Algebra z teorią liczb

Wersja wstepna

Notatki do wykadu

Algebra z Teorią Liczb

Instytut Matematyki

Uniwersytetu Jagiellońskiego

Semestr letni 2006/zimowy 2007

Sawomir Cynk

e-mail: cynk@im.uj.edu.pl

Wersja wstepna

ROZDZIAŁ I

Teoria Grup

1. Struktury algebraiczne

Definicja I.1. Działaniem wewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie

h : A

× A −→ A

iloczynu kartezjańskiego A × A w zbiór A, czyli odwzorowanie przyporządkowujące parze elementów zbioru A element
tego zbioru.

Poniższa tabelka zawiera przykłady działań znanych z arytmetyki

N N

Z Q

∗

Q R

∗

x + y

+ +

− y

− −

+ −

−

+ −

−

· y

+ +

x/y

− −

− +

−

+ +

− −

−

Definicja I.2. Działanie wewnętrzne h : A × A −→ A nazywamy przemiennym, jeżeli dla dowolnych elementów

a, b

∈ A mamy

h(a, b) = h(b, a).

Działanie h nazywamy łącznym, jeżeli dla dowolnych elementów a, b, c ∈ A mamy

h(a, h(b, c) = h(h(a, b), c).

Element o ∈ A nazywamy elementem neutralnym działania h, jeżeli dla dowolnego a ∈ A zachodzi

h(o, a) = h(a, o) = a.

Element a

′

∈ A nazywamy elementem odwrotnym do a ze względu na działanie h z elementem neutralnym o, jeżeli

h(a, a

′

) = h(a

′

, a) = o.

Lemat I.1. (a) Dla dowolnego działania istnieje co najwyżej jeden element neutralny. (b) Jeżeli działanie h jest

łączne to dowolny element a

∈ A ma co najwyżej jeden element odwrotny.

Dowód. (a) Załóżmy, że e

i e

są elementami neutralnymi, wtedy

= e

(b) Załóżmy, że a

′

i a

′′

są elementami odwrotnymi do a. Wtedy

′

= a

′

e = a

′

(aa

′′

) = (a

′

a)a

′′

= a

′′

Wersja wstepna

1. Struktury algebraiczne

Uwaga. Zwykle działanie oznaczamy symbolem mnożenia (zapis multiplikatywny), i wtedy element neutralny

oznaczamy przez 1, a element odwrotny przez a

−1

, jeżeli działanie jest przemienne, to często (dla podkreślenia) używa

sie znaku dodwania (zapis addydtwny), wtedy element neutralny oznacza się przez 0, a element odwrotny (przeciwny),

przez −a.

Łączność działania oznacza, że wynik mnożenia trzech elementów nie zależy od kolejności w jakiej wykkonujemy

mnożenie (kolejność działań) natomiast przemienność oznacza, że wynik nie zależy od kolejności czynników.

Jeśli działanie jest łączne to dla dowolnych elementów a

, . . . , a

∈ A mamy dobrze określony iloczyn a

· · · · · a

przyjmując więc a

= a

= a otrzymujemy (dobrze określoną) potęgę a

= a · · · · · a

| {z }

n razy

Przykad I.2. Niech X będzie dowolnym zbiorem, przykładem działania lącznego w zbiorze A = X

= Func(X, X) =

{f : X −→ X} jest operacja składania odwzorowań. Jeżeli X jest zbiorem z dodatkową strukturą, to zamiast zbio-
ru eszystkich odwzorowań możemy wziąć podzbiór złożony z odwzorowań zachowujących tę strukturę. Przykłady,

izometrie podzbioru płaszczyzny.

Przykładami naturalnego działania, które nie jest łączne są potęgowanie, iloczyn wwektorowy w R

Przykładami działań, które są łączne i przemienne są iloczyn i suma mnogościowa oraz różnica symetryczna

(ćwiczenia).

Definicja I.3. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie

g : F

× A −→ A

iloczynu kartezjańskiego F × A w zbiór A, elementy zbioru F nazywamy operatorami.

Przykad I.3. Przykładem działania zewnętrznego jest mnożenie wektora przez skalar, inny przykład to mnożenie

funkcji o wartościach rzeczywistych zadanych na danym zbiorze X przez liczby rzeczywiste

R × Func(X, R) ∋ (r, f) 7−→ r · f ∈ Func(X, R).

Definicja I.4. Działanie zewnętrzne g : F × A −→ A nazywamy rozdzielnym względem działania wewnętrznego

h : A

× A −→ A jeżeli dla dowolnych elementów a, b ∈ A i dowolnego p ∈ F mamy

g(p, (h(a, b)) = h(g(p, a), g(p, b))

Działanie zewnętrzne g : F ×A −→ A nazywamy łącznym względem lącznego działania wewnętrznego h : F ×F −→

F jeżeli dla dowolnych elementów p, q

∈ F i dowolnego a ∈ A mamy

g(h(p, q), a) = g(p, g(q, a)).

Działanie zewnętrzne g

: F

× A −→ A i g

: F

× A −→ A nazywamy przemiennymi, jeżeli dla dowolnych

∈ F

, q

∈ F

, a

∈ A mamy

(p, g

(q, a)) = g

(q, g

(p, a)).

Definicja I.5. Struktura algebraiczną określona na zbiorze A nazywamy układ

(A, F

, . . . , F

; h

, . . . , h

, g

, . . . , g

)

złożony ze zbioru A, pewnej liczby działań wewnętrznych h

: A × A −→ A (i = 1, . . . , n) i pewnej liczby działań

zewnętrznych g

: F

× A −→ A (j = 1, . . . , m).

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział I. Teoria Grup

Przykładami struktur algebraicznych są grupa, ciało, przestrzeń wektorowa.

Relacją równoważności w zbiorze A jest relacja: zwrotna, przechodnia i symetryczna.

Definicja I.6. Relację równoważności R w zbiorze A nazywamy zgodną z działaniem wewnętrznym h : A×A −→

A jeżeli dla dowolnych a, b, a

′

, b

′

∈ A zachodzi

(a, a

′

) ∈ R, (b, b

′

) ∈ R ⇒ (h(a, b), h(a

′

, b

′

)) ∈ R.

Relację równoważności R w zbiorze A nazywamy zgodną z działaniem zewnętrznym g : F × A −→ A jeżeli dla

dowolnych a, a

′

∈ A, p ∈ F zachodzi

(a, a

′

) ∈ R ⇒ (g(p, a), g(p, a

′

)) ∈ R.

Relację

równoważności

zbiorze

nazywamy

zgodną

strukturą

(A, F

, . . . , F

; h

, . . . , h

, g

, . . . , g

) jeżeli jest zgodna z każdym działaniem wewnętrznym i zewnętrznym struktury.

Jeżeli R jest relacją równoważnościową w A, to zbiór klas abstrakcji tej relacji oznaczamy przez A/R. Jeżeli relacja

R jest zgodna z działaniem wewnętrznym h : A×A −→ A, to w zbiorze klas abstrakcji A/R możemy określić działanie
wewnetrzne h

∗

: A/R × A/R :−→ A/R za pomocą wzoru

∗

([a], [b]) = [h(a, b)], dla dowolnych a, b ∈ A.

Podobnie jeżeli relacja R jest zgodna z działaniem zewnętrznym g : F × A −→ A, to w zbiorze klas abstrakcji

R możemy określić działanie zewnetrzne g

∗

: F × A/R :−→ A/R za pomocą wzoru

∗

(p, [a]) = [g(p, a)], dla dowolnych p ∈ F, a ∈ A.

Propozycja I.4. Działania indukowane sa poprawnie określone.

Dowód. Należy sprawdzić niezależność od wyboru reprezentantów. Dla działania wewnętrznego, niech [a] =

′

] oraz [b] = [b

′

]. Wtedy mamy (a, a

′

) ∈ R oraz (b, b

′

) ∈ R, ze zgodnośc relacji z działaniem otrzymujemy

(h(a, b), h(a

′

, b

′

)) ∈ R czyli [h(a, b)] = [h(a

′

, b

′

)], co miel;iśmy udowodnić.

Definicja

I.7.

Jeżeli

jest

relacją

równoważnościową

zgodną

strukturą

(A, F

, . . . , F

; h

, . . . , h

, g

, . . . , g

) to strukturę (A/R, F

, . . . , F

; h

∗

, . . . , h

∗

, g

∗

, . . . , g

∗

) nazywamy strukturą ilo-

razową.

Przykad I.5. Relacja R := {(a, b) ∈ Z: a ≡ b mod n} jest relacją równoważności zgodną z dodawaniem,

strukturę ilorazową oznaczamy Z

(reszty modulo n z dodawaniem).

Definicja

I.8.

Jeżeli

sruktury

algebraiczne

(A, F

, . . . , F

; h

, . . . , h

, g

, . . . , g

)

oraz

′

, F

, . . . , F

; h

′

, . . . , h

′

, g

′

, . . . , g

′

) są strukturami w A mają równą liczbę działań i te same zbiory operatorów, to

odwzorowanie Φ : A −→ A

′

nazywamy homomorﬁzmem jeżeli

′

(Φ(a), Φ(b)) = Φ(h

(a, b)), dla a, b ∈ A, i = 1, . . . , n,

′

(p, Φ(a)) = Φ(g

(p, a)), dla a ∈ A, p ∈ F, i = 1, . . . , n.

Homomorﬁzm Φ : A −→ A

′

nazywamy izomorﬁzmem, jeżeli odwzorowaniem Φ jest bijekcją, a odwzorowaniem odwrot-

ne jest również homomorﬁzmem. Homomorﬁzm struktury w siebie nazywamy endomorﬁzmem, natomiast endomorﬁzm,

który jest izomorﬁzmem nazywamy automorﬁzmem.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

2. Grupy

Propozycja I.6. Dla dowolnej struktury (A, F

, . . . , F

; h

, . . . , h

, g

, . . . , g

) i zgodnej z nią relacji równoważ-

nościowej

R odzworowanie ilorazowe A ∋ a 7−→ [a] ∈ A/R jest homomorﬁzmem struktury (A, F

, . . . , F

; h

, . . . , h

, g

, . . . , g

)

na strukturę ilorazową (A/

R, F

, . . . , F

; h

∗

, . . . , h

∗

, g

∗

, . . . , g

∗

Definicja I.9. Podzbiór B ⊂ A nazywamy zamkniętym ze względu na działanie wewnętrzne h : A × A −→ A

jeżeli h(G × B) ⊂, w zbiorze B możemy wtedy wprowadzić działanie indukowane h|B × B : B × B −→ B.

Podobnie zbiór B nazywamy zamkniętym ze względu na działanie zewnętrzne g : F ×A −→ A, jeżeli g(F ×B) ⊂ B,

w zbiorze B możemy wtedy wprowadzić działanie indukowane h|F × B : F × B −→ B.

Jeżeli (A, F

, . . . , F

; h

, . . . , h

, g

, . . . , g

) jest struktura algebraiczną, B ⊂ A jest zbiorem zamkniętym ze wzglę-

du na wszystkie działania h

, g

to strukturę następującą algebraiczną (B, F

, . . . , F

; h

|B × B, . . . , h

|B × B, g

|F ×

B, . . . , g

|F × B) nazywamy struktura indukowaną.

Przykad I.7. Podzbiór N ⊂ Z nie jest zamknięty ze względu na odejmowanie.

2. Grupy

Definicja I.10. (1) Półgrupą nazywamy zbiór (niepusty) z działaniem łącznym.

(2) Monoidem nazywamy półgrupę, która zawiera element neutralny.

(3) Grupą nazywamy monoid, w którym każdy element posiada element odwrotny.

(4) Grupą przemienną (abelową) nazywamy grupę, w której działanie jest przemienne.

Przykad I.8. (1) Zbiór liczb całkowitych (odp. wymiernych, rzeczywistych, zespolonych) z działaniem dodawania

jest grupą.

(2) Zbiór Q

, (odp. Q

∗

) jest grupą z mnożeniem.

(3) Zbiór Z

reszt modulo n z dodawaniem jest grupą.

(4) Zbiór Z

∗

reszt modulo n względnie pierwszych z n jest grupą z mnożeniem.

(5) Zbiór M(n, m; R) jest grupą z dodawaniem.
(6) Zbiór GL(n, R) := {A ∈ M(n, n; R) : det A 6= 0} jest grupą z mnożeniem. Liniowa
(7) Zbiór GL

(n, R) := {A ∈ M(n, n; R) : det A 6> 0} jest grupą z mnożeniem. Orientacji

(8) Zbiór SL(n, R) := {A ∈ M(n, n; R) : det A = 1} jest grupą z mnożeniem. Specjalna liniowa
(9) Zbiór SL(n, Z) := {A ∈ M(n, n; Z) : det A = 1} jest grupą z mnożeniem.
(10) Zbiór O(n) := {A ∈ M(n, n; Z) : A

· A = A · A

= I} jest grupą z mnożeniem. Ortogonalna

(11) Zbiór SO(n) := {A ∈ O(n) : det A = 1} jest grupą z mnożeniem. Specjalna ortogonalna
(12) Zbiór U(n) := {A ∈ M(n, n; C) : ¯

· A = A · ¯

= I} jest grupą z mnożeniem. Unitarna

(13)Zbiór SU(n) := {A ∈ U(n) : det A = 1} jest grupą z mnożeniem. Specjalna unitarna
(14) Zbiór bijekcji Bij(X) zbioru X na siebie jest grupą ze składaniem.

(15) Zbiór permutacji Σ

zbioru n-elementowego jest grupą z mnożeniem. Grupa symetryczna. Uwaga Σ

Bij(

{1, . . . , n}).

(16) Zbiór D

symetrii n–kąta foremnego (oznaczany D

, czasammi D

), jest grupą ze składaniem zwaną grupą

gihedralną.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział I. Teoria Grup

Uwaga. Grupa D

składa się z czterech elementów, identyczności E, dwóch symetrii osiowych H, V i symetrii

środkowej C. Działanie w tej grupie zapisujemy przy pomocy następującej tabelki Cayley’a.

Grupa D

jest symetryczna i jest izomorﬁczna z tzw. grupą czwórkową (VierGruppe) Kleina. Grupy D

są (dla n  3)

nieprzemienne.

Uwaga. Zwykle będziemy oznaczać działanie w grupie sybolm mnożenia, element neutralny symbolem e, nato-

miast element odwrotny symbolem a

−1

. Tam gdzie możeme to prowadzić do nieporozumień będziemyu pisać ·

oraz

Definicja I.11. Odwzorowanie grup f : G

−→ G

Lemat I.9.

(1) Dla dowolnych a, b ∈ G mamy (ab)

−1

= b

−1

(2) Dla dowolnego a ∈ G mamy (a

−1

)

−1

= a.

Dowód. (1) Korzystając z łączności stwierdzamy, że (ab)(b

−1

) = a((bb

−1

) = a(ea

−1

) = aa

−1

= e.

(2) Element a

−1

jest odwrotny do a wtedy i tylko wtedy gdy aa

−1

= a

−1

a = e, ale wtedy również element a jest

odwrotny do a

−1

Definicja I.12. Podzbiór H ⊂ (G, ·) nazywamy podgrupą jeżeli jest zamknięty ze względu na działanie w grupie

G i tworzy z działaniem indukowanym grupę, to znaczy:

(1) e

∈ H,

(2) jeżeli a, b ∈ H to ab ∈ H,
(3) jeżeli a ∈ H to a

−1

∈ H.

Lemat I.10. Niepusty podzbiór H ⊂ G grupy G jest podgrupą wtedy i tylko wtedy gdy

a, b

∈ H ⇒ a · b

−1

∈ H.

Dowód. Jeżli H ⊂ G jest podgrupą oraz a, b ∈ H to b

−1

∈ H, a zatem a · b

−1

∈ H.

Na odwrót, niech H ⊂ G będzie podzbioren spełniającym warunek w Lemacie. Wtedy biorąc dowolne a ∈ H

stwierdzamy, że e = aa

−1

∈ H.

Jeżeli a ∈ H to a

−1

= ea

−1

∈ H.

Ustalmy dowolne a, b ∈ H. Wtedy b

−1

∈ H, a więc ab = a((b

−1

)

−1

) ∈ H.

Wniosek I.11. Jeżeli (H

)

j∈J

jest rodziną podgrup grupy G to

j∈J

jest podgrupą G.

Definicja I.13. Najmniejszą podgrupę grupy G zawierającą ustalony zbiór A ⊂ G nazywamy podgrupą genero-

waną przez A i oznaczamy

hAi.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

2. Grupy

Lemat I.12. Dla dowolnego podzbioru A ⊂ G mamy

hAi =

{H ⊂ G : A ⊂ H, H jest podgrupą G}.

Zamiast h{a

, . . . , a

}i będziemy pisać ha

, . . . , a

Będziemy używać nastepujących oznaczeń a

= e, a

= a · . . . · a

| {z }

n razy

dla n > 0 oraz a

= (a

−1

)

−n

dla n < 0.

Lemat I.13. Dla dowolnego a ∈ G mamy hai = {a

: n ∈ Z}.

Dowód. Ponieważ a

)

−1

= a

n−m

, więc zbiór {a

: n ∈ Z} jest podgrupą G zawierającą {a}, a zatem

hai ⊂ {a

: n ∈ Z}. Z drugiej strony jeżeli H ⊂ G jest dowolną podgrupą taką, że a ∈ H, to a

∈ H dla dowolnego

∈ Z, co dowodzi inkluzji przeciwnej.

Definicja I.14. Grupę nazywamy cykliczną, jeżeli jest ona generowana przez jeden element zwany generatorem.

Przykad I.14. Niech φ będzie dowolną (dodatnią) liczbą rzeczywistą. Zbiór obrotów o całkowite wielokrotności

liczby φ tworzy grupę cykliczną skończoną lub nie. Zbiór pierwiastków zespolonych stopnia n z jedynki jest (skończoną)

grupą cykliczną.

Lemat I.15. (1) Grupa cykliczna jest przemienna.

(2) Każda grupa cykliczna jest izomorﬁczna z

Z lub Z

(3) Podgrupa grupy cykliczne jest cykliczna.

Dowód. (1) Wynika z równości a

= a

n+m

= a

m+n

= a

(2) Niech a będzie generatorem grupy G. Jeżeli istnieje liczba całkowita rózna od zera m taka, że a

= e, to

istnieje również liczba całkowita dodatnia o tej własności (bo a

−m

= (a

)

−1

= e

−1

= e). Niech n będzie najmniejszą

liczbą liczbą naturalną dodatnią taką, że a

= e. Pokażemy, że odwzorowanie

Φ : (Z

, +)

∋ [m] 7→ a

∈ G

jest izomorﬁzmem. Φ jest dobrze określone: jeśli [m] = [m

′

], czyli n|m − m

′

, to istnieje liczba całkowita k taka, że

′

= kn + m. Wtedy a

′

= a

= (a

)

= e

= a

. W podobny sposób sprawdzamy, że odwzorowanie jest

homomorﬁzmem, z deﬁnicji grupy cyklicznej wynika, że jest surjekcją.

Sprawdzimy, że Φ jest iniekcją. Niech a

= a

′

(m m

′

), wtedy a

m−m

′

= a

′

)

−1

= e. Niech m−m

′

= kn+r,

gdzie r ∈ N, r < n. Ponadto że a

= a

)

= a

kn+r

= a

m−m

′

= e, ale ponieważ r < n więc r = 0, czyli [m] = [m

′

W ten sposób sprawdziliśmy, że Φ jest bijekcją, pozostaje zauważyćć, że funkcja odwrotna Φ

−1

jest homomorﬁ-

zmem.

(3) Niech G będzie grupą cykliczną, H jej podgrupą, jeżeli H zawiera co najmniej dwa elelementy to wybieramy

najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią n taką, że a

∈ H. Pokażemy, że a

jest generatorem H. Niech a

będzie

dowolnym elementem grupy H, jeżeli m = 0, to a

= e ∈ ha

Przyjmijmy, że m > 0, to niech m = nk + r, gdzie r ∈ N, r < n. Ponieważ, a

= a

m−nk

= a

)

−k

∈ H, więc

r = 0, czyli a

= (a

)

Jeśli m < 0, to a

−m

= (a

)

−1

∈ H, więc z poprzedniego −m = nk, a stąd a

= (a

)

−k

Wniosek I.16. Dowolna podgrupa grupy Z (różna od {0}) jest izomorﬁczna Z, natomiast dowolna podgrupa grupy

jest izomorﬁczna z

, gdzie d jest dzielnikiem n. Na odwrót, jeżeli d jest dzielnikiem n to grupa

zawiera

podgrupę izomorﬁczną z

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział I. Teoria Grup

Definicja I.15. Permutacją zbioru {1, . . . , n} nazywamy dowolna bijekcję σ : {1, . . . , n} −→ {1, . . . , n}. Złoże-

niem (iloczynem) permutacji σ

, σ

nazywamy odwzorowanie σ

określone jako σ(i) = σ

(σ

(i). Zbiór wszystkich

permutacji zbioru {1, . . . , n} oznaczamy Σ

Propozycja I.17. Zbiór permutacji ze składaniem stanowi grupę. Dla n > 2 grupa Σ

jest nieprzemienna.

Zapis

. . .

oznacza permutację σ dla której σ(i) = a

Definicja I.16. Cyklem k–wyrazowym (długości k, k ¬ n) nazywamy permutację σ taką, że

σ(a

) = a

, σ(a

) = a

, . . . , σ(a

k−1

) = a

, σ(a

) = a

σ(j) = j

dla

6= a

, a

, . . . , a

Cykl długości 2 nazywamy transpozycją.

Cykl zapisujemy jako

, a

, . . . , a

Twierdzenie I.18.

(a) Cykle rozłączne są przemienne.

(b) Każda permutacja jest złożeniem cykli rozłącznych.

(d) Każda transpozycja jest złożeniem nieparzystej liczby transpozycji wyrazów sąsiednich.

Dowód. (a) Rozważmy dwa rozłączne cykle σ = (a

, a

, . . . , a

) oraz τ = (b

, b

, . . . , b

). Jeżeli m 6= a

, b

στ (m) = τ σ(m) = m. Jeżeli m = a

, to στ(m) = σ(a

) = a

i+1

= τ(a

+ 1) = τσ(m). Podobnie gdy m = b

(b) W zbiorze {1, . . . , n} wprowadzamy relację równoważności (i, j) ∈ R, jeżeli ∃k ∈ Z taka, że σ

(i) = j.

Permutacja σ zacieśniona do dowolnej klasy abstrakcji relacji R jest cyklem.

