PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE

przez system algebraiczny rozumiemy:

(X, ϕ), X - zbiór niepusty, ϕ: Xⁿ X (n ∈ Z⁺) - dane odwzorowanie, zwane n-argumentowym działaniem w X. (n=0 - wyróżniamy element x X; n = 1 - działanie jedno arg.; n = 2 - działanie binarne).

(X, ϕ), ϕ działanie binarne - grupoid

Def. Grupoid nazywamy półgrupą, jeżeli ϕ jest działaniem łącznym, tzn.

Uwaga: (ϕ ≡ * - notacja muliplikatywna, ϕ ≡ + - notacja addytywna).

Def. Działanie binarne ϕ o własności:
nazywamy przemiennym. (Np. (N, ϕ) ϕ(x,y) = x^y nie jest przemienne)

Def. (X, ϕ) - grupoid: element e o własności
nazywamy elementem jednostkowym działania ϕ.

Lemat: Element jednostkowy, jeżeli istnieje, to jest jedyny. J:

element jednostkowy: lewy (e_l) e_l x = x, prawy (e_p) x e_p = x. Jeśli istnieje e_p i e_l , to e_p = e_l = e.

notacja: addytywna e ≡ 1; multiplikatywna e ≡ 0.

Def. Półgrupę (X, ϕ) z jednością o własności:
nazywamy grupą.

Lemat: Element x' jest jedyny.

Bezpośrednia definicja grupy

Grupa to system algebraiczny (X, ϕ) z jedynym działaniem binarnym ϕ, przy czym spełnione są żądania:

1. Działanie ϕ jest łączne:
   

2. 
   

3. 
   

Lemat: Półgrupa (X, ϕ) jest grupa wtedy i tylko wtedy, gdy: 1)
2)

Fakt: Jeżeli (G, ϕ) jest grupą, to dla każdego a, b ∈ G równanie: ϕ(a, x) = b | ϕ(x, a) = b ma jedno rozwiązanie

J: ϕ(a, x) = b. Przypuśćmy, że rozwiązanie x istnieje to a a^-1 ϕ(a^-1, ϕ(a, x) = ϕ(ϕ(a^-1, a), x) = ϕ(e, x) = x, prawa strona równania: ϕ(a^-1, b), stąd: x = ϕ(a^-1, b). x = ϕ(a^-1, b) spełnia równanie: ϕ(a, x) = b: ϕ(a, ϕ(a^-1, b)) = ϕ(ϕ(a, a^-1), b) = ϕ(e, b) = b

Uwaga: φ = G₀ ⊂ G - nazywamy podgrupą, jeżeli G₀ jest podzbiorem zamkniętym ze względu na działanie grup.

Pierścień: To system algebraiczny z wyróżnionym układem dwóch działań binarnych (R, +, •) przy czym: 1) (R, +) jest grupą przemienną (≡ gr. Abelowa); 2) (R, •) jest półgrupą (• łączne); 3) rozdzielność działania • względem działania +, tzn.
. Jeśli działanie • przemienne - pierścień przemienny. Jeśli działanie • ma element jednostkowy - pierścień z jednością.

Ciało: (K, +, •) ≡ (K, +, •, 0, 1), przy czym: 1) (K, +, •) jest pierścieniem z jednością; 2) (K \ {0} , +, 1) jest grupą

Przestrzeń liniowa:

Def. Strukturą liniową zbioru X (X = φ) nad ciałem K nazywamy układ dwóch odwzorowań: 1) XxX ∋ (x, y) x + y ∈ X - wynik dodawania w X; 2) KxX ∋ (α, x) αx ∈ X - mnożenie elementów przez skalary ciała.

1. (X, +) - jest grupą abelową (przemienną)

2. (α + β) x = α x + β x | α (x + y) = α x + α y | α (β x) = (α β) x | 1x = x

Def. Parę uporządkowaną (X, λ), gdy λ jest strukturą liniową w X nad K, nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K.

Def. Jeżeli X₀ jest niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej X, to pary (X₀, λ) nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej X.

Lemat (elementarne własności przestrzeni liniowej):

1) ∀x 0x = x0 = 0 | 0x₁ +(x₁ + x₂) = (0x₁ + 1x₁) + x₂ = (0 + 1)x₁ + x₂ = 1x₁ + x₂ = x₁ + x₂ | podobnie x₁0 + (x₁ + x₂) = x₁ + x₂ x + 0 = x

2) α x = 0 α = 0 lub x = 0

3) - α (x + y) = -α x - α y | α (x - y) = α x - α y

Układy elementarne w przestrzeni liniowej

Układy skończone: X - przestrzeń liniowa nad K, x₁, ... , x_n ∈ X.

Def. Każdy element postaci x = α₁ x₁ + ... + α_n x_n α_i ∈ K nazywamy kombinacją liniową (o współczynnikach α₁, ..., α_n) rozpiętą na układzie skończonym.

Def. Układ skończony nazywamy:

1) liniowo niezależnym, jeżeli α₁ x₁ + ... + α_n x_n = 0 α₁ = ... = α_n = 0.

2) liniowo zależnym, gdy nie jest niezależnym, więc istnieją niezerowe współczynniki α₁, ..., α_n, że α₁ x₁ + ... + α_n x_n = 0

Tw. Układ {e_α | α ∈ A} jest liniowo niezależny, jeżeli każdy jego podukład skończony jest liniowo niezależny.

Def. Jeżeli E = {e_α | α ∈ A} jest układem elementów przestrzeni liniowych X nad K, to zbiór span E jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych rozpiętych na układzie E.
. span E jest podprzestrzenią X (powłoka liniowa rozpięta na zbiorze E).

Tw. (podstawowe) X przestrzeń liniowa nad K. Jeżeli B₀ jest zbiorem liniowo niezależnym w X, to istnieje maksymalny zbiór liniowo niezależny B ⊃ B₀

Def. Bazą przestrzeni liniowej X nazywamy każdy maksymalny podzbiór liniowo niezależny B.

Wn. Każda przestrzeń liniowa X nad K ma bazę.

Wn. Jeżeli przestrzeń liniowa X ma bazę to zachodzi jednoznaczna reprezentacja

Komentarz: Zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, jeżeli istnieje bijekcja f:A→B. Piszemy wtedy A~B mówiąc, że zbiory A i B są równoliczne.

Postulat: Jeżeli A jest zbiorem, to odpowiada jemu (?) przedmiot card A ≡XA nazywamy liczbą kardynalną zb. A. Przy tym: dwa zb. A, B mają tą samą liczbę kardynalną wyłącznie wtedy, gdy są równoliczne, a więc card A= card B ⇔A~B Np. A={1,...,n} B={1,...,m}, A~B ⇔ m=n

Tw. W przestrzeni liniowej dowolne dwie bazy są równoliczne [B₁,B₂ - bazy w X, to card B₁ = card B₂]

Def. Wymiarem przestrzeni liniowej X nad ciałem K nazywamy moc bazy tej przestrzeni: dim X = card B | B - baza w X (≡ card_k B) Np. dim Rⁿ=n ; dim_Q R=∞

Tw. Przestrzeń liniowa X nad K jest skończenie wymierna jeżeli dim X = n (n∈Z⁺) - przestrzeń n-wymiarowa

MACIERZE

S - zb. niepusty, m.,n ≥1. Macierzą typu m×n nad S nazywamy układem m•n elementowy zbiór uporządkowany w m - wierszach, n - kolumnach

Np.
- macierz jednostkowa - macierz diagonalna

DZIALANIA:

Jeżeli A,B są macierzami tego samego typu (nad K,R), to *Zbiór Mat_m×k(K) w macierzy typu m×n nad K jest przestrzenią linową w sensie działania *

Mnożenie macierzy: Na ogół mnożenie macierzy nie jest przemienne !

Właściwości

1° łączność (AB)C=A(BC)

2° rozdzielność A(B+C)=AB+AC

3° α(βA)=( αβ)A ; (α+β)A=αA+βA

Jeżeli macierz transponowana

Jeżeli A^t = A macierz symetryczna ; A^t = - A macierz skośnie symetryczna

Jeżeli macierz sprzężona (Hemite'a do A) A^*=A - macierz samosprzężona ≡ Hemite'a

Jeżeli A^*A=I, to A nazywamy macierzą unitarną

Własności: ; ; ; ; ;

Def. Algebra X nad ciałem K, to sup.(?) algebra (X,λ,•), gdzie 1° (X,λ) - przestrzeń liniowa nad ciałem K; 2° (X,+,•) - pierścień; 3° x(λy)=λxy;

Jeżeli przemienne. Jeżeli | e - element jednostkowy

Odwzorowanie liniowe f: X→Y ; X,Y p. liniowe nad K 1° addytywne ; 2° jednorodne; nazywamy liniowym

zbiór wszystkich odwzorowań linowych f z X do Y jest p. liniową

f: X→Y jest linowe, f - forma liniowa na X

L(X,K)≡X^* - przestrzeń dualna (sprzężona dla X)

Def. Jeżeli , to - kernel f ; - obraz f

Ćw. ker f jest podprzestrzenią X , im f jest podprzestrzenią Y

Uwaga Jeżeli α,β liczba kardynalne, to przez sumę α+β rozumiemy moc sumy zbiorów rozłącznych mocy α,β odpowiednio

Fakt Jeżeli to
(wymiar jądra + wymiar obrazu = wymiar dziedziny)

Równania liniowe
równanie liniowe

Równania (*) jest niejednorodne ⇔

Lemat. Jeżeli , to:

1° każde równanie jednorodne ma postać: - baza jądra

2° Jeżeli
, to każde rozwiązanie równania , gdy x_s - dowolne rozwiązanie szczególne równania

Niech x będzie jakimkolwiek rozwiązaniem r.

Lemat (Tw. o interpolacji odwzorowań liniowych) X,Y p. liniowe nad K, - baza X, każde odwzorowanie ma jednoznaczne przedłużenie liniowe

Tw. (o izomorfizmie) Jeżeli X,Y - p. liniowe nad K, to równoważne są warunki: 1° X≈Y (X izomorficzne z Y) 2° dim X = dim Y Np.

