Treść wykładu
Iloczyn skalarny.
Bazy ortogonalne.
Macierze ortogonalne.
Iloczyn skalarny: definicja
Definicja
W przestrzeni rzeczywistej V określony jest
iloczyn skalarny
,
jeśli każdej parze wektorów v, w ∈ V przyporządkowana jest
liczba rzeczywista, oznaczona przez hv, wi, przy czym
przyporządkowanie to ma następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ R (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny: definicja
Definicja
W przestrzeni rzeczywistej V określony jest
iloczyn skalarny
,
jeśli każdej parze wektorów v, w ∈ V przyporządkowana jest
liczba rzeczywista, oznaczona przez hv, wi, przy czym
przyporządkowanie to ma następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ R (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny: definicja
Definicja
W przestrzeni rzeczywistej V określony jest
iloczyn skalarny
,
jeśli każdej parze wektorów v, w ∈ V przyporządkowana jest
liczba rzeczywista, oznaczona przez hv, wi, przy czym
przyporządkowanie to ma następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ R (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny: definicja
Definicja
W przestrzeni rzeczywistej V określony jest
iloczyn skalarny
,
jeśli każdej parze wektorów v, w ∈ V przyporządkowana jest
liczba rzeczywista, oznaczona przez hv, wi, przy czym
przyporządkowanie to ma następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ R (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny: definicja
Definicja
W przestrzeni rzeczywistej V określony jest
iloczyn skalarny
,
jeśli każdej parze wektorów v, w ∈ V przyporządkowana jest
liczba rzeczywista, oznaczona przez hv, wi, przy czym
przyporządkowanie to ma następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ R (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny: definicja
Wprawdzie zakładamy tylko addytywność i jednorodność ze
względu na pierwszą zmienną, ale aksjomat 1 pozwala
wywnioskować to samo dla drugiej zmiennej.
Przestrzeń, w której jest określony iloczyn skalarny nazywamy
przestrzenią euklidesową
.
Iloczyn skalarny: definicja
Wprawdzie zakładamy tylko addytywność i jednorodność ze
względu na pierwszą zmienną, ale aksjomat 1 pozwala
wywnioskować to samo dla drugiej zmiennej.
Przestrzeń, w której jest określony iloczyn skalarny nazywamy
przestrzenią euklidesową
.
Iloczyn skalarny: przykłady
1. Odwzorowanie h·, ·i : R
3
× R
3
→ R określone wzorem:
hv, wi = α
1
β
1
+α
2
β
2
+α
3
β
3
,
gdzie v = (α
1
, α
2
, α
3
), w = (β
1
, β
2
, β
3
)
jest iloczynem skalarnym w R
3
. Jest to zwykły, znany z kursu
geometrii, iloczyn skalarny.
Zamiast hv, wi = h(α
1
, α
2
, α
3
), (β
1
, β
2
, β
3
)i można w tym
przypadku pisać (α
1
, α
2
, α
3
) · (β
1
, β
2
, β
3
).
Iloczyn skalarny: przykłady
1. Odwzorowanie h·, ·i : R
3
× R
3
→ R określone wzorem:
hv, wi = α
1
β
1
+α
2
β
2
+α
3
β
3
,
gdzie v = (α
1
, α
2
, α
3
), w = (β
1
, β
2
, β
3
)
jest iloczynem skalarnym w R
3
. Jest to zwykły, znany z kursu
geometrii, iloczyn skalarny.
Zamiast hv, wi = h(α
1
, α
2
, α
3
), (β
1
, β
2
, β
3
)i można w tym
przypadku pisać (α
1
, α
2
, α
3
) · (β
1
, β
2
, β
3
).
Iloczyn skalarny: przykłady
2. Ogólniej, wzór:
hv, wi = α
1
β
1
+ α
2
β
2
+ · · · α
n
β
n
=
n
X
i =1
α
i
β
i
dla v = (α
1
, α
2
, · · · α
n
), w = (β
1
, β
2
, · · · β
n
) określa iloczyn
skalarny w R
n
.
Iloczyn skalarny: przykłady
3. W przestrzeni funkcji ciągłych C (a, b) iloczyn skalarny można
wprowadzić wzorem:
hf , g i =
Z
b
a
f (x )g (x ) dx .
Np. w przestrzeni C (0, 2π):
hcos x, sin xi =
Z
2π
0
cos x sin x dx = 0,
hcos x, cos xi =
Z
2π
0
cos
2
x dx = π.