, a

, . . . , a

) = (a

, a

)(a

, a

k−1

) . . . (a

, a

)(a

, a

(d) Jeżeli i < j to

(i, j) = (i, i + 1)(i + 1, i + 2) . . . (j − 2, j − 1)(j − 1, j)(j − 2, j − 1) . . . (i + 1, i + 2)(i, i + 1)

(zauważmy, żeli liczba k < i lub k > j nie jest ruszana w ogóle, liczba i < k < j najpierw przejdzie w k −1, a następnie
z powrotem w k, liczba i przejdzie kolejnow i + 1, i + 2, . . . , j, j

, . . . , i, podobnie j). Liczba transpozycji w powyższym

rozkładzie jest równa 2(j − i) − 1.

Dla dowolnej permutacji σ =

. . .

określamy liczbę

R(σ) =

1¬i<j¬n

− a

Uwaga. Liczba R(σ) jest równa wyznacznikowi Vandermonde’a

= det







1 a

. . .

n−1

1 a

. . .

n−1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 a

. . .

n−1







Lemat I.19. Jeżeli σ jest permutacją, a τ transpozycją, to R(στ) = −R(σ).

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

2. Grupy

Dowód. Najpierw dowiedziemy lematu w szczególnym przypadku, gdzy τ = (i, i + 1) jest permutacją sąsiednich

elementów. Jeżeli σ =

. . .

στ =

. . .

i + 1 . . .

. . .

i+1

. . .

A zatem w iloczynie określającym R(στ) w porównaniu z iloczynem określającym R(σ) występuje a

−a

i+1

zamiast

i+1

− a

, pozostałe czynniki są bez zmian. To kończy dowód w szczególnym przypadku. Przypadek ogólny wynika z

tw. I.18.(d).

Wniosek I.20. Dla dowolnej permutacji σ zachodzi R(σ) = ±R(1).

Definicja I.17. Permutację σ nazywamy parzystą (odp. nieparzystą) jeżeli R(σ) = R(1) (odp. R(σ) = −R(1)).

Znakiem permutacji nazywamy liczbę R(σ)/R(1)

Twierdzenie I.21. Permutacja σ jest parzysta (odp. nieparzysta) jeżeli w dowolnym rozkładzie σ na iloczyn

transpozycji występuje parzysta (odp. nneparzysta) liczba czynników.

Zbiór permutacji parzystych tworzy podgrupę grupy Σ

zwaną grupą alternującą A

Odwzorowanie sgn : Σ

−→ ({−1, 1}, ·) ∼

= Z

jest homomorﬁzmem grup.

Uwaga. Nieporządkiem w permutacji σ =

. . .

nazywamy dowolną parę 0 ¬ i < j ¬ n taką,

że a

> a

. Permutacja jest parzysta (nieparzysta) gdy liczba nieporządków jest parzysta (nieparzysta).

Definicja I.18. Rzędem grupy G nazywamy liczbę |G| jej elementów, rzędem |x| elementu a ∈ G nazywamy rząd

grupy hxi.

Lemat I.22.

(1) |Z| = ∞, |Z

| = n, |D

| = 2n, |Σ

| = n!, |A

| =

(2) Jeżeli |a| = ∞, to a

= e wtw gdy k = 0.

(3) |a| = min{k ∈ Z

: a

= e},

(4) a

= e ⇔ |a| | k,

(5) a

= a

⇔ k ≡ l mod |a|,

(6) Jeśli k | |a| to |a

| =

|a|

Dowód. Wykażemy, że |A

| =

(reszta jest oczywista – ćwiczenie). Niech τ będzie dowolną ustaloną transpo-

zycją. Zauważmy, odwzorowanie A

∋ σ 7−→ στ ∈ Σ

\ A

jest bijekcją.

Uwaga. Zbiór elementów rzędu skończonego w grupie abelowej jest podgrupą, a w nieabelowej nie musi być

(ćwiczenie, np. w grupie macierzy).

Definicja I.19. Niech H ⊂ G będzie podgrupą.

R = {(a, b) ∈ G : ab

−1

∈ H}

prawa równoważność

L = {(a, b) ∈ G : a

−1

∈ H}

lewa równoważność

Klasy abstrakcji tych relacji nazywamy warstwami prawostronnymi i lewostronnymi podgrupy H w G.

Twierdzenie I.23.

(1) Wartstwy prawostronne są postaci Ha = {ha : a ∈ H}.

Wartstwy lewostronne są postaci aH =

{ah : a ∈ H}.

(2) Dla dowolnego a ∈ G mamy #Ha = #aH = #H.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział I. Teoria Grup

(3) #(G/R) = #(G/L).

Dowód. (3) Bijekcja G/L ∋ Ha 7−→ a

−1

∈ G/R.

Definicja I.20. Indeksem podgrupy H ⊂ G nazywamy liczbę [G : H] := #(G/R) = #(G/L) prawych (lewych)

warstw względem H.

Twierdzenie I.24. Jeżeli K ⊂ H są podgrupami G, to

[G : K] = [G : H][H : K].

Dowód. Niech a

H, α

∈ A będą warstwami H w G, natomiast b

K, β

∈ B warstwami K w H. To znaczy

[

α∈A

H = G,

[

β∈B

K = H

∩ a

′

H =

∅, dla α 6= α

′

∩ b

′

K =

∅, dla β 6= β

′

Pokażemy, że a

K, (α, β)

∈ A × B są warstwami K w G. Jeżli a

∩ a

′

6= ∅, to ponieważ b

K, b

′

⊂ H,

więc a

∩ a

′

⊃ a

∩ a

′

6= ∅, a stąd a

∩ a

′

6= ∅. A zatem α = α

′

. Mamy więc b

∩ b

′

K =

∅, skąd

β = β

′

i ostatecznie (α, β) = (α

′

, β

′

). Ponadto

(α,β)∈A×B

K =

α∈A

β∈B

K =

α∈A

β∈B

K =

α∈A

H = G.

A zatem [G : H] = #A, [G : K] = #B, [G : H] = #(A × B) = #A#B = [G : H][H : K].

Wniosek I.25 (Twierdzenie Lagrange’a). Jeżeli H jest podgrupą G to

|G| = [G : H]|H|

Jeżeli grupa G jest skończona, to dla dowolnej podgrupy H

⊂ G mamy |H| | |G| oraz dla dowolnego a ∈ G mamy

|a| | |G|.

Wniosek I.26. Jeżeli G jest grupą skończoną, |G| = k, to dla dowolnego a ∈ G zachodzi a

= e.

Wniosek I.27. Grupa, której rząd jest liczbą pierwszą nie zawiera podgrup nietrywialnych i jest grupą cykliczną

izomorﬁczną z

Dowód. Jeżeli G = hei, to Wniosek jest oczywisty. Jeżeli nie. to niech a ∈ G, a 6= e. Wtedy |hai| jest liczbą

większą od 1 i dzielącą liczbę pierwszą |G|, a zatem G = hai.

Niech φ(n) będzie liczbą reszt modulo n względnie pierwszych z n, można pokazać, że φ(n) = (p

−1)p

−1

. . . (p

−

1)p

−1

, gdzie n = p

. . . p

jest rozkładem na czynniki pierwsze. (Funkcję φ nazywamy funkcją Eulera).

Wniosek I.28 (Ćwiczenie).

Jeżeli (a, n) = 1, to a

φ(n)

≡ 1 mod n,

(Twierdzenie Eulera).

Jeżeli p jest liczba pierwszą i p

∤ a, to a

p−1

≡ 1 mod p,

(Małe Twierdzenie Fermata).

Definicja I.21. Podgrupę N grupy G nazywamy normalną (oznaczamy N ⊳ G) jeżeli xnx

−1

∈ N dla dowolnych

∈ N, x ∈ G.

Lemat I.29. Dowolna podgrupa grupy abelowej jest normalna.

Dowód. Jeżeli G jest grupą abelową to dla dowolnych n ∈ N, x ∈ G mamy xnx

−1

= xx

−1

n = en = n

∈ N.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

2. Grupy

Propozycja I.30. Niech N będzie podgrupą grpy G. Następujące warunki są równoważne

(1) N jest podgrupą normalną G,

(2) xNx

−1

⊂ N dla dowolnego x ∈ G,

(3) xNx

−1

= N dla dowolnego x ∈ G,

(4) xN = Nx dla dowolnego x ∈ G,
(5) Dowolna lewa warstwa jest również warstwą prawą,

(6) R = L,
(7) Relacja L jest zgodna z działaniem w grupie,
(8) Relacja R jest zgodna z działaniem w grupie,

Dowód. (1) ⇒ (2), (4) ⇒ (5) ⇒ (6) są oczywiste.
(2) ⇒ (3). Ustalmy dowolny x ∈ G. Wiemy, że xNx

−1

⊂ N. Ale mamy również N = x

−1

(xNx

−1

)x ⊂ xNx

−1

zatem xNx

−1

= N.

(3) ⇒ (4). Mamy xN = (xNx

−1

)x = Nx.

(6) ⇒ (1). Wybierzmy dowolne n ∈ N, x ∈ G. Ponieważ n

−1

= n

−1

x = (xn)

−1

∈ N, więc (xn, x) ∈ L = R.

Stąd xnx

−1

∈ N, czyli N jest podgrupą normalną.

(1) ⇒ (7). Niech a, b, a

′

, b

′

∈ N takie, że (a, b) ∈ L, (a

′

, b

′

) ∈ L, tzn, a

−1

∈ N, a

′−1

′

∈ N. Wtedy a

′−1

−1

′

∈ N,

więc (aa

′

)

−1

′

= a

′−1

−1

′

= a

′−1

−1

′

′−1

′

∈ N, czyli (aa

′

, bb

′

) ∈ L.

(1) ⇒ (8) dowodzi się analogicznie.
Implikacje (7) ⇒ (1) oraz (8) ⇒ (1) są szzególnym przypadkiem poniższego Lematu.

Lemat I.31. Jeżeli relacja równoważności R jest zgodna z działaniem w grupie G to zbiór

{a ∈ G : (a, e) ∈ R}

jest podgrupą normalną.

Dowód. Oznaczmy N := {a ∈ G : (a, e) ∈ R}. Jeżeli a, b ∈ N, to (a, e) ∈ R oraz (b, e) ∈ R. Z symetrii relacji

mamy (e, b) ∈ R, a ze zwrotności (b

−1

, b

−1

) ∈ R. Ponieważ relacja R jest zgodna z działaniem więc mnożąc stronami

dostajemy (ab

−1

, e) = (aeb

−1

, ebb

−1

) ∈ R, więc N jest podgrupą.

Niech teraz a ∈ N, x ∈ G. Ze zwrotności R i deﬁnicji N mamy (x, x) ∈ R, (n, e) ∈ R, (x

−1

, x

−1

) ∈ R, Mnożąc

stronami otrzymujemy (xnx

−1

, e) = (xnx

−1

, xex

−1

) =∈ R, więc xnx

−1

∈ N, czyli N ⊳ G.

Definicja I.22. Niech N będzie pdogrupą normalną grupy G. Grupą ilorazową G/N nazywamy zbiór warstw N

w G z działaniem mnożenia (xN)(yN) = xyN.

Uwaga. Powyższ deﬁnicja pokrywa się z deﬁnicją ilorazu grupy przez relację zgodną, G/N = G/L.

Przykad I.32. A

jest podgrupą normalną Σ

indeksu 2. Jedynymi podgrupami normalnymi A

są hei, A

oraz

grupa indeksu 2 izomorﬁczna z czwórką Kleina.

Zbiór obrotów jest podgrupą normalną grpuy D

indeksu 2. Wyznaczyć wszystkie podgrupy (normalne) grupy

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział I. Teoria Grup

Definicja I.23. Odwzorowanie Φ : G

−→ G

grup nazywamy homomorﬁzmem jeżeli Φ(g

) = Φ(g

) ·

Φ(g

). Homomorﬁzm Φ : G

−→ G

nazywamy izomorﬁzmem, jeżeli odwzorowaniem Φ jest bijekcją (wtedy odwzoro-

wanie odwrotne jest również homomorﬁzmem). Homomorﬁzm grupy w siebie nazywamy endomorﬁzmem, natomiast

endomorﬁzm, który jest izomorﬁzmem nazywamy automorﬁzmem.

Jądrem homomorﬁzmu Φ : G

−→ G

nazywamy zbiór Ker Φ := {g ∈ G

: Φ(g) = e}.

Lemat I.33. Jeżeli Φ : G

−→ G

jest homomorﬁzmem, to

(1) Φ(e

) = e

(2) Φ(x

−1

) = (Φ(x))

−1

(3) Φ(G

) jest podgrupą G

(4) Jądro Ker Φ jest podgrupą normalną G

(5) Φ jest monomorﬁzmem wtedy i tylko wtedy gdy Ker Φ = he

Dowód. (1) Niech a := Φ(e

). Wtedy a

= Φ(e

)·Φ(e

) = Φ(e

) = a, a stąd a = a

−1

= aa

−1

(2) Ponieważ Φ(x

−1

)Φ(x) = Φ(x

−1

x) = Φ(e

) = e

, więc Φ(x

−1

) = (Φ(x))

−1

(3) Niech Φ(a), Φ(b) będą dowolnymi elementami Φ(G

). Wtedy Φ(a)(Φ(b))

−1

= Φ(ab

−1

) ∈ Φ(G

(4) Niech x ∈ G, a ∈ Ker(Φ). Wtedy Φ(xnx

−1

) = Φ(x)Φ(n)Φ(x

−1

) = Φ(x)e

Φ(x

−1

) = Φ(xx

−1

) = Φ(e

) = e

czyli xnx

∈ Ker(Φ).

Przykad I.34. Grupy Σ

i D

są izomorﬁczne, natomiast grupy Z

oraz D

nie są izomorﬁczne.

Propozycja I.35. Niech Φ : G −→ H będzie homomorﬁzmem grup, N ⊳ G. Jeżeli N ⊂ Ker Φ to odwzorowanie

Φ : G/N ∋ gN 7→ Φ(g) ∈ H

jest dobrze określonym homomorﬁzmem grup.

Ponadto ˆ

Φ jest monomorﬁzmem wtedy i tylko wtedy gdy Ker Φ = N.

Dowód. Jeżeli g, g

′

∈ G takie, że gN = g

′

N to g

−1

′

∈ N ⊂ Ker Φ. A więc Φ(g)(Φ(g

′

))

−1

= Φ(g

−1

′

) = e, więc

Φ(g) = Φ(g

′

), i w konsekwencji ˆ

Φ jest dobrze określone.

Oczywiście ˆ

Φ((gN)(g

′

N )) = ˆ

Φ(gg

′

N ) = Φ(gg

′

) = Φ(g)Φ(g

′

) = ˆ

Φ(gN)ˆ

Φ(g

′

N ), więc ˆ

Φ jest homomorﬁzmem.

Jeżeli N = Ker Φ oraz ˆ

Φ(gN) = ˆ

Φ(g

′

N ) to Φ(g

′

−1

) = Φ(g

′

)(Φ(g))

−1

= e

, więc g

′

−1

∈ Ker Φ = N. A zatem

gN = g

′

N , czyli ˆ

Φ jest monomorﬁzmem.

Jeżeli ˆ

Φ jest monomorﬁzmem oraz g ∈ Ker Φ to ˆΦ(gN) = Φ(g) = e

. Zatem gN = N, czyli g∈ N.

Wniosek I.36 (Twierdzenie o epimorﬁźmie). Niech Φ : G −→ H będzie homomorﬁzmem grup, N ⊳ G. Wtedy

Φ(G) ∼

Ker φ

Lemat I.37. Jeżli H jest podgrupą grupy G, a N jest podgrupą normalną, to HN = {hn : h ∈ H, n ∈ N} jest

podgrupą G.

Dowód. Wybierzmy dowolne hn, h

′

∈ HN. Wtedy hn(h

′

)

−1

= h(nn

′−1

= hh

′−1

′

(nn

′−1

. Ponie-

waż N ⊳ G, więc h

′

(nn

′−1

∈ N i ostatecznie hn(h

′

)

−1

∈ HN.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

2. Grupy

Twierdzenie I.38 (Pierwsze twierdzenie o izomorﬁzmie). Jeżli H jest podgrupą grupy G, a N jest podgrupą

normalną,

∼

∩ H

Dowód. Rozważmy odwzorowanie Φ : H ∋ h 7→ hN ∈ HN/N. Wtedy Φ jest epimorﬁzmem oraz Ker φ = N ∩ H.

Teza wynika z Wniosku I.36.

Twierdzenie I.39 (Drugie twierdzenie o izomorﬁzmie). Jeżeli M, N są podgrupami normalnymi grupy G oraz

⊂ N to

∼

G/M
N/M

Dowód. Rozważmy odwzorowanie Φ : G/M ∋ gM 7→ gNinG/N. Oczywiście odwzorowanie to jest epimorﬁzmem

oraz Ker Φ = N/M. Teza wynika z Wniosku I.36.

Definicja I.24. Iloczynem prostym grup G

, . . . , G

nazywamy zbiór G = G

× · · · × G

z działaniem

, . . . , g

)(h

, . . . , h

) = (g

, . . . , g

Przykad I.40. (Ćwiczenie)

(1) Jeśli (p, q) = 1 to grupy Z

× Z

oraz Z

są izomorﬁczne.

(2) Grupy Z

× Z

oraz Z

nie są izomorﬁczne.

(3) Dla dowolnej liczby pierwszej p dowolna grupa rzędu 2p jest izomorﬁczna z Z

(abelowa) lub D

(dla p 6= 2

nieabelowa).

Lemat I.41. Dla dowolnych grup G

, . . . , G

oraz dowolnej permutacji σ

∈ Σ

grupy G

× · · · × G

oraz G

· · · × G

są izomorﬁczne.

Dla dowolnych grup G

, . . . , G

, H

, . . . , H

grupy (G

× · · · × G

) × (H

. . . H

) oraz G

× · · · × G

× H

. . . H

są izomorﬁczne.

Dowód. Oczywiste.

Uwaga. Uwaga, w przypadku nieskońćzonych rodzin grup {G

}

i∈I

mamy dwa różne pojęcia iloczynu proste-

i∈I

= {(g

)

i∈I

: g

∈ G

}, oraz ograniczonego iloczynu prostego

ω
i∈I

= {(g

)

i∈I

: g

∈ G

, g

dla prawie wszystkich i ∈ I}. Iloczyn prosty jest produktem w kategorii grup, w przypadku grup abelowych

ogranoczony loczyn prosty nazywamy sumą prostą (ozn.

), jest on koproduktem w kategorii grup abelowych.

Twierdzenie I.42 (Twierdzenie Cayley). Jeżeli G jest grupą skończoną rzędu n to G jest izomorﬁczna z podgrupą

grupy Σ

Dowód. Ustalmy element x ∈ G, niech σ

: G ∋ g 7→ σ

(g) = xg ∈ G. Odwzorowanie σ

jest bijekcją zbioru G

na siebie, czyli mamy odwzorowanie σ : G ∋ x 7→ σ

∈ Bij(G).

Ponieważ σ

(g) = xyg = σ

(yg) = σ

(g), więc σ

= σ

, czyli σ jest homomorﬁzmem. Ponieważ σ

(e) = x,

więc σ jest monomorﬁzmem, a więc izomorﬁzmem na obraz będący podgrupą grupy Bij(G) ∼

= Σ

Definicja I.25. Lewym działaniem grupy G na zbiorze X nazywamy odwzorowanie G × X ∋ (g, x) 7→ g.x ∈ X

takie, że

(1) g.(h.x) = (gh).h,

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział I. Teoria Grup

(2) e

.x = x.

Orbitą elementu x

∈ X zbioru X nazywamy podzbiór {g.x : g ∈ G} ⊂ X, stabilizatorem x nazywamy podgrupę

{g ∈ G : g.x = x} grupy G.

Przykad I.43 (Ćwiczenie).

(1) Σ

× {1, . . . , n} ∋ (σ, x) 7→ σ(x) ∈ {1, . . . , n},

(2) Jeżeli H jest podgrupą grupy G to H działa na G poprzez lewe translacje H × G ∋ (h, x) 7→ hx ∈ G (orbity

to lewe warstwy)

(3) Jeżeli H jest podgrupą grupy G to H działa na G poprzez (h, x) 7→ xh

−1

∈ G (orbity to prawe warstwy)

(4) Jeżeli H jest podgrupą grupy G to H działa na G poprzez sprzężenie (h, x) 7→ hxh

−1

∈ G.

Jeśli G działa na siebie poprzez sprzężenie to orbitę elementu x nazywamy klasą sprzężeń elementu x

Np. W przypadku grupy GL

klasy sprzężeń są wyznaczone przez tzw. rozkład Jordana.

Jeśli H działa na G poprzez sprzężenia, to grupę izotropii C

(x) = {h ∈ H : hxh

−1

= x} = {h ∈ H :

hx = xh

} nazywamy centralizatorem x w H.

Lemat I.44. Jeżeli grupa skończona G działa na zbiorze X, to rbita elementu x ∈ X zawiera [G : H] elementów,

gdzie H jest stabilizatorem x.

Dowód. Odwzorownie G/L

∋ gH 7→ g.x ∈ Orb x jest bijekcją zbioru lewych warstw podgrupy H w G na orbitę

elementu x.

Definicja I.26. Centrum grupy G nazywamy zbiór

Z(G) =

{g ∈ G : hg = gh dla dowolnego h ∈ G}.

Centralizatorem elementu g grupy G nazywamy zbiór

C(g) =

{h ∈ G : hg = gh}.

Uwaga. Centralizator dowolnego elementu jest podgrupą, a centrum jest podgrupą normalną grupy G.

Propozycja I.45. Niech G będzie grupą skończoną, p liczba pierwszą taką, że p

| |G|, dla pewnego k ∈ Z

Wtedy p

| |H| dla pewnej podgrupy właściwej H $ G lub p | |Z(G)|

Dowód. Wybierzmy elementy g

, . . . , g

∈ G \ Z(G)) takie, że każda klasa sprzężeń zawarta w G \ Z(G) zawiera

dokładnie jeden z tych elementów. Niech n

będzie liczbą elementów klasy sprzężeń g

i niech C(g

) będzie centraliza-

torem g

. Wtedy C(g

) jest właściwą podgrupą G. Jeśli p

nie dieli rzędu żadnej podgrupy właściwej, to p | n

. Ale

| |Z(G)| + n

+ · · · + n

, a stąd p dzieli rząd centralizatora Z(G).

Twierdzenie I.46 (Twierdzenie Cauchy’ego). Jeśli G jest grupą skończoną, której rząd jest podzielny przez liczbę

pierwszą p, to G zawiera element rzędu p.