WYZNACZNIKI

Def. Odwzorowanie o własnościach:

Def 1 detA jest f. liniową (swoich kolumn)

Def 2 ... A są identyczne to A=0

Def 3 nazywamy wyznacznikiem na A

Def 4 Jeżeli macierz A ma kolumny zerowe, to detA=0

Def 5 Jeżeli B powstaje z A przez przestawienie dwóch kolumn, to det A = - det B

Def 6 Jeżeli π jest permutacją zb (1,...,n) to

Def 7 Jeżeli dwie kolumny macierzy A są identyczne lub proporcjonalne, to detA=0

Def 8 Wyznaczniki macierzy nie zmieniają się, gdy do ustalonej kolumny dodać inną kolumnę pomnożoną przez skalar

Def 9 Funkcja det( ) o własnościach D1-3 jest jedyną i ma postać

Def 10 (Cauchy)

Def 11 Wyznaczniki macierzy danej i transponowanej jest ten sam

Def k - kolumna

minor macierzy A: m=n Dopełnienie algebraiczne elementów gdzie to minor macierzy A, dopełnienie algebraiczne

Def 12 (Tw. Laplace'a)

Macierzowa reprezentacja odwzorowań liniowych w przestrzeniach skończenie wymiernych

X - przestrzeń liniowa K, dim X=n | baza X,

Niech - p. linowa n-wymiarowa , o bazie ;- p. linowa m.-wymiarowa, o bazie

- p.. liniowa wszystkich macierzy typu m×n

- zb. wszystkich odwzorowań liniowych z X do Y

Tw. Przestrzenie oraz są izomorficzne w szczególności: algebry oraz są izomorficzne

J: - jednoznacznie określony element ciała K

notacja kolumnowa

-jednoznaczne odwzorowanie

sprawdzamy, że T(.) jest odwzorowaniem liniowym z X do Y. Jest ono bijekcją. Zatem T jest izomorfizmem p. lin.

macierz odwrotna

Zbiór wszystkich odwzorowań , nieosobliwych, jest grupą pod względem składania odwzorowań

Jeżeli A,B macierze mają własności

Def. Macierz A^d - dostawiona do A: A^d=[a_ik]^t (macierz transponowana do macierzy dopełnień algebraicznych elementów a_ik)

Stwierdzamy, że

AA^d=

= det A*I

Skąd:

A(1/detA*A^d)=I -> A^-1=(1/detA)A^d

Def. X,Y - przestrzenie liniowe nad K, n,m wymiarowe, odpowiednio |^e_f L(X,Y)∋A↔A∈Mat_m×n(K)

Rząd przekształcenia liniowego A: r(A)=def= dim im A (liczba liniowo niezależnych el. obrazu), r(A)= r(A): T(A)=A

Własności:

1. Jeżeli A jest nieosobliwe to r(A)=n (Y=X)

2. r(A)= liczba lin niezależnych kolumn (wierszy), najwyższy stopień minora różny od zera

Def. Przekształcenia elementarne macierzy:

I rodzaju: (na wierszach). mnożenie wybranego wiersza przez α ≠0, przestawienie dwóch wierszy, do ustalonego wiersza dodanie liniowej kombinacji pozostałych

II rodzaju (na kolumnach) (to samo)

Lemat. Każde przekształcenie elementarne: 1) I-rodz A→A'= PA, gdzie P jest macierzą nieosobliwą ; 2) II rodz A→A' = AQ, gdzie Q jest macierzą nieosobliwą

Zastosowanie przekształceń elementarnych:

1 wyższego rzędu macierzy

2 obliczanie determinantów

Tw. (Kronecker - Capelli) Rozważmy układ m równań o n niewiadomych

(*)=
w którym a_ik∈K (C,R,...), b=
dany wektor w K^m x=
- kolumna niewiadomych (K^m)

m≠n prostokątny ukł liniowy,

m=n kwadratowy ,,, , ,,

b≠0 układ niejednorodny

b=0 ukł jednorodny

(*) ⇔Ax=b : A=[a_ik]_m×n b=
x=
⇔ A₁x₁+ . .. . + A_nx_n =b , A_j - to j-ta kolumna macierzy A

Tw. (Kronecker - Capelli) Układ (*) jest niesprzeczny ⇔ jeżeli r(A)=r(A_b), gdzie A_b to macierz utworzona z macierzy A przez dołączenie kolumny wyrazów wolnych. ( r() - rząd macierzy)

Dowód: Układ (*) jest niesprzeczny ⇔ istnieją el x₁ ... x_n w K, że ich kombinacja liniowa z el bazy daje element b⇔r(A)=r(A_b)

Wn

1. Układ jednorodny jest niesprzeczny Ax=0

2. Jednorodny układ kwadratowy równań lin Ax=0 (m=n) jest niesprzeczny. Liczba k liniowo niezależnych rozwiązań: K=n-r | r=r(A) | A=A | Ax=0 ⇔Ax=0 | dim ker A (=k) + dim im A (r=r(A)) = n | k+r=n | k =n-r

3. Układ jednorodnyAx=0 (m=n) ma rozwiązanie niezerowe ⇔ n>r ⇔det A=0 (tzn A - macierz osobliwa)

Jeżeli r=r(A)=n to k=0 układ ma jedyne rozwiązanie zerowe

Uwaga: f:L(X,Y) | f(x)=y - niesprzeczny ⇔ y∈im f , którego każde rozwiązanie x: x=x₀+x_s | x₀∈ker f , x_s-dowolnie dobrane rozwiązania równań jednorodnych (f(x_s)=n)

Jeżeli ker f ma bazę B₀, to ker f ∋ x =Σ x_αe_α

W danym ukł (*) Ax=y | Ax=y | x₀,Ax₀=0 | x_s= α₁e₁+ ... + α_ke_k

Np.: x₁+ 2x₂+ ... nx_n=1 | X=Kⁿ | x=α₁e₁+ ... + α_ne_n | f:Kⁿ→K | f(x)= x₁ + 2x₂ + ... + nx_n | A= [1,2, ... , n]

x=
| (Ax=1) ⇔ x₁ = 1 - (2x₂ + ... + nx_n), x₂, ... , x_n ∈K

r(A)=1 | r(A_b) =1

x=
=
=
+x₂
+ ... + x_n

k+1=n | k=n-1

Tw. (Cramer) Jeżeli maciezrz A∈Mat _n(K) jest nieosobliwe, to układ kwadratowy równań liniowych (*) Ax=b, tzn
ma jedyne rozwiązanie postaci x=
, gdzie Δ= det A , Δ₁- to determinant macierzy utworzonej z A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych

Dowod: A↔A | Ax= b | A-nieosobliwe | ∃A^-1 | A^-1 | Ax=b | (A^-1A)x=A^-1b ⇒ x=A^-1b ↔ x=A^-1b | A^-1=(1/Δ)[A_ik] | x=(1/Δ)[A_ki]b=
=
=

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE

K- ciało algebraiczne nie zamknięte (tzn. każdy wielomian stopnia >0 nad K ma przynajmniej jedno zero, C (o.k.),Z_p(nie),R(nie - x²+1=0), A=[a_ik]∈Mat_n(K) - dana macierz

Def. Jeżeli istnieje wektor niezerowy λ (w Kⁿ), że przy pewnym λ←K będzie: Ax=λx (Ax=λx), to mówimy, że x jest wektorem własnym macierzy A, odpowiadającym wartości własnej λ. A→(x,λ)

Tw. Każda macierz A=[a_ik]_m×n nad ciałem alg. zamkniętym ma wartości własne oraz wektor własny.

Dowód: λ,x - to wartość własna i wektor własny macierzy A ⇔ jest x≠0 oraz λ∈K | Gdy spełnione jest równanie Ax=λx ↔ (A-λI)x=0 ↔ jest ukł. kwadratowych równań jednorodnych

⇔ det (A-λI)=
= p_n(λ) wielomian stopnia n-tego nad K

p_n(λ)=(-1)ⁿλⁿ+p₁λ^n-1+ ... + p_n-1λ+p_n Ale K jest algebrą zamknięta (n≥1), zatem istnieje λ∈K, że równanie (*) ma rozwiązanie niezerwe w Kⁿ

Def. Wielomian p_n(λ)≡det (A-λI) nad (jest?) wielomianem charakterystycznym.

Wn.

(1) λ-warość własna A | którekolwiek rozwiązanie p_n(λ)=0 λ₁, ... ,λ_n ν₁, ... ,ν_n (krotności ν₁, ... ,ν_k≥1 | ν₁ + ... +ν_k= n)

2. λ-wartośc własna A, to odpowiada jej k=n-r (r=r(A-λI)) liniowo niezal. Wektorów własnych.

X- n wymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem K: Zapis (X,e) znaczy: w X wyraz e, n-wym bazą e: e₁, ... e_n

(Uwaga: baza to zawsze zbiór niepusty)

X bazy e: e₁, ... e_n lub bazy e': e'₁, ... e'_n

∃ jednakowe odwzorowanie macierzy P=[p_ik]∈Mat _n(K), że

tzn.
=P^-t
, krótko: e'= P^te

zwana macierzą przejścia (w X) z bazy e do bazy e'

Własności:

1. Macierz przejścia P transformuje bazę e na bazę e' poprzez swoje kolumny

2. Macierz przejścia P jest nieosobliwa: det P ≠ 0

3. Jeżeli P jest macierzą przejścia z bazy e do bazy f oraz Q jest m. przej. z f do b. G, to PQ jest m. Przej. z b. e do b. g

f=P^te, g=Q^tf ⇒ g= Q^t(P^te) = (Q^tP^t)e=(QP)^te

4. Jeżeli P macierz przejścia z bazy e do bazy f, to P^-1 jest macierzą przejścia z b. f do b. e

P*Q=I ⇒ Q=P^-1

(*) P^te=e' | e=
| e'=

Wyznaczenie macierzy przejścia redukuje się do rozwiązania równania macierzowego (*) e^tP = (e')^t

X- n wymiarowa przestrzeń z dwiema bazami e, e'

X∋x | x =
=
=
=
=

, tzn.
=P
| x= Px' | x'=P^-1x

Zależność macierzy przestrzeni lin przy zmianie bazy. Rozważmy diagram przemienny:

w którym

X,Y - przestrzenie liniowe skończenie wymiarowe n, m

A: X→Y, dane przekształcenie lin o macierzy A

α - automorfizm (X,e') na (X,e) o macierzy P (przejścia z e do e')

β - automorfizm (X,f') na (X,f) o macierzy Q (przejściaz f do d')

B macierz operatora A w bazie e',f'

Mamy, że

Dla diagramu (1) | Ax=βB, tj. A=β^-1 A α

Dla diagramów (2) | A α =α B, tj. B=α^-1 A α

1. B=Q^-1 AP

2. B=P^-1 AP

Def. W Mat_n(K): Macierz A jest podobna do macierzy B jeżeli istnieje macierz nieosobliwa S: B=S^-1AS A więc podobieństwo macierzy oznacza, że są określone na tej samej przestrzeni liniowej, lecz różnych bazach.