Iloczyn skalarny: przykłady
3. W przestrzeni funkcji ciągłych C (a, b) iloczyn skalarny można
wprowadzić wzorem:
hf , g i =
Z
b
a
f (x )g (x ) dx .
Np. w przestrzeni C (0, 2π):
hcos x, sin xi =
Z
2π
0
cos x sin x dx = 0,
hcos x, cos xi =
Z
2π
0
cos
2
x dx = π.
Iloczyn skalarny: przykłady
3. W przestrzeni funkcji ciągłych C (a, b) iloczyn skalarny można
wprowadzić wzorem:
hf , g i =
Z
b
a
f (x )g (x ) dx .
Np. w przestrzeni C (0, 2π):
hcos x, sin xi =
Z
2π
0
cos x sin x dx = 0,
hcos x, cos xi =
Z
2π
0
cos
2
x dx = π.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Definicja
W przestrzeni zespolonej V iloczyn skalarny to funkcja
V × V → C której wartość na parze wektorów (v, w) oznaczymy
przez hv, wi, przy czym spełnione są następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (skośna symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ C (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Definicja
W przestrzeni zespolonej V iloczyn skalarny to funkcja
V × V → C której wartość na parze wektorów (v, w) oznaczymy
przez hv, wi, przy czym spełnione są następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (skośna symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ C (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Definicja
W przestrzeni zespolonej V iloczyn skalarny to funkcja
V × V → C której wartość na parze wektorów (v, w) oznaczymy
przez hv, wi, przy czym spełnione są następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (skośna symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ C (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Definicja
W przestrzeni zespolonej V iloczyn skalarny to funkcja
V × V → C której wartość na parze wektorów (v, w) oznaczymy
przez hv, wi, przy czym spełnione są następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (skośna symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ C (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Definicja
W przestrzeni zespolonej V iloczyn skalarny to funkcja
V × V → C której wartość na parze wektorów (v, w) oznaczymy
przez hv, wi, przy czym spełnione są następujące własności:
1
hv, wi = hw, vi (skośna symetria),
2
hαv, wi = αhv, wi dla α ∈ C (jednorodność),
3
hv
1
+ v
2
, wi = hv
1
, wi + hv
2
, wi (addytywność),
4
dla dowolnego v ∈ V jest hv, vi 0, przy czym hv, vi = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną.
Mamy
bowiem
hv, βwi = hβw, vi = βhw, vi = ¯
β · hw, vi = ¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną. Mamy
bowiem
hv, βwi =
hβw, vi = βhw, vi = ¯
β · hw, vi = ¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną. Mamy
bowiem
hv, βwi = hβw, vi =
βhw, vi = ¯
β · hw, vi = ¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną. Mamy
bowiem
hv, βwi = hβw, vi = βhw, vi =
¯
β · hw, vi = ¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną. Mamy
bowiem
hv, βwi = hβw, vi = βhw, vi = ¯
β · hw, vi =
¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną. Mamy
bowiem
hv, βwi = hβw, vi = βhw, vi = ¯
β · hw, vi = ¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny (a
więc nie jest także liniowy) ze względu na drugą zmienną. Mamy
bowiem
hv, βwi = hβw, vi = βhw, vi = ¯
β · hw, vi = ¯
βhv, wi.
Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn skalarny,
nazywamy
przestrzenią unitarną
.
Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej
Wzór:
hv, wi = α
1
β
1
+ α
2
β
2
+ · · · α
n
β
n
=
n
X
i =1
α
i
β
i
dla v = (α
1
, α
2
, · · · α
n
), w = (β
1
, β
2
, · · · β
n
) określa iloczyn
skalarny w C
n
.
Długość wektora
Wiadomo, że na płaszczyźnie, tj. w R
2
długość wektora v = (α, β)
się wzorem:
kvk =
q
α
2
+ β
2
Ale hv, vi = α
2
+ β
2
, więc inaczej:
kvk =
q
hv, vi
Norma wektora. Wektory ortogonalne.
Definicja
Niech V będzie przestrzenią euklidesową lub unitarną.
Normę
(długość) wektora
określamy wzorem
k v k=
q
hv, vi.
Wektory v, w nazywamy
ortogonalnymi (prostopadłymi)
gdy
hv, wi = 0.
Piszemy: v ⊥ w.
Norma wektora. Wektory ortogonalne.
