Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1. Obserwujemy działanie pewnego urządzenia w kolejnych chwilach
.. Działanie tego urządzenia zależy od pracy dwóch podzespołów A i B.
Każdy z nich może ulec awarii w jednostce czasu z prawdopodobieństwem 0,1
niezależnie od drugiego. Jeżeli jeden z podzespołów ulega awarii, to urządzenie nie
jest naprawiane i działa dalej wykorzystując drugi podzespół. Jeżeli oba podzespoły
są niesprawne w chwili t, to następuje ich naprawa i w chwili t+1 oba są sprawne.
Prawdopodobieństwo, że podzespół B jest sprawny w chwili t dąży, przy t dążącym
do nieskończoności, do następującej liczby (z dokładnością do 0,001):
,
2
,
1
,
0
K
=
t
(A)
0,635
(B)
0,655
(C)
0,345
(D)
0,474
(E)
0,602.
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o
jednakowym rozkładzie wykładniczym o gęstości
,...
,
,
,
2
1
n
X
X
X
K
≤
>
=
−
,
0
gdy
0
0
gdy
)
(
x
x
e
x
f
x
α
α
gdzie
0
>
α
jest ustalonym parametrem.
Niech N będzie zmienną losową, niezależną od
, o rozkładzie
ujemnym dwumianowym
dla
,...
,....,
,
2
1
n
X
X
X
n
p
)
1
(
−
0
r
p
n
r
n
n
N
P
1
)
(
−
+
=
=
,......
2
,
1
,
=
n
, gdzie
r
>0 i
są ustalonymi parametrami. Niech
)
1
;
0
(
∈
p
=
>
=
.
0
0
0
)
,
,
,
min(
2
1
N
gdy
N
gdy
X
X
X
Z
N
N
K
Oblicz
i Var
.
)
(
N
NZ
E
)
(
N
NZ
(A)
α
1
)
(
=
N
NZ
E
i
2
1
)
(
α
=
N
NZ
Var
(B)
α
r
N
p
NZ
E
−
=
1
)
(
i
2
1
)
(
α
r
N
p
NZ
−
=
Var
(C)
α
r
N
p
NZ
E
−
=
1
)
(
i
2
2
1
)
(
α
r
N
p
NZ
−
=
Var
(D)
α
p
p
r
NZ
E
N
)
1
(
)
(
−
=
i
2
2
)
1
(
)
(
α
p
p
r
NZ
N
Var
−
=
(E)
α
r
N
p
NZ
E
−
=
1
)
(
i
α
r
N
p
NZ
2
1
)
(
−
=
Var
.
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech
będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
)
,
(
Y
X
(x
f
4
)
2
=
∈
>
=
−
przypadku.
przeciwnym
w
0
)
1
;
0
(
i
0
gdy
)
,
y
x
e
y
x
Niech
Y
X
Z
2
+
=
. Wtedy łączny rozkład zmiennych Z, X jest taki, że
(A)
zmienne Z i X są niezależne;
(B)
jego funkcja gęstości na zbiorze {(
}
2
0
:
)
,
<
<
<
z
x
x
z
wyraża się wzorem
x
e
x
z
g
−
=
4
1
)
,
(
;
(C)
;
|
(
=
X
Z
E
(D)
jego funkcja gęstości na zbiorze {(
}
2
0
:
)
,
x
z
x
x
z
+
<
<
<
wyraża się wzorem
x
e
x
z
g
−
=
2
1
)
,
(
;
(E)
jego funkcja gęstości na zbiorze {(
}
1
0
:
)
,
x
z
x
x
z
+
<
<
<
wyraża się wzorem
x
e
x
z
g
−
=
)
,
(
.
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Dysponujemy
(N
1
+
N
>1) identycznymi urnami. Każda z nich zawiera
kul białych i czarnych. Liczba kul białych w
N
−
i tej urnie jest równa
, gdzie
1
−
i
.