Drobiazgi

1. Rel. ~podobieństwa macierzy jest równoważnością w Mat_n(K): A~A | S=π | A~B =>B~A: | B=B^-1AS →A=SAS^-1=(S^-1)^-1B(S^-1) | A~B & B ~C | B=S^-1AS | C=π^-1B π= π^-1(S^-1AS)π =(ST)^-1ASπ

2. Jeżeli A~B, to p_A(λ)=p_B(λ)

-macierze podobne mają równe wielomiany charakterystyczne

Dowód: B=S^-1AS | p_B(λ)=det (B-λ π )=det(S^-1AS-λ π )=det S^-1(A-λ π)S=p_A(λ)detS^-1=p_A(λ)

Def. ślad macierzy: tr A = a₁₁+...+a_nn

Fakt:

(1) tr AB = trBA | jeżeli A~B, to trA=trB | (B=S^-1AS, trB=tr S^-1AS=tr A)

(2) Jeżeli K jest ciałem algebraicznym, zamkniętym to: tr A=λ_n+...+λ _n

(3) Jeżeli K jest algebraicznym zamkniętym, to detA = λ ₁ .... λ _n

A∈Mat_n(ϕ) σ(A)=zbieżność wszystkich wartości własnych macierzy A (widmo)

A^*=A => σ (A) ⊂ R |

Uwaga: U^*U = I | σ (A) ⊂ S

Fakt. 1 Widmo macierzy Hermite'a jest zawarte w R' A^*=A => σ (A)⊂ R

Tw. jeżeli A jest macierzą rzeczywistą w A^*=A ,to A^*=A=>σ ((A)⊂ R)

Dowód: Ax=λ x (λ -wartości własne x≠0 - wektor własny)

M - unitarne U^*U=I (≡UU^*=I U^*=U^-1)

np:

Fakt 2. widmo macierzy unitarnej jest zawarte w S: U^*U=I => σ (A)⊂ S

Dowód: λ,x - wart. , wektor własny macierzy U

Fakt 3 (Gershgorin, 1931) Jeżeli A=[a_in] ∈ Mat_n(ϕ), to σ (A) ⊂ ∪_iⁿ₌₁ D_i gdzie: D_i={λ=C: |λ - a_ii| =< Λ_n}, (koło Gershgorin)

D:| λ-a_ii| =<Λ | suma modułów wiersza bez elementów przekątnej

∅∉∪ⁿ_i=1 D_n

TW. Caley-Hamilton A ∈Mat_n(K), f ∈ P_n[λ ] - wielomian nad ciałe K. f(x)=a₀+a₁ λ + ....+ a_n λ ⁿ

DEF wielomian od macieży f(A)=a₀I+a₁A+.....

TW (Caley -Hamilton) Wielomian charakterystyczny p_n(λ )=p(λ)=det(A-λ π ) macieży A, zerują tą macierz. p(A)=0

Dowód: p(λ)=p_o+p₁ λ +.....+p_n λⁿ | ( p_n=detA p_n=(-1)ⁿ ) | (p_nI+p₁A+....+p_nxAⁿ=0) | B ∈ Mat_n(K), to : (*) BB^D=(detB)I | Równość typu (*) to λ - macierzy | B=A-λ I

(**) (A-λ I)(A-λ I)⁰=det(A-λ I)I ≡ p(λ)I

Istnieją jednoznacznie określone macierze. C₀,C₁,.....,C_n-1 W Mat_n(K) że: (A-λ I)^D=C₀+C₁ λ+......+C_n-1 λ^n-1 wykonanie działania w (**) daje:

(A-λ I )(A-λ I )^D=(A-λ I)(C₀+C₁ λ + ......+C_n-1 λ^n-1)=AC₀+AC₀+AC₁ λ+...+AC_n-1 λ - (C₀ λ +C₁ λ ²+...+C_n-1 λⁿ)=AC₀+(AC₁-C₀)λ +(AC₂-C₁)λ²+.....+(AC_n-1 - C_n-2)λ^n-1 - C_n-1 λⁿ=(p₀I+p₁λI+....+p_nI λⁿ) ∀λ∈k

Wobec dowolności λ w k: (możemy skrócić k równości przez IA,...,A^k)

I | AC₀=p₀I

A | AC₁ -C=p₁I

... | ......

... | ......

A^n-1 | AC_n-1-C_n-2=p_n-1I

Aⁿ | -C_n-1=p_nI

AC₀+(A²C₁-AC₀)λ +(A³C₂-AC₁)λ² +...+(AⁿC_n-1-AⁿC_n-1)λ^n-1-AⁿC_n-1λⁿ=p(A)

0=p(A)

Wnioski:

1. Aⁿ jest kombinacją liniową macierzy I,A,...A^n-1 | A^k,k>=n

2. Jeżeli A jest nieosobliwe, to A^-1 jest kombinacją liniową rozpiętą na macierzach I,A,...,A^n-1

p₀A^-1+(p₁I+...+p_nA^n-1)=0

A^-1= -(1/p₀) (p₁I+...+p_nA^n-1)

DEF: wielomian μ =μ(λ), unormowany (tzn współczynnik przy największej potędze jest 1) i możliwie najmniejszego stopnia, że μ(A)=ω

Wstępne informacje o przestrzeni Banacha i Hilberta

X - przestrzeń liniowa nad ciałem K=P lub R

Odwzorowanie: X∋x→||x||∈ R f()≡|| || własności:

N1 ||x||=0 x-0 (własność jednoznaczności)

N2 ||α x||=|α| ||x||

N3 ||x+y||=<||x|| +||y|| (nierówność trójkąta)

nazywamy NORMĄ w przestrzeni liniowej X

Lemat: Jeżeli (X,|| ||) jest przestrzenią unormowaną to (d(x,y)=||x-y|| jest metryką w X

np: X=R , ||x||=|x| | X=C , ||x||=|z| | X=Rⁿ , ||x||=(∑₁ⁿ x_i² )^1/2 | X=C^b , ||x||=(∑_i=1ⁿ |x_i|²)^1/2

W Cⁿ norma Minkowskiego: Cⁿ∋x=(x₁.....,x_n) | ||x||_p=(∑_i=1ⁿ |x_i|^p)^1/p , 1<p<∞

DEF: || || oraz || ||₀ są równoważne [ || ||~|| ||₀ ]

np: || ||_p są równoważne (tzn zbieżność po współrzędnej)

Lemat: W X, || ||~|| ||₀ ∃ _α,β>0 ∀_{x ∈ X} α||x||₀ =<||x||=<β ||x||

Q - przestrzeń metryczna zwarta C(Q) - zbiór wszystkich funkcji ciągłych rzeczywistych na Q | ||x||=sup|x(t)| t ∈ Q

DEF: X - przestrzeń liniowa nad K(=C,R); Odwzorowanie: X×X∋(x,y)→(x|y) ∈ C

∃ S1 (x+y|z)=(x|y) ∈ C

∃ S2 (α x | y)=α(x|y)

∃ S3

∃ S4 ∀_x (x|x)>=0 oraz (x|x)=0 x=0

Iloczyn skalarny w X

(X, || ||) ∀_(xy) ||x_n-x_m||→0 => ∃_x x_n→x (Przestrzeń Banacha ) m,n→∞

l₁ x=(ξ_n), ∑₁^∞ |ξ_n|<∞ | ||x||=∑₁^∞ |ξ_n|

l₂ x=(ξ_n), ∑₁^∞ |ξ_n|²<∞ | ||x||=(∑₁^∞ |ξ_n|²)^1/2

z def ∃ S1-4 => (x|y+z)=(x|y)+(x|z) |

A więc ∃ S:

1. odwzorowanie liniowe (dla R)

2. półtora liniowe (dla C)

np: 1) Rⁿ, (x|y)= ∑₁ⁿ x_iy_i 2) Cⁿ ,
C<-l,l>, x=x(t) <-l,l>→C, ciągła

Lemat (nierówność CBS) w przestrzeni z ∃ S(iloczyn skalarny)

Nierówność Schwartza : |(x|y)|<(x|y)^1/2(y|y)^1/2 ∀_{x,y ∈ X}

Dowód: x,y ∈ X, λ ∈ C (x+λ y|x+λ y)>=0
| (x=0 lub y=0) | x,y ≠0

Obliczymy λ = - (x|y)/(y|y), podstaw (x+λ y|x+λ y)=.........=(x|x)- (x|y)²/(y|y)>=0 |(x|y)²=<(x|x)(y|y)

Rⁿ (x|y)= ∑₁ⁿx_iy_i | |∑₁ⁿx_iy_i|=<(∑₁ⁿx²)^1/2(∑₁ⁿy²)^1/2

Cⁿ

C <-l,l>

Lemat: Przestrzeń z ∃ S jest przestrzenią unormowaną ||x||=(x|)^1/2

Dowód: 1) ||x||=0 (λ (x)=0 x=0 ) 2) ||α x||=(α x|α x)^1/2=|α| ||x|| 3)

Stąd

Def. Przestrzeń liniową X z nad K(C, R) nazywamy przestrzenią UNITARNĄ (pre Hilberta). Jeżeli jest zupełna nazywamy ją przestrzenią

Każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią unormowaną.

FAKT W przestrzeni unitarnej mamy: *x, y są liniowo zależne

ORTOGONALNOŚĆ

DEF. X - przestrzeń liniowa z, . Jeżelito piszemy x  y mówiąc, że element x i y są ortogonalne. (Uwaga )

Układ* nazywamy

1) ortogonalnym, jeżeli 

2) ortonormalnym, gdy jest ortogonalny i unormowany (tj. )

Np. a) w Rⁿ baza standardowa jest układem ortogonalnym b) w układ trygonometryczny jest ortogonalny

(Układ jest ortonormalny)

Lemat Układ ortogonalny jest liniowo niezależny

Proces ortogonalizacji (E.Shmidt)

W przestrzeni unitarnej X elementy są liniowo niezależne. W X istnieje układ ortogonalny o własności *

Konstrukcja: | z żądaniem stąd | z żądaniem 

...

Tak skonstruowany układ jest ortogonalny.

Układ: jest przyporządkowanym układem ortonormalnym

Lemat Każda n-wymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem jest przestrzenią Banacha (tzn. można tak zdefiniować normę, że będzie ona przestrzenią Banacha)

X - przestrzeń liniowa nad ciałem - n - wymiarowa baza

jest to norma w X | - przestrzeń zupełna (Banacha)

Jeśli jest jakąś normą w X, to | *

S - sfera jednostkowa w - jest to zbiór zwarty (jako domknięty i ograniczony). Każda norma jest funkcją ciągłą ()

Stosujemy twierdzenie Weierstrassa:

Wniosek W n-wymiarowej przestrzeni unitarnej, istnieje baza ortogonalna (ortonormalna) | - liniowo niezeleżne - baza ortogonalna

Komentarz: | Przestrzeń Euklidesa: | n-wymiarową przestrzenią Euklidesową nazywamy n-wymiarową przestrzeń unitarną (rzeczywistą K=R, zespoloną K=C)

V - rzeczywista przestrzeń Euklidesa () | Nierówność CBS: .

