Liczbą  zespoloną  (LZ)  nazywamy  parę 
uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b).  

                  

 

     

Interpretacja geom. LZ nazywamy to 
płaszczyzną Gaussa. 

 

L. przeciwna –             
L. sprzężona             
Wzory: 

        

 

   

 

 

   

 

       

 

 

   

 

                          

 

 

 

 

 

       

  

 

 

 

 

       

  

 

 

 

   

działania dodawania i mnożenia LZ są łączne i 
przemienne  oraz  mnożenie  jest  rozdzielne 
względem dodawania. 
Postad trygonometryczna LZ: 
                         

       

 

   

 oraz        

 

   

 

 

Wzory: 

 

 

 

 

    

 

   

 

       

 

   

 

           

 

   

 

    

 

 

 

 

 

  

 

 

  

 

 

      

 

   

 

           

 

   

 

  

Wzory Moivre’a: 

 

 

     

 

                      

  

 

      

 

    

       

 

       

       

 

  

gdzie k=0,1…,n-1 
Dwumian Newtona 
       

 

   

 
 

  

 

   

 
 

  

   

   

 

 
 

  

   

 

 

   

 
 

  

   

 

 

       

 
 

  

 

  

Zasadnicze  twierdzenie  algebry    mówi,  że 
dowolny wielomian stopnia n nad ciałem liczb 
zespolonych  ma  dokładnie  n  pierwiastków 
zespolonych.  Tzn.  każdy  wielomian  o 
współczynnikach  zespolonych  stopnia  n  ma 
przynajmniej jeden pierwiastek zespolony. 
Układ  równao  liniowych  może: 

a)

  nie  mied 

rozwiązao  (nazywany  jest  wtedy  sprzecznym) 

b)

  mied  jedno  rozwiązanie  x 

c)

  mied 

nieskooczenie wiele rozwiązao. 
Układ równao liniowych nazywa się układem 

jednorodnym

, gdy wszystkie wyrazy wolne są 

równe  zeru,  b=0;  w  przeciwnym  wypadku 
układ  nazywa  się  układem 

niejednorodnym

. 

Jednym  z  rozwiązao  jednorodnego  układu 
równao  liniowych  jest  zawsze  rozwiązanie 
zerowe,  x=0.  Uwaga:  jeśli         jest 
rozwiązaniem  jednorodnego  układu  równao, 
a  c  jest  dowolną  liczbą  ze  zbioru  K,  to   

 

=cx 

jest także rozwiązaniem tego układu równao.  

TW Kroneckera-Capellego 

tw rozstrzygające o 

istnieniu rozwiązao układu równao liniowych. 

1  rozwiązanie

  –  kiedy  rz.  macierzy  =  rz.  m. 

uzupełnionej = l. niewiadomych. 

Nieskooczenie  wiele  Roz.

  –  rz.  macierzy  =  rz. 

m.  uzupełnionej  i  jest  mniejszy  od  liczby 
niewiadomych w układzie. 

Brak Roz.

 – rz. macierzy nie jest równy rz. m. 

uzupełnionej. 
 
 

Macierz – uporządkowana prostokątna tablica 
liczb,  dla  której  zdefiniowane  są  działania 
algebraiczne  dodawania  (odejmowania)  i 
mnożenia. 
M.  nieosobliwa  –  macierz  o  odwracalnym 
wyznaczniku  (różny  od  zera.  (M.  musi  byd 
nieos. stała się odwracalna) 
M.  osobliwa  –  macierz  o  wyznaczniku 
nieodwracalnym (zerowym). 
Przestrzeo  liniowa  PL  –  Zbiór  V  przestrzeni 

 

 

                      

     

     

 

Liniowo 

zależny 

– 

układ 

wektorów 

 

 

   

 

       

 

gdy istnieją liczby  

 

   

 

       

 

nie 

wszystkie równe zero takie, że  

 

 

 

   

 

 

 

 

     

 

 

 

    

Liniowo  niezależny  -  układ  wektorów 
 

 

   

 

       

 

jeżeli  nie  jest  on  liniowo  zależny 

to znaczy jeżeli równośd  

 

 

 

 

   

 

 

 

       

 

 

 

    

zachodzi tylko wtedy, gdy  

 

   

 

        

Baza  V  –  jeżeli  B  jest  układem  wektorów 
liniowo  niezależnych  i  każdy  wektor  należący 
do  V  można  jednoznacznie  przedstawid  w 
postaci 

kombinacji 

liniowej 

wszystkich 

wektorów zbioru B. 
Twierdzenie  Cramera:  Układ  n-równao  o  n-
niewiadomych, 

którego 

macierz 

współczynników ma wyznacznik różny od zera 
jest  układem  oznaczonym  i  jego  rozwiązanie 

dane  jest  wzorami:   

 

 

  

 

 

   

                

gdzie  A  oznacza  m.  współczynników  tego 
układu, a  

 

 oznaczają macierze powstające z 

macierzy  A  przez  zastąpienie  i-tej  kolumny 
kolumną wyrazów wolnych.