Algebra teoria

background image

1

A

B

PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE

przez system algebraiczny rozumiemy:
(X,

), X – zbiór niepusty,

: X

n

X (n

Z

+

) – dane odwzorowanie, zwane n-argumentowym

działaniem w X. (n=0 – wyróżniamy element x  X; n = 1 – działanie jedno arg.; n = 2 – działanie
binarne).
(X,

),

działanie binarne – grupoid

Def. Grupoid nazywamy półgrupą, jeżeli

jest działaniem łącznym, tzn.

 

 

z

y

x

z

y

x

z

y

x

,

,

,

,

,

,

X

Uwaga: (

* - notacja muliplikatywna,

+ - notacja addytywna).

Def. Działanie binarne

o własności:

   

x

y

y

x

z

y

x

,

,

,

,

X

nazywamy przemiennym. (Np.

(N,

)

(x,y) = x

y

nie jest przemienne)

Def. (X,

) – grupoid: element e o własności

   

x

x

e

e

x

x

,

,

nazywamy elementem

jednostkowym działania

.

Lemat: Element jednostkowy, jeżeli istnieje, to jest jedyny.

J:

   

   

e

e

e

x

x

x

e

e

x

e

e

x

x

x

e

e

x

e









)

podst.

(

,

,

)

podst.

(

,

,

element jednostkowy: lewy (e

l

) e

l

x = x, prawy (e

p

) x e

p

= x. Jeśli istnieje e

p

i e

l

, to e

p

= e

l

= e.

notacja: addytywna  e

1; multiplikatywna  e

0.

Def. Półgrupę (X,

) z jednością o własności:

   

odwrotny

element

,

,

x

e

x

x

x

x

x

x

X

X

nazywamy grupą.

Lemat: Element x’ jest jedyny.

Bezpośrednia definicja grupy
Grupa to system algebraiczny (X,

) z jedynym działaniem binarnym

, przy czym spełnione są żądania:

G1. Działanie

jest łączne:

 

 

z

y

x

z

y

x

z

xy

yz

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

)

(

)

(

)

(

)

(

,

,

,

,

,

,

X

G2.

   

x

x

x

x

x

x

x

e

x

x

e

x

e

0

0

1

1

,

,

G3.

   

przeciwyny

element

0

odwrotny

element

1

,

,

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

e

x

x

x

x

Lemat: Półgrupa (X,

) jest grupa wtedy i tylko wtedy, gdy: 1)

x

x

e

x

)

,

(

2)

e

x

x

x

x

)

,

(

Fakt: Jeżeli (G,

) jest grupą, to dla każdego a, b

G równanie:

(a, x) = b |

(x, a) = b ma jedno

rozwiązanie
J:

(a, x) = b. Przypuśćmy, że rozwiązanie x istnieje to a  a

-1

(a

-1

,

(a, x) =

(

(a

-1

, a), x) =

(e, x) = x, prawa strona równania:

(a

-1

, b), stąd: x =

(a

-1

, b). x =

(a

-1

, b) spełnia równanie:

(a, x) =

b:

(a,

(a

-1

, b)) =

(

(a, a

-1

), b) =

(e, b) = b

Uwaga:

= G

0

G – nazywamy podgrupą, jeżeli G

0

jest podzbiorem zamkniętym ze względu na

działanie grup.

Pierścień: To system algebraiczny z wyróżnionym układem dwóch działań binarnych (R, +,

) przy

czym: 1) (R, +) jest grupą przemienną (

gr. Abelowa); 2) (R,

) jest półgrupą (

łączne); 3)

rozdzielność działania

względem działania +, tzn.

zx

yx

x

z

y

xz

xy

z

y

x

z

y

x

)

(

)

(

,

,

.

Jeśli działanie

przemienne – pierścień przemienny. Jeśli działanie

ma element jednostkowy –

pierścień z jednością.

Ciało: (K, +,

)

(K, +,

, 0, 1), przy czym: 1) (K, +,

) jest pierścieniem z jednością; 2) (K \ {0} , +, 1)

jest grupą

Przestrzeń liniowa:

Def. Strukturą liniową zbioru X (X =

) nad ciałem K nazywamy układ dwóch odwzorowań: 1) XxX

(x, y)  x + y

X – wynik dodawania w X; 2) KxX

(

, x) 

x

X – mnożenie elementów przez

skalary ciała.
PL1. (X, +) – jest grupą abelową (przemienną)
PL2. (

+

) x =

x +

x |

(x + y) =

x +

y |

(

x) = (

) x | 1x = x

Def. Parę uporządkowaną (X,

), gdy

jest strukturą liniową w X nad K, nazywamy przestrzenią

liniową nad ciałem K.
Def. Jeżeli X

0

jest niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej X, to pary (X

0

,

) nazywamy

podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej X.
Lemat (elementarne własności przestrzeni liniowej):
1)

x 0x = x0 = 0 | 0x

1

+(x

1

+ x

2

) = (0x

1

+ 1x

1

) + x

2

= (0 + 1)x

1

+ x

2

= 1x

1

+ x

2

= x

1

+ x

2

| podobnie x

1

0

+ (x

1

+ x

2

) = x

1

+ x

2

x + 0 = x

2)

x = 0

= 0 lub x = 0

3) –

(x + y) = -

x -

y |

(x - y) =

x -

y

Układy elementarne w przestrzeni liniowej

Układy skończone: X – przestrzeń liniowa nad K, x

1

, ... , x

n

X.

Def. Każdy element postaci x =

1

x

1

+ ... +

n

x

n

i

K nazywamy kombinacją liniową (o

współczynnikach

1

, ...,

n

) rozpiętą na układzie skończonym.

Def. Układ skończony nazywamy:
1) liniowo niezależnym, jeżeli

1

x

1

+ ... +

n

x

n

= 0 

1

= ... =

n

= 0.

2) liniowo zależnym, gdy nie jest niezależnym, więc istnieją niezerowe współczynniki

1

, ...,

n

, że

1

x

1

+ ... +

n

x

n

= 0

Tw. Układ {e

|

A} jest liniowo niezależny, jeżeli każdy jego podukład skończony jest liniowo

niezależny.
Def. Jeżeli E = {e

|

A} jest układem elementów przestrzeni liniowych X nad K, to zbiór span E jest

zbiorem wszystkich kombinacji liniowych rozpiętych na układzie E.

e

x

E

x span

. span E

jest podprzestrzenią X (powłoka liniowa rozpięta na zbiorze E).
Tw. (podstawowe) X przestrzeń liniowa nad K. Jeżeli B

0

jest zbiorem liniowo niezależnym w X, to

istnieje maksymalny zbiór liniowo niezależny B

B

0

Def. Bazą przestrzeni liniowej X nazywamy każdy maksymalny podzbiór liniowo niezależny B.
Wn. Każda przestrzeń liniowa X nad K ma bazę.