Każdą liczbę o własności:nazywamy kątem między wektorami

(w przestrzeni Euklidesa)

Ciąg odwzorowań liniowych w przestrzeni Banacha: X, Y - przestrzeń unormowana nad |

Równanie liniowe: niesprzeczne | - przesunięcie (wektor)

FAKT Równoważne są warunki: (I) A jest ciągłe w pkt. | (II) A jest ciągłe (w ogóle) | (III)

Just.: (I)  (II), to | |

(II)  (III) Przypuśćmy, że (III) nie zachodzi:

- sprzeczność

Ex. Każde odwzorowanie liniowe: jest ciągłe

U (III) A jest ograniczone w każdej kulispełnia warunek Lipschitza

DEF Jeżeli jest ciągiem odwzorowań liniowych, to liczbę

nazywamy normą ciągłego operatora liniowego A.

FAKT Dla ciągłego odwzorowania liniowego mamy

(III) |

FAKT Przestrzeń liniowa wszystkich ciągłych odwzorowań liniowych A, B z X do Y (X, Y - przestrzeń unormowana) jest przestrzenią unormowaną w sensie równości

Dotyczy w szczególności przestrzeni

-przestrzeń dualna

jest algebrą w sensie mnożenia - składanie odwzorowań

, to . Ponadto

AB jest ciągiem odwzorowań liniowych w X

Także

, to

, to

A - odwzorowanie liniowe ciągłe

Przestrzenie unormowane:są liniowo izometryczne

FAKT Jeżeli X, Y - p. unormowana, a , to

- jest przestrzenią unormowaną

FAKT Jeżeli

ma ciągłe odwzorowanie[]

Szereg jest zbieżny w

zbieżne

sprawdzamy, że

Wnioski Niech
będzie grupą wszystkich odwzorowań liniowych
, które są odwracalne, X - przestrzeń B

Jeżeli
oraz B w ma dostatecznie małą formę to

[tzn.
jest podzbiorem otwartym w ]

jeżeli

K - algebra zamknięta

Jeśli ciało jest algebrą zamkniętą, to macierz posiada wektory i wartości własne A← Mat_n(K) , K- ciało algebr. zamknięte x,λ  Ax=λx

Jeśli ciało jest algebraicznie zamknięte, to macierz posiada wektory i wartości własne.

Wektory i wartości własne odwzorowania

A∈B(X) dimX=n

Def. Wartości oraz wektor własny przekształcenia liniowego A: W X obieramy bazę e=(e₁,.....,e_n)

∃! A w Mat_n(K), że Ax=Ax x, λ (≠0) wektor i wartość własna przekształcenia liniowego A:

Ax=λx ⇔ Ax=λx

Jeżeli przechodzimy z bazy e do f i P jest macierzą przejścia [f =Pe], to A→ B=P^-1AP

zatem macierze podobne mają to samo widmo [ σ (A)= σ (B), x=Px' ].

Wektory i wartości własne mogą ulec zmianie przy zmianie bazy.

Fakt: Jeżeli V to n-wymiarowa przestrzeń Euklidesa, to każda forma liniowa f na V [f: V→K] ma postać:

f(x)=(xy) ∀x∈X gdzie y∈V jest jednoznacznie określonym elementem

ponadto odwzorowanie V ^*∋f ↔ y∈V jest liniowe gdy K=R i jest antyliniowe gdy k=C

Wn: V ma bazę:

Fakt: Jeżeli odwzorowanie A∈B(X) jest liniowe to ∀y∈V odwzorowanie V∋x→ (Ax|y)∈K jest formą liniową nad V

Zatem ∀y∈V istnieje jedyny element z=A^*y w V, że (Ax|y)= (x|A^*y)

Odwzorowanie A^*: V→X jest liniowe

Spr: x,y₁,y₂∈V α,β∈K, to

(Ax|αy₁+βy₂)=(x|A^*(αy₁+βy₂))= α^*(Ax|y₁)+ β^*(Ax|y₂)=α^*(x|A^*y₁)+β^*(x|A^*y₂)=(x|α A^*y₁+βA^*y₂)

DEF: Jeżeli A∈B(V) to operator liniowy A^*: V→V określony żądaniem :

(Ax|y)= (x|A^*y) ∀x,y∈K nazywamy operatorem sprzężonym do A

szczególnie: A=A^* - operator samosprzężony (Ax|y)= (x|Ay)

Komentarz:

I ^*=I

(A+B)^*=A^*+B^*

(αA^*)=α^*A^*

(A^*)^*=A

(AB)^*=B^*A^*

(A^-1)^*=(A^*)^-1, gdy A nieosobliwa

A^*=A ⇒ σ (A)⊂ R - widmo macierzy Hermiitte'a jest rzeczywiste

U- unitarna ⇒ σ (A)⊂ S - widmo macierzy unitarnej leży na obrębie koła jednostkowego

Informacje o diagonalizacji macierzy

F1 Macierz A∈Mat_n(K) K- ciało algebraicznie zamknięte. Wdanej bazie e=(e₁,...,e₂) jest macierzą

diagonizowalną ⇔ gdy e jest bazą złożoną z wektorów własnychmacierzy

F2 Układ wektorów własnych odpowiadających różnym wartościom własnym operatora liniowego A: V→V jest liniowo niezależny

Gdy wartości własne operatora A są jednokrotne, to wektory własne tworzą bazę V

F3 Wektory własne operatora samosprzężonego na przestrzeni n-wym Euklidesa V nad ciałem K (R lub C) odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne

D. Niech λ₁,λ₂ (λ₁≠λ₂) - wartości własne operatora A, Ax₁=λ₁x₁ Ax₂=λ₂x₂ λ^*=λ∈R

(Ax₁|x₂)=(x₁|Ax₂)= (λ₂x₁|x₂)= (x₁|λx₂)=λ(x₁|x₂)

(Ax₁|x₂)= (λx₁|x₂)= λ(x₁|x₂) ⇒ (λ₁-λ₂)(x₁|x₂)=0 ⇒ (x₁|x₂)=0 ⇒ x₁,x₂ są ortogonalne

A←Mat_n(K), K - alg.zamkn.

x, λ | Ax = λx

Jeśli ciało jest alg. zamknięte, to macierz posiada wektory własne i wartości własne.

Wektor i wartość ODWZOROWANIA:

A∈B(x), dimX = n

Def. Wartość własna oraz wektor własny przekształcenia liniowego A:

W X obieramy bazę e=(e₁, ... , e_n)

∃! A w Mat_n(K), że Ax=Ax

λ, x (≠0) przekształcenia liniowego A:

Ax = λx ⇔ Ax = λx

Jeżeli przechodzimy z bazy e→f i P - macierz przejścia [f=Pe], to A ↔ B=P^-1AP.

A∼B ⇔ A=P^-1BP (P - nieosobliwa)

Zatem (macierze podobne mają to samo widmo)

1° σ(B) = σ(A)

2° x=Px'

Wektory i wartości własne mogą ulec zmianie przy zmianie bazy.

FAKT

Jeżeli V - przestrzeń Euklidesa(n), to każda forma liniowa f na V [f:V→_lin K] ma postać

f(x) = (x|y), ∀_x∈X ,

gdzie y∈V - jest jednoznacznie określonym elementem.

Ponadto odwzorowanie

V^* ∋ f ↔ y∈V jest liniowe gdy K=R i jest antyliniowe gdy K=C (stałą α wył. się ze sprzężeniem).

Wsk. V ma bazę

FAKT

Jeżeli A∈B(V), to ∀_y∈V odwzorowanie

V∋x→(Ax|y)∈K

Jest formą liniową nad V.

Zatem ∀_y∈V istnieje jedyny element z=A^*y w V, że

(Ax|y)=(x|A^*y)

Odwzorowanie A^*:V→V jest liniowe.

Spr.

x,y₁,y₂ ∈V, α,β∈K to

(Ax|αy₁+βy₂)=(x|A^*(αy₁+βy₂))

=
(Ax|y₁)+
(Ax|y₂)

=
(x|A^*y₁)+
(x|A^*y₂)

=(x|αA^*y₁|+βA^*y₂)

czyli A^* jest liniowe, tu ∈B(V).

DEF. Jeżeli A∈B(V) to operator liniowy A^*:V→V

określony żądaniem (Ax | y)=(x | A^*y), ∀_x,y ∈K

nazywamy OPERATOREM SPRZĘŻONYM do A.

Szczególnie A=A^*, to mówimy że A jest op.samosprzężonym

(Ax | y) = (x | Ay );

Komentarz:

I^*=I, (A+B)^*=A^*+ B^*, (αA)^*=A^*

(A^*)^*=A, (AB)^*=B^*A^*

(A^-1)^* = (A^*)^-1, jeżeli A jest nieosobliwa

ćw. Jeżeli A∈B(V), e=(e₁,... e_n) baza V, to

,

gdy A[(Ae_i | e_j)]

A^*=A => δ(A)⊂R widmo macierzy Hermitte'a jest rzeczywiste

U - unitarna => δ(U)∈S widmo macierzy unitarnej leży na

obrzeżu koła jednostkowego.

INFORMACJE O DIAGONALIZACJI MACIERZY

(F1) Macierz A∈Mat_n(K), K-ciało alg.,zamknięte, jest w danej

bazie e=(e₁,... e_n) diagonalna e jest bazą złożoną z wektorów

własnych macierzy.

(F2) Układ wektorów własnych odpowiada różnym wart.

własnym. Op. lin. A:V→V jest liniowo niezależny

Gdy wartości własne operatora A są jednokrotne to

wektory własne tworzą bazę V.

Niech e_1,...,e_k, 1≤k≤n - wektory własne odp. Kolejnym

wart.własnym α₁ …α_k, e₁ →{e₁}

e₁…e_k są lin. niezależne →indukcja(1≤l≤k≤n)

1) α₁e₁+…α_le_l=0 => α_1=…=α_l=0

2) α₁e₁+…α_le_l + α_l+1e₁₊₁=0

1)λ, 2)-1)λ=: λ_l+1 e_l+1 =0 => λ_l+1 = 0

(F3) Wektory własne wektora samosprzężonego na przest

n wymiarowej Euklidesa V nad ciałem K (R lub C) odp.

różnym wartościom własnym są ortogonalne.