Definicja
Niech V będzie przestrzenią euklidesową lub unitarną.
Normę
(długość) wektora
określamy wzorem
k v k=
q
hv, vi.
Wektory v, w nazywamy
ortogonalnymi (prostopadłymi)
gdy
hv, wi = 0.
Piszemy: v ⊥ w.
Własności normy
Twierdzenie
Dla dowolnego skalara α i dowolnych wektorów v, w mamy:
1
kαvk = |α|kvk,
2
kvk > 0 dla v 6= 0,
3
|hv, wi| ¬ kvk · kwk (nierówność Schwarza)
4
kv + wk ¬ kvk + kwk (nierówność trójkąta).
Własności normy
Twierdzenie
Dla dowolnego skalara α i dowolnych wektorów v, w mamy:
1
kαvk = |α|kvk,
2
kvk > 0 dla v 6= 0,
3
|hv, wi| ¬ kvk · kwk (nierówność Schwarza)
4
kv + wk ¬ kvk + kwk (nierówność trójkąta).
Własności normy
Twierdzenie
Dla dowolnego skalara α i dowolnych wektorów v, w mamy:
1
kαvk = |α|kvk,
2
kvk > 0 dla v 6= 0,
3
|hv, wi| ¬ kvk · kwk (nierówność Schwarza)
4
kv + wk ¬ kvk + kwk (nierówność trójkąta).
Własności normy
Twierdzenie
Dla dowolnego skalara α i dowolnych wektorów v, w mamy:
1
kαvk = |α|kvk,
2
kvk > 0 dla v 6= 0,
3
|hv, wi| ¬ kvk · kwk (nierówność Schwarza)
4
kv + wk ¬ kvk + kwk (nierówność trójkąta).
Dowód nierówności Schwarza
Jeśli w = 0, to nierówność jest prawdziwa. Załóżmy więc, że
w 6= 0.
Dla dowolnego z ∈ C mamy
hv − zw, v − zwi 0,
czyli
hv, vi − ¯
zhv, wi − zhw, vi + z ¯
zhw, wi 0.
Przyjmijmy z =
hv,wi
hw,wi
.
Dowód nierówności Schwarza
Jeśli w = 0, to nierówność jest prawdziwa. Załóżmy więc, że
w 6= 0. Dla dowolnego z ∈ C mamy
hv − zw, v − zwi 0,
czyli
hv, vi − ¯
zhv, wi − zhw, vi + z ¯
zhw, wi 0.
Przyjmijmy z =
hv,wi
hw,wi
.
Dowód nierówności Schwarza
Jeśli w = 0, to nierówność jest prawdziwa. Załóżmy więc, że
w 6= 0. Dla dowolnego z ∈ C mamy
hv − zw, v − zwi 0,
czyli
hv, vi − ¯
zhv, wi − zhw, vi + z ¯
zhw, wi 0.
Przyjmijmy z =
hv,wi
hw,wi
.
Dowód nierówności Schwarza
Jeśli w = 0, to nierówność jest prawdziwa. Załóżmy więc, że
w 6= 0. Dla dowolnego z ∈ C mamy
hv − zw, v − zwi 0,
czyli
hv, vi − ¯
zhv, wi − zhw, vi + z ¯
zhw, wi 0.
Przyjmijmy z =
hv,wi
hw,wi
.
Dowód nierówności Schwarza
hv, vi −
hv, wi
hw, wi
hv, wi −
hv, wi
hw, wi
hw, vi +
hv, wi
hw, wi
hv, wi
hw, wi
hw, wi 0,
czyli
kvk
2
−
|hv, wi|
2
kwk
2
0,
więc |hv, wi| ¬ kvk · kwk.
Dowód nierówności Schwarza
hv, vi −
hv, wi
hw, wi
hv, wi −
hv, wi
hw, wi
hw, vi +
hv, wi
hw, wi
hv, wi
hw, wi
hw, wi 0,
czyli
kvk
2
−
|hv, wi|
2
kwk
2
0,
więc |hv, wi| ¬ kvk · kwk.
Dowód nierówności Schwarza
hv, vi −
hv, wi
hw, wi
hv, wi −
hv, wi
hw, wi
hw, vi +
hv, wi
hw, wi
hv, wi
hw, wi
hw, wi 0,
czyli
kvk
2
−
|hv, wi|
2
kwk
2
0,
więc |hv, wi| ¬ kvk · kwk.
