Egzamin z Algebry liniowej i geometrii sesja zimowa 2009/10

Zadanie 1.

Naszkicować zbiór { z: 1 ≤ Re z ≤ 3 ^ 0 ≤ Arg z ≤

࣊

૝

}

Wierzchołki otrzymanej figury zapisać jako liczby zespolone.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: z

3

= 8i

Zadanie 3.

Korzystając z metody Gaussa rozwiązać układ:

൞

࢞

૚

+ ࢞

૛

+ ૞࢞

૜

= −ૠ

૛࢞

૚

+ ࢞

૛

+ ࢞

૜

= ૛

࢞

૚

+ ૜࢞

૛

+ ࢞

૜

= ૞

૛࢞

૚

+ ૜࢞

૛

− ૜࢞

૜

= ૚૝

Zadanie 4.

Zbadać istnienie i liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru k

൝

૛࢞ + ࢟ + ૛ࢠ = ૛

࢑࢞ + ࢟ + ࢠ = ૚

૛࢑࢞ + ࢟ + ૛ࢠ = ࢑ + ૚

Zadanie 5.

Dane jest przekształcenie liniowe: f(x, y, z, t) = (-2x + y – t, x + z, -3y – z)

Wyznaczyć: Ker f, Im f oraz ich bazy.

Zadanie 6.

Wyznaczyć wartości własne i wektory własne przekształcenia liniowego danego w bazie

standardowej przez macierz.

൥

ૠ −૚૛ ૟

૚૙ −૚ૢ ૚૙

૚૛ −૛૝ ૚૜

൩