D-d. Niech λ₁(→x₁), λ₂(→x₂) (λ₁≠λ₂)-wart.wł. operatora A

Ax₁=λ₁x₁, Ax₂=λ₂x₂

(Ax₁|x₂)=(x₁|Ax₂), bo A=A^* =(x₁|λ₁x₂) = λ(x₁x₂), λ=λ^*⊂R

(Ax₁|x₂) = (λx₁|x₂) = λ₁(x₁|x₂) => (λ_1*λ₂)(x₁|x₂)=>(x₁|x₂)=>0

x₁ ort x₂

TW. O RZUCIE ORTOGONALNYM

Jeżeli w przest. Euklidesa V, X₀ jest

podprzestrzenią właściwą (nie jest ident z X

i nie jest zerowa), to V=X₀⊕X,

gdzie ∀_x≠0∈X mamy x ⊥ X₀ (x⊥x₀ , ∀x₀∈X₀)

(F4) Jeżeli A jest operatorem samosprzeżonym na

n-wymiarowej przest. Euklidesa V, to przest. V ma bazę

ortogonalną (i też ortonormalną) złożoną z wekt.własnych A.

D-d,szkic. λ₁-wart. e₁-wekt.wł.op.A, ||e₁||-1, x₁={e₁}

V=X₁⊕X_n-1, e₁⊥X_n-1. Małą podprzestrzeń λ₂,e₂∈X_n-1,

tak wybrać e₂ aby e₁⊥e₂. Rozważam podprzest. na e₁,e₂,

istnieje podp. ortog. do p. λ₃,e₃∈X_n-2,

TWIERDZENIE - macierz samosprzężona jest diagonali-

zowalna. Dokładniej: gdy A∈Mat_n(C) ma własność A^*=A,

to istnieje macierz unitarna S, że S^*AS=diag(λ₁,…,λ_n),

gdzie λ₁,…,λ_n - wart. własne mat.A, przy czym każda wartość

wyst. tyle razy ile wynosi jej krotność jako pierwiastek

równania charakterystyczngo.

Obieramy przestrzeń Eulidesa V=Cⁿ z ∃S (x|y)=

rozumiejąc xe x_iy_i - współrzędne elemntu x,y, odp. w bazie

standardowej (ortogonalnej) ε

Niech A będzie operatorem samo-

sprzężonym na Cⁿ, który w bazie

ε ma zadaną macierz (samosprz)A.

Układ wektorów własnych operato-

ra A (a więc A) tworzy bazę ortonor-

malną przestrzeni Cⁿ : Niech elementy e₁,...,e_n bazy

e mają w bazie standardowej ε współrzędne:

Niech P - macierz przejścia z

ε do e. Wtedy P^tε=e

P=e^t=

Wiemy że (e_i|e_j)=

PP^*==I

(UU^*=Ie^'U^*U=I U^*=U^-1), więc P=S-macierz unitarna.

Zatem macierz A op A po przejściu z bazy ε do e będzie

postaci P^*AP (P^*=P^-1). Z drugiej strony m. A op A w

bazie ortonormalnej e ma postać diagonalną diag(λ_1…λ_n)

Mamy tezę: S^*AS=diag(λ_1…λ_n).

FORMY LINIOWE, FORMY KWADRATOWE

X-p.l. nad K=R, f: X*X→R, które jest liniowe ze względu

na obie zmienne f=f(x,y): f(x+z,y)=f(x,y)+f(x,y)

f(αx,y)=αf(x,y), f(x,y+z)=f(x,y)+f(x,z), f(x,αy)=αf(x,y)

nazywamy FORMĄ DWULINIOWĄ. Jest ona symetryczna

jeśli ∀_x,y∈X f(x,y)=f(y,x). Jeżeli zachodzi równość

f(x,y)=-f(y,x) to formę nazywamy skośnie symetryczną.

Zad. Każdą f.2lin f na X można przedstawić(jednoznacznie)

w postaci sumy 2lin form: symetrycznej i skośnie symetrycz.

∃f_s,f_a, ∀_x,y∈X f=f_a+f_a

(np. f(x,y)=0,5(f(x,y)+f(y,x))+0,5(f(x,y)-f(y,x)) )

Forma dwuliniowa na n-wym przest. Euklidesa V:

f(x,y)=f()=)=**

f(e_i,e_j)≡a_ij, A=[a_ij] - macierz formy 2lin w bazie e

W ustalonej bazie forma jest wilomianem wielu zmien.

Przebiegających i,j. **=

Zad. f jest symetryczna(skośnie sym.)A jest sym(skos.sym)

Jeżeli f jest formą 2lin symetr. na V, to f(x,y)=x^tAy=(Ax|y)

=(x|Ay)

Zmieniamy bazę, jak zmieni się macierz formy ?

Na V f jest symetr. i ma w bazie e postać f(x,y)=x^tAy

e^'=P^te, x=Px^', y=Py^', f(x,y)=x^tAy=(Px^' )^tA(Py^' )=

=x^'t(P^tAP)y^' A_e-macierz formy w bazie e => P^tAP-macierz

formy w e^'

FORMY KWADRATOWE

Jeżeli f=f(x,y) jest symetryczną formą dwuliniową na V, to funkcję f: X→R  f(x)=f(x,x) - wartość formy dwuliniowej na przekątnej nazywamy formą kwadratową na V. Mówimy wtedy, że f(.) jest formą biegunową (polarną) formy kwadratowej f. f(λx)=λ²f(x) ∀_x∈V i ∀_α∈R Zachodzi równość:

f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(x,y)+f(y,y)

f(x,y)=0.5(f(x+y,x+y)-f(x,x)-f(y,y)) ∀_x,y∈V

Forma dwuliniowa symetryczna na przekątnej:

f(x,y)=0.5(f(x,y)-f(x)-f(y))

Zmiana macierzy formy:

V,e,f -forma liniowa na V, A[a_ij], a_ij=f(e_i,e_j)

1)
=x^TAx ≡ (Axn)

(xAn)

2. V(e→e')

f(x)=x^TAx=(x')^T(P^TAP)x'xPx'

↑↑↑↑

macierz formy

Def Jeżeli forma kwadratowa f ma postać (w pewnej bazie) f(x)=λ₁x₁²+...+λ_nx_n²  λ_i∈R to mówimy o tej formie, że ma postać kanoniczną.

Powiedzmy, że λ₁,...,λ_k>0, zaś λ_k+1,...,λ_n<0,

niektóre mogą być zerami.

Wtedy:

i=1,...,k

zaś:

i=k+1,...,n

dla pozostałych x_i=x_i'.

Wtedy forma daje się zapisać jako

f(x)=x₁²+...+ x'_k² - x'_k+1²-...-x'n² Jest to postać normalna formy kwadratowej.

Tw (O redukcji formy kwadratowej do postaci kanonicznej)

Niech f=f(x)=x^TAx będzie f. kwadratową na danej bazie e przestrzeni liniowej.

Istnieje przekształcenie ortogonalne

V→V  x=Sx' (gdzie S jest macierzą unitarną) ,że forma f ma w pewnej bazie e' postać kanoniczną f(x)=λ₁x'₁²+...+λ_nx'_n² Dow A-a macierz formy na danej bazie e przestrzeni V jest symetryczna (A^t=A) Ma więc widmo rzeczywiste. λ₁,...,λ_n - wartość własna A. Wiadomo, że wektory własne macierzy A : e'₁,...,e'_n tworzą bazę ortogonalną przestrzeni V.

Mamy e'=P^Te ,x=Px

Zatem f(x)=(Px')^TA(Px')=x^TAx=(x')^T(P^TAP)x'

Jednak (Tw. podst) P diagonalizuje A, gdy P^TAP=diag(λ₁,...,λ_n)=D_λ

zatem f(x)=(x')^T D_λx= D_λ

[x'₁,...,x'_n]

= λ₁x'₁²+..+λ_nx'_n²

S=P=

Def Formę kwadratową f na V nazywamy

 f(x)>0 dodatnio okr

1) określoną , jeżeli ∀_x≠0 

 f(x)<0 ujemnie okr

 f(x)>=0 dodatnio półokr

2) półokreśloną, jeżeli ∀_x≠0 

 f(x)<=0 ujemnie półokr

3. nieokreśloną, jeżeli ∃ x'≠0 i x''≠0 ,że f(x')f(x'')<0

Wniosek: Forma kwadratowa f na V (=R⁴) jest:

1. dodatnio określona ⇔ λ₁,...,λ_n>0  półokreślona ⇔ λ₁,...,λ_n>=0 i ∃λ_i≠0

2. ujemnie określona ⇔ λ₁,...,λ_n<0  półokreślona ⇔ λ₁,...,λ_n<=0 i ∃λ_i≠0

3. nieokreślona ⇔ ∃ λ₁,λ₂, λ₁λ₂<0

10. f(x)= λ₁x'₁²+..+λ_nx'_n²>0 ⇔ ∀λ_i>0

f(x)= λ₁x'₁²+..+λ_nx'_n²<0 ⇔ ∀λ_i<0

Tw (Sylwester):

Forma kwadratowa f na Rⁿ jest:

1. dodatnio określona ⇔ wszystkie minory główne macierzy A są dodatnie

M₁=a₁₁>0, M₂=
, ..., M_n=detA>0

dodatnio półokreślona:

M₁=a₁₁>=0, M₂=
, ..., M_n=detA>=0

2) ujemnie określona ⇔ (-1)^kM_k>0 k=1,2,...,n

ujemnie półokreślona ⇔ (-1)^kM_k>=0

W pozostałych przypadkach forma jest nieokreślona.

Examplum :

Rⁿ Zbadać odwrotność formy :

f(x)=a₁ + ... + a_nx₁² + 2(x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_n-1x_n)

a₁ 1 ... 0

1 ... I Twierdzenie Sylu

A= . . . II Metoda widmowa

0 ... 1 a_n

Twierdzenie Gershgorina :

Widmo macierzy A jest zawarte w sumie kół G. i - te koło G to :

D_i |λ - a₁| < Λ ₁ = 1

|λ - a_n| < Λ_n = 1

2<i<n-1 |λ - a₀|<Λ_i = 2 | a_i > 2 na prawo

Stąd widmo w R => forma dodatnio określona

Zamiana formy kwadratowej do postaci kanonicznej.

Metoda Lagrange'a

W unitarnej bazie mamy :

I f(x) a₁ = a_n <> 0

F(x) = a₁x₁² + (...) x₁ + ( reszta bez x₁ ) = a₁ ( x₁² + 2 a₁₂/a₁ x₁x₂ + ...) + pozostałość

Do postaci kanonicznej

= a₁ (x₁ + α₁x₂² + ...)² + pozostałość

II ∀_iii = 0 , ϕ(n) = ∑_{i,j = 1} a_ij x_ix_j = 2∑_j>ia_ij x_iy_j

a₁₂=a<>0

f(x)=a x₁x₂ + Px + Qx₂ + R

P - funkcja liniowa nie zawierająca zmiennych x₁ , x₂

Q - funkcja liniowa nie zawierająca zmiennych x₁ , x₂

R - pozostała część formy kwadratowej nie zawierająca x₁ , x₂

Piszemy :

ϕ(x) = a ( x₁ + Q/a ) ( x₂ + P/a ) + r - PQ/a = a( x₁^'2 - x₂^'2 ) + f | f₁ = R - PQ/a

Def: f - forma kwadratowa na X (dim_RX = n) to r(f)=r(A)

Definicja jest poprawna, ponieważ

e,A e' , Ae = P^t AP

r( Ae' ) = r( P^t AP ) = r(A)

Tw. Sylwester o bezwładności formy kwadratowej .