Wn. Jeżeli przestrzeń liniowa X ma bazę

 

B

e

to

 

x

X zachodzi jednoznaczna reprezentacja

x

E

e

  

Komentarz: Zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, jeżeli istnieje bijekcja f:A

B. Piszemy wtedy A~B

mówiąc, że zbiory A i B są równoliczne.
Postulat: Jeżeli A jest zbiorem, to odpowiada jemu (?) przedmiot card A

XA nazywamy liczbą

kardynalną zb. A. Przy tym: dwa zb. A, B mają tą samą liczbę kardynalną wyłącznie wtedy, gdy są
równoliczne, a więc card A= card B

A~B Np. A={1,...,n} B={1,...,m}, A~B

m=n

Tw. W przestrzeni liniowej dowolne dwie bazy są równoliczne [B

1

,B

2

- bazy w X, to card B

1

= card B

2

]

Def. Wymiarem przestrzeni liniowej X nad ciałem K nazywamy moc bazy tej przestrzeni: dim X = card
B | B - baza w X (

card

k

B) Np. dim R

n

=n ; dim

Q

R=

Tw. Przestrzeń liniowa X nad K jest skończenie wymierna jeżeli dim X = n (n

Z

+

) - przestrzeń n-

wymiarowa

MACIERZE
S - zb. niepusty, m.,n

1. Macierzą typu m

n nad S nazywamy układem m

n elementowy zbiór

uporządkowany w m - wierszach, n - kolumnach

 

A

a

a

a

a

a

a

a

a

S

in

m n

n

m

m

mn

ik

11

12

1

1

2

...

...

...

Np.

 

1

,...,

1

1

0

...

...

0

...

1

diag

I

- macierz jednostkowa

a

a

diag a

a

nn

nn

11

11

0

0

...

... ...

,...,

- macierz

diagonalna

background image

2

A

B

DZIALANIA:

Jeżeli A,B są macierzami tego samego typu (nad K,R), to *

   

A B

A

A

B

 

 


a

b

a

a

b

i

ik

ik

ik

ik

Zbiór

Mat

m

k

(K) w macierzy typu m

n nad K jest przestrzenią linową w sensie działania *

Mnożenie macierzy:

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

a

b

c

ij

m l

jk

l n

ik

m n

Na ogół mnożenie macierzy nie

jest przemienne !
Właściwości
1

łączność (AB)C=A(BC)

2

rozdzielność A(B+C)=AB+AC

3

(

A)=(



)A ; (

+

)A=

A+

A

Jeżeli

 

 

 

Mat

K

a

a

m n

t

ki

n m

ik

m n

A

A

A

macierz transponowana

Jeżeli A

t

= A macierz symetryczna ; A

t

= - A macierz skośnie symetryczna

Jeżeli

 

 

 

K

Mat

a

a

m

ki

ik

t

C

C A

A

,

;

macierz sprzężona (Hemite’a do A) A

*

=A - macierz

samosprzężona

Hemite’a

Jeżeli A

*

A=I, to A nazywamy macierzą unitarną

Własności:

A B

A

B

t

t

t

;

 

A

A

t

t

;

A B

A

B

;

 

A

A

;

 

AB

B A

t

t

t

;

 

AB

B A

Def. Algebra X nad ciałem K, to sup.(?) algebra (X,

,

), gdzie 1

(X,

) - przestrzeń liniowa nad ciałem

K; 2

(X,+,

) - pierścień; 3

x(

y)=

xy;

Jeżeli

x y

xy

yx

,

przemienne. Jeżeli

 

e

x

ex

xe x | e - element jednostkowy

 

dim

K

m n

Mat

K

m n

 

 

a

a E

a E

ik m n

mn

nm

 

11 11

...

 

E

p i q k

ik

pq

pq




,

,

,

,...

1

0

Odwzorowanie liniowe f: X

Y ; X,Y p. liniowe nad K 1

    

f x

x

f x

f x

1

2

1

2

addytywne ; 2

 

 

f

x

f x

jednorodne; nazywamy liniowym

 

L X Y

,

zbiór wszystkich odwzorowań linowych f z X do Y jest p. liniową

 

   

 

 

 

 

f

g x

f x

g x

f x

f x

f g L X Y


,

,

 

Y

X L X X

L X

,

,

f: X

Y jest linowe, f - forma liniowa na X

L(X,K)

X

*

- przestrzeń dualna (sprzężona dla X)

Def. Jeżeli

 

f

L X Y

,

, to

 

ker f

x

X A x

0 - kernel f ;

 

imf

f x

Y x

X

- obraz f

Ćw. ker f jest podprzestrzenią X , im f jest podprzestrzenią Y
Uwaga Jeżeli

,

liczba kardynalne, to przez sumę

+

rozumiemy moc sumy zbiorów rozłącznych

mocy

,

odpowiednio

    

zb A mocy

A B

card A B

. ,

,

 

zb B mocy B

. ,

Fakt Jeżeli

 

f

L X Y

,

to

X

f

im

f

dim

dim

ker

dim

(wymiar jądra + wymiar obrazu = wymiar

dziedziny)

Równania liniowe

 

 

y

x

f

Y

X

L

f

)

(

,

równanie liniowe

jednorodne y

niejednorodne y

,

,




0

0

Równania (*) jest niejednorodne

y imf

 

f x

x

f

  

0

ker

Lemat. Jeżeli

 

f

L X Y

,

, to:

1

każde równanie jednorodne

 

f x

0 ma postać: x

f

ker

 

B

e

0

- baza jądra

x

e

 

2

Jeżeli

f

im

y

, to każde rozwiązanie równania

 

f x

y

x

x

x

S

0

, gdy

x

f

0

ker

x

s

-

dowolne rozwiązanie szczególne równania

 

f x

y

 

y

f x

y

s

s

S

inf

Niech x będzie jakimkolwiek rozwiązaniem r.

 

f x

y

 

   

f x x

f x

f s

s

0 x x

f

s

 

ker

Lemat (Tw. o interpolacji odwzorowań liniowych) X,Y p. liniowe nad K,

 

B

e

A

 

- baza X, każde

odwzorowanie

f B

Y

:

ma jednoznaczne przedłużenie liniowe f X

Y f

f

B

~

~~

:

Tw. (o izomorfizmie) Jeżeli X,Y - p. liniowe nad K, to równoważne są warunki: 1

X

Y (X izomorficzne

z Y) 2

dim X = dim Y Np.

k

k

n m

n

m

 



WYZNACZNIKI

 

 

A

A

A

a

a

a

a

a

Mat K

ik

n m

n

m

nm

n

1

2

11

1

1

,..,

...

...

...

...

Def. Odwzorowanie

 

det: Mat K

K

n

o własnościach:

Def 1 detA jest f. liniową (swoich kolumn)

det

,...,

~

,...,

det

,...,

,...,

det ...,

~

,...