Dowód. Niech S := {(a

, . . . , a

) ∈ G

: a

· · · · · a

= e}. Ponieważ (e, . . . , e) ∈ S, więc S 6= ∅. Ponieważ |G| = n,

więc p | S. Rozważmy działanie Z

× S ∋ (k, (a

, . . . , a

)) 7→ k(a

, . . . , a

) := (a

k+1

, . . . , a

, a

, . . . , a

p−1

) ∈ S. Niech

:= {a ∈ S : ka = a}.

Podobnie jak poprzednio pokazujemy, że p | |S

|, więc |S

| > 1, czyli istnieje a ∈ G \ hei takie, że a

= e.

Definicja I.27. Grupę skończoną, w której rząd każdego elementu jest potegą liczby pierwszej p nazywamy

p–grupą. Podgrupę H

⊂ G, która jest p–grupą nazywamy p–podgrupą.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

2. Grupy

Wniosek I.47. Grupa skończona jest p–grupą, gdy jej rząd jest potęgą liczby p.

Lemat I.48. Jeżeli G jest p-grupą, to istnieje podgrupa n w G rzędu p zawarta w centrum G.

Dowód. Niech |G| = p

. Wtedy p

jest dzielnikiem rzędu grupy G, ale nie jest dzielnikiem rzędu żadnej podgrupy

właściwej, a więc z poprzedniej Propozycji p dzieli |Z(G)|. Na mocy Tw. Cauchy’ego Z(G) zawiera element rzędu p,
grupa cykliczna generowana przez ten element ma rząd p i jest oczywiście podgrupą normalną.

Definicja I.28. Niech G będzie grupą skończoną, p liczbą pierwszą. p–podgrupą Sylova nazywamy dowolną pod-

grupę rzedu p

, takiego że p

k+1

nie dzieli rzędu G.

Twierdzenie I.49 (Pierwsze Twierdzenie Sylova). Niech G będzie grupą skonczoną, i niech p będzie liczbą pierwszą

dzielącą

|G|. Wtedy G zawiera p–podgrupę Sylova.

Dowód. Dowód przez indukcję na |G|. Dla grupy rzędu 1 tw. jest oczywiste. Przypuścmy, że tw. zachodzi dla

dowolnej grupy, której rząd jest mniejszy od |G|. Niech k będzie największym wykładnikiem dla którego p

dzieli

rząd G. Jeśli istnieje właściwa podgrupa H grupy G, której rząd dzieli się przez p

, to na mocy założenia H zawiera

podgrupę Sylova, czyli podgrup rzędu p

, ale jest to również podgrupa Sylova grupy G.

Jeżeli natomiast p

nie dzieli rzędu G, to p dzieli rząd centrum Z(G) (Propozycja), i na mocy Tw. Cauchy’ego Z(G)

zawiera element rzędu p, który generuje podgrupę normalną N ⊳ G rzędu p. Na mocy założenia indukcyjnego G/N

zawiera podgrupę Sylova L rzędu p

k−1

(gdyż |G/N| = |G|/p). Niech K := {g ∈ G : gN ∈ L}. Wtedy |K| = p|L| = p

i K jest p–podgrupą Sylova.

Twierdzenie I.50 (Drugie Twierdzenie Sylova). Niech G będzie grupą skończoną, i niech p będzie liczbą pierwszą

dzielącą

|G|. Wtedy każde dwie podgrupy Sylova są sprzężone oraz dowolna p–podgrupa G zawiera się w pewnej p–

podgrupie Sylova. Ponadto liczba p–podgrup Sylova w G dzieli rząd grupy G i przystaje do 1 modulo p.

Przykad I.51. Niech p będzie liczbą pierwszą. Dowolna grupa rzędu p

jest abelowa, izomorﬁczna z Z

lub

⊕ Z

Dowód. Niech |G| = p

. Ponieważ p

| |G|, ale p

nie dzieli rzędu żadnej podgrupy właściwej w G, więc p | |Z(G)|.

Gdyby |Z(G)| = p, to Z(G), byłoby grupą cykliczną, oznaczmy przez a jej generator i przez b dowolny element
z G \ Z(G). Wtedy ab = ba, więc zbiór elementów postaci a

jest podgrupą przemienną rzędu większego od p

idzielącego p

czli równego p

, a więc G jesr grupą abelową. Sprzecność.

Zatem Z(G) = D, czyli G jest grupą abelową. Jeśli G zawiera element rzędu p

to jest izomorﬁczna z Z

. Jeśli

nie, to niech a będzie dowolnym elementem rzędu p, oraz b ∈ G \ hai. Odwzorowanie Z

⊕ Z

∋ (k, l) 7→ a

∈ G jest

izomorﬁzmem.

Podgrupy normalne grupy alternującej.

Dla n = 1, 2 grupa alternująca A

jest trywialna. Dla n = 3 grupa alternująca A

ma rząd 3, więc A

∼

= Z

jedynymi jej podgrupami są hei i A

Propozycja I.52. Jedynymi normalnymi podgrupami A

są

hei, grupa (VierGruppe) Kleina V

oraz A

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział I. Teoria Grup

Dowód. Zauważmy że A

składa się z następujących elementów: permutacja trywialna 1, cykl długości 3 po-

staci (i, j, k) oraz iloczynów dwóch rozłącznych transpozycji postaci (i, j)(k, l). Są to odpowiednio elementy rzędu 2

oraz trzy w grupie A

. Bezpośrednim rachunkiem sprawdzamy, że zbiór V

= {1, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}

jest podgrupą (np. (1, 2)(3, 4)(1, 3)(2, 4) = (1, 4)(2, 3)). Ponieważ dla dowolnego σ ∈ A

mamy σ(1, 2)(3, 4)σ

−1

(σ(1), σ(2))(σ(3)σ(4)), więc V

⊳

. W szcególności każde dwa elementy rzędu 2 są sprzężone.

Niech teraz H ⊂ A

będzie podgrupą normalną różną od hei, V

. Jeśli H zawiera element rzędu dwa to zawiera

wszystkie elementy rzędu dwa czyli zawiera V

, a ponieważ [A

: V

] = 3 jest liczbą pierwszą, więc H = A

lub H = V

Jeżeli (i, j, k) ∈ H jest 3–cyklem, σ ∈ A

to σ(i, j, k)σ

−1

= (σ(i)σ(j)σ(k), więc każdy 3–cykl w A

jest sprzężony

albo z (i, j, k) albo (i, k, j) = (i, j, k)

, czyli H zawiera kazdy 3–cykl. Ale ponieważ (i, j, k)(j, k, l) = (i, j)(k, l), więc

H = A

Definicja I.29. Grupę G nazywamy prostą jeśli jedynymi podgrupami normalnymi G są hei oraz G.
Grupę G nazywamy rozwiązalną jeśli istnieje ciąg podgrup hei = G

⊳

· · · ⊳ G

= G w G taki, że iloraz G

i−1

jest grupą abelową.

Propozycja I.53. Grupa A

jest prosta.

Dowód. Niech hei 6= H⊳A

. Jeżeli H zawiera cykl dlugości trzy to H = A

. Podobnie jak poprzednio pokazujemy,

że jeżeli (i, j, k) ∈ H jest 3–cyklem, σ ∈ A

to σ(i, j, k)σ

−1

= (σ(i)σ(j)σ(k), więc każdy 3–cykl w A

jest sprzężony z

(i, j, k). Czyli H zawiera wszystkie 3–cykle, a ponieważ (i, j, k)(j, k, l) = (i, j)(k, l), więc H = A

Jeśli H zawiera element rzędu dwa, to znaczy iloczyn transpozycji rozłącznych np. (1, 2)(3, 4), to ponieważ

(3, 4, 5)(1, 2)(3, 4)(3, 4, 5)

−1

= (1, 2)(4, 5) ∈ H, więc (3, 4, 5) = (1, 2)(3, 4)(1, 2)(4, 5) ∈ H, a zatem H = A

A zatem H składa się wyłącznie z cykli długości 5. Jeśli np. (1, 2, 3, 4, 5) ∈ H to (1, 2)(1, 2, 3, 4, 5)(1, 2)

−1

(1, 3, 4, 5, 2) ∈ H, ale (1, 2, 3, 4, 5)(1, 3, 4, 5, 2) = (1, 4)(3, 5) ∈ H, i dalej H = A

Lemat I.54. Jeżeli G jest grupą rozwiązalną H ⊂ G podgrupą w G, to H jest również grupą rozwiązalną.

Dowód. Niech hei = G

⊳

· · · ⊳ G

= G będą podgrupami w G takimi, że iloraz G

i−1

jest grupą abelową.

Zdeﬁniujmy H

:= H ∩ G

. Oczywiście H

i−1

⊳

, a ponadto

i−1

∩ H

i−1

∩ (G

∩ H)

∼

i−1

∩ H)

i−1

czyli

i−

jest izomorﬁczna z podgrupą grupy abelowej

i−

, a więc jest grupą abelową.

Wniosek I.55. Grupa A

, Σ

nie jest rozwiązalna dla n

Dowód. Każda grupa A

dla N  5 zawiera podgrupę izomorﬁczną z A

, ponadto grupa S

zawiera grupę

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

ROZDZIAŁ II

Elementy teorii Galois

1. Wielomiany jednej zmiennej zeczywistej i zespolonej

Algorytm dzielenia wielomianów z resztą:

Jeżeli f, g ∈ C[X] (odp. R[X], Q[X]) to istnieją jedyne wielomiany q (iloraz) i r (reszta) ∈ C[X] (odp. R[X], Q[X])

takie, że deg r < deg g oraz f = q · g + r.

Twierdzenie II.1 (Bezout). Reszta z dzielenia wielomianu f przez dwumian X − α jest równa f(α).

Wniosek II.2. Liczba α ∈ C jest pierwiastkiem wielomianu f ∈ C[X], wtedy i tylko wtedy gdy f dzieli się przez

− α,

Wniosek II.3. Wielomian f ∈ C[X] stopnia d 0 ma co najwyżej d pierwiastków zespolonych liczonych z krotno-

ściami.

Twierdzenie II.4 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Wielomian f ∈ C[X] dodatniego stopnia posiada pierwiastek

zespolony.

Dowód (szkic). Niech M > 0 będzie dowolna liczbą dodatnia taką, że |f(0)| < M. Jeżeli f(z) = a

+ a

z +

. . . a

, a

6= 0, to

|f(z)| = |a

||z|

1 +

n−1

n−2

+ · · · +

||z|

1 −

n−1

|z||a

+ |

n−2

|z|

+ · · · +

|z|

więc istnieje R

takie, że |f(z)| 

1
2

||z|

, dla |z| R

. Ponadto istnieje R

takie, że

1
2

||z|

> M dla

|z| R

Zatem |f(z)| > M dla |z| R = max{R

, R

Funkcja |F (z) jest ciagła więc osiaga minumum na zbiorze zwartym ¯

K(0, R) w punkcie z

∈ K(0, R), jest to

minimum globalne funkcji |f(z)| na C.

Chcemy pokazac, że f(z

) = 0, przypuśćmy dla dowodu nie wprost, że f(z

) 6=. Bezstraty ogólności (zastepując w

razie potrzeby f przez

f (z

)

f (z +z

)) możemy przyjąć, że z

= 0 i f(z

) = 1. Niech f(z) = 1 = a

+· · ·+a

, (a

0), czyli f(z) = 1+a

g(z), gdzie g(0) = 0. Niech ζ

∈ C takie, że ζ

= −¯a

. Wtedy f(rζ) = 1−r

(|a

−ζ

g(rζ)).

Istnieje r

> 0 takie, że dla r

∈ (0, r

) zachodzi |ζ

g(rζ)

| <

1
2

, a stąd f(rζ) < 1 −

1
2

, sprzeczność.

Wniosek II.5. Dowolny wielomian f ∈ C[z] jest iloczynem czynników liniowych.

Wniosek II.6. Dowolny wielomian f ∈ R[z] jest iloczynem wielomianów liniowych i kwadratowych (o ujemnym

wyróżniku).

Wersja wstepna

Rozdział II. Elementy teorii Galois

Dowód. Niech α

, . . . , α

będą pierwiastkami f wyisanymi z uwzglednieniem krotnosci. Zauważmy, że f(α) =

f (¯

α), a wiec liczba α jest pierwiastkiem f wtedy i tylko wtedy gdy ¯

α jest pierwiastkiem. Po ewentualnym przenume-

rowaniu mozemy przyjąć, że α

= ¯

, . . . , α

2k−1

= ¯

α2k, α

2k+1

, . . . , α

∈ R.

Wtedy

f (z) = c(z

− α

) . . . (z − α

) =

= c(z − α

)(z − ¯α

) . . . (z − α

2k−1

)(z − ¯α

2k−1

) . . . (z − α

2k+1

) . . . (z − α

) =

= (z

− 2 Re α

z +

|α

) . . . (z

− 2 Re α

2k−1

z +

|α

2k−1

) . . . (z − α

2k+1

) . . . (z − α

)

Niech f, g ∈ C[X], deﬁniujemy indukcyjnie ciąg wielomianów f

, f

, . . . , f

, f

N +1

spełniający

(a) f

= f,

(b) f

= g,

i+11

jest resztą z dzielenia f

i−1

przez f

(d) f

N +1

= 0, f

6= 0.

Twierdzenie II.7 (Algorytm Euclidesa). Wielomian f

jest największym wspólnym dzielnikiem f, g, to znaczy

| f, f

| g oraz dla dowolnego h ∈ C takiego, że h | f i h | g mamy h | f

Uwaga. Największy wspólny dzielnik wielomianów f, g jest okreslony jedynie z dokładnoscia do stałego czynnika.
Jeżeli f, g ∈ R[X] (odp. Q[X]) to f

∈ R[X] (odp. Q[X]).

Propozycja II.8. Jeżeli f ∈ C jest wielomianem dodatniego stopnia to f

red

NWD(f,f

′

)

ma dokładnie te same

pierwiastki co f ale pojedyncze.

Niech f ∈ R[X] będzie wielomianem dodatniego stopnia, bez pierwiastków wielokrotnych i takim, że f(a)f(b) 6= 0

(a < b). Określamy rekurencyjnie ciąg wielomianów f

, f

, . . . , f

, f

N +1

spełniający

(a) f

= f,

(b) f

= f

′

i+1

jest resztą z dzielenia f

i−1

przez f

(d) f

N +1

= 0, f

6= 0.

Oznaczmy przez Z(a) (odp. Z(b)) liczbę zmian znaku w ciagu powstałym z ciagu f

(a), f

(a), . . . , f

(a) (odp.

(b), f

(b), . . . , f

(b)) przez skreslenie wyrazów zerowych.

Twierdzenie II.9 (Sturm). Liczba pierwiastków wielomianu f leżacyh w przedziale (a, b) jest równa Zn(a) −

Zn(b).

Dowód. Rozpatrujemy liczbę Zn(t) dla t ∈ (a, b). Liczba ta moze sięzmieniać jest stała kazdym przdziale, w

ktorym nie znika żaden wielomian f

Jeżeli f

) = 0 dla i > 0, to f

i−1

) i f

i+1

) mają przeciwne znaki. W pobliżu punktu t

mamy więc mozliwe

następujące układy znaków (dla f

i−1

, f

i+1

)

< t

> t

i−1

−

i+1

−

< t

> t

−

< t

> t

−

< t

> t

−

a zatem przy przejściu

przez t

liczba zmian znaku się nie zmieni.

jesli natomiast f

) = 0, to w pobliżu punktu t

mamy mozliwe nastepujące układy znaków dla f

i f

< t

> t

−

< t

> t

−

i przy przejściu przez t

liczba zmian znaku zmniejsza sie o jeden.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

2. Pierścienie i ciała

Definicja II.1. Pierścieniem nazywamy układ (R, +, ·) złożony ze zbioru R i dwóch działań wewnetrznych w R

(zwanych dodawaniem i mnożeniem) spełniający następujące warunki

• (R, +) jest grupą abelową,

• x(yz) = (xy)z dla dowolnych x, y, z ∈ R,
• x(y + z) = xy + xz dla dowolnych x, y, z ∈ R,
• (x + y)z = xz + yz dla dowolnych x, y, z ∈ R.

Lemat II.10. Jeżeli R jest pierścieniem, to

• 0x = x0 = 0,
• (−x)y = x(−y) = −(xy).

Definicja II.2. Element a 6= 0 pierścienia R nazywamy dzielnikiem zera jeżeli istnieje b ∈ R \ 0 taki, że ab = 0.
Pierscień R nazywamy przemiennym jezeli ab = ba dla dowolnych a, b ∈ R.
Pierscień R nazywamy pierścieniem z jedynką jeżeli istnieje element neutralny 1 ∈ R mnożenia.
Element a ∈ R pierścienia z jedynką nazywamy odwracalnym jeżeli istnieje element a

−1

∈ R taki, że aa

−1

a = 1.

Pierścieniem całkowitym nazywamy pierścień przemienny z jedynką i bez dzielników zera.

Pierścieniem z dzieleniem nazywamy pierścień z jedynką, w którym kazdy element różny od zera jest odwracalny.

Ciało jest to pierścień przemienny z dzieleniem, tzn. (R \ 0) jest grupą abelową.

Przykad II.11. Następujące zbiory (z naturalnymi) działaniami są pierścieniami

Z, Z

, M

n×n

(C), 2Z, Z[X], Q[X], R[X], C[X].

√

2] = {a + b

√

2, a, b ∈ Z}

Z[i] = {a + bi, a, b ∈ Z}
Następujące zbiory sa z naturalnymi działaniami ciałem

R, C, Q, Z

(p liczba pierwsza),

√

2] = {a + b

√

2, a, b ∈ Q}

√

2] = {a + b

√

2 + c

√

4, a, b, c ∈ Q}

√

3] = {a + b

√

2 + c

√

3 + d

√

6, a, b, c, d ∈ Q}

Propozycja II.12. Zbiór R

∗

elementów odwracalnych pierścienia R jest grupą (ze wzgledu na mnożenie).

Propozycja II.13. Pierścień skończony bez dzielników zera jest pierścieniem z dzieleniem. Skończony pierścien

całkowity jest ciałem.

Uwaga. Element a ∈ R nie jest dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi dla nniego prawo skracania,

tzn. ab = ac ⇒ b = c oraz ba = ca ⇒ b = c.

Definicja II.3. Homomorﬁzmem pierścieni R, S nazywamy odwzorowanie f : R −→ S takie, że f(a + b) =

f (a) + f (b) oraz f (ab) = f (a)f (b).

Podzbiór S oierscienia (R, +, .) nazywamy podpierścieniem jeżeli (S, +, .) jest pierścieniem.

Podzbiór I ⊂ R nazywamy ideałem jeżeli

• (I, +) jest podgrupą (R, +),

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział II. Elementy teorii Galois

• ar ∈ I dla dowolnych a ∈ I, r ∈ R

Przykad II.14. Zbiór R := C(R, R) jest pierścieniem, podzbiór I := {f ∈ R : f(0) = 0} jest ideałem.
Podzbiór złożony z funkcji ograniczonych (klasy C

dla k > 1) jest podpierscieniem, ale nie jest ideałem.

Lemat II.15. Jeżeli f : R −→ S jest homomorﬁzmem pierścieni to jego obraz f(R) jest podpierścieniem w S

natomiast jądro Ker f jest ideałem w R.

Propozycja II.16. Podzbiór I pierścienia R jest ideałem wtedy i tylko wtedy gdy relacja R

:= {(a, b) : a−b ∈ I}

jest zgodna z działaniami.

Definicja II.4. Pierścieniem ilorazowym pierścienia R przez ideał I nazywamy zbiór R/I klas abstrakcji relacji

z mnożeniem warstw.

Lemat II.17. Jeżeli I jest idealem pierścienia R to naturalne odwzorowanie π : R −→ R/I jest epimorﬁzmem

oraz ker π = I.

Definicja II.5. Jeżeli istnieje dodatnia liczba całkowita n taka, że dla dowolnego r ∈ R zachodzi nr = 0, to

najmniejszą liczbe spełniajkącą ten warunek nazywamy charakterystyką pierścienia R i oznaczamy char(R). Jeżeli

taka liczba nie istnieje, to mówimy że charakterystyka pierścienia R jest równa zero.

Propozycja II.18. Charakterystyka pierścienia całkowitego jest liczbą pierwszą lub zerem.

Jeżeli R jest pierścieniem z 1 to char(R) = min{n ∈ Z

: n · 1

= 0}. Jeżeli R nie ma dzielników zera to (kl)1 = 0,

to k1 = 0 lub l1 = 0.

Wniosek II.19. Jeżeli R jest pierścieniem z 1 to odwzorowanie Z ∋ n 7→ n1

∈ R jest homomorﬁzmem pierścieni.

3. Rozszerzenia ciał

Definicja II.6. Wielomianem o współczynnikach w ciele K nazywamy wyrażenie postaci a

+ a

X +

· · · + a

z naturalnym dodawaniem i mnożeniem. Zbiór wielomianów o współczynnikach w ciele K jest pierścieniem, który

oznaczamy przez KX.

Wielomian f ∈ KX nazywamy rozkładalnym jeżeli daje się przedstawić w postaci f = gh, g, h ∈ KX, deg g <

deg f, deg h < deg f. Wielomian dodatniego stopnia nazywamy nierozkładalnym jeżeli nie jest rozkładalny.

Dowolny wielomian dodatniego stopnia ma jedyny z dokładnością do porządku i czynników stałych rozkład na

iloczyn wielomianów nierozkładalnych.

Definicja II.7. Funkcją wymierną o współczynnikach wviele K nazywamy wyrażenie postaci

+ a

X +

· · · + a

+ b

X +

· · · + b

, b

∈ K, nie wszystkie b

są równe zero.

Definicja II.8. Jeżeli L jest ciałem K ⊂ L jest ciałem z indukowanymi działaniami, to L nazywamy rozszerzeniem

Jeżeli L jest rozszerzeniem K to L jest przestrzenia wektorową nad K.

Definicja II.9. Stopniem rozszerzenia K ⊂ L nazywamy liczbę [L : K] = dim

Lemat II.20. Jeżeli K ⊂ L ⊂ M są rozszerzeniami ciał to [M : K] = [M : L][L : K].

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

4. Rozszerzenia algebraiczne

Dowód. Niech A

, . . . , A

będzie bazą L jako przestrzeni wektorowej nad K, B

, . . . , B

będzie bazą M jako prze-

strzeni wektorowej nad L. Pokażemy, że A

jest bazą M jako przestrzeni wektorowej nad K. Jeżeli

i,j

= 0

(λ

i,j

∈ K), to mamy

(

i,j

= 0. Ponieważ

i,j

∈ L więc

i,j

= 0, a stąd λ

i,j

= 0.