Jeżeli f jest formą kwadratową (w pewnej bazie e), to istnieje baza e'', że

d (szkic)

Tw. Podstawowe e,e' ( baza wekt. własn. A z wektorem unormowanym )

Def. Sygnatura formy kwadratowej f.:

sgn f = (p,q)

Niektóre informacje o równaniach liniowych:

(0) f: XX - odwzorowanie liniowe

x_s jest rozwiązaniem szczególnym | f(x_s) = y

to każde rozwiązanie równania f(x) = y ma postać:

(1) Ax = y (A A , Kⁿ Kⁿ )

Jeżeli r(A) = r(Ay)

x = x_o + x_s x_o : Ax = 0

x_s : Ax = y

k + r = n

k = n - r

a) AX + XB = C

A,B,C - macierz dana w Mat_n(C)

A lub B jest nie nieosobliwe

<=> X + A^-1 XB = A^-1C

(3) Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu:

I - ustalony przedział na osi R

Cⁿ (I) - przestrzeń liniowa wszystkich funkcji rzeczywistych UCⁿ na K

l_n Cⁿ(I) C(I)

l_n jest odwzorowaniem liniowym z Cⁿ (I) do C(I)

l_n - to tworzymy operator równań liniowych n-tego rzędu

Równanie

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu

Np.

Def. Zagadnienie początkowe ( też zagadnienie Cauchy ) dla równania l_nx = y polega na

poszukiwaniu rozwiązania x = x(t), które spełnia warunek:

Tw 1. ( o istnieniu jednoznaczności )

Jeżeli f , a_i = a_i(t) są ciągłe na I, to

zagadnienie początkowe O ma jedyne rozwiązanie:

Tw 2. Jeżeli a_i = a_i(t) są ciągłe na I, to dim ker l_n = n.

Ex. n=2

x''(t) + px'(t) + qx(t) = f(t)

x'' = -px' - qx + f

Q | x₁ , ... , x_n UB

Operator równania liniowego n-tego rzędu l_n stałych współczynnikach

a_i(t) = a_i = const. i = 1, 2, ...

pozwala skonstruować UB (układ bazowy ).

D. 1) Poszukujemy rozw. równania szczególnego l_nx = O w postaci

FAKT.

Przypisując w.w. zasadzie ...

Ex.

x'' + ^x = O

Ćw.

x'' + 2x' + 2x = 1

najpierw: x'' + 2x' + 2x = O | x = e^t równanie jednorodne

stąd : '' + 2x' + 2x = O

x_o = e^-t( C₁cost + C₂sint )

Układ normalny równań różniczkowych liniowych

a_in = a_in(x) - to funkcje ciągłe na ICR

Równanie (*) | x = x(t) ,

zagadnienie początkowe

w 1. Przy założeniu jak wyżej, zagadnienie początkowe

Tw 2. Maksymalna liczba rozwiązań liniowo niezależnych układu (*) jest

równa n.

Układ o stałych współczynnikach jednorodnych:

Def.

Funkcja od macierzy:

FAKT

Jeżeli ||A||<R to szereg (*) jest zbieżny w Mat_n(C) [tzn. def. jest poprawna !]

10. Mat_n(C) jest p??? Banacha

Mamy:

Ciąg sum częściowych szeregu (*) spełnia warunek Cauchy, zatem (*) jest zbieżny.

WNIOSEK:

Np.

TWIERDZENIE SPEKTRALNE DLA MACIERZY

Tw. Donforda

Przestrzeń Banacha

X - p. l. nad ciałem K = C lub R. Funkcję X∋x → ||x||∈R o własnościach

N1. ||x|| = 0 ⇔ x = 0,

N2. ||αx|| = |α| ||x||,

N3. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

nazywamy normą w X. Parę uporządkowaną (X,||.||) - przestrzenią unormowaną.

Stwierdzamy natychmiast, że:

a) ∀x∈X ||x|| ≥ 0,

b) ∀x,y∈X | ||x|| - ||y|| | ≤ ||x - y||

c) Funkcja X×X∋(x,y) → d(x,y) = ||x - y||∈R

jest metryką w X (tzw., metryka indukowana normą).

d) Metryka (c) jest niezmiennicza względem przesunięcia:

d(x+z,y+z) = d(x,y), ∀x,y,z∈X.

Równość ||x|| = d(x,0) wskazuje, że normą elementu (jego odległość od x) można interpretować jako długość wektora x.

Ciąg (x_n) w (X,||.||) nazywamy zbieżnym do x pisząc

x_n → x, n → ∞ lub lim x_n = x, dla n → ∞

jeżeli

∀ε>0 ∃ N_ε>0 ∀n≥N_ε ||x_n - x|| < ε (tzn. ||x_n - x|| → 0, n → ∞).

Jeżeli

∀ε>0 ∃ N_ε>0 ∀m,n≥N_ε ||x_n - x_m|| < ε (tzn. ||x_n - x_m|| → 0, m,n → ∞),

to (x_n) nazywamy ciągiem Cauchy'ego.

Oczywiste jest, że

granica ciągu zbieżnego jest jedyna,

podciąg (x_nk) ciągu (x_n) zbieżnego do x, jest zbieżny do x,

ciąg zbieżny jest ograniczony: x_n → x, n → ∞, to ∃ r>0 ∀n∈N x_n ∈ K(0,r),

ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy'ego (LECZ NIE NA ODWRÓT).

Ponadto działania strukturalne

K×X∋(α,x) → αx∈X, X×X∋(x,y) → x+y∈X

oraz norma ||.|| są ciągłe:

(α_n,x_n) → (α,x) ⇒ α_nx_n → αx, n → ∞,

(x_n,y_n) → (x,y) ⇒ x_n + y_n → x + y, n → ∞,

x_n → x ⇒ ||x_n|| → ||x||, n → ∞ (Por. b)

Przestrzeń unormowana (X,||.||) zupełna w sensie metryki (c), a więc o własności

||x_n - x_m|| → 0, m,n → ∞ ⇒ ∃ x∈X x_n → x, n → ∞,

nazywamy przestrzenią Banacha.

Niech w p.l. X dane będą normy ||.|| oraz ||.||₀. Mówimy, że są one równoważne pisząc ||.|| ∼ ||.||₀, jeżeli w (X,||.||) zbieżne są te i tylko te ciągi, które są zbieżne w (X, ||.||₀)

tzn. _{||x|| ||.||0}

x_n → x, n → ∞ ⇔ x_n → x, n → ∞.

FAKT1. W p.l. X (nad ciałem C lub R) o zadanych normach ||.|| oraz ||.||₀ mamy:

||.|| ∼ ||.||₀ ⇔ ∃ α,β>0 ∀x∈X α||x||₀ ≤ ||x|| ≤ β||x||₀.

FAKT2. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa X (nad C lub R) jest przestrzenią Banacha (tzn. w X istnieje norma ||.||, że (X,||.||)∈B). W skończenie wymiarowej przestrzeni Banacha wszystkie normy są równoważne.

Dowód Niech dim X = n (n∈N), e = (e₁, ..., e_n) - baza w X. ∀x∈X mamy jednoznaczną reprezentację x = Σⁿ₁ ξ_ne_n. Odwzorowanie

X∋x → x^∼ = (ξ₁, ..., ξ_n)∈Kⁿ

jest izomorfizmem. Ponadto

||x|| = (Σⁿ₁|ξ_k|²)^1/2 (= ||x^∼||₂ w Kⁿ)

jest normą w X (także w Kⁿ). Przestrzenie (X,||.||) oraz (Kⁿ,||.||₂) są zatem (liniowo) izometryczne. Stąd (X,||.||) jest (wraz z (Kⁿ,||.||₂)) przestrzenią Banacha.

Niech ||.||₀ będzie dowolną normą w X. Nierówność CBS daje

||x||₀ = ||Σⁿ₁ ξ_ne_n||₀ ≤ Σⁿ₁ |ξ_n| ||e_n||₀ ≤(CBS) β||x||, gdzie β = (Σⁿ₁||ε_k||₀²)^1/2

Przestrzeń Banacha (X,||.||) jest izometryczna z (Kⁿ,||.||₂), zatem sfera jednostkowa

S = {x∈X: ||x||₀ =1} (jako podzbiór domknięty i ograniczony: dim X = n < ∞) jest zbiorem zwartym. Norma jest funkcją ciągłą, zatem tw. Weierstrassa daje:

α = inf ||x|| = ||x'|| dla pewnego x∈S (a więc x'≠0)

^x∈S

Stąd α > 0 oraz α ≤ ||x||, ∀x∈S (tj. ||x||₀ = 1). Jeżeli x∈X\{0}, to x/||x||₀ ∈S, czyli

α||x||₀ ≤ ||x||, ∀x∈X, co wraz z (*) daje tezę o równoważności norm. •

FAKT3. Dane są p.u. X,Y nad wspólnym ciałem K(=C lub R) oraz odwzorowanie liniowe A: X → Y. Równoważne są warunki:

(i) A jest ciągłe w punkcie x = 0,

(ii) A jest ciągłe,

(iii) ∃ M>0 ∀x∈X ||Ax|| ≤ M||x||.

(dla prostoty zapisu normą w X,Y oznaczamy tym samym symbolem ||.||).

Dowód. (i)⇒(ii). Jeżeli x_n → 0, n → ∞, x∈X, to x + x_n → x, n → ∞, zatem (ii):

A(x+x_n) = Ax + Ax_n → Ax + A(0) = Ax + 0 = Ax, n → ∞.

(ii)⇒(iii). Niech A będzie ciągłe. Załóżmy, że (iii) nie zachodzi, czyli

∀ M>0 ∃ x∈X ||A(x_M)|| > M||x_M||, x_M ≠ 0.

Dowolność liczby M>0 zredukowana do przypadku M = n (n = 1,2,...) daje

∀n∈N ∃ x_n ≠ 0 ||Ax_n|| > n||x_n||.