A

A

A

A

A

A

A

A

k

k

n

k

n

k

1

1









det

,...,

,...,

det

,...,

,...,

A

A

A

A

A

A

k

n

k

n

1

1

Def 2 ... A są identyczne to A=0

Def 3

det

 

1 1 e nazywamy wyznacznikiem na A

Def 4 Jeżeli macierz A ma kolumny zerowe, to detA=0
Def 5 Jeżeli B powstaje z A przez przestawienie dwóch kolumn, to det A = - det B

Def 6 Jeżeli

jest permutacją zb (1,...,n) to

 

det

,...,

sgn

det

A

A

A

n

1





Def 7 Jeżeli dwie kolumny macierzy A są identyczne lub proporcjonalne, to detA=0
Def 8 Wyznaczniki macierzy nie zmieniają się, gdy do ustalonej kolumny dodać inną kolumnę
pomnożoną przez skalar

background image

3

A

B

Def 9 Funkcja det( ) o własnościach D1-3 jest jedyną i ma postać

det

sgn

,...,

A

a

a

n

S

n

1

Def 10 (Cauchy)

det

det det

AB

A

B

Def 11 Wyznaczniki macierzy danej i transponowanej jest ten sam

det

det

A

A

t

Def

 

 

m n

l k

m n

min ,

k - kolumna

minor macierzy A: m=n Dopełnienie algebraiczne elementów

a

ik

 

A

M

ik

ii k

ik

 

1

gdzie

M

ik

to

minor macierzy A, dopełnienie algebraiczne

a

ik

Def 12 (Tw. Laplace’a)

 

1

0

1

1

a A

a A

l i

l i

i

l

in

 




...

det ,

,

ln

A

 

2

0

1

1

a A

a A

l

k

l

k

k

l

nk

al

 




...

det ,

,

A

Macierzowa reprezentacja odwzorowań liniowych w przestrzeniach skończenie wymiernych

X – przestrzeń liniowa K, dim X=n | baza X,

e

e

e

n

1

,...,

X x

x e

y

x

x

K

i i

i

n

q

n

n

 

 

1

,..,

K

y

x

x

x

x

n

q

n

n

 

,...,

...

1

Niech

 

X e

,

- p. linowa n-wymiarowa , o bazie

e

e

e

n

1

,...,

;

 

Y f

,

- p. linowa m.-wymiarowa, o

bazie

f

f

f

n

1

,...,

 

Mat

K

m n

- p.. liniowa wszystkich macierzy typu m

n

 

L X Y

,

- zb. wszystkich odwzorowań liniowych z X do Y

Tw. Przestrzenie

 

L X Y

,

oraz

 

Mat

K

m n

są izomorficzne w szczególności: algebry

 

L X oraz

 

Mat K

n

są izomorficzne

J:

 

A L X Y x

X

,

x

x e

j j

j

n

1

 

 

A x

A

x e

x A e

x

a f

a x f

j j

j

n

j

j

j

n

j

j

n

ij i

i

m

ij j

i

i

m

 













1

1

1

1

1

a

ij

- jednoznacznie

określony element ciała K

f

a x

a x

a

a

a

a

x

x

x x

x

x

j

j

j

n

mj

j

j

n

n

m

mn

n

n

1

1

1

11

1

1

1

1

...

...

...

...

:

A

notacja kolumnowa

A

T

A -jednoznaczne odwzorowanie

X x

x

x

y

Ax

y

y

x Y

n

n

 

 

1

1

A

sprawdzamy, że T(.) jest odwzorowaniem liniowym z X do Y. Jest ono bijekcją. Zatem T jest
izomorfizmem p. lin.

 

 

     

T A

T A

T A A

T A T A

1

1

2

2

1 2

1

2

1

2

A

A

A A

X

Y

A

A

T

A

A

1

1

macierz odwrotna

Zbiór wszystkich odwzorowań A X

X

:

, nieosobliwych, jest grupą pod względem składania

odwzorowań AB I

B

A

  

1

Jeżeli A,B macierze mają własności AB I

B A

  

1

BA I

B A

  

1

 

 

 

 

AB

B A

A

A

 

 

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

AB

B A

A

A


Def. Macierz A

d

– dostawiona do A: A

d

=[a

ik

]

t

(macierz transponowana do macierzy dopełnień

algebraicznych elementów a

ik

)

Stwierdzamy, że

AA

d

=

n n

n

n

n n

n

n

A

A

A

A

a

a

a

a

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

1

1

1 1

1

1

1 1

A

A

A

det

...

0

...

det

...

0

...

det

= det A*I

Skąd:
A(1/detA*A

d

)=I -> A

-1

=(1/detA)A

d

Def. X,Y – przestrzenie liniowe nad K, n,m wymiarowe, odpowiednio |

e

f

L(X,Y)

A

A

Mat

m

n

(K)

Rząd przekształcenia liniowego A: r(A)=def= dim im A (liczba liniowo niezależnych el. obrazu), r(A)=
r(A): T(A)=A
Własności:
(1) Jeżeli A jest nieosobliwe to r(A)=n (Y=X)
(2) r(A)= liczba lin niezależnych kolumn (wierszy), najwyższy stopień minora różny od zera
Def. Przekształcenia elementarne macierzy:
I rodzaju: (na wierszach). mnożenie wybranego wiersza przez

0, przestawienie dwóch wierszy, do

ustalonego wiersza dodanie liniowej kombinacji pozostałych
II rodzaju (na kolumnach) (to samo)
Lemat. Każde przekształcenie elementarne: 1) I-rodz A

A’= PA, gdzie P jest macierzą nieosobliwą ; 2)

II rodz A

A’ = AQ, gdzie Q jest macierzą nieosobliwą

Zastosowanie przekształceń elementarnych:
1 wyższego rzędu macierzy
2 obliczanie determinantów
Tw. (Kronecker – Capelli) Rozważmy układ m równań o n niewiadomych

(*)=



m

n

mn

m

n

b

x

x

x

a

b

x

x

x

a

...

...

1

1

1

1

1

1

1

w którym a

ik

K (C,R,...), b=

n

b

b

...

1

dany wektor w K

m

x=

n

x

x

...

1

- kolumna

niewiadomych (K

m

)

m

n prostokątny ukł liniowy,

m=n kwadratowy ,,, , ,,
b

0 układ niejednorodny

b=0 ukł jednorodny

background image

4

A

B

(*)

Ax=b : A=[a

ik

]

m

n

b=

n

b

b

...

1

x=

n

x

x

...