Jeżeli x ∈ M, to x =

. Ale µ

∈ L, więc µ

i,j

. A zatem x =

i,j

Jeżeli K jest ciałem, char = 0, to Φ : Q ∋

p
q

7→

∈ K jest monomorﬁzmem. Im(Φ) jest ciałem izomorﬁcznym z

Jeżeli K jest ciałem charakterystyki p, to F

∋ [n] 7→ n · 1

∈ K jest monomorﬁzmem ciała.

Wniosek II.21. |K| < ∞ to char(K) > 0.

Zatem |K| = p

, gdzie n = [K : F

Odwzorowanie Frobeniusa

Frob

: K ∋ x 7→ x

∈ K

spełnia warunki

Fromb

(x + y) = Frob

(x) + Frob

(y)

Fromb

(xy) = Frob

(x) Frob

(y)

morﬁzm Frobeniusa, podobnie

(Frob

)

: K ∋ x 7→ x

∈ K.

Jeżeli |K| = n = p

, to każdy element ciała K spełnia równanie x

= x

Definicja II.10. Jeżeli K ⊂ L jest rozszerzeniem ciał, A ⊂ L, to

K(A) =

P (a

, . . . , a

)

Q(a

, . . . , a

)

: a

, . . . , a

∈ A, n ∈ N, P, Q ∈ K[X

, . . . , X

], Q(a

, . . . , a

) 6= 0

jest ciałem zwanym rozszerzeniem ciała K o zbiór A. Jest to najmniejsze ciało L

′

takie, że K ∪ A ⊂ L

′

⊂ L.

Podobnie, jeżeli R ⊂ S jest rozszerzeniem pierścieni, A ⊂ S, to

R[A] =

{P (a

, . . . , a

) : a

, . . . , a

∈ A, n ∈ N, P ∈ R[X

, . . . , X

], }

jest pierścieniem, zwanym rozszerzeniem pierścienia S o zbiór A. Jest to najmniejszy pierścień S

′

takie, że R ∪ A ⊂

′

⊂ S.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział II. Elementy teorii Galois

4. Rozszerzenia algebraiczne

Definicja II.11. Niech K ⊂ L będzie rozszerzeniem ciał, element a ∈ L nazywamy algebraicznym nad ciałem K,

jeżeli istnieje wielomian P (X) ∈ K[X] taki, że P 6= 0, P (a) = 0.

Najmniejszy stopień wielomianu P (X) ∈ K[X] takiego, że P 6= 0, P (a) = 0 nazywamy stopniem elementu

algebraicznego a, a wielomian minimalnego stopnia wielomianem minimalnym.

Element, który nie jest algebraiczny nazywamy przestępnym.

Lemat II.22. Dowolny ideał pierścienia K[X] jest główny, tzn.postaci P · K[X] = {P Q : Q ∈ K[X]}.

Dowód. Niech I będzie ideałem pierścienia K[X], jeżeli I = {0}, to I jest główny. Możemy więc przyjąć, że

zbiór I \ {0} 6= ∅. Zatem w zbiorze I \ {0} 6= ∅ istnieje wielomian P najmniejszego stopnia. Oczywiście P K[X] ⊂ I.
Aby pokazać inkluzję przeciwną wybierzmy dowolny element W ∈ K[X]. Z algorytmu dzielenia z resztą istnieją

Q, R

∈ K[X] taki, że W = P Q + R oraz deg R < deg P . Oczywiście R ∈ I, ale z minimalności 6∈ I \ {0}, awięc

R = 0.

Lemat II.23. Jeżeli g ∈ K[X] jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianów f

, f

∈ K[X], to istnieją

, h

∈ K[X] takie, że

g = f

+ f

Dowód. Niech I = {f

+ f

: h

, h

∈ K[X]}, ponieważ I jest ideałem, więc I = P K[X] dla pewnegp P .

Ponieważ, f

, f

∈ I, więc P jest wspólnym dzielnikiem f

i f

, a stąd P |g, czyli ∈ I.

Lemat II.24. Jeżeli f ∈ K[X] jest wielomianem nierozkładalnym, deg f  1, to pierścień ilorazowy K[X]/P K[X]

jest ciałem.

Dowód. Musimy pokazać, że dowolny element różny od zera jest odwracalny. Niech [Q] będzie elementem różnym

od zera, tzn. Q ∈ K[X], P ∤ Q. Wtedy P i Q nie mają wspólnego dzielnika, więc istnieją H − 1, H

]inK[X] takie, że

P H

+ QH

= 1. Wtedy [Q][H

] = QH

= [1] − [P H

] = [1] w K[X]/P K[X].

Twierdzenie II.25. Jeżeli k ⊂ L jest rozszerzeniem ciał, a ∈ L, to nastepujące warunki są równoważne

(1) a jest algebraiczny,

(2) [K(a) : K] < ∞,
(3) Istnieje ciało L

′

⊂ L takie, że a ∈ L

′

oraz [L

′

: K] < ∞,

(4) K[a] jest ciałem.

Dowód. (1) ⇒ (2). Niech P będzie wielomianem minimalnym elementu a i niech n = dim P . Wtedy oczywiście

A jest wielomianem nierozkładalnym. Pokażemy, że 1, a, . . . , a

n−1

jest bazą K(a) nad K. Wybierzmy dowolny element

ζ =

f (a)
g(a)

∈ K(a). Ponieważ g(a) 6= 0, więc g nie dzieli się przez P , czyli g i P nie mają wspólnych dzielników.

Znajdziemy więc z poprzedniego lematu wielomiany h

, h

takie, że h

g + h

P = 1, a stąd ζ =

f (a)
g(a)

= f(a)h

(a). Z

algorytmu dzielenia z resztą istnieja wielomiany q, r ∈ K[x] takie, że deg q < n i fh

= qP + r. Stąd ζ = r(a) =

+ r

a +

· · · + r

n−1

, czyli wskazany zbiór generuje K(a) nad K.

Aby wskazać, że jest liniowo niezależny, wybierzmy dowolne r

, . . . , r

n−1

∈ K takie, że r

· · ·+r

n−1

= 0,

Z deﬁnicji wielomianu minimalnego wynika, że g = r

+ r

X +

· · · + r

n−1

= 0, a stąd r

= · · · = r

n−1

= 0.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

4. Rozszerzenia algebraiczne

(1) ⇒ (4) Musimy pokazać, że dowolny niezerowy element K[a] jest odwracalny. W tym celu zauwazmy, że jeżeli

g(a) jest dowolnym niezerowym elementem K[a] to g nie ma wspólnych dzielników z P , a stąd istnieją wielomiany

, h

takie, że h

g + h

P = 1, czyli

g(a)

= h

(a).

(2) ⇒ (3) jest oczywiste.
(3) ⇒ (2) Ponieważ a ∈ L

′

, K

⊂ L

′

, więc K(a) ⊂ L

′

. Stąd [K(a) : K][L

′

: K(a)] = L

′

: K, a zatem [K(a) : K] ¬

′

: K] < ∞.

(4) ⇒ (1) transpozycja. Jeśli a ∈ L jest elementem przestępnym to odwzorowanie

K[X]

∋ P 7→ P (a) ∈ K[a]

jest izomorﬁzmem pierścieni. Ponieważ K[X] nie jest ciałem, więc K[a] również nie jest ciałem.

(2) ⇒ (1) Jeżeli [K(a) : K] < ∞, to elementy 1, a, . . . , a

są, dla n = [K(a) : K], liniowo zależne, czyli istnieją

, r

, . . . , r

∈ K takie, że r

+ r

a +

· · · + r

= 0. Biorąc P (X) = r

+ r

X + . . . r

otrzymujemy tezę.

Wniosek II.26. deg a = deg P = [K(a) : K].

Wniosek II.27. Jeżeli K ⊂ L jest rozszerzeniem ciał a ∈ L jest elementem algebraicznym nad K, to zbiór

I =

{Q ∈ K[X] : Q(a) = 0} jest ideałem głównym P · K[X]. W szczególności dowolne dwa wielomiany minimalne

róznią się o stały czynnik (różny od zera).

Wniosek II.28. Jeżeli a jest elementem algebraicznym nad K, to odwzorowanie

K[X]/pK[X]

∋ [P ] 7→ P (a) ∈ K[a]

jest izomorﬁzmem ciał.

Uwaga. Jeżeli K ⊂ L

, K

⊂ L

są rozszerzeniami ciał, a

∈ L

są algebraiczne nad K i mają ten sam wielomian

minimalny, to K[a

] ∼

= K[a

] ∼

= K[X]/P K[X].

Przykad II.29. Niech L = C, K = Q, a =

√

2, P (X) = X

− 2, to

K[a] =

{u + v

√

2 + w

√

4 : u, v, w ∈ Q}.

Mnożenie przez dowolny element x

∈ K[a] jest endomorﬁzmem, jego wielomian charakterystyczny zeruje sie w

. W bazie 1,

√

4 macierz ta ma dla x

= u + v

√

2 + w

√

4 postać





2w 2v





a jej wielomian charakterystyczny P (X) = X

− 3uX + (3u

− 6vw)X − (u

+ 2v

+ 4w

− 6uvw) jest wielomianem

minimalnym x

(gdy v, w nie są równe zero).

Wniosek II.30. Jeżeli K ⊂ L jest rozszerzeniem ciał, to zbiór elementów algebraicznych nad K jest ciałem.

Jeżeli a

∈ K, a 6= 0 jest elementem algebraicznym stopnia n, to element przeciwni −a i odwrotny

1
a

są elementem

algebraicznym stopnia n. Jeżeli a, b

∈ K są elementami algebraicznymi stopni n, m to a + b, ab stopnia nie większego

od nm.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział II. Elementy teorii Galois

Przykad II.31. Liczby

√

3 maja stopień 2 nad Q, ich iloczyn ma stopień 2, a suma stopien 4.

Liczby zespolone a = 2

√

2 i b =

√

2 ·

1
2

(−1 +

√

−3) mają stopień 3, a ich suma a + b =

√

3
2

1
2

√

−3) m stopień

Łatwo zauważyć, że macierz mnożenia przez a + b w bazie 1, a, b, a

, ab, b

, a

b, ab

, a

ma postać







0 0

0 0 0

1 1

0 0 0

0 1

0 0 0

16 0

0 0

1 0 0

0 0

1 1 0

0 0

0 1 0

0 16 0 0

0 0 1

0 0

0 0 1

2 0 16 0 0 0







a jej wielomian charakterystyczny jest równy x

−54x

+108x

−5832 = (x

+108)(x

−54). Stąd wielomian minimalny

elementu a + b to albo x

+ 108 albo x

− 54). Oczywiście druga możliwość wykluczamy natychmiast.

Inaczej, oznaczając ε =

1
2

(−1 +

√

−3) mamy a = 2

√

2, b =

√

2ε. Ponadto ε

= 1, ε

+ ε + 1 − 0, proste rachunki

dają więc, (a + b)

= 6

√

−3, więc (a + b)

= (6

√

−3)

= −108.

Definicja II.12. Jeżeli k ⊂ L jest rozszerzeniem ciał, to zbiór elementów ciała L algebraicznych nad K nazywamy

domknięciem algebraicznym ciała K w L.

Domknięcie algebraiczne ciała Q w C (odp. w R) nazywamy ciałem liczb algebraicznych (odp. liczb algebraicznych

rzeczywistych). Jego elementy nazywamy liczbami algebraicznymi (odp. liczbami algebraicznymi rzeczywistymi).

Przykad II.32. Istnienia liczb przestępnych dowiódł w 1844r. Liouville.

Podstawa logarytmu naturalnego e jest liczbą przestępną (Hermite–1873).

Liczba π jest przestępna (Lindemman–1882). Ogólniej: jeżeli liczby a

, . . . , a

, b

, . . . , b

spełniają równanie a

· · · + a

= 0, to a

= · · · = a

= 0.

Definicja II.13. Rozszerzenie ciał K ⊂ L nazywamy algebraicznym, jeżeli każdy element L jest algebraiczny nad

Lemat II.33. Rozszerzenie ciał K ⊂ L jest skonczone (tzn. [L : K] < ∞) wtedy i tylko wtedy gdy L jest algebraiczne

i skończenie generrowane nad K (tzn. istnieje skończona ilość elementów a

, . . . , a

∈ L t.że L = K(a

, . . . , a

)).

Lemat II.34. Jeżeli K ⊂ L ⊂ M jest rozszerzeniem ciał, a ∈ M jest algebraiczny nad K, to a jest algebraiczny

nad L.

Jeżeli rozszerzenie K

⊂ L jest algebraiczne, a ∈ M jest elementem algebraicznym nad L to a jest algebraiczny nad

Dowód. Część pierwsza jest oczywista.

Niech P (X) = a

+ a

X +

· · · + x

∈ L[X] będzie wielomianem takim, że P (a) = 0. Niech L

= K(a

, . . . , a

Wtedy a jest algebraiczny nad L

, czyli [L

(a) : L

] < ∞. Ponieważ L

/K jest rozszerzeniem o skończona ilość

elementów algebraicznych więc [L

: K] < ∞, a stąd [K(a) : K] ¬ [L

(a) : K] = [L

(a) : L

][L

: K] < ∞.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

5. Konstrukcje przy pomocy cyrkla i linijki

. Na płaszczyźnei mamy skończony zbiór punktów A

= {P

, . . . , P

} (n  2). Do zbioru A

dołączamy punkty,

które da sie otrzymać jako przecięcie dwóch prostych, prostej i okręgu lub dwóch okręgów wyznaczonych przez dwa

punkty zbioru A

otrzymując zbiór A

. Następnie do zbioru A

dołączamy punkty, które da się otrzymać jako przecięcie

dwóch prostych, prostej i okręgu lub dwóch okręgów wyznaczonych przez dwa punkty zbioru A

otrzymując zbiór A

Procedure tę powtarzamy w nieskończoność.

Definicja II.14. Mówimy, że punkt jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki przy danych punktach P

jeżeli

należy do zbioru

. Jeżeli A

= {(0, 0), (0, 1)}, to mówimy, że punkt jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki.

Przyjmijmy, że układ współrzędnych na R

jest dobrany tak, że P

= (0, 0), P

= (0, 1). Niech P

= (a

, b

K =

Q(a

, b

, a

, b

, . . . , a

, b

), L = K(a, b).

Twierdzenie II.35. Punkt Q = (a, b) jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki przy danych punktach P

wtedy

i tylko wtedy gdy istnieje ciąg ciał pośrednich K = K

⊂ K

· · · ⊂ K

= L taki, że [K

: K

i−1

] = 2 (i = 1, . . . , r).

W szczególności jeżeli punkt Q = (a, b) jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki przy danych punktach P

, to

[L : K] = 2

Szkic dowodu. Dowód kopnieczności warunku sprowadza się, do pokazania, że dołączanie kolejnego punktu do

zbioru A

wymaga rozwiązania układu równań liniowych, co pozostawia nas w dotychczasowym cienie, lub rozwiązania

układu równania liniowego i kwadratowego, co daje nam rozszerzenie ciała stopnia 2.

Dowód implikacji przeciwnej pokazuje na wskazaniu konstrukcji sumy, różnicy, iloczynu ilorazu i pierwiastka

kwadratowego.

Trzy problemy matematyki starożytnej nie dają się rozwiązać

Przykad II.36. Kwadratura koła nie jest wykonalna przy pomocy cyrkla i linijki. Wynika to stąd, że liczba

√

π jest liczbą przestępną, a więc stopnień stosownego rozszerzenia jest równy nieskończoność.

Przykad II.37. Podwojenie sześcianu nie jest wykonalne przy pomocy cyrkla i linijki. W tym przypadku

(przyjmując, że długość boku sześcianu jest równa 1) mamy K = Q, L = Q(

)2. Ponieważ wielomian x

− 2 jest

nierozkładalny nad Q więc jest wielomianem minimalnym elementu

√

2 i ostatecznie [L : K] = 3 nie jest potęgą

dwójki.

Przykad II.38. Trysekcja kąta nie jest wykonalne przy pomocy cyrkla i linijki. Dokładniej trysekcja kąta ϕ jest

wykonalna przy pomocy cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy gdy wielomian f(X) = x

− 3x − 2 cos ϕ ma pierwiastek

w ciele Q(cos ϕ).

Ponieważ cos 3α = 4 cos

− 3 cos α, więc liczba a = 2 cos

1
3

ϕ jest pierwiastkiem wielomianu f (x) stopnia 3. Zatem

rozszerzenie Q[cos ϕ][cos

1
3

ϕ]/

Q[cos ϕ] ma stopień 3 gdy wielomian f(x) nie ma pierwiastków w Q[cos ϕ], w przeciwnym

przypadku ma stopień 1 lub 2.

W szczególności trysekcja kąta

1
4

π jest wykonalna, a trysekcja kąta

1
3

π – nie.

UWAGA! kąta

1
7

π nie można skonstruować przy pomocy cyrkla i linijki, ale można przy pomocy cyrkla i linijki

podzielić na trzy róne części. Mamy bowiem

− 3x − 2 cos

2π

= (x

+ (4 cos

2 2π

− 2)x + (−4 cos

2 2π

− 2 cos

2π

)) × (x − (4 cos

2 2π

− 2))

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział II. Elementy teorii Galois

Przykad II.39. Konstrukcja n–kąta foremnego jest wykonalna wtedy i tylko wtedy gdy n = 2

. . . p

, gdzie r

są różnymi liczbami pierwszymi Fermata, tzn. liczbami pierwszymi postaci F

= 2

+ 1. Fermat sądził, że wszystkie

liczby tej postaci są pierwsze, dziś znamy zaledwie 5 liczb pierwszych Fermata.

= 2

+ 1 = 3

= 2

+ 1 = 5

= 2

+ 1 = 17

= 2

+ 1 = 257

= 2

+ 1 = 65537

= 2

+ 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

= 2

+ 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

= 2

128

+ 1 = 340282366920938463463374607431768211457 =

59649589127497217 × 5704689200685129054721

Ponieważ konstrukcje n–kąta i 2n–kąta są równoważne, więc możemy ograniczyć sie do przypadku n nieparzystego.

Skonstruowanie n–kąta foremnego sprowadza się do skonstruowania punktu ζ

= exp(2πi/n) = (cos

2π

, sin

2π

). Liczba

jest pierwiastkiem równania X

− 1 = 0, ale na ogół wielomian ten jest rozkładalny. Jegi pierwiastkami sa bowiem

wszystkie pierwiastki z jedynki stopnia dzielącego n, a więc możemy rozważeć wielomian mniejszego stopnia

− 1

d|n,d<n

− 1)

k<n,(k,n)=1

(X − ζ

(tzw. wielomian podziału koła). Jest to wielomian nierozkładalny stopnia ϕ(n). Jego pierwiastkami są pierwiastki

stopnia n z jedynki.

W ten sposób otrzymujemy, że warunkiem koniecznym jest aby ϕ(n) było potęgą dwójki. Ponieważ, dla liczby

postaci n =

, mamy ϕ(n) =

− 1)p

−1

. A zatem musi być, dla p

nieparzystego k

= 1 oraz p

− 1 jest

potęgą dwójki. Oznacza to, że n jest iloczynem różnych liczb pierwszych Fermata i potęgi dwójki. Dostateczności tego

warunku nie będziemy dowodzić (jest to proste ćwiczenie z teorii Galois). Dostateczność została dowiedziona przez

Gaussa bez użycia teorii Galois, również Gauss podał jako pierwszy konstrukcje siedemnastokąta foremnego (1796).

Gauss podał bezpośredni sposób sposób konstrukcji układu ciał pośrednich. Konstrukcję 65537–kąta foremnego podał

Hermes (zajęło mu to ok. 10 lat, w Getyndze).

Uwaga. Jeżeli liczby k, l są względnie pierwsze to mając skonstruowane k i l kąt foremny możemy łatwo skon-

struować kl–kąt foremny.

Wykonalne są konstrukcje n–kąta foremnego (n ¬ 100) dla n − 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 32, 34, 40, 48, 51,

60, 64, 68, 80, 96. Nie jest wykonalna konstrukcja n–kąta m.in. dla n = 7, 9. Znanych jest zaledwie 31 wielokąty foremne

o nieparzystej liczbie boków, które można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

6. Teoria Galois

Za pomocą cyrkla i linijki można rozwiązać problem Apolloniusza wyznaczenia okręgów stycznych do danych

trzech okręgów.

Nie są (na ogól) wykonalne przy pomocy cyrkla i linijki następujące konstrukcje:

konstrukcja trójkąta przy zadanych dwóch bokach i dwusiecznej poprowadzonej na jeden z nich,
konstrukcja trójkąta przy zadanych trzech dwusiecznych.

Inne przykłady konstrukcji
Konstrukcje Macheroniego (Lorenzo Mascheroni ur. 1750 zm. 1800) przy pomocy samego cyrkla można wykonać

wszystkie konstrukcje wykonalne za pomocą cyrkla i linijki.

Konstrukcje Steinerowskie (Jakob Steiner ur. 1796 zm. 1863) każda konstrukcja wykonalna przy pomocy cyrkla

i linijki jest wykonalna za pomocą samej linijki, jeśli na płaszczyżnie mamy narysowany okrą i jego środek (dowolny
łuk stożkowej i jedno ognisko).

Przykłady konstrukcji wykonalnych samą linijką:

• Mając środek odcinka AB skonstruować prostą równoległą do prostej AB przechodzącą przez zadany punkt
• Proste l i m są równoległe, znaleźć środek odcinka AB leżącego na m.
• Mając dane równoległe proste m i l skonstruować prostą do nich równoległą przechodzącą przez zadany

punkt,

• Mając dane punkty A i B na prostej m oraz prostą równoległą do prostej m skonstruować punkt C na prostej

m taki, że AB = BC,

• Mając dany okrąg i jego środek skonstruować kwadrat wpisany w ten okrąg.

6. Teoria Galois

Niech L/K będzie rozszerzeniem ciał. Mówimy, że wielomian f ∈ K[X] rozkłada się nad ciałem L na czynniki

liniowe, jeżeli f(X) = c(X − α

) · · · · · (X − α

Definicja II.15. Ciałem rozkładu wielomianu f ∈ K[X] nad ciałem K nazywamy dowolne rozszerzenie L/K

ciała K takie, że

• f rozkłada się nad ciałem L na czynniki liniowe,
• f nie rozkłada się na czynniki liniowe nad żadnym właściwym podciałem ciała L zawierającym ciało K.

Lemat II.40. Niech M/K będzie rozszerzeniem ciał, takim że wielomian f ∈ K[X] rozkłada się nad ciałem L na

czynniki liniowe. Wtedy jedynym ciałem rozkładu wielomianu f zawartym w M jest ciało L := K(α

, dots, α

Przykad II.41. Ciałem rozkładu wielomianu f(X) = X

− 2 nad Q jest ciało Q[

√

2] ∼

= Q[X]/(X

− 2).

