Liczbą zespoloną (LZ) nazywamy parę
uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b).

Interpretacja geom. LZ nazywamy to
płaszczyzną Gaussa.

L. przeciwna –
L. sprzężona
Wzory:

działania dodawania i mnożenia LZ są łączne i
przemienne oraz mnożenie jest rozdzielne
względem dodawania.
Postad trygonometryczna LZ:

oraz

Wzory:

Wzory Moivre’a:

gdzie k=0,1…,n-1
Dwumian Newtona

Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że
dowolny wielomian stopnia n nad ciałem liczb
zespolonych ma dokładnie n pierwiastków
zespolonych. Tzn. każdy wielomian o
współczynnikach zespolonych stopnia n ma
przynajmniej jeden pierwiastek zespolony.
Układ równao liniowych może:

a)

nie mied

rozwiązao (nazywany jest wtedy sprzecznym)

b)

mied jedno rozwiązanie x

c)

mied

nieskooczenie wiele rozwiązao.
Układ równao liniowych nazywa się układem

jednorodnym

, gdy wszystkie wyrazy wolne są

równe zeru, b=0; w przeciwnym wypadku
układ nazywa się układem

niejednorodnym

.

Jednym z rozwiązao jednorodnego układu
równao liniowych jest zawsze rozwiązanie
zerowe, x=0. Uwaga: jeśli jest
rozwiązaniem jednorodnego układu równao,
a c jest dowolną liczbą ze zbioru K, to

=cx

jest także rozwiązaniem tego układu równao.

TW Kroneckera-Capellego

tw rozstrzygające o

istnieniu rozwiązao układu równao liniowych.

1 rozwiązanie

– kiedy rz. macierzy = rz. m.

uzupełnionej = l. niewiadomych.

Nieskooczenie wiele Roz.

– rz. macierzy = rz.

m. uzupełnionej i jest mniejszy od liczby
niewiadomych w układzie.

Brak Roz.

– rz. macierzy nie jest równy rz. m.

uzupełnionej.

Macierz – uporządkowana prostokątna tablica
liczb, dla której zdefiniowane są działania
algebraiczne dodawania (odejmowania) i
mnożenia.
M. nieosobliwa – macierz o odwracalnym
wyznaczniku (różny od zera. (M. musi byd
nieos. stała się odwracalna)
M. osobliwa – macierz o wyznaczniku
nieodwracalnym (zerowym).
Przestrzeo liniowa PL – Zbiór V przestrzeni

Liniowo

zależny

–

układ

wektorów

gdy istnieją liczby

nie

wszystkie równe zero takie, że

Liniowo niezależny - układ wektorów

jeżeli nie jest on liniowo zależny

to znaczy jeżeli równośd

zachodzi tylko wtedy, gdy

Baza V – jeżeli B jest układem wektorów
liniowo niezależnych i każdy wektor należący
do V można jednoznacznie przedstawid w
postaci

kombinacji

liniowej

wszystkich

wektorów zbioru B.
Twierdzenie Cramera: Układ n-równao o n-
niewiadomych,

którego

macierz

współczynników ma wyznacznik różny od zera
jest układem oznaczonym i jego rozwiązanie

dane jest wzorami:

gdzie A oznacza m. współczynników tego
układu, a

oznaczają macierze powstające z

macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny
kolumną wyrazów wolnych.