1

A

1

x

1

+ . .. . + A

n

x

n

=b , A

j

- to j-ta kolumna macierzy A

Tw. (Kronecker – Capelli) Układ (*) jest niesprzeczny

jeżeli r(A)=r(A

b

), gdzie A

b

to macierz

utworzona z macierzy A przez dołączenie kolumny wyrazów wolnych. ( r() – rząd macierzy)
Dowód: Układ (*) jest niesprzeczny

istnieją el x

1

... x

n

w K, że ich kombinacja liniowa z el bazy daje

element b

r(A)=r(A

b

)

Wn
(1) Układ jednorodny jest niesprzeczny Ax=0
(2) Jednorodny układ kwadratowy równań lin Ax=0 (m=n) jest niesprzeczny. Liczba k liniowo

niezależnych rozwiązań: K=n-r | r=r(A) | A=A | Ax=0

Ax=0 | dim ker A (=k) + dim im A

(r=r(A)) = n | k+r=n | k =n-r

(3) Układ jednorodnyAx=0 (m=n) ma rozwiązanie niezerowe

n>r

det A=0 (tzn A – macierz

osobliwa)

Jeżeli r=r(A)=n to k=0 układ ma jedyne rozwiązanie zerowe
Uwaga: f:L(X,Y) | f(x)=y – niesprzeczny

y

im f , którego każde rozwiązanie x: x=x

0

+x

s

|

x

0

ker f , x

s

-dowolnie dobrane rozwiązania równań jednorodnych (f(x

s

)=n)

Jeżeli ker f ma bazę B

0

, to ker f

x =

x

e

W danym ukł (*) Ax=y | Ax=y | x

0

,Ax

0

=0 | x

s

=

1

e

1

+ ... +

k

e

k

Np.: x

1

+ 2x

2

+ ... nx

n

=1 | X=K

n

| x=

1

e

1

+ ... +

n

e

n

| f:K

n

K | f(x)= x

1

+ 2x

2

+ ... + nx

n

| A=

[1,2, ... , n]

x=

n

x

x

...

1

| (Ax=1)

x

1

= 1 – (2x

2

+ ... + nx

n

), x

2

, ... , x

n

K

r(A)=1 | r(A

b

) =1

x=

n

x

x

...

1

=

n

n

x

x

n x

x

...

)

...

2

(

1

2

2

=

0

0

0

1

+x

2



0

0

0

2

+ ... + x

n

n

0

0

0

k+1=n | k=n-1
Tw. (Cramer) Jeżeli maciezrz A

Mat

n

(K) jest nieosobliwe, to układ kwadratowy równań liniowych (*)

Ax=b, tzn

n

n

n n

n

n

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

...

...

.......

...

1

1

1

1

1

1

1 1

ma jedyne rozwiązanie postaci x=

/

...

/

1

n

, gdzie

= det A ,

1

- to

determinant macierzy utworzonej z A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych
Dowod: A

A | Ax= b | A-nieosobliwe |

A

-1

|

A

-1

| Ax=b | (A

-1

A)x=A

-1

b

x=A

-1

b

x=A

-

1

b | A

-1

=(1/

)[A

ik

] | x=(1/

)[A

ki

]b=

n

n n

n

n

b

b

A

A

A

A

...

...

...

...

...

...

1

1

1

1

1 1

=

n

....

1

1

=

/

...

/

1

n


WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE
K- ciało algebraiczne nie zamknięte (tzn. każdy wielomian stopnia >0 nad K ma przynajmniej jedno zero,
C (o.k.),Z

p

(nie),R(nie – x

2

+1=0), A=[a

ik

]

Mat

n

(K) – dana macierz

Def. Jeżeli istnieje wektor niezerowy

(w K

n

), że przy pewnym



K będzie: Ax=

x (Ax=

x), to

mówimy, że x jest wektorem własnym macierzy A, odpowiadającym wartości własnej

. A

(x,

)

Tw. Każda macierz A=[a

ik

]

m

n

nad ciałem alg. zamkniętym ma wartości własne oraz wektor własny.

Dowód:

,x – to wartość własna i wektor własny macierzy A

jest x

0 oraz



K | Gdy spełnione

jest równanie Ax=

x

(A-

I)x=0

jest ukł. kwadratowych równań jednorodnych

det (A-

I)=

n n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

...

...

...

...

...

...

...

...

...

1

2 2

2 1

1

1 2

1 1

= p

n

(

) wielomian stopnia n-tego nad K

p

n

(

)=(-1)

n

n

+p

1

n-1

+ ... + p

n-1

+p

n

Ale K jest algebrą zamknięta (n

1), zatem istnieje



K, że równanie

(*) ma rozwiązanie niezerwe w K

n

Def. Wielomian p

n

(

)

det (A-

I) nad (jest?) wielomianem charakterystycznym.


Wn.
(1)

-warość własna A | którekolwiek rozwiązanie p

n

(

)=0

1

, ... ,

n

1

, ... ,

n

(krotności

1

, ...

,

k

1 |

1

+ ... +

k

= n)

(2)

-wartośc własna A, to odpowiada jej k=n-r (r=r(A-

I)) liniowo niezal. Wektorów własnych.

X- n wymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem K: Zapis (X,e) znaczy: w X wyraz e, n-wym bazą e: e

1

, ...

e

n

(Uwaga: baza to zawsze zbiór niepusty)
X bazy e: e

1

, ... e

n

lub bazy e’: e’

1

, ... e’

n

jednakowe odwzorowanie macierzy P=[p

ik

]

Mat

n

(K), że

n

n n

n

n

n

n

e

p

e

p

e

e

p

e

p

e

...

'

....

...

...

...

'

1

1

1

1

1 1

1

tzn.

n

e

e

'

...

'

1

=P

-t

n

e

e

...

1

, krótko: e’= P

t

e

zwana macierzą przejścia (w X) z bazy e do bazy e’
Własności:
(1) Macierz przejścia P transformuje bazę e na bazę e’ poprzez swoje kolumny
(2) Macierz przejścia P jest nieosobliwa: det P

0

(3) Jeżeli P jest macierzą przejścia z bazy e do bazy f oraz Q jest m. przej. z f do b. G, to PQ jest m.

Przej. z b. e do b. g

P
(X,e) (X,f)

PQ Q

(X,g)

f=P

t

e, g=Q

t

f

g= Q

t

(P

t

e) = (Q

t

P

t

)e=(QP)

t

e

(4) Jeżeli P macierz przejścia z bazy e do bazy f, to P

-1

jest macierzą przejścia z b. f do b. e

P
(X,e) (X,f)

I Q

(X,e)

P*Q=I

Q=P

-1

(*) P

t

e=e’ | e=

n

e

e

...

1

| e’=

'

...

'

1

n

e

e

Wyznaczenie macierzy przejścia redukuje się do rozwiązania równania macierzowego (*) e

t

P = (e’)

t


X- n wymiarowa przestrzeń z dwiema bazami e, e’

X

x | x =

n

k

k

k

e

x

1

=

n

k

k

k

e

x

1

'

'

=

 

n

k

n

i

i

ik

k

e

p

x

1

1

'

=



n

k

n

i

i

k

ik

e

x

p

1

1

'

=

i

n

i

n

k

k

ik

e

x

p

 

1

1

'

'

...

'

...

'

...

'

1

1

1

1

1 1

1

n

n n

n

n

n

n

x

p

x

p

x

x

p

x

p

x

, tzn.

n

x

x

...

1

=P

'

...