Dowód nierówności trójkąta
kv + wk
2
= hv + w, v + wi
= kvk
2
+ 2re hv, wi + kwk
2
,
ale
2re hv, wi ¬ 2|hv, wi| ¬ 2kvk · kwk.
Stąd kv + wk
2
¬ (kvk + kwk)
2
.
Dowód nierówności trójkąta
kv + wk
2
= hv + w, v + wi = kvk
2
+ 2re hv, wi + kwk
2
,
ale
2re hv, wi ¬ 2|hv, wi| ¬ 2kvk · kwk.
Stąd kv + wk
2
¬ (kvk + kwk)
2
.
Dowód nierówności trójkąta
kv + wk
2
= hv + w, v + wi = kvk
2
+ 2re hv, wi + kwk
2
,
ale
2re hv, wi ¬ 2|hv, wi| ¬ 2kvk · kwk.
Stąd kv + wk
2
¬ (kvk + kwk)
2
.
Dowód nierówności trójkąta
kv + wk
2
= hv + w, v + wi = kvk
2
+ 2re hv, wi + kwk
2
,
ale
2re hv, wi ¬ 2|hv, wi| ¬ 2kvk · kwk.
Stąd kv + wk
2
¬ (kvk + kwk)
2
.
Ortogonalny zbiór wektorów
Definicja
Dwa wektory v i w nazywają się
ortogonalnymi
, gdy
hv, wi = 0.
Zbiór {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} nazywa się
ortogonalnym
zbiorem wektorów
, gdy:
1
wszystkie wektory v
i
, i = 1, 2, . . . , n są niezerowe,
2
hv
i
, v
j
i = 0 dla i 6= j.
Ortogonalny zbiór wektorów, w którym wszystkie wektory mają
długość jeden, nazywa się zbiorem
ortonormalnym
.
Ortogonalny zbiór wektorów
Definicja
Dwa wektory v i w nazywają się
ortogonalnymi
, gdy
hv, wi = 0. Zbiór {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} nazywa się
ortogonalnym
zbiorem wektorów
, gdy:
1
wszystkie wektory v
i
, i = 1, 2, . . . , n są niezerowe,
2
hv
i
, v
j
i = 0 dla i 6= j.
Ortogonalny zbiór wektorów, w którym wszystkie wektory mają
długość jeden, nazywa się zbiorem
ortonormalnym
.
Ortogonalny zbiór wektorów
Definicja
Dwa wektory v i w nazywają się
ortogonalnymi
, gdy
hv, wi = 0. Zbiór {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} nazywa się
ortogonalnym
zbiorem wektorów
, gdy:
1
wszystkie wektory v
i
, i = 1, 2, . . . , n są niezerowe,
2
hv
i
, v
j
i = 0 dla i 6= j.
Ortogonalny zbiór wektorów, w którym wszystkie wektory mają
długość jeden, nazywa się zbiorem
ortonormalnym
.
Ortogonalny zbiór wektorów
Definicja
Dwa wektory v i w nazywają się
ortogonalnymi
, gdy
hv, wi = 0. Zbiór {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} nazywa się
ortogonalnym
zbiorem wektorów
, gdy:
1
wszystkie wektory v
i
, i = 1, 2, . . . , n są niezerowe,
2
hv
i
, v
j
i = 0 dla i 6= j.
Ortogonalny zbiór wektorów, w którym wszystkie wektory mają
długość jeden, nazywa się zbiorem
ortonormalnym
.
Ortogonalny zbiór wektorów
Wykazać, że w R
4
zbiór wektorów (2, −1, 4, 5), (0, −1, 1, −1),
(0, 3, 2, −1) jest ortogonalny.
Jak zwykle, gdy iloczyn nie jest wyraźnie określony, przyjmujemy,
że chodzi o standardowy iloczyn skalarny. Obliczamy iloczyny:
(2, −1, 4, 5) · (0, −1, 1, −1) = 2 · 0 + (−1) · (−1) + 4 · 1 + 5 · (−1) = 0,
(2, −1, 4, 5) · (0, 3, 2, −1) = 2 · 0 + (−1) · 3 + 4 · 2 + 5 · (−1) = 0,
(0, −1, 1, −1) · (0, 3, 2, −1) = 0 · 0 + (−1) · 3 + 1 · 2 + (−1) · (−1) = 0.
Ortogonalny zbiór wektorów
Wykazać, że w R
4
zbiór wektorów (2, −1, 4, 5), (0, −1, 1, −1),
(0, 3, 2, −1) jest ortogonalny.
