zapisie:

• 
  - macierzowym                                              

• 
  - przy użyciu funkcji trygonometrycznej,
  - kąt zawarty między
  i
  

Własności iloczynu skalarnego:

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

Iloczyn wektorowy 

Iloczynem wektorowym dwóch wektorów
i
w układzie prawoskrętnym nazywamy taki wektor
, który ma następujące właściwości:

• wektor
  jest prostopadły do wektorów
  i
  . Jego zwrot jest taki, że trójka wektorów
  ,
  ,
  tworzy układ prawoskrętny

• długość wektora
  wynosi 
  ,
  - to kąt zawarty między
  i
  

W zapisie macierzowym wektor
wyraża się wzorem:

• 
  

Własności iloczynu wektorowego:

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

Iloczyn   Wektorowy

          DEF. Iloczynem wektorowym

wektora
 przy założeniu , że wektory a i b nie są kolinearne nazywamy wektor

                              

   Spełniający warunki

 

1.Długość wektora
 jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach
 i
 , czyli

 

                   

 

2.Wektor c jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory
 i  
 ,tj. 
   oraz

 

 

 

3.Zwrot wektora
 jest taki ,aby uporządkowana trójka wektorów 
  miała orientacje  zgodną z przyjętą orięntacją przestrzeni.

 

Jeżeli wektory  
  i
 są kolinearne , to przyjmujemy  

 

                       Własności iloczynu wektorowego

    * 

 

    *

 

    *

 

Twierdzenie Własności iloczynu wektorowego:

1) a × b= - b × a

2) (ka )× b= k (a × b)

3) a ×( b + c )= a × b + a × c

4) a × a= 0

Iloczyn skalarny ma następujące własności

-         przemienność (1.41)

-         łączność (1.42)

-         rozdzielność względem dodawania (1.43)

                                                                                                                         (1.41)

                                                                                                       (1.42)

                                                                                                                   (1.43)

Korzystając z powyższych własności i zależności, można obliczyć iloczyn skalarny, gdy znane są składowe obu wektorów wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych

                                      (1.44)

Iloczyn wektorowy ma następujące własności:

-         łączność (1.47)

-         rozdzielność (1.48)

                                                                                        (1.47)

     

      

          Iloczyn skalarny wektorów

Dwa niezerowe wektory
i
zaczepione we wspólnym początku wyznaczają na płaszczyźnie dwa kąty uzupełniające się do kąta pełnego. Ten z nich, który jest wypukły, nazywamy kątem między wektorami
i
. W dalszym ciągu długość wektora
oznaczać przez a. Będziemy rozważać cosinus kąta między wektorami. Cosinus kąta między wektorami
i
oznaczamy symbolem cos
(
,
). Przyjmiemy następujące określenie.

Definicja:
Iloczynem skalarnym wektorów niezerowych
i
nazywamy liczbę
a· b · cos
(
,
) (a i b są odpowiednio długościami danych wektorów). Iloczynem skalarnym wektora zerowego i dowolnego wektora jest 0. Iloczyn skalarny wektorów
i
oznaczamy symbolem


.

Własności:

1.


=


(mnożenie skalarne jest przemienne)
2. (k·
)

= k· (


) ( mnożenie skalarne jest łączne z mnożeniem wektora przez liczbę)
3. (
+
)

=


+


(mnożenie skalarne jest rozdzielne względem dodawania wektorów)
Bezpośrednią konsekwencją własności 3 i 1 są następujące własności:
4. (
+
)²=
² + 2


+
²
5. (
-
)²=
² - 2


+
²
6. (
+
)
(
-
) =
² -
²

Jeżeli
=[a ₁, a₂],
=[b₁, b₂],
to


= a₁b₁ + a₂b₂

Dwa wektory
= [u₁, u₂] i
= [v₁, v₂] są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

u₁v₁ + u₂v₂ = 0

Iloczyn wektorowy

Poznaliśmy wcześniej iloczyn skalarny dwóch wektorów. Była to operacja wykonana na dwóch wektorach, której rezultatem był skalar, to znaczy pojęcie nie związane z kierunkiem i określone przez jedną liczbę. Poznamy teraz operację na dwóch wektorach, której rezultatem będzie pewien nowy wektor.

Definicja:
Iloczynem wektorowym wektora niezerowego
przez wektor niezerowy
nazywamy trzeci wektor
oznaczony przez
=
×
;
określony następująco:

1. wektor
   jest prostopadły do obu wektorów
   i
   i jego zwrot obieramy tak, aby dla obserwatora, patrzącego w jego kierunku, obrót od wektora
   do wektora
   o kąt
   mniejszy od
   odbywał się w umówionym kierunku przyjęto zgodnie z obrotem wskazówek zegara.

2. zachodzi równość
   =
   ·
   · sin
   , gdzie
   =
   (
   ,
   )

Własności:
1. Dla każdej liczby rzeczywistej m zachodzi równość:
(m ·
) ×
=
× (m ·
) = m (
×
)
2. Zachodzi rozdzielność iloczynu wektorowego z dodawaniem:

× (
+
) =
×
+
×

(
+
) ×
=
×
+
×

Jeżeli wektory
i
są równoległe, bądź jeden jest zerowy, to ich iloczyn wektorowy określamy jako wektor zerowy.

---