1
,....,
2
,
1
+
N
=
i
)
1
(
2
1
+
−
N
N
)
1
(
2
+
N
N
1
1
+
−
N
N
3
2
Losujemy urnę, a następnie ciągniemy z niej jedną kulę i okazuje się, że otrzymana
kula jest biała. Oblicz prawdopodobieństwo, że ciągnąc drugą kulę z tej samej urny
(bez zwracania pierwszej) również otrzymamy kulę białą.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2
1
.
Wskazówka:
3
)
1
(
)
1
(
)
1
(
4
3
3
2
2
1
+
−
=
−
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
N
N
N
N
N
K
.
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu
Weibulla o gęstości
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
=
)
(x
f
θ
aY
T
n
=
n
{|
lim
0
>
∞
→
ε
θ
n
T
P
<
<
∞
→
θ
ε
lim
0
n
P
>
∞
→
ε
θ
{|
lim
0
n
T
P
<
<
∞
→
θ
ε
lim
0
n
P
{|
lim
0
>
∞
→
ε
θ
n
P
≤
>
−
,
0
gdy
0
0
gdy
)
exp(
2
2
x
x
x
x
θ
θ
gdzie
0
>
θ
jest nieznanym parametrem. Rozważamy nieobciążony estymator
parametru
θ
postaci
, gdzie
i a
)
,
,
,
min(
2
2
2
2
1
n
X
X
X
Y
K
=
jest odpowiednio
dobraną stałą (być może zależną od liczebności próby n).
Badając zgodność estymatora T otrzymujemy
(A)
0
}
|
0
=
>
−
∀
>
∀
ε
θ
θ
n
;
(B)
−
−
−
−
=
>
−
∀
>
∀
θ
ε
θ
ε
ε
θ
θ
θ
exp
exp
)
1
exp(
1
}
|
{|
0
n
T
;
(C)
−
−
−
−
=
>
−
∀
>
∀
θ
ε
θ
ε
ε
θ
θ
exp
exp
)
1
exp(
1
}
|
0
n
;
(D)
−
−
=
>
−
∀
>
∀
θ
ε
ε
θ
θ
θ
1
exp
}
|
{|
0
n
T
;
(E)
1
}
|
0
=
>
−
∀
>
∀
ε
θ
θ
n
T
.
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Każda ze zmiennych losowych
ma rozkład normalny
z nieznaną wartością oczekiwaną i znaną wariancją
. Założono, że
zmienne są niezależne i wyznaczono (przy tych założeniach) test jednostajnie
najmocniejszy dla testowania hipotezy
100
2
1
,
,
,
X
X
X
K
0
:
)
,
(
2
σ
µ
N
2
σ
0
µ
µ
=
H
przy alternatywie
0
1
:
µ
µ
>
H
na
poziomie istotności 0,05.
100
,
,
X
K
2
X
)
,
(
=
j
i
X
X
Corr
i
W rzeczywistości zmienne losowe
mają łączny rozkład normalny, ale
są skorelowane i współczynnik korelacji
1
,
X
10
1
dla wszystkich
j
≠ .
Oblicz faktyczny błąd pierwszego rodzaju testu z dokładnością do 0,01.
(A)
0,75
(B)
0,25
(C)
0,31
(D)
0,69
(E)
0,48
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
7. Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy
czym zmienna losowa
ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej m
4
3
2
1
,
,
,
X
X
X
X
i
X
0
≠
i wariancji
, i=1,2,3,4, gdzie
m
jest nieznanym parametrem. Rozważamy estymatory
parametru m
2
im
postaci
4
4
3
3
2
2
1
1
ˆ
X
a
X
a
X
a
X
a
m
+
+
+
=
.
Znaleźć współczynniki
, dla których estymator ma najmniejszy błąd
średniokwadratowy , czyli współczynniki minimalizujące funkcję
4
,
3
,
2
,
1
,
=
i
a
i
2
)
ˆ
(
m
m
E
m
−
(A)
4
1
4
3
2
1
=
=
=
=
a
a
a
a
(B)
25
3
,
25
4
,
25
6
,
25
12
4
3
2
1
=
=
=
=
a
a
a
a
(C)
10
1
,
10
2
,
10
3
,
10
4
4
3
2
1
=
=
=
=
a
a
a
a
(D)
12
1
,
12
2
,
12
3
,
12
4
4
3
2
1
=
=
=
=
a
a
a
a
(E)
37
3
,
37
4
,
37
6
,
37
12
4
3
2
1
=
=
=
=
a
a
a
a
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8. Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 0,5 i niech
będzie zmienną
losową niezależną od
, o rozkładzie Poissona z wartością
oczekiwaną równą 3.