Jak zwykle, gdy iloczyn nie jest wyraźnie określony, przyjmujemy,
że chodzi o standardowy iloczyn skalarny. Obliczamy iloczyny:
(2, −1, 4, 5) · (0, −1, 1, −1) = 2 · 0 + (−1) · (−1) + 4 · 1 + 5 · (−1) = 0,
(2, −1, 4, 5) · (0, 3, 2, −1) = 2 · 0 + (−1) · 3 + 4 · 2 + 5 · (−1) = 0,
(0, −1, 1, −1) · (0, 3, 2, −1) = 0 · 0 + (−1) · 3 + 1 · 2 + (−1) · (−1) = 0.
Ortogonalny zbiór wektorów
Wykazać, że w R
4
zbiór wektorów (2, −1, 4, 5), (0, −1, 1, −1),
(0, 3, 2, −1) jest ortogonalny.
Jak zwykle, gdy iloczyn nie jest wyraźnie określony, przyjmujemy,
że chodzi o standardowy iloczyn skalarny. Obliczamy iloczyny:
(2, −1, 4, 5) · (0, −1, 1, −1) = 2 · 0 + (−1) · (−1) + 4 · 1 + 5 · (−1) = 0,
(2, −1, 4, 5) · (0, 3, 2, −1) = 2 · 0 + (−1) · 3 + 4 · 2 + 5 · (−1) = 0,
(0, −1, 1, −1) · (0, 3, 2, −1) = 0 · 0 + (−1) · 3 + 1 · 2 + (−1) · (−1) = 0.
Ortogonalny zbiór wektorów
Wykazać, że w R
4
zbiór wektorów (2, −1, 4, 5), (0, −1, 1, −1),
(0, 3, 2, −1) jest ortogonalny.
Jak zwykle, gdy iloczyn nie jest wyraźnie określony, przyjmujemy,
że chodzi o standardowy iloczyn skalarny. Obliczamy iloczyny:
(2, −1, 4, 5) · (0, −1, 1, −1) = 2 · 0 + (−1) · (−1) + 4 · 1 + 5 · (−1) = 0,
(2, −1, 4, 5) · (0, 3, 2, −1) = 2 · 0 + (−1) · 3 + 4 · 2 + 5 · (−1) = 0,
(0, −1, 1, −1) · (0, 3, 2, −1) = 0 · 0 + (−1) · 3 + 1 · 2 + (−1) · (−1) = 0.
Ortogonalny zbiór wektorów
Twierdzenie
Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalnym zbiorem wektorów.
Wtedy
1
zbiór {λ
1
v
1
, λ
2
v
2
, . . . , λ
n
v
n
} jest także ortogonalny dla
dowolnych skalarów λ
i
6= 0,
2
zbiór {
1
kv
1
k
v
1
,
1
kv
2
k
v
2
, . . . ,
1
kv
n
k
v
n
} jest ortonormalny.
Ortogonalność a liniowa niezależność
Twierdzenie
Każdy ortogonalny zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
D o w ó d. Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalny i przypuśćmy,
że
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
= 0.
Obliczamy iloczyn skalarny wektorów v, v
1
:
0
=
h0, v
1
i = hλ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
, v
1
i =
=
λ
1
hv
1
, v
1
i + λ
2
hv
2
, v
1
i + · · · + λ
n
hv
n
, v
1
i =
=
λ
1
kv
1
k
2
+ 0 + · · · + 0 = λ
1
kv
1
k
2
.
Stąd λ
1
= 0 i podobnie λ
2
= λ
3
= . . . = λ
n
= 0.
Ortogonalność a liniowa niezależność
Twierdzenie
Każdy ortogonalny zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
D o w ó d. Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalny i przypuśćmy,
że
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
= 0.
Obliczamy iloczyn skalarny wektorów v, v
1
:
0
=
h0, v
1
i = hλ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
, v
1
i =
=
λ
1
hv
1
, v
1
i + λ
2
hv
2
, v
1
i + · · · + λ
n
hv
n
, v
1
i =
=
λ
1
kv
1
k
2
+ 0 + · · · + 0 = λ
1
kv
1
k
2
.
Stąd λ
1
= 0 i podobnie λ
2
= λ
3
= . . . = λ
n
= 0.
Ortogonalność a liniowa niezależność
Twierdzenie
Każdy ortogonalny zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
D o w ó d. Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalny i przypuśćmy,
że
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
= 0.