Ciałem rozkładu wielomianu f(X) = X

− 1 nad Q jest ciało Q[

√

−3].

Ciałem rozkładu wielomianu f(X) = X

− 2 nad Q jest ciało Q[

√

−3].

Twierdzenie II.42 (Kronecker). Jeżeli f ∈ K[X] jest wielomianem o współczynnikach w ciele K, różnym od

stałej, to istnieje rozszerzenie L ciała K oraz element α

∈ L takie, że f(α) = 0.

Dowód. Niech g będzie czynnikiem nierozkładalnym f i niech L = K[X]/(g). Dowiedliśmy, że L jest ciałem.

Ponieważ odwzorowanie K ∋ c 7→ c + (g) ∈ L jest monomorﬁzmem, więc (po identyﬁkacji ciała K z obrazem) L jest
rozszerzeniem K.

Jeżeli przyjmiemy α := X + (g) to g(α) jest obrazem g poprzez homomorﬁzm ilorazowy K[X] na L, a więc

g(α) = 0, a stąd f (α) = 0.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział II. Elementy teorii Galois

Wniosek II.43. Dla dowolnego wielomianu f ∈ K[X] istieje ciało rozkładu.

Dowód. Indukcja ze względu na stopień f. Jeżeli stopien f jest równy 1, to K jest ciałem rozkładu f.

Przypuśćmy, że twierdzenie zachodzi dla wielomianów stopni mniejszych od n = deg f. Istnieje rozszerzenie K

takie, że f ma pierwiastek α

w K

. Zatem f(X) = (X − α

)g(X), g(X) ∈ K(α

)[X]. Ponieważ deg g = deg f − 1,

więc na mocy założenia indukcyjnego g ma ciało rozkładu L nad K(α

). Oznacza to, że g(X) = c(X −α

) . . . (X −α

)

oraz L = K(α

)(α

, . . . , α

) ∼

= K(α

, α

, . . . , α

). A więc L jest ciałem rozkładu wielomianu f nad K.

Pokażemy, że ciało rozkładu jest jedyne z dokładnością do izomorﬁzmu, Jeżeli σ : K −→ L jest homomorﬁzmem

ciał to deﬁniujemy σ

∗

+ a

X +

· · · + a

) = σ(a

) + σ(a

)X + · · · + sigma(a

, dla dowolnego wielomianu

+ a

X +

· · · + a

∈ K[X]. Zauważmy, że σ

∗

: K[X] −→ L[X] jest homomorﬁzmem pierścieni.

Twierdzenie II.44. Niech K

, K

będą ciałami, σ : K

−→ K

izomorﬁzmem między nimi. Niech L

będzie ciałem

rozkładu pewnego wielomianu f

∈ K[X], a L

ciałem rozkładu odpowiadającego mu wielomianu σ

∗

(f) ∈ K

[X]. Wtedy

istnieje izomorﬁzm τ : L

−→ L

, który jest rozszerzeniem σ.

Dowód. Dowód przez induckję ze względu na [L

: K

]. Jeżeli [L

: K

] = 1, to f rozkłada się na czynniki liniowe

w K

, wtedy również σ

∗

(f) rozkłada się na czynniki liniowe w K

, a stąd L

= K

Możemy więc przyjąć, że [L

: K

] > 1 i twierdzenie zachodzi dla ciał rozkładu mniejszego stopnia. Ustalmy

element α ∈ L

\ K

i niech m będzie jego elementem minimalnym nad K

. Wtedy m dzieli f i σ

∗

(m) dzieli σ

∗

(f),

a zatem σ

∗

(m) rozkłada się nad L

na czynniki liniowe.Ponadto wielomian σ

∗

(m) jest nierozkładalny nad K

(bo m

jest nierozkładalny nad K

). Niech β będzie pierwiastkiem σ

∗

(m). Mamy dobrze określony izomorﬁzm K

[X]/(m) ∼

(α)

−

→ K

(β) ∼

= K

[X]/(σ

∗

(m), który element g(α) (dla g ∈ K

[X]) przeprowadza w (σ

∗

(g))(β).

Ale ciało L

(odp. L

) jest ciałem rozkładu wielomianu f (odp. σ

∗

(f)) nad ciałem K

(α) (odp. K

(β)) oraz

: K

(α)] < [L

: K

]. Na mocy założenia indukcyjnego istnieje izomorﬁzm τ : L

−→ L

, który rozszerza φ, a więc

tym bardziej σ.

Definicja II.16. Niech L/K będzie rozszerzeniem ciał. K–automorﬁzmem ciała L nazywamy automorﬁzm ϕ :

−→ L ciała L, taki, że ϕ | K = id.

Uwaga. Zbiór K–automorﬁzmów ciała L tworzy grupę.

Wniosek II.45. Niech L/K będzie ciałem rozkładu pewnego wielomianu i niech α, β ∈ L. Wtedy istnieje K–

automorﬁzm ciała L przeprowadzjący α w β wtedy i tylko wtedy gdy α i β mają ten sam wielomian minimalny nad

Dowód. Jeżeli istnieje K–automorﬁzm σ : L −→ L taki, że σ(α) = β, a h jest wielomianem minimalnym α to

h(β) = h(σ(α)) = σ

∗

(h)(σ(α)) = σ(h(α)) = 0. A zatem h jest również wielomianem minimalnym dla β.

Na odwrót, jeżeli α i β mają ten sam wielomian minimalny, to istnieje K–automorﬁzm ϕ : K(α) −→ K(β) taki,

że ϕ(α) = β. Jeśli L jest ciałem rozkładu wielomianu f nad K, to jest również ciałem rozkładu nad K(α) i K(β), a

zatem teza wynika z poprzedniego twierdzenia.

Definicja II.17. Rozszerzenie ciał L/K jest rozszerzeniem normalnym jeżeli dowolny wielomian nierozkładalny

w K[X] mający pierwiastek w L rozkłada się nad L na iloczyn czynników liniowych.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

6. Teoria Galois

Twierdzenie II.46. Niech L/K będzie rozszerzeniem ciał.Wtedy L jest ciałem pewnego wielomianu o współczyn-

nikach w K wtedy i tylko wtedy gdy rozszerzenie L/K jest skończone i normalne.

Dowód. Załóżmy, że rozszerzenie L/K jest skoczńone i normalne. Wtedy L = K(a

, . . . , a

), gdzie a

są ele-

mentami algebraicznymi nad K. NIech m

będzie wielomianem minimalnym a

nad K. Wtedy L jest ciałem rozkładu

wielomianu m

dotsm

nad K (z normalności kazdy m

a więc również ich iloczyn rozkłada się na czynniki liniowe, a

L jest generowane przez a

a więc tym bardziej również prze wszystkie pierwiastki iloczynu).

Odwrotnie, jeżeli L jest ciałem rozkładu wielomianu f nad K, to L/K jest rozszerzeniem o skończoną liczbę

elementów algebraicznych, więc jest rozszerzeniem skończonym. Pozostało nam pokazać, ze jest rozszerzeniem nor-

malnym. Wybierzmy dowolny wielomian nierozkładalny g ∈ K[X]. Niech M będzie ciałem rozkładu wielomianu fg.
nad K. Wtedy L ⊂ M oraz obydwa wielomiany f i g rozkłądają się nad M na czynniki liniowe. Niech α i β będą
pierwiastkami g w M. Zauważmy, że ciałem rozkładu wielomianu f nad K(α) (odp. K(β)) jest L(α) (odp. L(β)).

Ponieważ α i β mają ten sam wielomian minimalny m nad K więc istnieje K–izomorﬁzm σ : K(α) −→ K(β)

taki, że σ(α) = β. Na mocy twierdzenai σ przedłuża się do K–izomorﬁzmu τ : L(α) −→ L(β). W szczególności
[L(α) : K] = [L(β) : K]. Ale ponieważ [L(α) : K]][L(α) : L][L : K] oraz [L(β) : K]][L(β) : L][L : K], więc

[L(α) : L] = [L(β) : L]. Zatem jeżeli jeden pierwiastek m należy do L to również każdy inny, czyli m rozkłada się nad

L na czynniki liniowe.

Definicja II.18. Niech K będzie ciałem. Wielomian nierozkładalny f ∈ K[X] jest rozdzielczy wtedy i tylko

wtedy gdy nie ma pierwiastków podwójnych w swoim ciele rozkładu. Wielomian f ∈ K[X] jest rozdzielczy wtedy i
tylko wtedy gdy każdy jego czynnik nierozkładalny jest rozdzielczy.

Jeżeli f = a

+ a

X + . . . a

∈ K[X] to wielomian f

′

= a

+ 2a

X + 3a

+ · · ·+na

n−1

∈ K[X] nazywamy

formalną pochodną wielomianu f.

Lemat II.47. Pochodna formalna wielomianu posiada znane własności pochodnej

• K–liniowość, (af + bg)

′

= af

′

+ bg

′

dla a, b

∈ K, f, g ∈ K[X],

• reguła Leibniza, (fg)

′

= fg

′

+ f

′

g, dla f, g

∈ K[X].

Dowód. K–liniowość jest oczywista, na jej mocy regułę Leibniza wystarczy sprawdzić dla f = X

, g = X

Lemat II.48. Liczba a ∈ K jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu f(X) ∈ K[X] wtedy i tylko wtedy gdy

f (a) = f ‘(a) = 0.

Dowód. Jeżeli a jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu f, to f(X) = (X −a)

h(X), dla pewnego wielomianu

∈ K[X]. Wtedy oczywiście f(a) = 0, a z reguły Leibniza f

′

(X) = (X − a)(2h(X) + (X − a)h

′

(X)), czyli f

′

(a) = 0.

Na odwrót, jeżeli f(a) = f‘(a) = 0, to z tw. Bezoute’a f(X) = (X − a)g(X), dla pewnego g(X) ∈ K[X]. Z

reguły Leibniza f

′

(X) = g(X) + (X − a)g

′

(X), a więc g(a) = 0. Z tw. Bezoute’a g(X) = (X − a)h(X), dla pewnego

wielomianu h ∈ K[X]. Stąd f(X) = (X − a)

h(X), czyli a jest pierwiastkiem podwójnym f .

Propozycja II.49. Niech K będzie ciałem. Wielomian nierozkładalny nie jest rozdzielczy wtedy i tylko wtedy gdy

′

= 0.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział II. Elementy teorii Galois

Dowód. Przypuśćmy, że f nie jest rozdzielczy, niech α będzie pierwiastkiem podwójnym f w ciele rozkładu.

Wtedy f

′

(α) = 0. Ale f jest nierozkładalny, więc jest wielomianem minimalnym nad K dla α, a ponieważ deg f

′

deg f, więc f

′

= 0.

Odwrotnie załóżmy, że f

′

= 0. Niech α będzie zerem f w dowolnym ciele rozkładu L. Ponieważ f

′

(α) = 0, więc α

jest pierwiastkiem podwójnym f.

Uwaga. Jeżeli f ∈ K[X] jest wielomianem dodatniego stopnia takim, że f

′

= 0, to char(K) = p > 0 i istnieje

wielomian g ∈ K[X] taki, że f(X) = g(X

) (tzn. f zawiera wykłącznie zmienną X w potęgach podzielnych przez p).

Definicja II.19. Niech L/K będzie rozszerzeniem ciał. Element a ∈ L jest rozdzielczy wtedy i tylko wtedy gdy

jest algebraiczny nad K i jego wielomian minimalny jest rozdzielczy.

Rozszerzenie L/K jest rozdzielcze wtedy i tylko wtedy gdy każdy element L jest rozdzielczy nad K.

Wniosek II.50. Jeżeli K ject ciałem charakterystyki zero, to kazdy wielomian z K[X] jest rozdzielczy nad K, a

zatem każde rozszerzenie algebraiczne ciała K jest rozdzielcze.

Definicja II.20. Najmniejsze podciało ciała K nazywamy prostym.

Uwaga. Przypomnienie. Jeżeli ciało K ma charakterystykę zero, to jgo podciało proste jest izomorﬁczne z Q, a

jeżeli charakterystykę p > 0 to podciało proste jest izomorﬁczne z F

= Z/pZ.

Ciało skończone K ma p

elementów, gdzie p jest charakterystyką K, natomiast n = [K : F

Twierdzenie II.51. Ciało K ma p

elementów wtedy i tylko wtedy gdy jest ciałem rozkładu wielomianu X

− x

nad swoim podciałem prostym

Dowód. Załóżmy, że ciało K ma q = p

elementów. Jeżeli α ∈ K

∗

, to ponieważ K

∗

jest grupą rzędu q − 1, więc

q−1

= 1. A zatem każdy element K jest pierwiastkiem wielomianu f(X) = X

− X, a zatem f ma w K q = deg f

pierwiastków, więc rozkłada się na czynniki liniowe. Oczywiście F nie rozkłada się na czynniki liniowe nad żadnym

mniejszym ciałem więc K jest ciałem rozkładu wielomianu f.

Odwrotnie, załóżmy że K jest ciałem rozkładu wielomianu f nad F

Odwzorowanie σ : K ∋ α 7→ α

∈ K,

jest n–krotną iteracją odwzorowania Frobeniusa, więc jest monomorﬁzmem. Ponadto, α ∈ K jest pierwiastkiem f
wtedy i tylko wtedy gdy σ(α) = α, awięc pierwiastki f tworzą podciało ciała K, zatem każdy element ciała K jest

pierwiastkiem f. Ponieważ f

′

= −1, więc wielomian f jest rozdzielczy, czyli ma dokładnie q pierwiastków, a stąd K

ma q elementów.

Wniosek II.52. Dla dowolnej liczby pierwszej p i dowolnego n ∈ Z

istnieje jedyne z dokładnością do izomorﬁzmu

ciało mające dokładnie p

elementów, ciało to oznaczamy przez

lub GF(p

Uwaga. Ciało F

jest istotnie rózne od pierścienia Z

Uwaga. Ciało skończone mające p

zawiera podciało mające N–elementów wtedy i tylko wtedy gdy N = p

, k

| n.

Jeżeli ciało K ma p

elementów, k | n to jedynym podciałem ciała K mającym p

–elementów jest {x ∈ K : x

Przypomnienie φ(n) := #{k ∈ N : k < n, (k, n) = 1}.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

6. Teoria Galois

Lemat II.53. Dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi

d|n

φ(n) = n.

Dowód. Niech d będzie dzielnikiem n i niech n

oznacza liczbę tych liczb naturalnych x dla których 0 ¬ x < n i

(n, x) = n/d. Wtedy oczywiście

d|n

− n.

Ale liczby x dla których 0 ¬ x < n i (n, x) = a := n/d są dokładnie postaci ay, gdzie y jest liczbą naturalną taką,

że 0, ¬ y < d i (y, d) = 1. A zatem n

= φ(n/d).

Twierdzenie II.54. Niech G będzie skończoną podgrupą grupy elementów niezerowych ciała. Wtedy G jest grupą

cykliczną.

Dowód. Oznaczmy n = |G|, z tw. Lagrange’a, rząd dowolnego elementu grupy G dzieli n. Oznaczmy dla dowol-

nego dzielnika d liczby n przez ψ(d) liczbę elementów grupy G rzędu d. Wtedy oczywiście

d|n

ψ(d) = n.

Niech g będzie elementem grupy G rzędu d. Wtedy 1, g, . . . , g

d−1

są różnymi pierwiastkami wielomianu X

g−1

− 1,

a zatem element grupy G ma rząd dzielący d wtedy i tylko wtedy gdy jest postaci g

. Element g

ma rząd dokładnie

d wtedy i tylko wtedy gdy (k, d) = 1. A zatem Jeżeli ψ(d) > 0, to ψ(d) = φ(d).

Mamy więc 0 ¬ ψ(d) ¬ φ(d) oraz n =

d|n

ψ(d) =

d|n

φ(d). Stąd ψ(d) = φ(d), w szczególności ψ(n) = φ(n)

Zatem G zawiera element rzędu n czyli jest cykliczna.

Wniosek II.55. Grupa elementów niezerowych ciała skończonego jest cykliczna.

Lemat II.56. Jeżeli L/K jest rozszerzeniem ciał |K| = ∞, f, g ∈ L[X], f(0) 6= 0, to istnieje d ∈ K takie, że f(X)

i g(dX) są względnie pierwsze.

Dowód. Niech M będzie ciałem rozkładu wielomianu fg nad ciałem L. Wtedy wielomiany f i g rozkładają się

w M na czynniki liniowe. Niech α

(odp. β

) będą pierwiastkami f (odp. g). Ponieważ ciało K jest nieskończone

(α

6= 0) więc istnieje d takie, że dα

6= β

. Wtedy f(X) i g(dX) rozkładają sie w M na czynniki liniowe, ale mają

różne pierwiastki, więc nie mają wspólnego czynnika w M[X], a tym bardziej w L[X].

Lemat II.57. Jeżeli L/K jest rozszerzeniem rozdzielczym ciał, a, b ∈ L, to istnieje element c ∈ L taki, że K(a, b) =

K(c).

Dowód. Jeżeli ciało K jest skończone, to ciało K(a, b) jest również skończone, a więc jego grupa multiplikatywna

jest cykliczna, generowana przez pewien element c. Wtedy oczywiście K(a, b) = K(c).

Przyjmijmy więc, że ciało K jest nieskończone. NIech f, g będą wielomianami minimalnymi dla a, b. Ponieważ

a jest elementem rozdzielczym, więc f (X) = f

(X)(X − a), gdzie f

(X) ∈ K(a)[X], f

(a) 6= 0. Niech F (X) =

(X +a), G(X) = g(X +b). Na mocy Lematu istnieje d ∈ K takie, że wielomiany F (X) i G(dX) są względnie pierwsze,

a stad względnie pierwsze są wielomiany f

(X) = F (X − a) i h(X) = G(d(X − a)) = g(dX − da + b). Z drugiej strony

h(a) = g(b) = 0, a zatem (X

− a) jest najwiekszym wspólnym dzielnikiem wielomianów f(X) i h(X) = g(dX + c),

gdzie c = b−ad, Oczywiście c ∈ K(a, b), więc K(c) ⊂ K(a, b). Z drugiej strony f(X), h(X) ∈ K(c)[X], więc najwiekszy
wspólny dzielnik X −a tych wielomianów również należy do K(c)[X]. W szczególnoości a ∈ K(c), a ponieważ b = c+ad,
więc również b ∈ K(c). A zatem K(a, b) ⊂ K(C), a to kończy dowód.

Wniosek II.58 (Twierdzenie o elemencie prymitywnym). Jeżeli L/K jest rozszerzeniem skończonym i rozdziel-

czym, to jest rozszerzeniem pojedynczym (tzn. istnieje element c

∈ L taki, że L = K(c)).

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział II. Elementy teorii Galois

Dowód. Dowód. Rozszerzenie L/K jest rozszerzeniem o skończoną liczbe elementów. Niech n będzie najmniejszą

liczbą naturalną taką, że L = K(a

, . . . , a

), dla pewnych a

, . . . , a

∈ L.

Pokażemy, że n = 1. Jeżeli n  2, to na mocy lematu istnieje c ∈ K takie, że K(a

, a

) = K(c). Wtedy

K(a

, . . . , a

) = K(c, a

, . . . , a

), sprzeczność z wyborem n.

Uwaga. Element c z tezy powyższego twierdzenia nazywamy prymitywnym (pierwotnym). Jezeli ciało K jest nie-

skońńczone, to element prymitywny możemy wybrać jako kombinacje liniowe elementów a

, . . . , a

o współczynnikach

w K.

Definicja II.21. Grupą Galois rozszerzenia L/K nazywamy grupę Gal(L/K) wszystkich K–automorﬁzmów ciała

Definicja II.22. Jeżeli G ⊂ Aut(L) jest grupą automorﬁzmów ciała L to ciałem elementów stałych nazywamy

ciało L

:= {x ∈ L : σ(x) = x dla każdego σ ∈ G}.

Propozycja II.59. Niech G ⊂ Aut(L) będzie skończoną grupą automorﬁzmów ciała L, K := L

. Wtedy rozsze-

rzenie L/K jest algebraiczne, rozdzielcze i normalne stopnia [L : K] =

|G|. Dowolny element α ∈ L ma wielomian

minimalny postaci (X

− α

) . . . (X − α

), gdzie α

, . . . , α

jest orbitą elementu α przy działaniu grupy G na L.

Dowód. Wielomian f(X) = (X − α

) . . . (X − α

) jest niezmienniczy ze względu na działanie G, a więc jego

współczynniki należą do K. Zatem α jest elementem algebraicznym nad K.

Niech g ∈ K[X] będzie wielomianem minimalnym elementu α, oczywiście g | f. Ponieważ dla dowolnego i istnieje

∈ G t.że α

= σ(α), a σ

∗

(g) = g więc g(σ

) = 0. W konsekwencji f | g i g = f.

Ponieważ wielomian minimalny dowolnego elementu ma różne pierwiastki w ciele L więc jest rozdzielczy, czyli

rozszerzenie L/K jest rozdzielcze.

Jeżeli h ∈ K[X] jest wielomianem nierozkładalnym posiadającym w w L pierwiastek α, to h jest wielomianem

minimalnym α, a zatem rozkłada się na czynniki liniowe. Rozszerzenie L/K jest więc normalne.

Pokażemy, że rozszerzenie L/K jst skończone, w przeciwnym razie dla dowolnych α

, . . . , α

∈ L istniałoby

n+1

6∈ K(α

, . . . , α

). A zatem istnieją α

, . . . , α

∈ L takie, że [K(α

, . . . , α

) : K] > |G|. Na mocy tw. o elemencie

prymitywnym rozszerzenie rozszerzenie to jest proste, a więc istnieje β ∈ L takie, że [K(β) : K] > |G|, czyli stopień
elementu β jst większy od rzędu grupy G, sprzeczność.

Ponieważ L/K jest skończone i rozdzielcze więc istnieje element prymitywny a rozszerzenia L/K. Wiemy, że stopień

a jest równy mocy orbity. Ponieważ dowolny K–automorﬁzm ciała L jest wyznaczony przez wartość na elemencie a,

więc moc orbity jest równa rzędowi grupy G.

Definicja II.23. Rozszerzeniem Galois nazywamy rozszerzenie ciał, które jest skończone, normalne i rozdzielcze.

Propozycja II.60. Rozszerzenie L/K jest rozszerzeniem Galois wtedy i tylko wtedy gdy K = L

Gal(L/K)

Dowód. Jedna implikacja wynika z poprzedniej propozycji. Dla dowodu implikacji przeciwnej przypuśćmy, że

L/K jest rozszerzeniem Galois. Niech K

:= L

Gal(L/K)

. Wtedy L/K

jest rozszerzeniem Galois oraz [L : K

] =

| Gal(L/K)|.

