id4520234 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com 3 . Iloczyn skalarny
Z
v
u
Y
X
iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym (oznaczanym u
) dw
nazywamy liczb
v
óch wektorów u , v
ê
równ¹ iloczynowi dùugoœci tych wektorów u , v i cosinusa k¹ta zawartego miêdzy nimi, czyli
u
.
v u v cos
Nale¿y pamiêtaã, ¿e iloczyn skalarny jest liczb¹ (skalarem), a nie wektorem.
Je
œli u u ,u ,u i v v ,v ,v , to iloczyn skalarny mo¿emy wyliczyã ze wzoru x
y
z
x
y
z
u
.
v u v
u v u v
x
x
y
y
z
z
..........................................................................................
PRZYK£AD
Obliczyã iloczyn skalarny wektorów u ,v jeœli:
a) u 2 , v 7 , a k¹t miêdzy wektorami u ,v wynosi o
30 ;
b) u 0 2
,
, 2, v 2 i 3 k 4 j .
Rozwi¹zanie
a) Zgodnie ze wzorem
o
u
mamy u
.
v 2 5 cos 30 5
3
v u v cos
b) Zapiszmy wektor v w postaci v 2 4
,
,
3 . Poniewa¿ mamy dane wspóùrzêdne
wektorów wygodniej bêdzie skorzystaã z drugiego wzoru na iloczyn skalarny
u
u v 0 2 2 4 2 3
v u v
u v u v . Mamy wiêc
14 .
x
x
y
y
z
z
..........................................................................................
Przeksztaùcaj¹c wzór u
otrzymamy wz
v u v cos
ór do wyznaczenia cosinusa cosinus k¹ta
miêdzy
wektorami
k¹ta miêdzy wektorami u , v
u
v
cos
.
u v
K
¹t miêdzy wektorami u , v symbolicznie zapisujemy u v .
..........................................................................................
PRZYK£AD
Obliczy
ã cosinus k¹ta miêdzy wektorami u , v jeœli: u 3 j 2 i k , v AB , gdzie
A 1 6
, 4
, , B3 5
,
,
1 .
Rozwi
¹zanie
Najpierw wyznaczamy wspóùrzêdne wektora v AB .
AB 3
1 5
, 6 , 1
4 4
, 1
,
5 i wektora u 2 3
,
,
1 .
Nastêpnie dùugoœci wektorów u ,v
2
2
u
2
2
3
1
14
2
2
v
4
2
1 5 42
Iloczyn skalarny wyznaczamy ze wzoru
u
v u v
u v u v
x
x
y
y
z
z
Mamy wi
êc u v 2 4 3
1
1 5 10 . Ostatecznie mo¿emy wyliczyã
u
v
10
10
5 3
cosinus k¹ta u ,v cos
.
42 14
14 3
21
u v
..........................................................................................
Wùasnoœci iloczynu skalarnego wektorów
Niech u , v , w bêd¹ dowolnymi wektorami, dowoln¹ liczb¹.
Wtedy:
1. u
v v u
2. u v
w u w
v w
3. u
v
u v
2
4. u
u u
5. u
u 0 u 0
6. u v 0
u v
7. Iloczyn skalarny jest dodatni jeœli k¹t pomiêdzy wektorami jest ostry i ujemny jeœli k¹t ten jest rozwarty.
..........................................................................................
PRZYK£AD
Obliczyã iloczyn skalarny wektorów u ,v jeœli u p 2 q , v 3 q 2 p , p 2 , q 3,
a k¹t miêdzy wektorami p, q wynosi
o
60 .
Rozwi¹zanie
Poniewa¿ wektory u ,v nie s¹ dane za pomoc¹ wspóùrzêdnych nie mo¿emy
stosowaã wzoru u
. Przy obliczaniu iloczyn
wykorzystamy
v u v
u v u v
u , v
x
x
y
y
z
z
wùasnoœci iloczynu skalarnego i dane z przykùadu: wù 2
. i 3
wù . 4 i 1
u v
p 2
q
3
q 2
p 3 p q 2 p p 6 q q 4 q p
2
2
def . iloczynu
3 p
q 2 p
6 q
4 p q p q 2 4 6 3
1
p q cos
10
2
3
10 13
3
2
Ostatecznie u
v 13
..........................................................................................