'

1

n

x

x

| x= Px’ | x’=P

-1

x

background image

5

A

B

Zależność macierzy przestrzeni lin przy zmianie bazy. Rozważmy diagram przemienny:

(Y,f)

A

A

(X,e)

(X,e’)

(Y,f’)

P

Q

A

B

(X,e)

A

A

(X,e)

(X,e’)

(X,e’)

P

P

A

B

w którym
X,Y – przestrzenie liniowe skończenie wymiarowe n, m
A: X

Y, dane przekształcenie lin o macierzy A

- automorfizm (X,e’) na (X,e) o macierzy P (przejścia z e do e’)

- automorfizm (X,f’) na (X,f) o macierzy Q (przejściaz f do d’)

B macierz operatora A w bazie e’,f’

Mamy, że
Dla diagramu (1) | Ax=

B, tj. A=

-1

A

Dla diagramów (2) | A

=

B, tj. B=

-1

A

(1) B=Q

-1

AP

(2) B=P

-1

AP


Def.
W Mat

n

(K): Macierz A jest podobna do macierzy B jeżeli istnieje macierz nieosobliwa S: B=S

-1

AS

A więc podobieństwo macierzy oznacza, że są określone na tej samej przestrzeni liniowej, lecz różnych
bazach.
Drobiazgi
(a)
Rel. ~podobieństwa macierzy jest równoważnością w Mat

n

(K): A~A | S=

| A~B =>B~A: | B=B

-

1

AS

A=SAS

-1

=(S

-1

)

-1

B(S

-1

) | A~B & B ~C | B=S

-1

AS | C=

-1

B

=

-1

(S

-1

AS)

=(ST)

-1

AS

(b) Jeżeli A~B, to p

A

(

)=p

B

(

)

-macierze podobne mają równe wielomiany charakterystyczne

Dowód: B=S

-1

AS | p

B

(

)=det (B-

)=det(S

-1

AS-

)=det S

-1

(A-

)S=p

A

(

)detS

-1

=p

A

(

)

Def. ślad macierzy: tr A = a

11

+...+a

nn

Fakt:
(
1) tr AB = trBA | jeżeli A~B, to trA=trB | (B=S

-1

AS, trB=tr S

-1

AS=tr A)

(2) Jeżeli K jest ciałem algebraicznym, zamkniętym to: tr A=

n

+...+

n

(3) Jeżeli K jest algebraicznym zamkniętym, to detA =

1

....

n

A

Mat

n

(

)

(A)=zbieżność wszystkich wartości własnych macierzy A (widmo)





i

a

A

A

A

*

=A =>

(A)

R |

Uwaga: U

*

U = I |

(A)

S

Fakt. 1 Widmo macierzy Hermite’a jest zawarte w R’ A

*

=A =>

(A)

R

Tw. jeżeli A jest macierzą rzeczywistą w A

*

=A ,to A

*

=A=>

((A)

R)

Dowód: Ax=

x (

-wartości własne x

0 – wektor własny)

)

...

(

)

...

(

)

...

(

)

(

)

...

(

)

(

/

|

||

(Ax )*

2

2

1

2

2

1

2

2

1

*

*

2

2

2

2

1

*

*

*

*

*

*

*

*

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

A

A

A

A

A

M – unitarne  U

*

U=I (

UU

*

=I U

*

=U

-1

)

co s

sin

sin

co s

,

2

U

r

u

np:

Fakt 2. widmo macierzy unitarnej jest zawarte w S: U

*

U=I =>

(A)

S

Dowód:

,x – wart. , wektor własny macierzy U

1

0

1

0

)

1

(

)

(

0

...

.....

,...,

|

|

2

2

2

*

*

2

*

*

*

*

2

2

1

1

1

*

*

*

*

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n

n

n

U

U

U

U

Fakt 3 (Gershgorin, 1931) Jeżeli A=[a

in

]

Mat

n

(

), to

(A)

i

n

=1

D

i

gdzie: D

i

={

=C: |

- a

ii

| =<

n

}, (koło Gershgorin)

i

k

a

n

k

ik

i

1

.

....

....

...

...

...

....

...

....

....

....

...

...

....

1 1

n n

ii

a

a

a

D:|

-a

ii

| =<

| suma modułów wiersza bez elementów przekątnej



n

i=1

D

n

TW. Caley-Hamilton A

Mat

n

(K), f

P

n

[

] – wielomian nad ciałe K. f(x)=a

0

+a

1

+ ....+ a

n

n

DEF wielomian od macieży f(A)=a

0

I+a

1

A+.....

TW (Caley -Hamilton) Wielomian charakterystyczny p

n

(

)=p(

)=det(A-

) macieży A, zerują tą

macierz. p(A)=0
Dowód: p(

)=p

o

+p

1

+.....+p

n

n

| ( p

n

=detA p

n

=(-1)

n

) | (p

n

I+p

1

A+....+p

n

xA

n

=0) | B

Mat

n

(K),

to : (*) BB

D

=(detB)I | Równość typu (*) to

- macierzy | B=A-

I

(**) (A-

I)(A-

I)

0

=det(A-

I)I

p(

)I

Istnieją jednoznacznie określone macierze. C

0

,C

1

,.....,C

n-1

W Mat

n

(K) że: (A-

I)

D

=C

0

+C

1

+......+C

n-1

n-1

wykonanie działania w (**) daje:

background image

6

A

B

(A-

I )(A-

I )

D

=(A-

I)(C

0

+C

1

+ ......+C

n-1

n-1

)=AC

0

+AC

0

+AC

1

+...+AC

n-1

- (C

0

+C

1

2

+...+C

n-

1

n

)=AC

0

+(AC

1

-C

0

)

+(AC

2

-C

1

)

2

+.....+(AC

n-1

C

n-2

)

n-1

C

n-1

n

=(p

0

I+p

1

I+....+p

n

I

n

)



k

Wobec dowolności

w k: (możemy skrócić k równości przez IA,...,A

k

)

I | AC

0

=p

0

I

A | AC

1

C=p

1

I

... | ......
... | ......
A

n-1

| AC

n-1

-C

n-2

=p

n-1

I

A

n

| -C

n-1

=p

n

I


AC

0

+(A

2

C

1

-AC

0

)

+(A

3

C

2

-AC

1

)

2

+...+(A

n

C

n-1

-A

n

C

n-1

)

n-1

-A

n

C

n-1

n

=p(A)

0=p(A)

Wnioski:
(1)

A

n

jest kombinacją liniową macierzy I,A,...A

n-1

| A

k

,k>=n

(2)

Jeżeli A jest nieosobliwe, to A

-1

jest kombinacją liniową rozpiętą na macierzach I,A,...,A

n-1

p

0

A

-1

+(p

1

I+...+p

n

A

n-1

)=0

A

-1

= -(1/p

0

) (p

1

I+...+p

n

A

n-1

)


DEF:
wielomian

=

(

), unormowany (tzn współczynnik przy największej potędze jest 1) i możliwie

najmniejszego stopnia, że

(A)=


Wstępne informacje o przestrzeni Banacha i Hilberta
X – przestrzeń liniowa nad ciałem K=P lub R
Odwzorowanie: X

x

||x||

R f()

|| || własności:

N1 ||x||=0  x-0 (własność jednoznaczności)
N2 ||

x||=|

| ||x||

N3 ||x+y||=<||x|| +||y|| (nierówność trójkąta)
nazywamy NORMĄ w przestrzeni liniowej X
Lemat: Jeżeli (X,|| ||) jest przestrzenią unormowaną to (d(x,y)=||x-y|| jest metryką w X
np: X=R , ||x||=|x| | X=C , ||x||=|z| | X=R

n

, ||x||=(

1

n

x

i

2

)

1/2

| X=C

b

, ||x||=(

i=1

n

|x

i

|

2

)

1/2

W C

n

norma Minkowskiego: C

n

x=(x

1

.....,x

n

) | ||x||

p

=(

i=1

n

|x

i

|

p

)

1/p

, 1<p<


DEF
: || || oraz || ||

0

są równoważne [ || ||~|| ||

0

]

np: || ||

p

są równoważne (tzn zbieżność po współrzędnej)

Lemat: W X, || ||~|| ||

0

,

>0

x

X

||x||

0

=<||x||=<

||x||

Q – przestrzeń metryczna zwarta C(Q) – zbiór wszystkich funkcji ciągłych rzeczywistych na Q |
|
|x||=sup|x(t)| t

Q

DEF: X – przestrzeń liniowa nad K(=C,R); Odwzorowanie: X

X

(x,y)

(x|y)

C

S1 (x+y|z)=(x|y)

C

S2 (

x | y)=

(x|y)

S3

)

|

(

)

|

(

x

y

y

x

S4

x

(x|x)>=0 oraz (x|x)=0  x=0

Iloczyn skalarny w X

(X, || ||)

(xy)

||x

n

-x

m

||

0 =>

x

x

n

x (Przestrzeń Banacha ) m,n



l

1

x=(

n

),

1

|

n

|<

| ||x||=

1

|

n

|

l

2

x=(

n

),

1

|

n

|

2

<

| ||x||=(

1

|

n

|

2

)

1/2

z def

S1-4 => (x|y+z)=(x|y)+(x|z) |

)

|

(

)

|

(

)

|

(

)

|

(

y

x

y

x

x

y

y

x

A więc

S:

1. odwzorowanie liniowe (dla R)
2. półtora liniowe (dla C)

np: 1) R

n

, (x|y)=

1

n

x

i

y

i

2) C

n

,

n

i

i

i

y

x

y

x

)

|

(

C<-l,l>, x=x(t) <-l,l>

C, ciągła

0

|

)

(

|

)

|

(

)

(

)

(

)

|

(

2

d t

t

x

y

x

d t

t

y

t

x

y

x

l

l

l

l

Lemat (nierówność CBS) w przestrzeni z

S(iloczyn skalarny)

Nierówność Schwartza : |(x|y)|<(x|y)

1/2

(y|y)

1/2

x,y

X

Dowód: x,y

X,

C (x+

y|x+

y)>=0

X

y

x

y

y

y

x

x

x

y

x

y

x



,

,

0

)

|

(

)

|

(

)

|

(

)

|

(

| (x=0 lub y=0) | x,y

0

Obliczymy

= - (x|y)/(y|y), podstaw (x+

y|x+

y)=.........=(x|x)- (x|y)

2

/(y|y)>=0 |(x|y)

2

=<(x|x)(y|y)

R

n

(x|y)=

1

n

x

i

y

i

| |

1

n

x

i

y

i

|=<(

1

n

x

2

)

1/2

(

1

n

y

2

)

1/2

C

n

n

n

i

i

n

i

i

n

i

i

y

x

y

x

y

x

y

x

1

1

2

/

1

2

2

/

1

2

1

1

)

)

|

|

(

)

|

|

(

|

|

|

)

|

(

C <-l,l>

2

/

1

2

2

/

1

2

)

|

)

(

|

(

)

|

)

(

|

(

)

(

)

(

dt

t

y

dt

t

x

dt

t

y

t

x

l

l

l

l

l

l

Lemat: Przestrzeń z

S jest przestrzenią unormowaną ||x||=(x|)

1/2


Dowód: 1) ||x||=0  (

(x)=0 x=0 ) 2) ||

x||=(

x|

x)

1/2

=|

| ||x|| 3)

        

 

 

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

|

2

|

Re

2

|

|

|

|

|

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

y

x

y

y

x

x

x

y

x

y

x

y

x

N

CBS

Stąd x y

x

y

Def. Przestrzeń liniową X z

S

nad K(C, R) nazywamy przestrzenią UNITARNĄ (pre Hilberta). Jeżeli

jest zupełna nazywamy ją przestrzenią
Każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią unormowaną.

FAKT W przestrzeni unitarnej mamy: *

x y

x

y

x y





,

0

x, y są liniowo zależne


ORTOGONALNOŚĆ

DEF. X - przestrzeń liniowa z

S

,

x y

,

0 . Jeżeli

 

x y

|

0 to piszemy x

y mówiąc, że element x i y

są ortogonalne. (Uwaga

 

x

x|0

0 )

Układ* x

x

n

1

,..., ,... nazywamy

1) ortogonalnym, jeżeli x

k

x

l

x

k

x

k

l

l

0

2) ortonormalnym, gdy jest ortogonalny i unormowany (tj.

x

k

k

1,

)

Np. a) w R

n

 

x y

x y

i i

n

|

1

baza standardowa

i

jest układem ortogonalnym b) w

 

   

C

l l

x y

x t y t dt

l

l

, ,

|

układ trygonometryczny

 

n

i

k

c

t

t

e

k

,

Z jest ortogonalny

background image

7

A

B

(Układ

1

2

,

n

jest ortonormalny)

Lemat Układ ortogonalny jest liniowo niezależny

 

  

 

 

1 1

1 1

1

2

0

0

0

0

0

0

1 2

x

x

x

x

x x

x

x x

x x

x x

x

i

n

n n

i

n n

i

i

i

i

i

i

i

n

n

i

i

i

i

 



 

 

 

 

...

| |

..

|

,

|

...

|

...

( | )

,

, ,...,


Proces ortogonalizacji (E.Shmidt)

W przestrzeni unitarnej X elementy

x

x

n

1

,..., ,... są liniowo niezależne. W X istnieje układ ortogonalny

e

e

n

1

,..., ,... o własności *

span x

x

span e

e

n

n

1

1

,.., ,..

..., ,...

,

Konstrukcja:

e

f

f

x

1

1

1

1

,

|

e

f

f

x

a e

2

2

2

2

21 1

,

z żądaniem

f

2

e

1

stąd

 

a

f e

e

21

2

1

1

2

|

|

e

f

f

x

a e

a e

3

3

3

3

32 2

31 1

,

z żądaniem

f

3

e e

1

2

,

 

a

x e

e

32

3

2

2

2

|

 

a

x e

e

31

3

1

1

2

|

...

e

f

f

x

a

e

a e

n

n

n

n

n n

n

n

 

,

...