K
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
>
≤
,
gdy
d
X
d
X
i
i
i
N
K
Niech
−
=
gdy
0
d
X
Y
i
i
gdzie
jest ustaloną liczbą dodatnią. Wyznaczyć funkcję tworzącą momenty
zmiennej
w punkcie 1, a więc
.
d
∑
=
=
N
i
Y
Z
1
)
(
Z
e
E
(A)
)
1
2
(
3
2
−
− d
e
e
(B)
d
e
e
2
3
−
(C)
3
e
(D)
3
2
)
1
(
d
e
−
+
(E)
.
d
e
6
8
−
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9. Zmienne losowe
są niezależne i mają jednakową wariancję
. Niech
i V
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
n
X
+
K
2
σ
X
X
U
+
+
=
2
1
3
n
n
X
X
X
X
2
1
2
1
+
+
+
+
=
−
K
. Wyznaczyć
współczynnik korelacji między
U
i
V
.
8
8
3
+
+
)
1
)(
2
3
+
+
+
n
n
8
3
)
1
)(
2
3
+
+
n
n
(A)
1
+
n
(B)
n
n
(C)
(n
(D)
+
+
n
n
(E)
(
+
n
.
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10. Niech
będzie próbą z rozkładu jednostajnego o gęstości
4
3
2
1
,
,
,
X
X
X
X
∈
przypadku.
przeciwnym
)
;
0
(
gdy
θ
x
≤
>
.
0
0
θ
θ
gdy
gdy
3
max(
1
4
:
4
x
x
=
3
:
)
,
,
4
:
4
4
3
>
x
x
x
4
:
4
4
3
3
:
)
,
,
>
x
x
x
=
w
0
1
)
(
θ
θ
x
f
Zakładamy, że nieznany parametr
θ
jest zmienną losową o rozkładzie z funkcją
gęstości daną wzorem
=
−
0
3
4
)
(
2
4
θ
θ
π
θ
e
Hipotezę
:
0
≤
θ
H
przy alternatywie
3
:
1
>
θ
H
odrzucamy dla tych wartości
, dla których prawdopodobieństwo a posteriori zbioru
)
,
4
x
,
,
(
3
2
1
x
x
x
}
{
3
:
>
θ
θ
jest
większe niż
2
1
. Niech
.
)
,
4
x
,
,
3
2
x
x
Obszar krytyczny jest zbiorem postaci
(A)
{
}
,
(
2
1
=
x
x
K
(B)
{
}
4
2
1
95
,
0
,
(
=
x
x
K
(C)
−
>
=
2
2
ln
3
:
)
,
,
,
(
4
:
4
4
3
2
1
x
x
x
x
x
K
(D)
<
=
4
4
:
4
4
3
2
1
2
3
:
)
,
,
,
(
x
x
x
x
x
K
(E)
żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna.
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
11
Egzamin dla Aktuariuszy z 11 października 2004 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi
Imię i nazwisko : ......................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Odpowiedź Punktacja
1
A
2
C
3
D
4
D
5
B
6
C
7
E
8
B
9
B
10
C
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
♦
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2004 10 11 prawdopodobie stwo i statystykaid 25166
2004 10 11 matematyka finansowaid 25165
2004.10.11 prawdopodobie stwo i statystyka
mat fiz 2004 10 11 id 282351 Nieznany
2004.10.11 matematyka finansowa
2003 10 11 pra
2004 10 11 prawdopodobie stwo i statystykaid 25166
2004 10 11 matematyka finansowaid 25165
homework for 10 11 2004
homework for 10 11 2004
2002 10 12 pra
Dietetyka wd9,10,11 Otyłość
Harmonogram 10 11 Lab MWNE
25 10 11
więcej podobnych podstron