Iloczynn skalarny

background image

3 . Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym

(oznaczanym

v

u

) dw

óch wektorów

v

,

u

nazywamy liczb

ê

r

ówn¹

iloczynowi d

ùugoœci tych wektorów

u

,

v

i cosinusa k

¹ta

zawartego

mi

êdzy nimi, czyli

cos

v

u

v

u

.

Nale

¿y pamiêtaã, ¿e iloczyn skalarny jest liczb¹

(skalarem), a nie wektorem.

Je

œli

z

y

x

u

,

u

,

u

u

i

z

y

x

v

,

v

,

v

v

, to iloczyn skalarny mo

¿emy wyliczyã ze wzoru

z

z

y

y

x

x

v

u

v

u

v

u

v

u

.

..........................................................................................

PRZYK£AD

Obliczy

ã ilocz

yn skalarny wektor

ów

v

,

u

je

œli:

a)

2

u

,

7

v

, a k

¹t

mi

êdzy wektorami

v

,

u

wynosi

o

30

;

b)

2

2

0

,

,

u

,

j

k

i

v

4

3

2

.

Rozwi

¹zanie

a) Zgodnie ze wzorem

cos

v

u

v

u

mamy

3

5

30

5

2

o

cos

v

u

.

b) Zapiszmy wektor

v

w postaci

3

4

2

,

,

v

.

Poniewa

¿

mamy dane wsp

óùrzêdne

wektor

ów wygodniej bêdzie

skorzysta

ã z drugiego wzoru na iloczyn skalarny

z

z

y

y

x

x

v

u

v

u

v

u

v

u

.

Mamy wi

êc

 

14

3

2

4

2

2

0

v

u

.

..........................................................................................


















iloczyn skalarny














































X

Y

Z

u

v

id4520234 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

background image

Przekszta

ùcaj¹c wzór

cos

v

u

v

u

otrzymamy wz

ór do wyznaczenia

cosinusa

k¹ta

miêdzy wektorami

v

,

u

v

u

v

u

cos

.

K

¹t miêdzy wektorami

v

,

u

symbolicznie zapisujemy

v

u

.

..........................................................................................

PRZYK£AD

Obliczy

ã cosinus k¹ta miêdzy wektorami

v

,

u

je

œli:

k

i

j

u

2

3

,

AB

v

,

gdzie

4

6

1 ,

,

A

,

1

5

3 

,

,

B

.

Rozwi

¹zanie

Najpierw wyznaczamy wsp

óùrzêdne wektora

AB

v

.

 

5

1

4

4

1

6

5

1

3

,

,

,

,

AB

i wektora

1

3

2 

,

,

u

.

Nast

êpnie dùugoœci wektorów

v

,

u

 

 

14

1

3

2

2

2

2

u

 

42

5

1

4

2

2

2

v

Iloczyn skalarny wyznaczamy ze wzoru

z

z

y

y

x

x

v

u

v

u

v

u

v

u

Mamy wi

êc

 

 

10

5

1

1

3

4

2

v

u

.

Ostatecznie mo

¿emy wyliczyã

cosinus k

¹ta

v

,

u

21

3

5

3

14

10

14

42

10

v

u

v

u

cos

.

..........................................................................................


cosinus k

¹ta

mi

êdzy

wektorami
























































background image

Wùasnoœci iloczynu skalarnego wektorów

Niech

w

,

v

,

u

b

êd¹ dowolnymi wektorami,

dowoln

¹ liczb¹

.

Wtedy:

1.

u

v

v

u

2.

w

v

w

u

w

v

u

3.

v

u

v

u

4.

2

u

u

u

5.

0

0

u

u

u

6.

v

u

v

u

0

7.

Iloczyn skalarny jest dodatni je

œli k¹t pomiêdzy wektorami jest ostry

i ujemny je

œli k¹t ten jest rozwarty.

..........................................................................................

PRZYK£AD

Obliczy

ã iloczyn skalarny wektorów

v

,

u

je

œli

q

p

u

2

,

p

q

v

2

3

,

2

p

,

3

q

,

a k

¹t

mi

êdzy wektorami

q

,

p

wynosi

o

60

.

Rozwi

¹zanie

Poniewa

¿ wektory

v

,

u

nie s

¹ dane

za pomoc

¹ wspóùrzêdnych nie mo¿emy

stosowa

ã wzoru

z

z

y

y

x

x

v

u

v

u

v

u

v

u

.

Przy obliczaniu iloczyn

v

,

u

wykorzystamy

w

ùasnoœci iloczynu skalarnego

i dane z przyk

ùadu:

13

10

2

1

3

2

10

3

3

6

4

2

4

6

2

3

4

6

2

3

2

3

2

2

2

1

4

3

2

cos

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

p

q

q

q

p

p

q

p

p

q

q

p

v

u

iloczynu

.

def

i

.

i

.