Jednak relacje

∀n∈N ||A(x/(n||x||))|| > 1 oraz A(x_n/(n||x_n||)) → 0, n → ∞

dają sprzeczność. Wynikanie (iii)⇒(i) jest oczywiste. •

Warunek ciągłości odwzorowania liniowego w postaci (iii) oznacza tyle samo, co stwierdzenie:

A jest odwzorowaniem ograniczonym w każdym podzbiorze ograniczonym (≠∅), w szczególności

||A(x)|| ≤ M, ||x|| ≤ 1,

lub też

A spełnia warunek Lipschitza: ∀x₁,x₂∈X ||Ax₁ - Ax₂|| = ||A(x₁ - x₂)|| ≤ M ||x₁ - x₂||

Jeżeli A: X → Y jest ciągłym odwzorowaniem liniowym, to liczbę

||A|| = inf {M>0: ∀x∈X ||Ax|| ≤ M ||x||}

nazywamy normą ciągłego odwzorowania (operatora) liniowego A.

Oszacowanie (iii) implikuje : ||A|| ≤ M.

FAKT4. Jeżeli A: X → Y jest ciągłym operatorem liniowym, to

(P)

(A)

Dowód wynika z określenia normy ||A||.

Norma ||.|| ciągłego operatora liniowego z X do Y ma własności N1-3:

||A|| = 0 ⇔ A = 0, ||αA|| = |α| ||A||, ||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||.

Dla przestrzeni unormowanych X,Y niech B(X,Y,) będzie zbiorem wszystkich ciągłych odwzorowań liniowych z X do Y. W szczególności oznaczamy:

B(X) = B(X,X) - algebra ciągłych operatorów liniowych na X,

X^* = B(X,K) - przestrzeń dualna do X (czyli przestrzeń wszystkich ciągłych form liniowych na X).

W sensie zwykłej struktury liniowej oraz normy określonej zgodnie z FAKTEM4 przestrzenie B(X,Y), B(X), X^* są unormowane. Ponadto, gdy w B(X) określić mnożenie rozumiane jako składanie odwzorowań:

(A,B)(x) = A(B(x)), ∀x∈X,

to B(X) staje się algebrą (z jednością e ≡ I = id_x, komutatywna jedynie, gdy dimX = 1 ∨ 0).

W algebrze B(X) mamy

||AB|| ≤ ||A|| ||B||.

Istotnie, AB∈B(X) wraz z A i B, a poza tym

Oczywiście ||I|| = 1, ||Aⁿ|| ≤ ||A||ⁿ, n = 0, 1, 2, ...

FAKT5. B(X,Y) przy unormowaniu jak w F.4 jest przestrzenią Banacha wraz z Y. B(X) jest przestrzenią (algebrą) Banacha wraz z X.

X^* = B(X,K) - przestrzeń dualna do przestrzeni unormowanej X, jest przestrzenią Banacha.

Dowód. Niech (A_n) będzie ciągiem Cauchy'ego w B(X,Y):

||A_n - A_m|| = sup ||(A_n - A_m)x|| < ε, dla ||x||=1, m,n ≥ N_ε.

Ciąg (A_nx) elementów przestrzeni Banacha Y jest również ciągiem Cauchy'ego:

(*) ||A_nx - A_mx|| < ε||x||, ∀x∈X, m,n ≥ N_ε,

zatem istnieje granica

Ax = lim A_nx, dla n → ∞, ∀x∈X.

Tak określone odwzorowanie X∋x → Ax∈Y jest liniowe:

A(αx₁+βx₂) = lim A_n(αx₁+βx₂) = αAx₁ + βAx₂.

Przejście graniczne m → ∞ w (*) daje ||(A_n - A)x|| ≤ ε||x||, n ≥ N_ε, skąd A_n - A∈B(X,Y).

Tym samym A = A_n + (A - A_n) jest w B(X,Y). Ponadto

||A - A_n|| = sup ||(A_n - A)x|| ≤ ε, dla ||x||=1, n ≥ N_ε,

więc A jest granicą ciągu (A_n) w metryce przestrzeni B(X,Y). •

Uwaga Zbieżność ciągu (A_n) do A w przestrzeni B(X,Y) to po prostu zbieżność ciągu (A_n) do A jednostajna na każdej kuli K(0,r), r>0.

FAKT6. Niech X będzie przestrzenią Banacha, A∈B(X) oraz ||A|| ≤ q < 1.

Wtedy w B(X) istnieje operator (I-A)^-1 odwrotny do I-A oraz

(I-A)^-1 = Σ^∞_k=0 A^k.

Dowód. B(X) jest przestrzenią Banacha, przeto równość

||Aⁿ + ... + A^m|| ≤ qⁿ + ... +q^m < ε, dla m,n ≥ N_ε

stwierdza zbieżność szeregu Σ^∞₀A^k (w przestrzeni B(X)). Ponadto w algebrze B(X) mamy

Aⁿ → 0, n → ∞. Jeżeli sumę szeregu Σ^∞₀A^k oznaczyć przez B, to

(I - A)B = (I - A)lim(Σ^∞₀A^k) = lim (I-A)(I + A + ... + Aⁿ) = lim (I- Aⁿ⁺¹) = I, dla n → ∞

(na mocy ciągłości mnożenia w algebrze B(X)). W algebrze B(X) równość (I -A)B = I potwierdza, że elementy I - A oraz B są wzajemnie odwrotne:

B = (I - A)^-1∈B(X) •

FAKT6'. (Eq) Jeżeli X jest przestrzenią Banacha A∈B(X) oraz ||A|| ≤ q < 1, to

∀y∈X równanie

x - Ax = y

ma w X jedyne rozwiązanie

x = (I-A)^-1y = Σ^∞_k=0 A^k.

FAKT7. Niech X będzie przestrzenią Banacha, a G(X) zbiorem wszystkich odwracalnych B(X).

(i). G(X) jest grupą

(ii) G(X) jest podzbiorem otwartym w B(X)

Dowód. Własność (i) jest oczywista. (ii) Należy zauważyć, że każdy punkty A w G(X) (dim X > 0) jest punktem wewnętrznym. W tym celu obieramy B w B(X) żądając, by norma ||B|| była dostatecznie mała, np. ||A^-1B|| ≤ q/(||A^-1||). Faktoryzacja:

A + B = A^-1 (I + A^-1B) na czynniki odwracalne daje zatem A + B∈G(X). (inaczej: G(X) zawiera kulę K(A,r), 0<r<||A^-1B|| (≤q<1).) •

Komentarz Powyższe fakty odnoszą się w szczególności do przestrzeni B(Kⁿ,K^m), a także do algebry B(Kⁿ), gdzie K = C lub R. A zatem również do przestrzeni macierzy Mat_m×n(K) oraz algebry macierzy Mat_n(K). Wiemy bowiem, że ustalając bazy w Kⁿ oraz w K^m można ustalić odwzorowanie

B(Kⁿ,K^m)∋A ↔ A∈ Mat_m×n(K),

które jest izomorfizmem. Jest to również izometria (liniowa), jeżeli przyjąć

||A|| = ||A|| ( = sup ||Ax||) dla ||x||=1

W szczególności w przestrzeni (algebrze) Mat_n(K) grupa G macierzy nieosobliwych jest zbiorem otwartym. (Jest to swego rodzaju własność stabilności:

jeżeli A jest nieosobliwa to A+B też, jednak, gdy B ma dostatecznie małą normę.

Przestrzeń Hilberta

X - przestrzeń liniowa na K = C lub R. Odwzorowanie XxX ∋ (x, y) (x | y) ∈ C o własnościach:

1. (x + y | z) = (x | y) + (y | z)

2. (α x | y) = α ( x | y)

3. (x | y) = (y | x)

4. (x | x) >0 ∀x ∈ X \ {0} (tzn. ∀x ∈ X (x | x) ≥ i (x | x) = 0 x = 0)

nazywamy iloczynem skalarnym w X.

Ilocznyn skalarny jest więc funkcją liniową względem pierwszej zmiennej, a „półtora liniowa” względem pozostałej; jest funkcją dwuliniową w przypadku K = R.

Fakt 1. (Nierówność CBS) W przestrzeni liniowej X z iloczynem skalarnym (• | •) mamy oszacowanie (*):
a znak równości zachodzi wyłącznie wtedy, gdy elementy x, y są liniowo zależne.

Dowód: ∀α ∈ C, (x + λ y | x + λ y) ≥ 0, a stąd:
. Jeśli y = 0, teza jest rzeczywista. Jeżeli y ≠ 0, to biorąc λ = - (x | y) / (y | y), otrzymujemy:
stąd (*). Znak równości w (*) zachodzi jedynie wtedy, gdy przy pewnym λ, (x + λ y | x + λ y) = 0. To jednak - zgodnie z ES4. - oznacza, że x + λ y = 0, czyli: x, y są liniowo zależne.♦

Fakt 2. W przestrzeni X z ES odwzorowanie X ∋ x (x | x) ^½ ∈ R jest normą.

Dowód: Mamy : || x || = 0 (x | x) = 0 x = 0 (ES4.),
, stąd N.2, a nierówność:

daje N3♦

Def. Przestrzeń liniowa X z iloczynem skalarnym (• | •), wyposażoną w normę indukowaną tym iloczynem skalarnym: || x || = (x | x) ^½ nazywamy przestrzenią unitarną (lub pre-Hilberta) Gdy jest to przestrzeń zupełna w sensie metryki indukowanej normą: d(x, y) = || x - y || ( = (x - y | x - y) ^½ ) , to nazywamy ją przestrzenią Hilberta.

Przykłady przestrzeni Hilberta: a) Rⁿ,
b) Cⁿ
c) l₂
. Natomiast przestrzeń liniowa C(-l, l) wszystkich funkcji zespolonych ciągłych i ograniczonych na odcinku (-l, l) wraz z iloczynem skalarnym:
nie jest przestrzenią Hilberta (brak zupełności).

Tw. Każda przestrzeń Hilberata jest przestrzenią Banacha, lecz nie na odwrót.

Fakt 3. W przestrzeni unitarnej mamy: jeżeli
to elementy x, y są liniowo zależne.

Dowód: Założenie || x + y || = || x || + || y || oraz równość || x + y || ² = (x + y | x + y) dają Re (x | y) = || x || || y ||. Pisząc:
otrzymujemy
. Wobec F1 elementy x, y są liniowo zależne ♦

Ortogonalność

Dana jest przestrzeń unitarna X. Jeżeli x, y ∈ X \ {0} oraz (x | y) = 0 to mówimy, że elementy x i y są ortogonalne, pisząc x + y. (Oczywiście ∀x ∈ X (x | 0) = 0 lecz to nie oznacza ortogonalności x to 0!).

Niezerowy układ elementów x₁, ..., x_n, ... o własności x_k ⊥ x_l (tj. ( x_k | x_l) = 0), k ≠ l nazywamy układem ortogonalnym. Układ ortogonalny o własności || x_k || 1, k = 1, 2, ... nazywamy układem ortogonalanym.