Czy wektory u 0 2
, , 2
, v 3 4
, ,
1 s¹ prostopadùe?
Rozwi¹zanie
Obliczamy iloczyn skalarnych wektorów u , v
u
.
v 0
3 2 4 21 6
Poniewa¿ u
, to stwierdzamy
nie s
v 0
¿e wektory u , v
¹ prostopadùe.
..........................................................................................
PRZYK£AD
Dla jakiej wartoœci parametru m wektory u m, 2 m,m 2, v 4 , 5 2
, s¹
prostopadùe?
Rozwi¹zanie
Poniewa¿ wektory s¹ prostopadùe wtedy i tylko wtedy gdy ich iloczyn skalarny jest
równy zero. Wyznaczamy iloczyn skalarnych wektorów u ,v i przyrównujemy go do zera.
u
v m 4 2 m
5 m 2 2 4
m 4
u
, st
.
v 0 4 m 4 0
¹d m 1
Dla m 1 wektory u ,v s¹ prostopadùe.
..........................................................................................
PRZYK£AD
Znaleêã dowolny wektor jednostkowy prostopadùy do wektora u 2 3
,
,
3 .
Rozwi¹zanie
Poszukamy najpierw jakiegokolwiek wektora (niezerowego) v prostopadùego do u Przyjmijmy dwie pierwsze jego wspóùrzêdne dowolne, byleby nie byùy jednoczeœnie
równe 0 np. v 0 , 2 ,z Z warunku prostopadùoœci u dostajemy 6 3
0
v 0
z
,
u .
u
st¹d z .
1 Dùugoœã tak wyznaczonego wektora v 0 2
, ,
1 wynosi 5 . Wyznaczymy
u
2
1
teraz wektor
w jednostkowy równolegùy do wektora v w
0 ,
,
(lub
5
5
2
1
w
0
,
,
). Wektor ten speùnia warunki zadania (jest prostopadùy do
5
5
wektora u i w 1).
..........................................................................................
PRZYK£AD
Wyznaczyã dùugoœã wektora u jeœli u p 2 q , p 4 , q 2 , p q .
Rozwi¹zanie
Poniewa¿ wektory u nie jest dany za pomoc¹ wspóùrzêdnych nie mo¿emy
stosowa
2
2
2
ã wzoru u
u u u .
x
y
z
2
Przy obliczaniu dùugoœã wektora u wykorzystamy wzór u i inne w
u u
ùasnoœci
iloczynu skalarnego:
2
wù . 2 i 3
wù . 1 i 4
u
u u
p 2
q p 2
q
p p 2 p q 2 q p 4 q q
2
2
wù 6
.
p
4 p q 4 q
16 4 4 32
2
u
32 u
32 4 2 .
..........................................................................................
Korzystaj¹c z wùasnoœci iloczynu skalarnego mo¿na wyprowadziã wzór na wektor
u b
v
êd¹cy rzutem prostok¹tnym wektora u na oœ o kierunku wektora v
u v
u
v
v
2
v
u
u
u
v
v
v
u
v
lub
..........................................................................................
PRZYK£AD
Znaleêã rzut prostok¹tny wektora u 1 , 3 , 2 na wektor v 4 , 5
,
3 .
Rozwi¹zanie
Wyznaczamy najpierw
u
i v 50 5 2 , a nast
v 25
êpnie szukany wektor u v
ze wzoru
u v
u
, mamy wi
v
v
êc
2
v
25
1
5 3
u
.
v
,
,
,
,
,
,
2
4 5
3
4 5
3 2
5 2
2
2 2
..........................................................................................