Obliczamy iloczyn skalarny wektorów v, v
1
:
0
=
h0, v
1
i = hλ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
, v
1
i =
=
λ
1
hv
1
, v
1
i + λ
2
hv
2
, v
1
i + · · · + λ
n
hv
n
, v
1
i =
=
λ
1
kv
1
k
2
+ 0 + · · · + 0 = λ
1
kv
1
k
2
.
Stąd λ
1
= 0 i podobnie λ
2
= λ
3
= . . . = λ
n
= 0.
Ortogonalność a liniowa niezależność
Twierdzenie
Każdy ortogonalny zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
D o w ó d. Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalny i przypuśćmy,
że
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
= 0.
Obliczamy iloczyn skalarny wektorów v, v
1
:
0
=
h0, v
1
i = hλ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
, v
1
i =
=
λ
1
hv
1
, v
1
i + λ
2
hv
2
, v
1
i + · · · + λ
n
hv
n
, v
1
i =
=
λ
1
kv
1
k
2
+ 0 + · · · + 0 = λ
1
kv
1
k
2
.
Stąd λ
1
= 0 i podobnie λ
2
= λ
3
= . . . = λ
n
= 0.
Ortogonalność a liniowa niezależność
Twierdzenie
Każdy ortogonalny zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
D o w ó d. Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalny i przypuśćmy,
że
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
= 0.
Obliczamy iloczyn skalarny wektorów v, v
1
:
0
=
h0, v
1
i = hλ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
, v
1
i =
=
λ
1
hv
1
, v
1
i + λ
2
hv
2
, v
1
i + · · · + λ
n
hv
n
, v
1
i =
=
λ
1
kv
1
k
2
+ 0 + · · · + 0 = λ
1
kv
1
k
2
.
Stąd λ
1
= 0 i podobnie λ
2
= λ
3
= . . . = λ
n
= 0.
Ortogonalność a liniowa niezależność
Twierdzenie
Każdy ortogonalny zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
D o w ó d. Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie ortogonalny i przypuśćmy,
że
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
= 0.
Obliczamy iloczyn skalarny wektorów v, v
1
:
0
=
h0, v
1
i = hλ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
, v
1
i =
=
λ
1
hv
1
, v
1
i + λ
2
hv
2
, v
1
i + · · · + λ
n
hv
n
, v
1
i =
=
λ
1
kv
1
k
2
+ 0 + · · · + 0 = λ
1
kv
1
k
2
.
Stąd λ
1
= 0 i podobnie λ
2
= λ
3
= . . . = λ
n
= 0.
Baza ortogonalna
Definicja
Bazę przestrzeni V składającą się z wektorów ortogonalnych
nazywamy
bazą ortogonalną
.
Współrzędne w bazie ortogonalnej
Twierdzenie (o rozwinięciu)
Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie bazą ortogonalną przestrzeni V z
iloczynem skalarnym h·, ·i. Jeśli v jest dowolnym wektorem
przestrzeni V , to:
v =
hv, v
1
i
kv
1
k
2
v
1
+
hv, v
2
i
kv
2
k
2
v
2
+ · · · +
hv, v
n
i
kv
n
k
2
v
n
jest przedstawieniem v jako kombinacji liniowej wektorów bazy.
Współrzędne w bazie ortogonalnej
Twierdzenie (o rozwinięciu)
Niech {v
1
, v
2
, . . . , v
n
} będzie bazą ortogonalną przestrzeni V z
iloczynem skalarnym h·, ·i. Jeśli v jest dowolnym wektorem
przestrzeni V , to:
v =
hv, v
1
i
kv
1
k
2
v
1
+
hv, v
2
i
kv
2
k
2
v
2
+ · · · +
hv, v
n
i
kv
n
k
2
v
n
jest przedstawieniem v jako kombinacji liniowej wektorów bazy.
Współrzędne w bazie ortogonalnej
D o w ó d. Wektory v
i
stanowią bazę, więc
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
dla pewnych skalarów λ
i
.
Wtedy
hv, v
i
i = λ
i
kv
i
k
2
, więc λ
i
=
hv,v
i
i
kv
i
k
2
.
Współrzędne w bazie ortogonalnej
D o w ó d. Wektory v
i
stanowią bazę, więc
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
dla pewnych skalarów λ
i
. Wtedy
hv, v
i
i = λ
i
kv
i
k
2
, więc λ
i
=
hv,v
i
i
kv
i
k
2
.