Ponieważ L/K jest rozszerzeniem rozdzielczym i skończonym, więc istnieje c ∈ L takie, że L = K(c). Wielomian

minimalny h ∈ K[X] rozkłada się nad L na czynniki liniowe h(X) = a(X − c)(X − c

) . . . (X − c

), n = [L : K].

Automorﬁzm σ ∈ Gal(L/K) jest zdeterminowana przez wartość σ(c) ∈ {c, c

, . . . , c

}, skąd | Gal(L/K)| = [L : K], a

zatem [L : K

] = [L : K], więc K

= K.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

6. Teoria Galois

Propozycja II.61. Jeżeli L/K jest rozszerzeniem Galois, M jest ciałem takim, że K ⊂ L ⊂ M. Wtedy L/M

jest rozszerzeniem Galois. Jeśli rozszerzenie M/K jest normalne to jest Galois.

Dowód. Rozszerzenia L/M i M/K są skończone i rozdzielcze. Rozszerzenie L/M jest normalne. Jeżeli g ∈ M[X]

jest wielomianem nierozkładalnym posiadającym pierwiastek α ∈ L, to wielomian minimalny h ∈ K[X] elementu α
nad K rozkłada się w L[X], ale g jest dzielnikiem h (w M[X]), więc też rozkłada sie na czynniki liniowe w L[X].

Twierdzenie II.62 (Odpowiedniość Galois). Niech L/K będzie rozszerzeniem Galois. Wtedy istnieje istnieje

wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między ciałami M takimi, że K

⊂ M ⊂ L, a podgrupami grupy Galois

Gal(L/K). Ciału M przyporządkowujemy grupę Gal(L/M). Grupie G ⊂ Gal(L/K) przyporządkowujemy ciało L

Ponadto rozszerzenie M/K jest normalne wtedy i tylko wtedy gdy Gal(L/M ) jest podgrupą normalną Gal(L/K), a

wtedy Gal(L/K)/ Gal(L/M ) ∼

= Gal(M/K).

Dowód. Musimy sprawdzić, że Gal(L/L

) = G oraz L

Gal(L/M)

= M. Ponieważ inkluzje Gal(L/L

) ⊃ G i

Gal(L/M)

⊃ M są oczywiste, więc wystarczy sprawdzić, że | Gal(L/L

)| = [L : L

] = |G| oraz [L : L

Gal(L/M)

] =

| Gal(L/M)| = |L : M|.

Niech M będzie ciałem pośrednim. Rozszerzenie M/K jest normalne, jeżeli dla dowolnego α ∈ M wielomian

minimalny rozkłada się nad M. Ale K jest ciałem elementów stałych grupy Galois Gal(L/K), a więc pierwiastki
wielomianu minimalnego α są elementami orbity działania grupy Gal(L/K) na L, więc M/K jest normalne wtedy i
tylkow tedy gdy σ(M) = M dla dowolnego σ ∈ Gal(L/K). Niech H = Gal(L/M), wtedy M jest ciałeem elementów
stały H, a σ(M) – elementów stałych σHσ

−1

. Stad K/K jest rozszerzeniem normalnym wtedy i tylko wtedy gdy

Gal(L/M) jest podgrupą normalną Gal(L/K).

Jeżeli M/K jest rozszerzeniem normalnym, to odwzorowanie ρ : Gal(L/K) ∋ σ 7→ σ|M ∈ Gal(M/K) jest

epimorﬁzmem grup, którego jądrem jest Gal(L/M). A więc z tw. o epimorﬁźmie Gal(L/K)/ Gal(L/M) ∼

= Gal(M/K).

Definicja II.24. Grupą Galois Gal

(f) wielomianu f ∈ K[X] nazywamu grupę Galois Gal(L/K) ciała rozkładu

L wielomianu f nad K.

Niech K będzie ciałem charakterystyki zero.

Definicja II.25. Mówimy, że wielomian f ∈ K[X] daje sie rozwiązać za pomocą pierwiastników, jeżeli pierwiastki

wielomianu f w ciele rozkładu można otrzymać ze współczynników wielomianu f za pomoca skończonej liczby operacji
dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia oraz wyciągania pierwiastków arytmetycznych.

Twierdzenie II.63. Wielomian f ∈ K[X] daje się rozwiązać za pomoca pierwiastników wtedy i tylko wtedy gdy

jego grupa Galois Gal

(f) jest rozwiązalna.

Lemat II.64. Niech p będzie liczbą pierwszą, f wielomianem nierozkładalnym stopnia p o współczynnikach wy-

miernych. Jeżeli f ma dokładnie p

− 2 pierwiastki rzeczywiste, to grupa Galois wielomianu f nad Q jest równa pełnej

grupie permutacji Σ

Dowód. Grupę Galois wieloianu można utożsamiać z podgrupą grupy permutacji jego pierwiastków. Sprzężenie

zespolone jest transpozycją. Ponieważ ciało rozkładu L wielomianu f zawiera dowolny pierwiastek f, który jest liczbą
algebraiczną stopnia p, więc stopień L : Q dzieli sięna p, więc rząd grupy Galopis Gal

(f), dzieli się przez p, na mocy

tw. Cauchy’ego zawiera więc element rzędu p, czyli cykl długości p. Ale dowolny cykl długości p i dowolna transpozycja
generują grupę Σ

Przykad II.65. Pokazać, że wielomian f(x) = x

− 6x + 3 nie daje sie rozwiązać przy pomocy pierwiastników

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

ROZDZIAŁ III

Podzielność w pierścieniach przemiennych

1. Pierścienie, ideały, homomorﬁzmy

Definicja III.1. Pierścieniem nazywamy układ (R, +, ·) złożony ze zbioru R i dwóch działań wewnetrznych w

R (zwanych dodawaniem i mnożeniem) spełniający następujące warunki

• (R, +) jest grupą abelową,

• x(yz) = (xy)z dla dowolnych x, y, z ∈ R,

• x(y + z) = xy + xz dla dowolnych x, y, z ∈ R,

• (x + y)z = xz + yz dla dowolnych x, y, z ∈ R.

Pierscień R nazywamy przemiennym jezeli ab = ba dla dowolnych a, b ∈ R.

Pierscień R nazywamy pierścieniem z jedynką jeżeli istnieje element 1 ∈ R taki, że 1x = x1 = x dla x ∈ R.

Lemat III.1. Jeżeli R jest pierścieniem, to

• 0x = x0 = 0,

• (−x)y = x(−y) = −(xy).

Przykad III.2. Następujące zbiory (z naturalnymi) działaniami są pierścieniami

Z, Z

, M

n×n

(C), 2Z, Z[X], Q[X], R[X], C[X].

√

2] = {a + b

√

2, a, b ∈ Z}

Z[i] = {a + bi, a, b ∈ Z}

Definicja III.2. Element a ∈ R pierścienia z jedynką nazywamy odwracalnym jeżeli istnieje element a

−1

∈ R

taki, że aa

−1

= a

−1

a = 1.

Element a ∈ R \ {0} nazywamy dzielnikiem zera jeżeli istnieje b ∈ R \ {0} taki, że ab = 0.
Pierścieniem całkowitym nazywamy pierścień przemienny z jedynką i bez dzielników zera.

Pierścieniem z dzieleniem nazywamy pierścień z jedynką, w którym kazdy element różny od zera jest odwracalny.

Ciało jest to pierścień przemienny z dzieleniem, tzn. (R \ 0) jest grupą abelową.

Definicja III.3. Podzbiór I ⊂ R nazywamy ideałem jeżeli

• (I, +) jest podgrupą (R, +),

• dla dowolnych a ∈ I, r ∈ R zachodzi ar ∈ I oraz ra ∈ I.

Propozycja III.3. Podzbiór I pierścienia R jest ideałem wtedy i tylko wtedy gdy relacja R

:= {(a, b) : a−b ∈ I}

jest zgodna z działaniami.

Definicja III.4. Pierścieniem ilorazowym pierścienia R przez ideał I nazywamy zbiór R/I klas abstrakcji relacji

z mnożeniem warstw.

Wersja wstepna

1. Pierścienie, ideały, homomorﬁzmy

Definicja III.5. Homomorﬁzmem pierścieni nazywamy odwzorowanie f : R −→ S takie, że f(a+b) = f(a)+f(b)

oraz f(ab) = f(a)f(b).

Podzbiór S pierscienia (R, +, .) nazywamy podpierścieniem jeżeli (S, +, .) jest pierścieniem.

Przykad III.4. Zbiór R := C(R, R) jest pierścieniem, podzbiór I := {f ∈ R : f(0) = 0} jest ideałem.
Podzbiór złożony z funkcji ograniczonych (klasy C

dla k > 1) jest podpierscieniem, ale nie jest ideałem.

Lemat III.5. Jeżeli f : R −→ S jest homomorﬁzmem pierścieni to jego obraz f(R) jest podpierścieniem w S

natomiast jądro Ker f jest ideałem w R.

Lemat III.6. Jeżeli I jest idealem pierścienia R to naturalne odwzorowanie π : R −→ R/I jest epimorﬁzmem

oraz ker π = I.

Propozycja III.7. Zbiór R

∗

elementów odwracalnych pierścienia R jest grupą (ze wzgledu na mnożenie).

Propozycja III.8. Pierścień skończony bez dzielników zera jest pierścieniem z dzieleniem. Skończony pierścien

całkowity jest ciałem.

Uwaga. Element a ∈ R nie jest dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi dla niego prawo skracania,

tzn. ab = ac ⇒ b = c oraz ba = ca ⇒ b = c.

Definicja III.6. Jeżeli istnieje dodatnia liczba całkowita n taka, że dla dowolnego r ∈ R zachodzi nr = 0, to

najmniejszą liczbe spełniajkącą ten warunek nazywamy charakterystyką pierścienia R i oznaczamy char(R). Jeżeli

taka liczba nie istnieje, to mówimy że charakterystyka pierścienia R jest równa zero.

Propozycja III.9. Charakterystyka pierścienia całkowitego jest liczbą pierwszą lub zerem.

Jeżeli R jest pierścieniem z 1 to char(R) = min{n ∈ Z

: n · 1

= 0}. Jeżeli R nie ma dzielników zera to (kl)1 = 0,

to k1 = 0 lub l1 = 0.

Wniosek III.10. Jeżeli R jest pierścieniem z 1 to odwzorowanie Z ∋ n 7→ n1

∈ R jest homomorﬁzmem pierścieni.

Lemat III.11. Jeżeli f : R −→ S jest homomorﬁzmem pierścieni, J ⊂ S ideałem to f

−1

(J) jest ideałem w R.

Dowód. Niech π : S −→ S/J będzie kanonicznym epimorﬁzmem, wtedy f

−1

(J) = Ker(π ◦ f)

Lemat III.12. Jeżeli f : R −→ S jest homomorﬁzmem pierścieni, I ⊂ R ideałem to f(I) jest ideałem w f(R). W

szczególności jeśli f jest epimorﬁzmem to R jest ideałem w S.

Dowód. f(I) jest oczywiscie grupą abelową. Jeżeli a ∈ f(I), s ∈ f(R) to istnieją a

∈ R, s

∈ R takie, ze

a = f (a

), s = f(s

). Wtedy as = f(a

)f(s

) = f(as

) ∈ f(I).

Propozycja III.13. Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między zbiorami

Zbiór ideałów

pierścienia R/I

∋

π(J)

←−

−→ π

−1

(K) ∈

Zbiór ideałów pierścienia R

zawierających I

Dowód. Na mocy poprzednich Lematów opisane odwzorowania są dobrze określone, ponieważ π jest surjekcją

π(π

−1

(K) = K dla ideału K ⊂ R/I. Musimy sprawdzić, że π

−1

(π(J)) = J dla ideału J t. że I ⊂ J. Oczywiście

−1

(π(J)) ⊃ J. Jeśli x ∈ π

−1

(π(J)) to π(x) ∈ π(J), więc istnieje y ∈ J t.że π(x) = π(y). Wtedy x − y ∈ Ker(π) =

⊂ J, więc x ∈ J.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział III. Podzielność w pierścieniach przemiennych

Propozycja III.14. Jeżeli f : R −→ S jest homommorﬁzmem pierścieni, to obraz Imf jest izomorﬁczny z z

R/ Ker f . W szczególności jeśli f jest epimorﬁzmem, to S ∼

= R/ Ker f.

Definicja III.7. Ideał I ⊂ R pierścienia przemiennegonazywany pierwszym jeżeli ab ∈ I ⇒ a ∈ I lub b ∈ I.
Ideał m ( R nazywamy maksymalnym jeżeli dla dowolnego ideału I mamy m ( I ⇒ J = R.

Lemat III.15. Pierścień całkowity jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy jedynymi ideałami w R są (0) i R.

Dowód. Jedna implikacja jest oczywista. Dla dowodu przeciwnej niech a ∈ R, a 6= 0. Wtedy aR jest ideałem

6= (0) więc aR = R. W szczegolności istnieje b ∈ R takie, że ab = 1.

Propozycja III.16. Ideał I ⊂ R jest ideałem pierwszym wtedy i yylko wtedy gdy R/I jest pierścieniem całkowitym.

Ideał m

⊂ R jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy gdy R/m jest ciałem.

Dowód. Pierścień R/I jest całkowity wtwgdy dla dowolnych [a], [b] ∈ R/I [a][b] = 0 ⇒ [a] = 0 lub [b] = 0 ⇔ dla

dowolnych a, b ∈ R [a][b] = 0 ⇒ [a] = 0 lub [b] = 0 ⇔ dla dowolnych a, b ∈ R [ab] = 0 ⇒ [a] = 0 lub [b] = 0 ⇔ dla
dowolnych a, b ∈ R ab ∈ I ⇒ a ∈ I lub b ∈ I ⇔ ideł I jest pierwszy.

Część druga wynika z charakteryzacji ideałów pierścienia ilorazowego oraz ciała.

Wniosek III.17. Pierścień (przemienny z jedynką) jest pierścieniem całkowitym wtedy i tylko wtedy gdy ideał (0)

jest pierwszy.

Wniosek III.18. Każdy ideał maksymalny jest pierwszy.

Uwaga. Implikacja przeciwna nie jest prawdziwa, ideał XR[X, Y ] jest pierwszy, ale nie jest maksymalny.

Definicja III.8. Podzbiór S ⊂ R pierścienia nazywamy podzbiorem multiplikatywnym jeżeli s

, s

∈ S ⇒ s

∈

Jeśli S jest zbiorem multiplikatywnym, to w zbiorze R × S wprowadzamy działania

, s

) + (r

, s

) = (r

+ s

, s

)

, s

)(r

, s

) = (r

, s

)

oraz relację

, s

) ∼ (r

, s

) ⇔ ∃a ∈ S : a(r

− r

) = 0.

Propozycja III.19. Powyższe działania są zgodne z relacją, zbiorilorazowy R×S/ ∼ z działaniami indukowanymi

jest pierścieniem przemiennym oznaczanym S

−1

Definicja III.9. Pierścień S

−1

R nazywamy lokalizacją pierścienia R względem zbioru multiplikatywnego S.

Definicja III.10. Ciałem ułamków pierścienia całkowitego R nazywamy lokalizację S

−1

R pierścienia R wzgledem

zbioru multiplikatywnego S = R \ {0}.

Ciało ułamków pierścienia całkowitego R oznaczamy Quot(R)

Propozycja III.20. Ciało ułamków pierścienia całkowitego jest ciałem, istnieje naturalny monomorﬁzm R −→

Quot(R).

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

1. Pierścienie, ideały, homomorﬁzmy

Przykad III.21. Inne przykłady zbiorów multiplikatywnych

• R \ p, p ⊂ R ideał pierwszy, S

−1

R oznaczamy przez R

• {f

, k

∈ N}, f ∈ R.

Definicja III.11. Niech R będzie pierścieniem, wielomianem n zmiennych w społczynnikach w pierścieniu R

nazywamy odwzorowanie f : N

−→ R takie, że dla prawie wszystkich α ∈ N

mamy f(α) = 0.

Sumą wielomianów f i g nazywamy wielomian f + g określony wzorem (f + g)(α) = f(α) + g(α).

Iloczynem wielomianów f i g nazywamy wielomian fg określony wzorem (fg)(α) =

β,γ∈Nn

β+γ=α

f (β)g(γ).

Elementy f(α) pierścienia R nazywamy współczynnikami wielomianu.

Współczynnik f(0, . . . , 0) nazywamy wyrazem wolnym wielomianu f, wielomian f taki, żę f(α) = 0 dla α 6= 0

nazywamy stałym. Oznaczmy, przez Ψ(c), dla c ∈ R wielomian stały o wyrazie wolnym równym c. To znaczy

(ψ(c))(α) =

(

α = 0

6= 0

Propozycja III.22. Zbiór wielomianów n zmiennych o współczynnikach w pierścieniu R jest pierścieniem.

Aby tę propozycję zrozumieć należy porównać z tradycyjnym sposobem deﬁniowania wielomianu. Jeśli zmienne

oznaczymy jako T

, . . . , T

, to wielomian f zapisujemu jako

α∈N

f (α)T

. . . T

. Oznaczając a

= f(α) możemy

zapisać f jako

. . . T

, przy czym suma jest w rzeczywistości skończona (ma tylko skończoną liczbę wyra-

zów niezerowych). Wielomiany sumujemy dodając wyrazy o tej samej potędzę, natomiast mnożymy najpierł mnożąc

jednomiany, a nastepnie redukując wyrazy podobne. Jednak taka intuicyjna deﬁnicja jest trudna do formalnego zapi-

sania.

Jeśli zmienne oznaczymy przez T

, . . . , T

, to pierścień wielomianów n–zmiennych o współczynnikach w pierścieniu

R oznaczamy przez R[T

, . . . , T

Lemat III.23. Dla dowolnej permutacji σ zbioru {1, . . . , n} istnieje naturalny izomorﬁzm

R[T

, . . . , T

] ∋

. . . T

7−→

σ(1)

. . . T

σ(n)

∈ R[T

σ(1)

, . . . , T

σ(n)

Lemat III.24. Dla dowolnych liczb naturalnych n, m istnieje naturalny izomorﬁzm

R[T

, . . . , T

, T

n+1

, . . . , T

n+m

] −→ (R[T

, . . . , T

])[T

m+1

, . . . , T

n+m

Definicja III.12. Wartością w punkcie c = (c

, . . . , c

) ∈ R

wielomianu f(T ) =

. . . T

n–zmiennych

o współczynnikach w pierścieniu R nazywamy liczbę eval

(f) = f(c) =

∈ N

. . . c

Wyraz wolny wielomianu jest równy jego wartości w punkcie (0, . . . , 0).

Propozycja III.25. Odwzorowanie ψ : R −→ R[T

, . . . , T

], które elementowi pierścienia przyporządkowuje

odpowiadający mu wielomian stały jest monomorﬁzmem.

Z dokładnością do tego monomorﬁzmu, elementy pierścienia R będziemy utożsamiać z odpowiadającymi mu

wielomianami stałymi, a pierścień R będziemy traktować jak podpierścień pierścienia wielomianów n-zmiennych o

wspołczynnikach w R.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział III. Podzielność w pierścieniach przemiennych

Propozycja III.26. Niech c = (c

, . . . , c

) Odwzorowanie eval

: R[T

, . . . , T

] ∋ f 7→ eval

∈ R jest homomor-

ﬁzmem pierścieni.

Definicja III.13. Funkcję F : R

−→ R nazywamy wielomianową, jeżeli istnieje wielomian f ∈ R[T

, . . . , T

]

taki, że F (c) = eval

(f).

Uwaga. Dla c = (c

, . . . , c

) ∈ R

, m ¬ n, możemy określić homomorﬁzm pierścieni R[T

, . . . , T

] ∋ f 7→

f (c

, . . . , c

, T

m+1

, . . . , T

) ∈ R[T

m+1

, . . . , T

Przyporządkowanie wielomianowi funkcji wielomianowej nie jest iniektywne. Jeżeli R = Z/nZ (pierścień reszt

modulo n), to wielomian f(X) = X

− X nie jest zerowy, ale odpowiadająca mu funkcja wielomianowa jest zerowa.

Definicja III.14. Homomorﬁzm pierścieni F : R −→ S indukuje homomorﬁzm pierścieni wielomianów n–

zmiennych F

∗

: R[T

, . . . , T

] −→ R[T

, . . . , T

] określony wzorem

∗

(

. . . T

) =

F (a

. . . T

W szczególności, ponieważ dla dowolnego pierścienia R istnieje jedyny homomorﬁzm Z −→ R, więc każdy wielo-

mian o współczynnikach zadaje jednoznacznie wielomian o współczynnikach w pierścieniu R.

Jeżeli R jest pierścieniem, f

. . . , f

∈ R[T

, . . . , T

], g ∈ R[Y

, . . . , Y

] to istnieje dobrze określony wielomian

g(f

, . . . , f

) ∈ R[T

, . . . , T

]. zadany wzorem

g(f

, . . . , f

) =

. . . f

Z dokładnością do utożsamienia R[Y

, . . . , Y

] ⊂ R[Y

, . . . , Y

][T

, . . . , T

] ∼

= R[Y

, . . . , Y

, T

, . . . , T

] ∼

= R[T

, . . . , T

, Y

, . . . , Y

R[T

, . . . , T

][Y

, . . . , Y

] możemy traktować g(f

m . . . , f

) jako eval

,...,f

(g). A zatem dla ustalonych f

, . . . , f

od-

wzorowanie

R[Y

, . . . , Y

] ∋ g 7−→ g(f

, . . . , f

) ∈ R[T

, . . . , T

]

jest homomorﬁzmem pierścieni.

Jeżeli f ∈ Z[Y

, . . . , Y

], to przez g(f

, . . . , f

) będziemy rozumieli ((F

∗

)(g))(f

, . . . , f

), gdzie F : Z −→ R

jest jedynym homomorﬁzmem pierścieni. W tym przypadku złożenie g(f

, . . . , f

) jest określone dokładnie tak jak

poprzednio, musimy pamiętać jedynie o tym, że w dowolnym pierścieni przemiennym mnożenie przez liczbę naturalną

ma sens (nr = r + · · · + r

}

razy

)

Jeżeli α ∈ N

jest wielowskażnikiem, to jego długość określamy jako |α| = α

+· · ·+α

. Aby uprościć zapis stosuje

się oznaczenie T

= T

. . . T

Definicja III.15. Jednomianem nazywamy wielomian, który posiada dokłądnie jeden współczynnik niezerowy,to

znaczy wielomian postaci a

. . . T

6= 0). Stopniem jednomianu a

. . . T

nazywamy długość odpowia-

dającego mu wielowskażnika.

