Iloczyn skalarny

1.

Iloczynem skalarnym ~u · ~v, dwóch wektorów ~u, ~v nazywamy nazywamy iloczyn

dªugo±ci tych wektów przez cosinus k¡ta zawartego mi¦dzy nimi. Czyli

~

u

· ~v = |~u| |~v| cos ] (~u, ~v) .

2.

Je±li mno»one wektory s¡ równolegªe, to ~u · ~v = ± |~u| |~v|.

3.

K¡t mi¦dzy niezerowymi wektorami mo»na obliczy¢ wedªug wzoru

cos ] (~u, ~v) =

~

u

· ~v

|~u| |~v|

.

Iloczyn skalarny podlega prawom:

1.

prawu przemienno±ci

~

u

· ~v = ~v · ~u,

2.

Prawu rozdzielno±ci wzgl¦dem dodawania:

~

w

· (~u + ~v) = ~

w

· ~u + ~

w

· ~v,

3.

Prawu ª¡czno±ci wzgl¦dem czynnika liczbowego

a (~

u

· ~v) = (a~u) · ~v = ~u · (a~v) , a ∈ R.

4.

Na ogóª

~

w

· (~u · ~v) 6= ( ~

w

· ~u) · ~v.

5.

Wektory ~u oraz ~v s¡ prostopadªe, je±li ~u · ~v = 0.

6.

Je±li wektor ~u = [x

1

, ..., x

n

]

, ~v = [y

1

, .., y

n

]

, to iloczyn skalarny

~

u

· ~v = x

1

y

1

+ ... + x

2

y

2

.

1

Przykªad. Znale¹¢ warto±¢ liczbow¡ skalara 3 |~v| − 2~v · ~w + 4~w

2

, gdy |~v| =

1
3

,

| ~

w

| = 6, ] (~v, ~

w) = 60

0

.

Iloczyn wektorowy
Obok mno»enia wektorów daj¡cego w wyniku liczb¦, czyli skalar, rozwa»amy jeszcze

jeden typ mno»enia wektorowego w wyniku którego, otrzymujemy wektor.

Iloczynem wektorowym, dwóch wektorów ~u i ~v nazywamy wektor ~w maj¡cy nast¦pu-

j¡ce wªasno±ci:

1.

Dªugo±¢ wektora ~w jest równa polu równolegªoboku zbudowanego na wektorach
~

u

i ~v, czyli

| ~

w

| = |~u| |~v| sin ] (~u, ~v) .

2.

Wektor ~w jest prostopadªy do pªaszczyzny tego równolegªoboku, jest wi¦c prostopadªy

do wektora ~u i wektora ~v. Zatem ~w · ~u = 0 i ~w · ~v = 0.

3.

Wektory ~u, ~v, ~w wzi¦te we wskazanym porz¡dku tworz¡ ukªad prawoskr¦tny.

Iloczyn wektorowy wektorów ~u i ~v oznaczamy symbolem ~u × ~v.
Iloczyn wektorowy:

1.

Nie podlega prawu przemienno±ci. Jest antysymetryczny, tzn.

~

u

× ~v = −~v × ~u,

2.

Jest rozdzielny wzgl¦dem sumy wektorów:

~

u

× (~v

1

+ ~

v

2

) = ~

u

× ~v

1

+ ~

u

× ~v

2

,

3.

Podlega prawu ª¡czno±ci wzgl¦dem czynnika liczbowego

a (~

u

× ~v) = (a~u) × ~v = ~u × (a~v) , a ∈ R.

Je±li iloczyn wektorowy dwóch wektorów ~u × ~v pomno»ymy skalarnie przez trzeci

wektor ~w, to otrzymamy tak zwany iloczyn mieszany (~u × ~v) · ~w.

Iloczyn mieszany ma prosty sens geometryczny, a mianowicie warto±¢ bezwzgl¦dna

iloczynu mieszanego jest równa obj¦to±ci rownolegªo±cianu zbudowanego na wektorach

~

u

, ~v, ~w.

Iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy zeru wtedy i tylko wtedy gdy istniej¡

reprezentanty tych wektorów, które daj¡ si¦ umie±ci¢ na jednej pªaszczy¹nie.

Iloczyn mieszany ma t¦ wªasno±¢, »e nie zmienia si¦ przy cyklicznym przestawieniu

czynników:

(~

u

× ~v) · ~

w = (~

v

× ~

w)

· ~u = ( ~

w

× ~u) · ~v.

2