Jeżeli x₁, ..., x_n, ... jest układem ortogonalnym, to
jest układem ortonormalnym.

Fakt 1. Układ ortogonalny x₁, x₂.... jest liniowo nieleżny.

Dowód: Jeżeli dla pewnego n (n ≥ 2) elementy x₁, x₂, ..., x_n układu ortogonalnego są liniowo zależne, to istnieją α ₁, α ₂, ..., α _n w C, |α ₁| + |α ₂| + ... + |α _n| > 0, że α₁x₁ + ...+ α_nx_n = 0. Stąd ∀i ∈ {1, ..., n}, 0 = (α₁x₁ + ... + α_nx_n | x_i ) = α_i || x_i || ², czyli α₁ = ... = α_n = 0. Sprzeczność.♦

Układ liniowo niezależny nie musi być ortogonalny to jednak można przyporządkować jemu układ ortogonalny utworzony z kombinacji liniowych. Bliżej mówi o tym proces ortogonalizacji Schmidta.

Fakt (E. Schidt). W przestrzeni unitarnej X, dany jest układ liniowo niezależny x₁, ..., x_n, ... Wtedy, w X istnieje układ ortogonalny f₁, ..., f_n, .., że (*) span {x₁, ..., x_n} = span {f₁, ..., f_n}, ∀n = 1, 2, ...

Dowód: kładziemy: f₁ = x₁ , f₂ = x₂ - a₂₁f₁ żądając, aby f₂ ⊥ f₁ czyli a₂₁ = (x₂ | f₁) / || f₁ || ², f_n = x_n - a_n,n-1f_n-1­ - ... - a_n,1f₁ żądając, aby f_n ⊥ f_n-1, ..., f₁, czyli a_n,n-1 = (x_n | f_n-1) / || f_n-1 || ², ... , a_n,1 = (x_n | f₁) / || f₁ || ². Tak otrzymany układ f₁, ..., f_n jest ortogonlany, a zatem liniowo niezależny. Relacja (*) jest oczywista.♦

Uwaga Układ e₁, ..., e_n, ... , gdzie e_n = f_n / || f_n || , n = 1, 2, ... jest ortonormalny

Wniosek: W n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa istnieje baza ortononalna (ortonormalna).

Przestrzeń Euklidesa.

Skończenie wymiarową przestrzeń unitarną V nad ciałem K ( = C lub R), dim X = n, wyposażoną w normę || . || indukowaną iloczynem skalarnym (• | •), a więc || x || = (x | x) ^½ x ∈ V nazywamy n-wymiarową przestrzenią Euklidesa (- zespoloną lub rzeczywistą).

W przestrzeni Euklidesa zachodzi nierówność CBS:
tak, że przy założeniu x, y ≠ 0, będzie:
.

W rzeczywistej przestrzeni Euklidesa V przez kąt między wektorami x, y (x, y ≠ 0) rozumiemy liczbę ϕ ∈ <0, π>, że
. Mamy wtedy (x | y) = || x || || y || cos ϕ , ∀x, y ∈ V, a ponadto x ⊥ y ϕ = π/2 (x , y ≠ 0).

Uwaga: Powyższa nierówność jest prawdziwa również, gdy x lub y jest elementem zerowym, bowiem przez kąt między wektorem niezerowym x, a wektorem zerowym 0 można rozumieć dowolną liczbę ϕ ∈ <0, π>.

Fakt 3. W przestrzeni Euklidesa V rozwinięcia elementów według bazy ortonormalnej (e) mają własności: 1)
, gdzie x_i = (x | e_i) (współrzędne w bazie ON) 2)
(Pitogorean Theorem) 3)
, gdzie x_i, y_i to współrzędne w bazie (e) elementu x, y.

Dowód: Własność 1) jest oczywista. Wystarczy zanotować równość
, ponieważ
♦

Odwzorowanie
nazywamy rzutem V na i-tą osi ortonormalnego układu współrzędnych (e₁, ..., e_n).

Fakt 4. Operatory rzutowania P_i mają własności:

1) P_i ∈ B(V), to jest P_i jest ciągłym operatorem linowym na V (Ponadto || P_i || = 1)

2)

3)

Dowód: Dowodząc 3) wystarczy napisać:
, reszta jest oczywista.♦

Uwaga: W rzeczywistej przestrzeni Euklidesa V z wyróżnioną bazą ortonormlną (e), mamy: x_i = (x | e_i) = || x || cos ϕ_i , gdzie ϕ_i to kąt między wektorem x (x ≠ 0) a i-tą osią e_i układu współrzędnych (e). Ponadto
, co czytamy: x jest wektorem jednostkowej długości wyłącznie wtedy, gdy jego współrzędne to cosinusy kierunkowe tego wektora z poszczególnymi osiami ortonormalnego układu współrzędnych.

DODATKOWE

Def. Niech A ∈ M_n (K). Jeśli istnieje macierz A' ∈ M_n (K) taka, że AA' = A'A = I, gdzie I jest macierzą jednostkową stopnia n, to macierz A' nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A.

Tw. (Kronecker-Cappelli) Układ równań linowych ma co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy układu równań jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej.

Dowód: Niech A = (A₁, A₂, ..., A_n) będzie macierzą układu równań i A_b = (A₁, ..., A_n, B) macierzą rozszerzoną tego układu. Zachodzą wówczas następujące równoważności:

(γ₁, ..., γ_n) jest rozwiązaniem układu równań γ₁A₁ + ... + γ_nA_n = B B ∈ L(A₁, ..., A_n)
L(A₁, ..., A_n) = L(A₁, ..., A_n, B) dim L(A₁, ..., A_n) = dim L(A₁, ..., A_n, B)

rz (A₁, ..., A_n) = rz(A₁, ..., A_n, B) rz A = rz A_d
( L(..) - zbiór wszystkich kombinacji liniowych wszystkich skończonych produktów układu ...) ♦

Tw. (Kronecker-Cappelli) i Dowód wg. Henia: strona 4a

Def. Jeżeli istnieje wektor niezerowy λ (w Kⁿ), że przy pewnym λ←K będzie: Ax=λx (Ax=λx), to mówimy, że x jest wektorem własnym macierzy A, odpowiadającym wartości własnej λ. A→(x,λ)

Tw. Każda macierz A=[a_ik]_m×n nad ciałem alg. zamkniętym ma wartości własne oraz wektor własny.

Dowód: λ,x - to wartość własna i wektor własny macierzy A ⇔ jest x≠0 oraz λ∈K | Gdy spełnione jest równanie Ax=λx ↔ (A-λI)x=0 ↔ jest ukł. kwadratowych równań jednorodnych

Def. Rzędem macierzy A = (A₁, ..., A_n) ∈ M_{m x n}(K) nazywamy rząd układu jej kolumn, rozpatrywanych jako wektory przestrzeni K^m.

Tw. (o rzędzie macierzy) Rząd macierzy A ∈ M_{m x n}(K) jest równy największemu stopniowi jej nie znikających minorów.

W równaniach 2 prostych, gdy: rz A = rz A_b = 2 - przecinają się (ozn.); rz A = 1, rz A_b = 1 - porywają się (nieoznaczony), rz A = 1, rz A_b = 2 - równoległe (sprzeczny).

TW. (KRONECKERA-CAPELLIEGO).

(*)

(**)

Układ liniowy (*) złożony z m równań o n niewiadomych jest rozwiązywalny wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(C), przy czym R(A) = R(C) = n, to układ (*) na dokładnie jedno rozwiązanie, gdy zaś
R(A) = R(C) = r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n - r parametrów.

DOWÓD

Konieczność. Jeśli układ (*) ma rozwiązanie (**) to R(A) = R(C), bo rząd macierzy C nie ulegnie zmianie w wyniku odjęcia od kolumny wyrazów wolnych sumy i-tej kolumny pomnożonej przez ­­_i,
a ostatnia kolumna wyrazów wolnych zostanie wyzerowana.

Dowód dostateczności. W przypadku r = n jednoznaczność rozwiązania jest oczywista bo układ jest albo układem Cramera, albo równań jest więcej niż niewiadomych - równoważne układowi Cramera. Gdy r < n, to można tak przenumerować zmienne i wybrać r równań spośród równań układu (*), by otrzymać układ Cramera o r równaniach:

(***)

Wtedy pozostałe równania układu (*) jako zależne od równań układu (***) można odrzucić. Układ (***) jest jednoznacznie rozwiązalny względem zmiennych w zależności od pozostałych zmiennych . Wobec tego układ (*) jest nieoznaczony, a jego rozwiązanie zależy od n - r dowolnych parametrów (którymi mogą być np. zmienne ).

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE

(*)

(**)lub

Równanie (*) nazywamy równaniach charakterystycznym macierzy A, jego lewą stronę - wielomianem charakterystycznym macierzy A, pierwiastkirównania (*) - wartościami własnymi macierzy A, wektory będące rozwiązaniami równań (**) dla wartości własnych macierzy - wektorami własnymi macierzy A. Wektor własny odpowiadający wartości _i znajdujemy rozwiązując jedno
z równań równania (**).

RZĄD MACIERZY

Rzędem macierzy o wymiarze nazywamy:

1. liczbę R równą najwyższemu ze stopni jej różnych od zera minorów, gdy macierz jest niezerowa;

2. liczbę zero, gdy macierz jest zerowa

Rząd macierzy spełnia następującą nierówność

Rząd macierzy nieosobliwej stopnia n jest równy n; rząd kwadratowej macierzy osobliwej i niezerowej jest niższy od jej stopnia.

PRZESTRZEŃ PRZEDHILBERTOWSKA (UNITARNA PRZESTRZEŃ LINIOWA)

Iloczynem pseudoskalarnym na przestrzeni liniowej E nad ciałem R nazywamy odwzorowanie spełniające dla dowolnego i dowolnych następujące warunki:

1^o (symertia) 2^o (jednorodność) 3^o (rozdzielność względem dodawania) 4^o

Jeżeli ponadto spełniony jest warunek 5^oto odwzorowanie nazywamy iloczynem skalarnym określonym na przestrzeni liniowej E. Parę , tzn. przestrzeń liniową E wyposażoną w iloczyn skalarny , nazywamy przestrzenią liniową unitarną lub przestrzenią przedhilbertowską.

Funkcja dwu zmiennych spełniająca warunki 1^o - 3^o jest symetryczną formą dwuliniową; jeżeli także 4^o - to dodatnio półokreśloną lub dodatnio określoną; gdy ponadto 5^o - to jest to symetryczna forma dwuliniowa dodatnio określona. W unitarnej przestrzeni liniowej zawsze wprowadzamy normę elementu za pomocą wzoru

18

A B

X₀

x

---