Wykazać, że B = {(1, −1, 3), (−2, 1, 1), (4, 7, 1)} jest bazą
ortogonalną przestrzeni R
3
i przedstawić wektor x = (ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) w
tej bazie.
Obliczamy:
(1, −1, 3)·(−2, 1, 1) = 0, (1, −1, 3)·(4, 7, 1) = 0, (−2, 1, 1)·(4, 7, 1) = 0.
Zatem wektory są parami ortogonalne, więc tworzą bazę.
Obliczamy iloczyny skalarne:
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (1, −1, 3) = ξ
1
− ξ
2
+ 3ξ
3
,
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (−2, 1, 1) = −2ξ
1
+ ξ
2
+ ξ
3
,
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (4, 7, 1) = 4ξ
1
+ 7ξ
2
+ ξ
3
,
Wykazać, że B = {(1, −1, 3), (−2, 1, 1), (4, 7, 1)} jest bazą
ortogonalną przestrzeni R
3
i przedstawić wektor x = (ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) w
tej bazie.
Obliczamy:
(1, −1, 3)·(−2, 1, 1) = 0, (1, −1, 3)·(4, 7, 1) = 0, (−2, 1, 1)·(4, 7, 1) = 0.
Zatem wektory są parami ortogonalne, więc tworzą bazę.
Obliczamy iloczyny skalarne:
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (1, −1, 3) = ξ
1
− ξ
2
+ 3ξ
3
,
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (−2, 1, 1) = −2ξ
1
+ ξ
2
+ ξ
3
,
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (4, 7, 1) = 4ξ
1
+ 7ξ
2
+ ξ
3
,
Wykazać, że B = {(1, −1, 3), (−2, 1, 1), (4, 7, 1)} jest bazą
ortogonalną przestrzeni R
3
i przedstawić wektor x = (ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) w
tej bazie.
Obliczamy:
(1, −1, 3)·(−2, 1, 1) = 0, (1, −1, 3)·(4, 7, 1) = 0, (−2, 1, 1)·(4, 7, 1) = 0.
Zatem wektory są parami ortogonalne, więc tworzą bazę.
Obliczamy iloczyny skalarne:
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (1, −1, 3) = ξ
1
− ξ
2
+ 3ξ
3
,
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (−2, 1, 1) = −2ξ
1
+ ξ
2
+ ξ
3
,
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) · (4, 7, 1) = 4ξ
1
+ 7ξ
2
+ ξ
3
,
Współrzędne w bazie ortogonalnej
a następnie normy wektorów bazy. Są to kolejno
√
11,
√
6,
√
66.
Zatem
x =
ξ
1
− ξ
2
+ 3ξ
3
11
,
−2ξ
1
+ ξ
2
+ ξ
3
6
,
4ξ
1
+ 7ξ
2
+ ξ
3
66
.
Współrzędne w bazie ortogonalnej
a następnie normy wektorów bazy. Są to kolejno
√
11,
√
6,
√
66.
Zatem
x =
ξ
1
− ξ
2
+ 3ξ
3
11
,
−2ξ
1
+ ξ
2
+ ξ
3
6
,
4ξ
1
+ 7ξ
2
+ ξ
3
66
.
Twierdzenie
Dla dowolnej macierzy A stopnia n następujące warunki są
równoważne:
1) A jest odwracalna i A
−1
= A
T
,
2) wiersze macierzy A są ortonormalne,
3) kolumny macierzy A są ortonormalne.
D o w ó d. Pierwszy warunek jest równoważny równości
AA
T
= A
T
A = I.
Niech v
1
, v
2
, . . ., v
n
oznaczają wiersze macierzy
A. Wtedy v
T
j
jest j -tą kolumną macierzy A
T
, więc elementem
(i , j ) macierzy AA
T
jest hv
i
, v
j
i. Zatem warunek AA
T
= I znaczy,
że hv
i
, v
j
i = 0, gdy i 6= j i hv
i
, v
j
i = 1, gdy i = j, więc (1) ⇔ (2).
Podobnie dowodzi się, że (1) ⇔ (3).
D o w ó d. Pierwszy warunek jest równoważny równości
AA
T
= A
T
A = I. Niech v
1
, v
2
, . . ., v
n
oznaczają wiersze macierzy
A. Wtedy v
T
j
jest j -tą kolumną macierzy A
T
,
więc elementem
(i , j ) macierzy AA
T
jest hv
i
, v
j
i. Zatem warunek AA
T
= I znaczy,
że hv
i
, v
j
i = 0, gdy i 6= j i hv
i
, v
j
i = 1, gdy i = j, więc (1) ⇔ (2).