,

,

1

1

1 1

 

a

x e

e

a

x e

e

n n

n

n

n

n

n

,

|

,...,

|

1

1

1

2

1

1

1

2

Tak skonstruowany układ jest ortogonalny.

Układ:

e

e

e

e

n

n

1

1

,...,

,... jest przyporządkowanym układem ortonormalnym

Lemat Każda n-wymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem

K R C

jest przestrzenią Banacha (tzn.

można tak zdefiniować normę, że będzie ona przestrzenią Banacha)

X - przestrzeń liniowa nad ciałem

K R C

,

,...,

x

x

n

1

- n - wymiarowa baza

X x

x e

x

x

x

i i

izomorf

n

n

 



.

~

,...,

1

1

K

n

x

x

x

i

n

 










2

1

1
2

~

jest to norma w X |

X

izom

.

K

n

- przestrzeń zupełna (Banacha)

Jeśli X ,

,





0

jest jakąś normą w X, to

0

~

| *

x

x e

x e

M x

M

e

i i

n

i

i

CBS

n

i

n

0

1

0

0

1

0

2

1

1
2

 



|

S - sfera jednostkowa w

K

n

:

~

x

1 - jest to zbiór zwarty (jako domknięty i ograniczony). Każda norma

jest funkcją ciągłą (

x

y

x y

)

Stosujemy twierdzenie Weierstrassa:

sup

sup

'

|

|

'

x

x

x

x

x

x

x

x

x

S

x

x

x

x

x

x

x

x S

x S

p

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

 

 

Wniosek W n-wymiarowej przestrzeni unitarnej, istnieje baza ortogonalna (ortonormalna) |

x

x

n

1

,...,

-

liniowo niezeleżne

PS

n

ortogona

y

f

f

 

1

,...,

ln

- baza ortogonalna

Komentarz: | Przestrzeń Euklidesa: | n-wymiarową przestrzenią Euklidesową nazywamy n-
wymiarową przestrzeń unitarną (rzeczywistą K=R, zespoloną K=C)

V - rzeczywista przestrzeń Euklidesa (

 



| ,

) | Nierówność CBS:

 

 

x y

x y

x y

x y

x y

|

,

|

 

0

1

1 .

Każdą liczbę

0,

o własności:

 

cos

|

 

x y

x y

nazywamy kątem między wektorami

S:

(w przestrzeni Euklidesa)

 

x y

x y

|

cos

Ciąg odwzorowań liniowych w przestrzeni Banacha: X, Y - przestrzeń unormowana nad

K R C

|

A x

x

addytywne
jednorodne

odwzorowanie liniowe

o

o

:




1

2

Równanie liniowe: Ax

y

| niesprzeczne

 

y Im A | x

x

x

x

x

s

s

0

0

|

ker A

- przesunięcie

(wektor)

FAKT Równoważne są warunki: (I) A jest ciągłe w pkt. x

0

0

| (II) A jest ciągłe (w ogóle) |

(III)

M

x X

Ax

M x

0

Just.: (I)



(II) x

n

n

 

0,

, to

x X

| x

x

x n

n

 

,

|

 

A x x

Ax Ax

Ax A

Ax

Ax

n

n

n



  

 



0

0

(II)



(III) Przypuśćmy, że (III) nie zachodzi:

 





M

x

M

M

n X

x

x

n

n

n

n

n

n

n

M

n

n

Ax

M x

M

n n

A

n x

A

x

n x

x

x

x

n x

0

0

1 2 3

1

1

0

,

, , ...

,

|

background image

8

A

B

n

x

Ax

n

n

n

 

 



0

0 - sprzeczność

Ex. Każde odwzorowanie liniowe:

A:R

R

C

C

n

m

n

m

jest ciągłe

R
R

n

m

:

: '

e

e

Ax

a x

a x

a x

a x

n n

m

mn n

 

 

11 1

1

1 1

..

...

...

U (III) A jest ograniczone w każdej kuli

x

r

Ax

Mr

 

spełnia warunek Lipschitza

x x

X

Ax

Ax

A x

x

M x

x

1

2

1

2

1

2

1

2

,

,

DEF Jeżeli

A X

Y

:

jest ciągiem odwzorowań liniowych, to liczbę

A

M

Ax

M x

x X

inf

|

0

nazywamy normą ciągłego operatora liniowego A.

FAKT Dla ciągłego odwzorowania liniowego

A X

Y

:

mamy

 

A

Ax

A

Ax

x

x

x

sup

sup

1

0

A

x

Ax

x

M

0 |

(III) | x

Ax

A

1

FAKT Przestrzeń liniowa

 

B X Y

,

wszystkich ciągłych odwzorowań liniowych A, B z X do Y (X, Y -

przestrzeń unormowana) jest przestrzenią unormowaną w sensie równości

 

( )

P

A

A

A

A

A

  

0

0

A B

A

B

Dotyczy w szczególności przestrzeni

 

B X

B X X

,

X

B X K

*

,

-przestrzeń dualna

 

B X jest algebrą w sensie mnożenia - składanie odwzorowań

 

AB B X

, to

 

AB B X

. Ponadto

AB

A B

AB jest ciągiem odwzorowań liniowych w X

 

 

AB

AB x

A Bx

A Bx

A B

x

x

x

sup

sup

sup

1

1

1

Także

I idx

, to

I

1

A

A A

AA

1

2

,

,... , to A

A

n

n

B K K

Mat

K

n

m

K

m n

,

( )

 

R C

A - odwzorowanie liniowe ciągłe

A

A

A

Ax

Ax

Ax

x

sup

|

1

Przestrzenie unormowane:

B K K

Mat

n

m

m n

,

,

są liniowo izometryczne

 

 

Mat

K

A

a

K

A

a

m n

in

ik

k

m

i

n

 






R C

2

1

1

1
2

FAKT Jeżeli X, Y - p. unormowana, a

Y B

, to

 

B X Y

,

- jest przestrzenią unormowaną

 

S

N

n m N

n

m

x

n

m

n

m

n

m

A

A

A

A x

A

A

x

x

n m N

A x A x

x

0

0

2

,

,

 

A B X Y

,

FAKT Jeżeli

 

X

B A B x

,

A

q

to I

A

 

1,

ma ciągłe odwzorowanie[

 

I

A

B X

1

]

I

A

A

k

k

 

0

Szereg

A

k

k

0

jest zbieżny w

 

B X

A

A

A

A

q

q

n

m

n

n

n

m

n m

 

 

  





..

..

..

,

0

A

A

A

n

k

1

0

 

..

|

zbieżne

sprawdzamy, że

   

 

I

A B

I

A

I

A

A

I

A I

A

A

n

n

n

n

  

  





lim

...

lim

...