Stopniem wielomianu niezerowego f =

. . . T

nazywamy maksimum stopni występujących w nim

jednomianów, tzn. max{|α| : a

6= 0}.

Uwaga. Wielomian zerowy nie ma dobrze określonego stopnia, zwykle przyjmujemy, ze stopień wielomianu zero-

wego jest równy −1 lub −∞.

Definicja III.16. Wielomian f nazywamy jednorodnym stopnia d, jeżeli zawiera wyłącznie jednomiany stopnia d.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

1. Pierścienie, ideały, homomorﬁzmy

Uwaga. Wielomian zerowy jest jednorodny dowolnego stopnia.

Lemat III.27. Pierścień R[T

, . . . , T

] jest pierścieniem całkowitym wtedy i tylko wtedy gdy R jest pierścieniem

całkowitym.

Dowód. Istnieje monomorﬁzm ψ : R −→ R[T

, . . . , T

], który elementowi c pierścienia przyporządkowuje odpo-

wiadający mu wielomian stały, Jeżeli pierścień R nie jest pierścieniem całkowitym, to zawiera dzielniki zera, odpowia-

dające im wielomiany stałe są dzielnikami zera w pierścieniu wielomianów.

Jeżeli R jest pierścieniem całkowitym, f, g ∈ R[T

. . . , T

], f, g 6= 0 to niech d = deg f, e = deg g. Jeżeli f =

. . . T

, g =

. . . T

, to istnieją wielowskażniki α, β stopni d, e takie, że a

, b

6= 0. Wtedy a

·b

0 jest współczynnikiem wielomianu f ·g odpowiadającemu jednomianowi wielowskażnikowi α+β (w śród jednomianów
stopni deg f + deg g nie występuje redukcja jednomianów podobnych). Ponieważ wielomian fg ma współczynnik różny

od zera, więc fg 6= 0.

Wniosek III.28. Jeżeli f, g ∈ R[T

, . . . , T

], to deg(fg) ¬ deg f + deg g.

Pierścien R jest pierścieniem całkowitym wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych f, g

∈ R[T

, . . . , T

] \ {0} zachodzi

równość deg(f g) = deg f + deg g.

Definicja III.17. Jeżeli R jest pierścieniem całkowitym, to ciało ułamków pierścienia wielomianów n–zmiennych

nazywamy ciałem funkcji wymiernych n zmiennych o współczynnikach w pierścieniu R, oznaczamy go przez R(T

, . . . , T

)

Uwaga. Elementy ciała funkcji wymiernych nazywamy funkcjami wymiernymi, ale na ogół nie można imprzypo-

rządkować żadnej funkcji, np.

− X

w ciele F

(T ).

Jeżeli K jest ciałem ułamków pierścienia R, to mamy naturalny izomorﬁzm między ciałami funkcji wymiernych o

współczynnikach w R oraz w K (w jedną stronę jest to zanurzenie, a w drugą “rozszerzenie o wspólny mianownik”).

W zbiorze N

wprowadzamy porządek α ¬ β wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego k (1 ¬ k ¬ n) mamy

= β

, . . . , α

k−1

= β

k−1

oraz α

< β

Lemat III.29. Porządek leksygograﬁczny jest porządkiem liniowym w zbiorze N

Uwaga. W przypadku jednomianów jednej zmiennej istnieje jeden porządek majacy praktyczne znaczenie (jest

to dobry porządek wg. stopni), w przypadku jednomianów wielu zmiennych takich porządków jest więcej.

Dowolna permutacja σ ∈ Σ

indukuje homomorﬁzm

R[T

, . . . , T

] ∋ f 7→ σ

∗

(f) := f(T

σ(1)

, . . . , T

σ(n)

) ∈ R[T

, . . . , T

]

to znaczy σ

∗

(f) = f(h

, . . . , h

), gdzie h

= T

σ(i)

∈ R[T

, . . . , T

Definicja III.18. Wielomian f ∈ R[T

, . . . , T

] nazywamy niezmienniczy, ze względu na permutację σ ∈ Σ

jeżeli

∗

(f) = f.

Wielomian f ∈ R[T

, . . . , T

] nazywamy symetrycznym, jeżeli jeżeli jest niezmienniczy ze względu na dowolną

permutację σ ∈ Σ

Zbiór permutacji, które nie zmieniają danego wielomianu (ze względuna które wielomian jest niezmienniczy) jest

podgrupą grupy symetrycznej.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział III. Podzielność w pierścieniach przemiennych

Przykad III.30. Niech n będzie ustaloną liczba naturalną. Niezmiennicze sa nastepujące wielomiany

, . . . , T

) = T

+ · · · + T

, . . . , T

) :=

1¬j

<···<j

¬n

. . . T

Wielomiany σ

nazywamy podstawowymi wielomianami symetrycznymi. Mamy przy tym związek (wzory Viety)

(X − T

) . . . (X − T

) = X

− σ

(T )X

n−1

+ σ

(T )X

n−2

+ · · · + (−1)

(T ).

Twierdzenie III.31. Jeżeli R jest pierścieniem (przemiennym z jedynką) to dla dowolnego wielomianu syme-

trycznego f

∈ R[T

, . . . , T

] stnieje jedyny wielomian g(T

, . . . , T

) ∈ R[T

, . . . , T

] taki, że f = g(σ

, . . . , σ

Dowód. Niech CT

...

będzie największym ze względu na porządek leksykograﬁczny jednomianem wy-

stępującym w f. To znaczy niech A będzie elementem najmniejszym zbioru {α ∈ N

: a

6= 0}, gdzie f(T ) =

. . . T

. Ponieważ wielomian f jest symetryczny więc dla dowolnych 1 ¬ i < j ¬ n mamy a

= a

gdzie

A = (A

, . . . , A

i−1

, A

i+1

, . . . , A

j−1

, A

jb+1

, . . . , A

A zatem A ¬ A, czyli A

 A

. Mamy więc A

 A

 · · · A

Rozważmy wielomian symetryczny f

, . . . , T

) = Cσ

−A

. . . σ

, największym ze względu na porzą-

dek leksykograﬁczny jednomianem występującym w w f

jest rownież CT

...

, a zatem wielomian symetryczny

− f

zawiera wyłacznie jednomiany o potęgach mniejszych od A.

Powtarzając powyższą operację skonstruujemy ciąg wielomianów symetrycznych f

postaci c

(i)

taki, że

ciąg największych potęg jednomianów w f − f

− · · · − f

jest ściślemalejący. Ale w porządku leksykograﬁcznym w

nie istnieje ściśle malejący ciąg niesńczony, więc po skończonej liczbie kroków otrzymamy f − f

− · · · − f

= 0,

czyli f = f

+ · · · + f

, to znaczy f = g(σ

, . . . , σ

), gdzie g(T

, . . . , T

) =

i=1

(i)

. . . T

(i)

Aby pokazać jednoznaczność wystarczy wykazać, że jeśli g ∈ R[T

, . . . , T

] jest wielomianem niezeriwym, to

również wielomian symetryczny g(σ

, . . . , σ

) jest niezerowy. Rozważmy wszystkie jednomiany wystepujace w g (z

niezerowym współczynnikiem) i wybierzmy te dla których suma α

+ · · · + α

jest możliwie największa. Tę największą

wartość oznaczmy przez k

. Następnie spośród tych dla których α

+· · ·+α

= k

wybieramy te, dla których suma α

· · ·+α

jest możliwie największa (równa k

). Spsród nich następnie wybieramy te dla których α

+· · ·+α

jest możliwie

największa i wynosi k

i tak aż do k

. Na koniec został nam tylko jeden jednomian CT

−k

. . . T

n−

−k

n−1

Podobnie jak w poprzedniej części zauwazamy, że największy jednomian występujący w g(σ

, . . . , σ

) jest równy

. . . T

. W szczególności g(σ

, . . . , σ

) 6= 0.

Niech R

, . . . , T

] oznacza pierścień welomianów symetrycznych

Wniosek III.32 (Inne sformułowanie). Odwzorwanie R[T

, . . . , T

] ∋ g 7→ g(σ

, . . . , σ

) ∈ R

, . . . , T

] jest

izomorﬁzmem pierścieni.

Ponieważ wielomian τ

= T

+ . . . T

jest symetryczny więc istnieje wielomian g ∈ R[T

, . . . , T

] taki, że τ

g(σ

, . . . , σ

). Można je rekurencyjnie wyliczyć z nastepujących wztrów Newtona

Propozycja III.33 (Wzory Newtona).

− σ

k−1

+ · · · + (−1)

k−1

+ (−1)

kσ

= 0

dla k

¬ n

− σ

k−1

+ · · · + (−1)

n−1

k−(n−1)

+ (−1)

k−n

= 0 dla k > n

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

1. Pierścienie, ideały, homomorﬁzmy

Ćwiczenie 1. Rozwiązują wzory Newtona ze wzlędu na σ

wyprowadzić wzór

det

0 . . .

3 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

k−1

k−2

k−3

. . .

Dzielenie z resztą wielomianów o współczynnikachw pierścieniu

Propozycja III.34. Jeżeli R jest pierścieniem, f(T ) = a

T +

· · ·+a

, g(T ) = b

T +

· · ·+b

∈ R[T ],

6= 0, b

6= 0, n m to istnieją wielomiany r, q ∈ R[T ] takie, że deg r < m oraz b

n−m+1

f = gq + r.

Jeżeli b

nie jest dzielnikiem zera w R to powyższe przedstawienie jest jednozmaczne.

Dowód. Indukcja względem n − m. Jeżeli n = m to przyjmujemy q = a

oraz r = b

− a

Jeżeli n − m > 0 to przyjmujemy f

= b

− a

n−m

. Wtedy deg f

¬ n − 1. Możemy więc zastosować założenie

indukcyjne otrzymując r, q

∈ R[T ], deg r < m oraz b

n−m

= q

g + r. Stąd b

n−m+1

f = b

n−m

+ b

n−m

g + r + b

n−m

= (q

+ b

n−m

)g + r.

Dla dowodu jednoznaczności przypuśćmy, że mamy dwa rozkłady f = q

g+r

= q

g+r

. Wtedy g(q

−q

) = r

−r

Ponieważ deg(g(q

−q

)) = deg(r

−r

) < deg g więc jeśli r

−r

= c

T +. . . c

6= 0) to b

= 0. Sprzeczność.

Wniosek III.35. Jeżeli R jest pierścieniem, f(T ) = a

+ a

T +

· · · + a

, g(T ) = b

+ b

T +

· · · + b

∈ R[T ],

6= 0, b

∈ R

∗

to istnieją jedyne wielomiany r, q

∈ R[T ] takie, że deg r < m oraz f = gq + r.

Definicja III.19. Niech R będzie pireścieniem, mówimy że element b jest dzielnikiem a (albo, że a dzieli sie przez

b), co zapisujemy b

| a jeżeli istnieje c ∈ R taki, że a = cb.

Elementy a, b ∈ R nazywamy stowarzyszonymi, zapisujemu a ∼ b, jeżeli istnieje jedność c ∈ R

∗

taka, że a = bc.

Uwaga. Relacja stowarzyszenia jest relacją równważności, natomiast relacja podzielności jest zwrotna i przechod-

nia. Jeżeli R jest pierścieniem całkowitym, to (a | b i b | a) ⇒ a ∼ b.

Wniosek III.36. Jeżeli f ∈ R[T ], c ∈ R to f(c) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy (T − c)|f(T ).

Definicja III.20. Element c ∈ R nazywamy pierwiastkiem wielomianu f ∈ R[T ] jeżeli f(c) = 0. Element c ∈ R

nazywamy pierwiastkiem krotności m ∈ N

jeżeli (T − c)

| f oraz (T − c)

m+1

∤ f(T ).

Propozycja III.37. Jeżeli R jest pierścieniem całkowitym f ∈ R[T ] wielomianem stopnia d, c ∈ R. Wtedy f ma

co najwyżej d pierwiastków liczonych z krotnościami.

Dowód. Jeżeli c jest pierwiastkiem wielomianu f, g ∈ R[T ] wielomianem takim, że f(T ) = g(T )(T −c), to dowolny

pierwiastek wielomianu f jest również pierwiastkiem wielomianu g tej samej krotności. Jeżeli c jest pierwiastkiem

wielomianu f krotności d > 1, to jest również pierwiastkiem g krotności d − 1.

Uwaga. Jeżeli pierścień R zawiera dzielniki zera, to wielomian o współczynnikach w R może mieć nieskończenie

wiele pierwiastków. Np. dla dowolnego a ∈ C macierz

0 a
0 0

jest pierwiastkiem wielomianu T

∈ M(2 × 2).

Wielomian T

+ 4 ma w pierścieniu kwaternionów (pierścień nieprzemienny bez dzielników zera) nieskończenie

wiele pierwiastków.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział III. Podzielność w pierścieniach przemiennych

Propozycja III.38. Jeżeli I, J są ideałami pierścienia R, to ich suma I + J := {r

+ r

∈ I, r

∈ J} jest

również ideałem.

Jeżeli

}

α∈A

jest dowolną rodziną ideałów w R to przecięcie

α∈A

jest ideałem.

Jeżeli I

⊂ I

⊂ . . . jest wstępującym łańcuchem ideałów w R, to

∞

i=1

jest ideałem w R.

Definicja III.21. Niech R będzie pierścieniem, A dowolnym podzbiorem R. Ideałem generowanym przez A

nazywamy najmniejszy ideał w R zawierający A.

Powyższa deﬁnicja ma sens ponieważ (A) =

{J ⊂ R : J jest ideałem w R, A ⊂ J} Ideał generowany przez zbiór

A oznaczamy przez (A), jeżeli A =

, . . . , a

} jest zbiorem skończonym piszemy (A) = (a

, . . . , a

Definicja III.22. Ideał generowany przez skończoną liczbę elementów nazywamy skończenie generowanym, a

ideał generowany przez jeden element – ideałem głównym.

Lemat III.39. Jeżeli a

, . . . , a

∈ R to (a

, . . . , a

) = {a

+ · · · + a

: r

, . . . , r

ınR}.

W szczególności dla dowolnego a

∈ R mamy (a) = aR = {ar : r ∈ R}.

Uwaga. Nie ma podobnych wzorów dla pierścieni nieprzemiennych.

Definicja III.23. Jeżeli I, J są ideałami pierścienia R to ich iloczynem nazywamy ideał IJ geberowany przez

zbiór {ab : a ∈ I, b ∈ J}.

Uwaga. Mamy IJ ⊂ I ∩ J, ale na ogół inkluzja jest silna.
Zbiór {ab : a ∈ I, b ∈ J} na ogół nie jest ideałem.

Definicja III.24. Pierścień R nazywamy pierścieniem ideałów głównych, jeżeli każdy ideał pierścienia R jest

ideałem głównym.

Przykad III.40. Każde ciało jest pierścieniem ideaów głównych, pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem

ideaów głównych.

Jeżeli K jest ciałem to pierścień K[T

, . . . , T

] jest pierścieniem ideałów głównych wtedy i tylko wtedy gdy n = 1.

Jeżeli R jest pierścieniem całkowitym takim, że R[T ] jest pierścieniem ideałów głównych to R jest ciałem.

Pierścień Z[i] jest pierścieniem ideałów głównych.
Pierścień Z[

√

3] nie jest pierścieniem ideałów głównych.

Lemat III.41. Jeżeli a, b ∈ R, to (a) ⊂ (b) ⇔ b | a.

Jeżeli R jest pierścieniem całkowitym, a, b

∈ R to (a) = (b) ⇔ a ∼ b.

Definicja III.25. Pierścień R nazywamy noetherowskim, jeżeli każdy ideał w R jest skończenie generowny.

Propozycja III.42. Pierścień R jest noetherowski wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego wstępującego ciągu ideałów

⊂ I

⊂ . . . istnieje wskażnik n

począwszy od którego wszystkie ideały są równe (tzn. I

= I

dla n

 n

Warunek z powyższej propozycji nazywamy warunkiem ciągu wstępującego.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

1. Pierścienie, ideały, homomorﬁzmy

Dowód. Niech pierścień R spełnia warunek ciągu wstępującego, a I będzie ideałem w R. Gdyby I nie był

skończenie generowany, to indukcyjnie moglibyśmy wybrać cią elementów a

, a

· · · ∈ I taki, że a

n+1

6∈ (a

, . . . , a

Oznaczając I

= (a

, . . . , a

) otrzymalibyśmy wstępujący ciąg ideałów, który się nie stabilizuje.

Jeżeli I

⊂ I

⊂ . . . jest wstępującym łańcuchem ideałów, to niech I :=

∞

i=1

. Wtedy I jest ideałem w R, z

noetherowskości R ideał I jest skończenie generowany czyli istnieja a

, . . . , a

∈ I takie, że (a

, . . . , a

) = I. Wtedy

istnieje n

∈ N takie, że {a

, . . . , a

} ⊂ I

. Dla dowolnego n n

mamy I = (a

, . . . , a

) ⊂ I

⊂

⊂ I, czyli

I = I

= I

, a więc łańcuch się stabilizuje.

Definicja III.26. Element a ∈ R \ R

∗

nazywamy nierozkładalnym, jeżeli dla dowolnych b, c ∈ R zachodzi a =

⇒ b ∈ R

∗

lub c ∈ R

∗

Pierścień R nazywamy pierścieniem z rozkładem, jeżeli dowolny element można przedstawić jako iloczyn b·c

. . . c

gdzie b jest jednością, c

są nierozkładalne (n  0).

Propozycja III.43. Całkowity pierścień noetherowski jest pierścieniem z rozkładem.

Dowód. Jeżeli a ∈ R \ R

∗

nie daje się przedstawić jako skonczonyh iloczyn lementów nierozkładalnych, to a

nie jest nierozkładalny, więc a = a

, np. a

nie rozkłada się na iloczyn elementów nierozkładalnych, natomiast b

nie jest jednością. Wtedy (a) ( (a

). Możemy to kontynuować otrzymując nieskończony wstępujący łańcuch ideałów.

Sprzeczość z noetherowskością.

Uwaga. Jedyne rozkłady 2 w Z/6Z to 2 = 1·2, 2 = 2·4, 2 = (−4)·(−1), a zatem pierścień Z/6Z jest noetherowski,

ale nie jest pierścieniem z rozkładem.

Propozycja III.44 (Twierdzenie Hilberta o bazie). Pierścień wielomianów o współczynnikach w pierścieniu

noetherowskim jest noetherowski.

Dowód. Ponieważ R[T

, . . . , T

] ∼

= (R[T

, . . . , T

n−1

])[T

], więc (na mocyindukcji) wystarczy dowiść w przypadku

n = 1.

Dla dowolnego f ∈ R[T ] oznaczamy przez lc(f) współczynnik przy najwyższej potędze w f. Niech I ⊂ R[T ]

będzie ideałem, oznaczmy przez I

:= {lc(f) : f ∈ I, deg f ¬ n}. Oczywiście I

jest wstępującym ciągiem ideałów,

więc istnieje n

takie, że dlan n

mamy I

= I

. Poniewaz pierścień R jest noetherowski, więc istnieje zbiór

skończony A

generujący ideał I

. Dla dowolnego a ∈ A

istnieje wielomian f

∈ I taki, że deg f

¬ n i lc(f

) = a.

Pokażemy, że zbiór A := {f

: a ∈ A

, n

¬ n

} generuje ideał I. Niech g będzie elementem I \ (A) najmniejszego

stopnia n. Wtedy lc(g) = r

+ · · · + r

, dla pewnych r

∈ R, b

∈ A

(jeżeli n > n

, to b

∈ A

). Wtedy

:= g − (r

+ · · · + r

) (g

:= g − (r

+ · · · + r

n−n

dla n > n

) jest elementem I stopnia < n, więc

∈ (A), a stąd g ∈ (A). Sprzeczność.

Propozycja III.45. Jeżli R jest pierścieniem noetherowskim, I ⊂ R ideałem, to pierścień R/I jest noetherowski.

Przykad III.46. Element 6 ma w pierścieniu Z[

√

−5] dwa rozkłady 6 = 2 · 3 oraz 6 = (1 +

√

−5)(1 −

√

−5).

Definicja III.27. Pierścień całkowity z rozkładem nazywamy pierścieniem Gaussa jeżeli dla dowolnego elementu

∈ R \ R

∗

, a

6= 0 oraz dowolnych dwóch rozkładów na czynniki nierozkładalne a = b

. . . b

= c

. . . c

istnieje bijekcja

σ :

{1, . . . , k} −→ {1, . . . , l} taka, że b

∼ c

σ(i)

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział III. Podzielność w pierścieniach przemiennych

Definicja III.28. Element a ∈ R nazywamy pierwszym jeżeli dla dowolnych b, c ∈ R zachodzi implikacja a | bc ⇒

(a | b lub a | c).

Każdy element pierwszy jest nierozkładalny (w pierścieniu całkowitym).

Propozycja III.47. Całkowity pierścień z rozkładem jest pierścieniem Gaussa wtedy i tylko wtedy gdy dowolny

element nierozkładalny w R jest pierwszy.

Dowód. Niech a będzie elementem nierozkładalnym w pierścieniu Gaussa R, jeżeli a | bc, to niech d będzie taki,

że ad = bc. Niech b = b

. . . b

, c = c

. . . c

,d = d

. . . d

. Wtedy ab

. . . b

= c

. . . c

. . . d

, są dwoma rozkładami

na czynniki nierozkładalne. Zatem a jest stwowarzyszony z jednym z b

lub c

, a więc dzieli b lub c.

Jeśli a

. . . a

= b

. . . b

są dwoma rozkładami na iloczyn elementów pierwszych, to a

dzieli b

. . . b

), więc

| b

lub a

| (b

. . . b

). Powtarzając pokazujemy, że istnieje σ(1) takie, że a

| b

σ(1)

. Niech d ∈ R takie, że a

d = b

σ(1)

Ponieważ b

σ(1)

jest elementem pierwszym, więc b

σ(1)

| a

σ(1)

| d oznaczałoby, że a

jest jednością), a stąd d jest

jednością oraz a

∼ b

σ(1)

. Powtarzamy powyższe rozumowanie dla a

. . . a

= (db

) . . . d

σ(1)

. . . b

, znajdujemy iniekcję

σ :

{1, . . . , k} −→ {1, . . . , l} taką, że a

∼ b

σi

. W szczególności k ¬ l, a ponieważ rola a i b jest symetryczna, to k = l

oraz σ jest permutacją.