Podobnie dowodzi się, że (1) ⇔ (3).
D o w ó d. Pierwszy warunek jest równoważny równości
AA
T
= A
T
A = I. Niech v
1
, v
2
, . . ., v
n
oznaczają wiersze macierzy
A. Wtedy v
T
j
jest j -tą kolumną macierzy A
T
, więc elementem
(i , j ) macierzy AA
T
jest hv
i
, v
j
i.
Zatem warunek AA
T
= I znaczy,
że hv
i
, v
j
i = 0, gdy i 6= j i hv
i
, v
j
i = 1, gdy i = j, więc (1) ⇔ (2).
Podobnie dowodzi się, że (1) ⇔ (3).
D o w ó d. Pierwszy warunek jest równoważny równości
AA
T
= A
T
A = I. Niech v
1
, v
2
, . . ., v
n
oznaczają wiersze macierzy
A. Wtedy v
T
j
jest j -tą kolumną macierzy A
T
, więc elementem
(i , j ) macierzy AA
T
jest hv
i
, v
j
i. Zatem warunek AA
T
= I znaczy,
że hv
i
, v
j
i = 0, gdy i 6= j
i hv
i
, v
j
i = 1, gdy i = j, więc (1) ⇔ (2).
Podobnie dowodzi się, że (1) ⇔ (3).
D o w ó d. Pierwszy warunek jest równoważny równości
AA
T
= A
T
A = I. Niech v
1
, v
2
, . . ., v
n
oznaczają wiersze macierzy
A. Wtedy v
T
j
jest j -tą kolumną macierzy A
T
, więc elementem
(i , j ) macierzy AA
T
jest hv
i
, v
j
i. Zatem warunek AA
T
= I znaczy,
że hv
i
, v
j
i = 0, gdy i 6= j i hv
i
, v
j
i = 1, gdy i = j, więc (1) ⇔ (2).
Podobnie dowodzi się, że (1) ⇔ (3).
Macierz ortogonalna: definicja
Macierz stopnia n nazywamy
ortogonalną
, jeśli spełnia jeden (a
więc i wszystkie) z powyższych warunków.
Macierz
A =
"
1
2
√
3
2
−
√
3
2
1
2
#
jest ortogonalna, bo kv
1
k = kv
2
k = 1 i hv
1
, v
2
i = 0. Zatem
A
−1
= A
T
=
"
1
2
−
√
3
2
√
3
2
1
2
#
.
Macierz ortogonalna: definicja
Macierz stopnia n nazywamy
ortogonalną
, jeśli spełnia jeden (a
więc i wszystkie) z powyższych warunków. Macierz
A =
"
1
2
√
3
2
−
√
3
2
1
2
#
jest ortogonalna, bo kv
1
k = kv
2
k = 1 i hv
1
, v
2
i = 0.
Zatem
A
−1
= A
T
=
"
1
2
−
√
3
2
√
3
2
1
2
#
.
Macierz ortogonalna: definicja
Macierz stopnia n nazywamy
ortogonalną
, jeśli spełnia jeden (a
więc i wszystkie) z powyższych warunków. Macierz
A =
"
1
2
√
3
2
−
√
3
2
1
2
#
jest ortogonalna, bo kv
1
k = kv
2
k = 1 i hv
1
, v
2
i = 0. Zatem
A
−1
= A
T
=
"
1
2
−
√
3
2
√
3
2
1
2
#
.
Macierz ortogonalna: przykład
Macierz
B =
"
1
2
√
3
2
√
3
2
1
2
#
nie jest ortogonalna, bo hv
1
, v
2
i =
√
3
2
6= 0.
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ILOCZYN JONOWY id 210758 Nieznany
iloczyn rozpuszczalnosci id 210 Nieznany
Prez uklady rownan id 389687 Nieznany
Iloczyny wektorow id 210761 Nieznany
ILOCZYN JONOWY id 210758 Nieznany
osiagniecia pl prez id 341234 Nieznany
DROGI SZYNOWE PREZ 5 id 142683 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
Mbaku id 289860 Nieznany
Probiotyki antybiotyki id 66316 Nieznany
miedziowanie cz 2 id 113259 Nieznany
LTC1729 id 273494 Nieznany
D11B7AOver0400 id 130434 Nieznany
więcej podobnych podstron