W

W

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

1

1

5

5

N

N

I

I

E

E

S

S

T

T

A

A

T

T

E

E

C

C

Z

Z

N

N

O

O

Ś

Ś

Ć

Ć

“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer

Weźmy pewne pole prędkości i wprowadźmy do

niego

małe zaburzenie. Może ono znikać z upływem czasu, rosnąć

lub pozostawać niezmienne.

 

1

v

-

pole prędkości we wnętrzu obszaru Ω przy zadanych

warunkach brzegowych i przy warunku początkowym

 

1

v (0)

.

 

2

v

-

pole prędkości w tym samym obszarze, przy takich samych

warunkach brzegowych, ale przy warunku początkowym

 

2

v (0)

.

Powodem turbulencji jest niestateczność.

Miarą odchyłki obu pól prędkości

E(t)

jest

Odchyłkę

E(0)

znamy

, bo określa się ją na podstawie

 

1

v (0)

i

 

2

v (0)

.

 

 





2

1

2

1

(t)

v

v

d

2















Gdy

To rozwiązanie jest
stabilne.

t

lim

(t)

0







Fizycznie oznacza to, że obydwa
pola prędkości z upływem czasu
nie różnią się. Warunek
początkowy – odrębny dla obu
rozw

iązań, nie ma znaczenia,

jeśli badamy ruch dostatecznie
długo.

Mapa określająca zachowania zaburzeń

Dla liczby Reynoldsa Re > Re

kr

każde zaburzenie nie znika, lecz

zmienia ruch.

E(0)

Niestateczny

E(t)

nie znika

Stateczny

E(t) znika

dla t→∞

Niech i .

Wstawmy nasze

v

i

p

do

równania ciągłości i Naviera – Stokesa.

Otrzymamy wtedy:

k

k

0k

k

k

0i

i

k

i

i

k

k brzeg

brzeg

u

0

x

v

u

u

1

v

u

u

t

x

x

x

u

0

0

 























 

 













0

v

v

u





0

p

p







0

0

v , p

-

to rozwiązania hydrodynamiki

u,



- to zaburzenia

Zaburzenie znika na

brzegu obszaru

Równanie N-S dla

zaburzeń

Równanie ciągłości dla

zaburze

ń

Równania powyższe są liniowe. Współczynniki przy

0i

v

i

0k

i

v

x





są

znane, bo znamy zaburza

ne rozwiązanie.

Rozwiązanie może być przedstawione w postaci sumy rozwiązań
szczególnych:

Jedną z harmonik podstawiamy do równań.

 

p

p

i

t

p

k

k

p

i

t

p

p

u

q e

e
















Dostajemy wtedy :

Rozwiązanie niezerowe zachodzi dla pewnych wartości

p



zwanych

wartościami własnymi

 

 

 

 

 

 

p

k

k

p

p

p

p

p

0k

k

k

p

0i

k

k

i

i

k

p

k

brzeg

brzeg

q

0

x

v

q

1

q i

v

q

q

x

x

x

0

q

0



























 

 











p

p

p

i











Czynnik wykładniczy zapisujemy wtedy w sposób następujący :

 

p

p

p

i

t

i

t

t

e

e

e











Jeśli choć jedna wartość własna

ma UJEMNĄ część rzeczywistą to

zaburzenie będzie narastać!

Jeśli wszystkie wartości własne są

dodatnie to zaburzenie znika.