Ostatecznie

13

v

u

..........................................................................................

background image

PRZYK£AD

Czy wektory

2

2

0

,

,

u

,

1

4

3 ,

,

v

s

¹ prostopadùe?

Rozwi

¹zanie

Obliczamy iloczyn skalarnych wektor

ów

v

,

u

6

1

2

4

2

3

0

v

u

.

Poniewa

¿

0

v

u

, to stwierdzamy

¿e wektory

v

,

u

nie s

¹ prostopadùe.

..........................................................................................

PRZYK£AD

Dla jakiej warto

œci parametru m

wektory

2

2

m

,

m

,

m

u

,

2

5

4

,

,

v

s

¹

prostopad

ùe?

Rozwi

¹zanie

Poniewa

¿ wektory s¹ prostopadùe

wtedy i tylko wtedy gdy ich iloczyn skalarny jest

r

ówny

zero. Wyznaczamy iloczyn skalarnych wektor

ów

v

,

u

i przyr

ównujemy g

o do

zera.

 

4

4

2

2

5

2

4

m

m

m

m

v

u

0

4

4

0

m

v

u

, st

¹d

1

m

.

Dla

1

m

wektory

v

,

u

s

¹ prostopadùe.

..........................................................................................

PRZYK£AD

Znale

êã dowolny wektor jednostkowy prostopadùy do wektora

3

3

2 

,

,

u

.

Rozwi¹zanie

Poszukamy najpierw jakiegokolwiek wektora (niezerowego)

v

prostopad

ùego do

u

Przyjmijmy dwie pierwsze jego wsp

óùrzêdne dowoln

e, byleby nie by

ùy jednoczeœnie

r

ówne 0

np.

.

z

,

,

v

u

2

0

Z warunku prostopad

ùoœci

0

v

u

dostajemy

,

z

u

0

3

6

st

¹d

.

z

u

1

D

ùugoœã

tak wyznaczonego wektora

1

2

0 ,

,

v

wynosi

5

. Wyznaczymy

teraz wektor

w

jednostkowy r

ównolegùy do wektora

v

5

1

5

2

0

,

,

w

(lub

5

1

5

2

0

,

,

w

). Wektor ten spe

ùnia warunki zadania

(jest prostopad

ùy do

background image

wektora

u

i

1

w

).

..........................................................................................

PRZYK£AD

Wyznaczy

ã dùugoœã wektora

u

je

œli

q

p

u

2

,

4

p

,

2

q

,

q

p

.

Rozwi

¹zanie

Poniewa

¿ wektory

u

nie jest dany za pomoc

¹ wspóùrzêdnych nie mo¿emy

stosowa

ã wzoru

2

2

2

z

y

x

u

u

u

u

.

Przy obliczaniu d

ùugoœã wektora

u

wykorzystamy wz

ór

2

u

u

u

i inne w

ùasnoœci

iloczynu skalarnego:

32

4

4

16

4

4

4

2

2

2

2

6

2

2

4

1

3

2

2

.

i

.

i

.

q

q

p

p

q

q

p

q

q

p

p

p

q

p

q

p

u

u

u

2

4

32

32

2

u

u

.

..........................................................................................

Korzystaj

¹c z wùasnoœci iloczynu skalarnego mo¿na wyprowadziã

wz

ór

na wektor

v

u

b

êd¹cy rzutem p

rostok

¹tny

m wektora

u

na o

œ o kierunku wektora

v

v

v

v

u

u

v

2

lub

u

v

v

u

u

v

v

u

background image

..........................................................................................

PRZYK£AD

Znale

êã rzut prostok¹tny wektora

2

3

1

,

,

u

na wektor

3

5

4

,

,

v

.

Rozwi

¹zanie

Wyznaczamy najpierw

25

v

u

i

2

5

50 

v

, a nast

êpnie szukany wektor

v

u

ze wzoru

v

v

v

u

u

v

2

, mamy wi

êc

2

3

2

5

2

3

5

4

2

1

3

5

4

2

5

25

2

,

,

,

,

,

,

u

v

.

..........................................................................................


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Algebra 1 06 iloczyn skalarny
iloczyn skalarny iloczyn wektorowy
Iloczynn skalarny
Iloczyn skalarny wektorowy
matematyka, iloczyn, Iloczyn skalarny wektorów
fiz-indukcja elektromagnetyczna, Strumień indukcji magnetycznej - jest równy iloczynowi skalarnemu w
Prez iloczyn skalarny id 389685 Nieznany
W[1].3.Iloczyn skalarny
Matematyka I (Ćw) Lista 06 Wektory Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany
matematyka, Iloczyn skalarny, Iloczyn skalarny wektorów
iloczyn skalarny, macierze, wyznaczniki, wektory
Algebra 1 06 iloczyn skalarny
ILOCZYN PRZEZ ROZKŁAD NA DZIESIĄTKI, materiały szkolne
iloczyn rozpuszczalności

więcej podobnych podstron