Definicja III.29. Najmniejszą wspólną wielokrotnością elemenów a, b ∈ R nazywamy dowolny element c ∈ R

taki, że a | c i b | c oraz dla dowolnego d ∈ R zachodzi implikacja (a | d, b | d) ⇒ c | d.

Największym wspólnym dzielnikiem elemenów a, b ∈ R nazywamy dowolny element c ∈ R taki, że c | a i c | b oraz

dla dowolnego d ∈ R zachodzi implikacja (d | a, d | b) ⇒ d | c.

Dwa elementy a, b ∈ R nazywamy względznie pierwszymi, jeżeli 1 jest ich największym wspólnym dzielnikiem.

Uwaga. Najwiekszy wspólny dziennik dwóch elementów może nie istnieć. Dowolny element stowarzyszony z naj-

wiekszym wspólnym dzielnikiem jest największym wspólnym dzielnikiem. Dowolne dwa największe wspólne dzielniki

są elementami stowarzyszonymi. Podobnie dla najmniejszej wspólnej wielokrotności.

Oznaczenia

(a, b) = NWD(a, b) = lcm(a, b)

[a, b] = NWW(a, b) = gcd(a, b)

Lemat III.48. W pierścieniu Gaussa istnieje największy wspólny dzielnik oraz najmniejsza wspólna wielokrotność

dowolnych dwóch elementów.

Iloczyn największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotnośi dowolnych nniezerowych elementów

jest stowarzyszony z ich iloczynem.

Dowód. Elementy a, b ∈ R możemy zapisać w postaci a = u

. . . u

, b = eu

. . . u

, gdzie u

paramie niesto-

warzyszone elementy nierozkładalne, e ∈ R

∗

, p

, q

∈ N. Oznaczmy m

= min{p

, q

}, M

= max{p

, q

}

(a, b) = u

. . . u

[a, b] = u

. . . u

Ponieważ min{p

, q

} + max{p

, q

} = p

+ q

, więc (a, b)[a, b] = (

1
e

)ab.

Propozycja III.49. Całkowity pierścien ideałów głównych jest pierścieniem Gaussa.

Dla dowolnych elementow a, b pierścienia ideałów głównych R istnieją elementy c, d

∈ R takie, że ac + bd = (a, b).

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

1. Pierścienie, ideały, homomorﬁzmy

Dowód. Pierścień R jest pierścieniem z rozkładem. Jeżeli u jest elementem nierozkładalnym, to ideał główny (u)

jest ideałem maksymalnym, jesli bowiem (u) ⊂ (v), to istnieje w ∈ R taki, że u = vw. Wtedy v lub w jest jednością,
czyli (v) = R lub (u) = (v). Skoro (u) jest ideałem maksymalnym, to jest ideałem pierwszym. Jeśli u | ab, ab ∈ (u),
stą a ∈ (u) lub b ∈ (u), czyli u | a lub u | b.

Niech a, b ∈ R, rozważmy ideał (a, b) ⊂ R, istnieje f ∈ R taki, że (a, b) = (f). Ponieważ a, b ∈ (e), więc e | a, a | b.

Poniewaz istnieją c, d ∈ R takie, że e = ac + bd, więc jeśli jakiś element dzieli a i b to dzieli e. Czyli e = (a, b).

Definicja III.30. Pierścień całkowity R nazywamy pierścieniem Euklidesa jeśli istnieje funkcja v : R \ {0} −→ N

taka, że

(1) v(ab)  v(a), dla a, b ∈ R \ {0},
(2) dla dowolnych a, b ∈ R \ {0} istnieją q, r ∈ R takie, że a = qb + r oraz v(r) < v(b).

Przykad III.50.

(1) R = Z, v(a) = |a|

(2) R = Z[i], v(a + bi) = a

+ b

(3) R–ciało

(4) R = K[T ], v = deg. v(a) =

(

a = 0

6= 0

Propozycja III.51. Pierścień euklidesa jest pierścieniem ideałów głównych.

Dowód. Niech I ⊂ R bedzie ideałem. Jeżeli I 6= {0}, to niech a

∈ I będzie tak wybrany, że v(a

) = min{v(a) :

∈ I}. Niech a ∈ I będzie dowolnym elementem. Istnieją q, r ∈ I takie, że a = qa − 0 + r, v(r) < v(a

). ponieważ

∈ I, więc r = 0 oraz a ∈ (a

). Zatem I ⊂ (a

), przeciwna inkluzja jest oczywista.

Wniosek III.52. Pierścień Euklidesa jest pierścieniem Gaussa.

Uwaga (Algorytm Euklidesa). Niech a, b ∈ R. Oznaczmy a

= a, a

= b. Jeśli mamy skonstruowane a

, . . . , a

(n 

1), a

6= 0 to jako a

n+1

wybieramy element taki, że a

n−1

= qa

+ a

n+1

dla pewnego q ∈ R oraz v(a

n+1

) < v(a

Ponieważ v(a

) > v(a

) > . . . , więc so skończonej liczbie kroków dojdziemy do a

= 0. Wtedy a

−1

= (a, b). Dowód

ideantyczny jak dla pierścienia liczb całkowitych czy wielomianów.

Propozycja III.53 (Rozkład na ułamki proste). Niech R będzie pierścieniem euklidesowym, a, b ∈ R takie, że

v(a) < v(b). Wtedy istnieją e p

, . . . , p

, q

, . . . , q

∈ R oraz elementy p

, . . . k

, . . . , k

∈ Z

takie, że

(1) v(p

) < v(q

(2) q

jest nierozkładalny,

(3)

+ · · · +

Dowód. Zauważmy, że jeśli (q

, q

) = 1, to istnieją c

, c

∈ R takie, że q

− 1 + q

= 1. Zatem dla p ∈ R mamy

. Zatem wystarczy ograniczyć się w dowodzie propozycji do ułamków postaci

dla q nierozkładalnego.

Ale istnieją p

, p

takie, że p = p

q + p

, v(p

) < a. Wtedy

n−

. Opisaną procedurę powtarzamy.

Uwaga. Jeśli iloraz i reszta w pierścieniu R sa wyznaczone jednoznacznie (np. pierścień wielomianów o współ-

czynnikach w ciele), to rozkład na ułamki proste jest wyznaczony jednoznacznie przez powyzszą konstrukcję. Ale np.

1
4

1
2

−

1
4

. W ogólnej sytuacji istnieje delikatniejsz wersja jednoznaczności rozkładu.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział III. Podzielność w pierścieniach przemiennych

Niech R będzie pierścieniem Gaussa, K jego ciałem ułamków.

Lemat III.54. Jeżeli a ∈ R jest elementem pierwszym pierścienia R to jest elementem pierwszym pierścienia

R[T ].

Dowód. Niech f, g ∈ R[T ] takie, że a | fg ale a ∤ f i a ∤ g. Jeśli f = a

+ · · ·+ a

, g = b

+ . . . b

to istnieją

k, l takie, że a

| a

, . . . , a

| a

k−1

, a

∤ a

oraz a | b

, . . . , a

| b

l−1

, a

∤ b

. Współczynnik fg przy T

k+l

jest równy

k+l

= a

+ (a

k−1

+ . . . ) + (a

k+1

l−1

+ . . . )

skąd a | a

. Sprzeczność.

Definicja III.31. Wielomian f ∈ R[T ] nazywamy prymitywnym, jeśli jego współczynniki nie maja wspólnego

dzielnika.

Wniosek III.55 (Lemat Gaussa). Iloczyn dowolnej liczby wielomianów prymitywnych jest wielomianem prymi-

tywnym.

Propozycja III.56. Wielomian nierozkładalny f ∈ R[T ] jest również nierozkładalny w K[T ].

Dowód. Przypuśćmy, że f = f

, f

∈ K[T ], deg f

> 0. Istnieją wielomiany prymitywne q

, q

∈ R[T ] takie, że

. Stąd bf = ag

, a = a

, b = b

. Na mocy Lematu Gaussa g

jest wielomianem prymitywnym. Zatem

b dzieli NWD współczynników wielomianu g

, który jest równy a. Stąd f =

∈ R, więc wielomian f jest

rozkładalny.

Twierdzenie III.57 (Gaussa). Pierścień R[T

, . . . , T

] wielomianów n–zmiennych o współczynnikach w pierście-

niu Gaussa R jest pierścieniem Gaussa.

Dowód. Wystarczy (indukcja) dowieść dla n = 1. Ponieważ R[T ] jest pierścieniem z rozkładem musimy jedynie

pokazać, ze dowolny wielomian nierozkładalny jest elementem pierwszym.

Niech f ∈ R[T ] bedzie elementem nierozkładalnym, f | gh, g, h ∈ R[T ]. Ponieważ R[T ] ⊂ K[T ], K[T ] jest

pierścieniem Gaussa, a f jest nierozkładalny w K[T ], więc f | g lub f | h w K[T ]. Przyjmijmy, że f | g, to znaczy
f g

= g dla pewnego g

∈ K[T ]. Istnieje wielomian prymitywny g

∈ R[T ] oraz a, b ∈ R względnie pierwsze takie,

że g

. Wtedy afg

= bg. Ponieważ f jest nierozkładalny, więc jest prymitywny i na mocy Lematu Gaussa fg

równiez jest prymitywny. Podobnie jak poprzednio

∈ R,

f g

= g, czyli f | g w R[T ].

Propozycja III.58 (Kryterium Eisensteina). Niech R będzie pierścieniem Gaussa, f = a

+ . . . a

∈ R[T ].

Jeżeli dla pewnego elementu pierwszego p w R mamy

∤ a

, p

| a

n−1

, . . . , p

| a

, p

∤ a

to f jest nierozkładalny w R[T ], więc rówież w K[T ].

Dowód. Przypuśćmy, że f jest rozkładalny w R[T ], czyli f = gh, g, h ∈ R[T ], deg g, deg h > 0. Mamy więc

+ · · · + a

= (b

+ · · · + b

)(c

+ · · · + c

)

Na mocy załozeń c dzieli jeden z czynników b

, c

, przyjmijmy p | b

, p

∤ c

Ponieważ a

= b

+ b

, więc p | b

czyli p | b

. podobnie pokazujemy p | b

, . . . , p

| m

, a stąd p | a

Sprzeczność.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

1. Pierścienie, ideały, homomorﬁzmy

Lemat III.59. Jeżeli

∈ K jest pierwiastkiem wielomianu f(T ) = a

+ · · · + a

∈ R[T ] o współczynnikach w

pierścieniu Gaussa, a, b

∈ R, (a, b) = 1, to a | a

, b

| a

. W szczególności, jeśli a

= 1 to

∈ R.

Metoda Kroneckera

. Istnieje algorytm rokładu na czynniki nierozkładalne wielomianu nad dowolnym pierście-

niem Gaussa o skończonej liczbie jedności (np. nad Z). Niech f ∈ R[T ], deg f = n, Jeśli f ma pierwiastek w R, to
stosujemy tw. Bezouta i zastepujemy f przez wielomian mniejszego stopnia.

Wybieramy m (m >

)punktów a

, . . . , a

oraz rozpatrujemy wartości f(a

), . . . , f(a

). Dowolny element pier-

ścienia R (poza zerem) ma skończoną liczbe dzielników. Wybieramy dowolny dzielnik w

elementu f(z

) dla i = 1, . . . , m

i szukamy czy istnieje wielomian g stopnia mniejszego od m taki, że g(a

) = w

(w tym celu musimy rozwiązać układ

równań liniowych, który rozwiazujmy w ciele i sprawdzamy czy rozwiązanie lezy w pierścieniu). Jesli taki wielomian

istnieje, to sprawdzamy czy jest dzielnikiem wielomianu f. W ten sposób możemy skonstruować wszystkie dzielniki f.

Metoda bardzo pracochłonna.

Przykad III.60. Rozłóżmy wielomian f = T

+T +1 na czynniki w Z[T ]. Szukamy czynnika stopnia ¬ 2, ponieważ

f (

−1) = 1, f(0) = 1, f(3) = 3, więc szukamy wielomianów kwadrarowych g takich, że g(−1) ∈ {−1, 1}, g(0) ∈ {−1, 1},

g(1)

∈ {−3, −1, 1, 3}. Wśród wielomianow spełniających te warunki unormowane sa wyłącznie T

+ T − 1 i T

− T − 1,

ale one nie dzielą wyjściowego wielomianu, który jest więc nierozkładalny.

Lemat III.61. Niech f, g ∈ R[T ] będą wielomianami o współczynnikach w pierścieniu Gaussa R. Wielomiany

f i g mają wspólny dzielnik stopnia dodatniego wtedy i tylko wtedy gdy istnieją wielomiany f

, g

∈ R[T ] takie, że

deg f − 1 < deg f, deg g

< deg g oraz f

g = f g

Dowód. Jedna implikacja jest oczywista. Dla dowodu implikacji przeciwnej przypuśćmy, że f i g nie maja wspól-

nego d zielnika dodatniego stopnia. Wybierzmy wielomiany u, v takie, że uf +vg = c ∈ R\{0}. Stąd cf

= (uf +vg)f

f (uf

+ vg

)

Definicja III.32. Rugownikiem wielomianów f = a

+· · ·+a

, g = b

+· · ·+b

∈ R[T ], R jest pierścieniem

całkowitym, nazywamy wyznacznik macierzy Sylvestera

R(f, g) :=

n−1

. . .

n−1

. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

n−1

. . .

m−1

. . .

m−1

. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

m−1

. . .

Propozycja III.62. Jeśli f, g ∈ R[T ] są wielomianami o współczynnikach w pierścieniu Gaussa, to f, g mają

wspólny dzielnik stopnia większego od zera wtedy i tylko wtedy gdy R(f, g) = 0.

Dowód. Na mocy poprzedniego Lematu f i g maja wspólny dzielnik stopnai wiekszego od zera wtedy i tylko wtedy

gdy istnieja f

i g

t. że fg

= f

g, deg f

< deg f, deg g

< deg g. Jeśli oznaczymy f

= p

n−1

+ · · · + p

, g

−q

m−1

− · · · − q

to warunek fg

= f

g sprowadza się do nastepującego układu n + m równań liniowych

jednorodnych ze względu na n + m zmiennych p

, . . . , p

n−1

, q

, . . . , q

m−1

, którego macierzą jest macierz Sylvestera. A

zatem układ ten ma rozwiazanie niezerowe wtedy i tylko wtedy gdy wyznacznik tej macierz jest rowny zero.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

Rozdział III. Podzielność w pierścieniach przemiennych

Wniosek III.63. Jeżeli f, g ∈ K[X] są wielomianami o współczynnikach w ciele K to R(f, g) = 0 wtedy i tylko

wtedy gdy f i g mają wspólny pierwiastek w pewnym rozszerzeniu ciała K.

Wielomian f

∈ K[X] ma pierwiastek wielokrotny w pewnym rozszerzeniu ciała K wtedy i tylko wtedy gdy ∆(f) =

R(f, f

′

) = 0.

Definicja III.33. Rugownik ∆(f) := R(f, f

′

) nazywamy wyróżnikiem wielomianu f.

Lemat III.64. Jeżeli f, g ∈ R[T ], to istnieja wielomiany f

, g

∈ R[T ] takie, że ff

+ gg

= R(f, g).

Jeżeli f = a

(T − r

) . . . (T − r

), g = b

(T − s

) . . . (T − s

)

, to R(f, g) = a

k=1

l=1

− s

) = a

k=1

g(r

) =

l=1

f (s

Lemat III.65. Jeżeli I, I

, . . . , I

są ideałami w pierścieniu R takimi, że I +I

= R dla j = 1, . . . , n to I+

= R.

Dowód. Niech x

∈ I, y

∈ I

takie, że x

+ y

= 1. Wtedy y

. . . y

− 1 = (1 − x

) . . . (1 − x

) − 1 ∈ I, natomiast

(1 − x

) . . . (1 − x

) ∈ I

∩ · · · ∩ I

, więc 1 = (1 − x

) . . . (1 − x

) − ((1 − x

) . . . (1 − x

) − 1) ∈ I +

, więc

I +

= R.

Twierdzenie III.66 (Chińskie Twierdzenie o resztach). Niech I

, . . . , I

będą ideałami pierścienia R takimi, że

+ I

= R dla i 6= j. Dla dowolnych y

, . . . , y

∈ R istnieje y ∈ R takie, że y − y

∈ I

dla i = 1, . . . , n. Jeśli y

′

∈ R

to y

′

− y

∈ I

(dla i = 1, . . . , n) wtedy i tylko wtedy gdy y

− y

′

∈ I

∩ · · · ∩ I

Dowód. Istnienie. Niech J

j6=i

, na mocy Lematu I

+ J

= R, więc istnieją u

∈ I

, v

∈ J

t.że, u

+ v

= 1,

∈ I

dla i 6= j. Niech y =

. Dla dowolnego i mamy

− y

= (v

− 1)y

j6=i

= −u

j6=i

∈ I

Oczywiście y − y

′

∈ I

dla i = 1, . . . , n ⇔ y − y

′

∈ I

∩ · · · ∩ I

Wniosek III.67 (Inne sformułowanie). Niech I

, . . . , I

będą ideałami pierścienia R takimi, że I

+ I

= R dla

6= j. Naturalne odwzorowanie R/(I

∩ · · · ∩ I

) 7−→ R/I

× · · · × R/I

jest izomorﬁzmem.

Klasyczne twierdzenie chińskie o resztach dotyczyło przypadku R = Z. Wtedy I

= (n

), warunek I

+ I

= R

sprowadza się do (n

, n

) = 1 dla i 6= j.

Przykad III.68. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania układu kongruencji n ≡ 2 mod 4, n ≡ 1 mod 3, n ≡ 3

mod 7.

Niech I

= (n

), niech m = n

. . . n

, m

. Wtedy J

= (m

). Ponieważ n

, m

są względnie pierwsze więc

istnieją u

, v

takie, że n

, m

oraz u

+ v

= 1.

W naszym przypadku n

= 4, n

= 3, n

= 7, m = 3 · 3 · 7 = 84,m

= 21, m

= 28 oraz m

= 12.

Ponieważ −5 · 4 + 21, −9 · 2 + 28 = 1, −5 · 7 + 3 · 21 = 1, więc możemy przyjąć v

= 21, v

= 28, v

= 36.

Rozwiązaniem układu kongruencji jest jest n = n

+ · · · + n

. W naszym przypadku rozwiązaniem jest liczba

2 · 21 + 28 + 3 · 36 = 178 = 10 + 2 · 84. Czyli n spełnia rozważany układ kongruencji wtedy i tylko wtedy gdy n ≡ 10
mod 84.

Propozycja III.69. Jeżeli f jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, p jest liczbą pierwsza, to istnieje

co najwyżej deg f reszt m modulo p takich, że f (m)

≡ mod p.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wersja wstepna

1. Pierścienie, ideały, homomorﬁzmy

Definicja III.34. Liczbę n ∈ Z nazywamy resztą kwadratową modulo p (dla p pierwszego) jeśli istnieje m ∈ Z

takie, że n ≡ m

mod p. Liczbę, która nie jest resztą kwadratową nazywamy nieresztą kwadratową.

Lemat III.70. Jeżeli p jest nieparzystą liczbą pierwszą, to istnieje dokładnie m =

p−1

niezerowych reszt modulo

p, które są resztą kwadratową, oraz m które są nieresztą kwadratową.

Dowód. Liczby 1

, . . . 2

, . . . , m

są wszystkimi resztami kwadratowymi, a ponieważ są parami różne jest ich

Definicja III.35. Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą, symbol Legendre’a (

x
p

) jest zdeﬁniowany dla do-

wolnej liczby całkowitej x w następujący sposób:











+1,

gdy x jest resztą kwadratową mod p

−1,

gdy x jest nieresztą kwadratową mod p

gdy x ≡ 0 mod p

Twierdzenie III.71. Dla dowolnej liczby pierwszej p i dowolnych liczb całkowitych x, y mamy

y
p

Dowód. Jeśli x, y są resztami kwadratowymi, to oczywiście xy jest również resztą kwadratową. Niech x będzie

ustaloną resztą kwadratową, r

, . . . , r

resztami kwadratowymi, r

m+1

, . . . , r

nierasztami. Wtedy xr

, . . . , xr

są

wszystkimi resztami modulo p różnymi od 0, więc jest wśród nich m reszt, są to xr

, . . . , xr

. A zatem xr

m+1

, . . . , xr

są nieresztami kwadratowymi, czyli iloczyn reszty i niereszty kwadratowej jest nieresztą kwadratową. Stąd już natych-

miast wynika, że iloczyn niereszt kwadratowych jest resztą kwadratową.

Propozycja III.72 (Euler). Jeżeli p jest nieparzysta liczbą pierwszą to

p−

≡

mod p

Dowód. Wiemy, że grupa Z

∗

jest cykliczna, izomorﬁczna z Z

p−1

. Niech g będzie generatorem tej grupy, każdy

element da sie zapisać w postaci g

, k = 0, . . . , p

− 2 = 2m − 1. Oczywiście elementy postaci g

, k = 0 . . . , m

− 1

są resztami kwadratowymi, a zatem g

2k+1

, k = 0 . . . , m

− 1 są nieresztami kwadratowymi. Ponieważ rząd dowolnego

elementu grupy Z

∗

dzieli p − 1, więc dla dowolnej reszty kwadratowej x mamy x

p−

≡ 1 mod p. Stąd dla dowolnej

niereszty kwadratowej x mamy y = x

p−

6≡ 1 mod p. A ponieważ y

≡ 1 mod p, więc y ≡ −1 mod p.

Wniosek III.73. Dla dowolnej nieparzystej liczby pierwszej p mamy (

−1

) = (−1)

p−

Propozycja III.74. Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Wtedy (

2
p

) = (−1)

p2−

Twierdzenie III.75 (Prawo wzajemnosci reszt kwadratowych). Dla dowolnych nieparzystych liczb pierwszych

mamy

p
q

q
p

= (−1)

1
2

(p−1)

1
2

(q−1)

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
algebra z teoria liczb wyk
algebra z teoria liczb wyk cz2
algebra z teoria liczb wyk
Ściąga egzamin Algebra (teoria)
9 Teoria liczb
Algebra teoria
elektronika teoria liczb id 158 Nieznany
Matematyka dyskretna 2004 06 Teoria liczb
podstawy algebry teoria
algebra - teoria, Algebra
Algebra Teoria podzielnosci
Gewert M, Skoczylas Z Wstęp do analizy i algebry Teoria, przykłady, zadania wyd 2
Lenda A Teoria liczb
slajdy teoria liczb
Matematyka dyskretna cz 1 Teoria liczb
Algebra teoria
W10 - Teoria liczb kardynalnych, szkoła, logika

więcej podobnych podstron