1

1

Wnioski Niech

 

X

g

będzie grupą wszystkich odwzorowań liniowych

 

X

B

A

, które są odwracalne,

X - przestrzeń B

Jeżeli

 

X

g

A

oraz B w

 

B X ma dostatecznie małą formę to

 

X

g

B

A

[tzn.

 

X

g

jest podzbiorem otwartym w

 

B X ]

 

X

g

B

A

I

A

B

A

1

 

X

g

jeżeli

1

1

q

B

A

1

A

q

B

 

K

Mat

A

n

K - algebra zamknięta

x

Ax

x

|

,

Jeśli ciało jest algebrą zamkniętą, to macierz posiada wektory i wartości własne A

Mat

n

(K) , K- ciało

algebr. zamknięte

x,

Ax=

x

Jeśli ciało jest algebraicznie zamknięte, to macierz posiada wektory i wartości własne.

background image

9

A

B

Wektory i wartości własne odwzorowania

A

B(X) dimX=n

Def. Wartości oraz wektor własny przekształcenia liniowego A: W X obieramy bazę e=(e

1

,.....,e

n

)

! A w Mat

n

(K), że Ax=Ax

x,

(

0) wektor i wartość własna przekształcenia liniowego A:

Ax=

x

Ax=

x

Jeżeli przechodzimy z bazy e do f i P jest macierzą przejścia [f =Pe], to A

B=P

-1

AP

zatem macierze podobne mają to samo widmo [

(A)=

(B), x=Px’ ].

Wektory i wartości własne mogą ulec zmianie przy zmianie bazy.
Fakt: Jeżeli V to n-wymiarowa przestrzeń Euklidesa, to każda forma liniowa f na V [f: V

K] ma postać:

f(x)=(x

y)

x

X gdzie y

V jest jednoznacznie określonym elementem

ponadto odwzorowanie V

*

f

y

V jest liniowe gdy K=R i jest antyliniowe gdy k=C

Wn: V ma bazę:

 

 





n

i

i

i

n

i

i

i

y

x

e

f

x

e

x

f

x

f

1

1

)

(

Fakt: Jeżeli odwzorowanie A

B(X) jest liniowe to

y

V odwzorowanie V

x

(Ax

y)

K jest formą

liniową nad V
Zatem

y

V istnieje jedyny element z=A

*

y w V, że (Ax

y)= (x

A

*

y)

Odwzorowanie A

*

: V

X jest liniowe

Spr: x,y

1

,y

2

V

,



K, to

(Ax



y

1

+

y

2

)=(x

A

*

(

y

1

+

y

2

))=

*

(Ax

y

1

)+

*

(Ax

y

2

)=

*

(x

A

*

y

1

)+

*

(x

A

*

y

2

)=(x



A

*

y

1

+

A

*

y

2

)

DEF: Jeżeli A

B(V) to operator liniowy A

*

: V

V określony żądaniem :

(Ax

y)= (x

A

*

y)

x,y

K nazywamy operatorem sprzężonym do A

szczególnie: A=A

*

- operator samosprzężony (Ax

y)= (x

Ay)

Komentarz:
I

*

=I

(A+B)

*

=A

*

+B

*

(

A

*

)=

*

A

*

(A

*

)

*

=A

(AB)

*

=B

*

A

*

(A

-1

)

*

=(A

*

)

-1

, gdy A nieosobliwa

A

*

=A

(A)

R - widmo macierzy Hermiitte’a jest rzeczywiste

U- unitarna

(A)

S – widmo macierzy unitarnej leży na obrębie koła jednostkowego

Informacje o diagonalizacji macierzy

F1 Macierz A

Mat

n

(K) K- ciało algebraicznie zamknięte. Wdanej bazie e=(e

1

,...,e

2

) jest macierzą

diagonizowalną

gdy e jest bazą złożoną z wektorów własnychmacierzy

F2 Układ wektorów własnych odpowiadających różnym wartościom własnym operatora liniowego A:
V

V jest liniowo niezależny

Gdy wartości własne operatora A są jednokrotne, to wektory własne tworzą bazę V
F3 Wektory własne operatora samosprzężonego na przestrzeni n-wym Euklidesa V nad ciałem K (R lub
C) odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne
D. Niech

1

,

2

(

1



2

) – wartości własne operatora A, Ax

1

=

1

x

1

Ax

2

=

2

x

2

*

=



R

(Ax

1

x

2

)=(x

1

Ax

2

)= (

2

x

1

x

2

)= (x

1



x

2

)=

(x

1

x

2

)

(Ax

1

x

2

)= (

x

1

x

2

)=

(x

1

x

2

)

(

1

-

2

)(x

1

x

2

)=0

(x

1

x

2

)=0

x

1

,x

2

są ortogonalne

A

Mat

n

(K), K – alg.zamkn.

x,

| Ax =

x

Jeśli ciało jest alg. zamknięte, to macierz posiada wektory własne i wartości własne.
Wektor i wartość ODWZOROWANIA:
A

B(x), dimX = n

Def. Wartość własna oraz wektor własny przekształcenia liniowego A:
W X obieramy bazę e=(e

1

, ... , e

n

)

! A w Mat

n

(K), że Ax=Ax

, x (

0) przekształcenia liniowego A:

Ax =

x

Ax =

x


Jeżeli przechodzimy z bazy e

f i P – macierz przejścia [f=Pe], to A

B=P

-1

AP.

A

B

A=P

-1

BP (P – nieosobliwa)

Zatem (macierze podobne mają to samo widmo)
1

(B) =

(A)

2

x=Px’

Wektory i wartości własne mogą ulec zmianie przy zmianie bazy.
FAKT
Jeżeli V – przestrzeń Euklidesa(n), to każda forma liniowa f na V [f:V

lin

K] ma postać

f(x) = (x|y),

x

X

,

gdzie y

V – jest jednoznacznie określonym elementem.

Ponadto odwzorowanie
V

*

f

y

V jest liniowe gdy K=R i jest antyliniowe gdy K=C (stałą

wył. się ze sprzężeniem).

Wsk. V ma bazę

n

i

i

lin

n

i

i

i

y

x

e

f

x

e

x

f

x

f

1

1

)

|

(

)

(

)

(

)

(

FAKT
Jeżeli A

B(V), to

y

V

odwzorowanie

V

x

(Ax|y)

K

Jest formą liniową nad V.
Zatem

y

V

istnieje jedyny element z=A

*

y w V, że

(Ax|y)=(x|A

*

y)

Odwzorowanie A

*

:V

V jest liniowe.

Spr.
x,y

1

,y

2

V,

,



K to

(Ax|

y

1

+

y

2

)=(x|A

*

(

y

1

+

y

2

))

=

(Ax|y

1

)+

(Ax|y

2

)

=

(x|A

*

y

1

)+

(x|A

*

y

2

)

=(x|

A

*

y

1

|+

A

*

y

2

)

czyli A

*

jest liniowe, tu

B(V).


DEF. Jeżeli A

B(V) to operator liniowy A

*

:V

V

określony żądaniem (Ax | y)=(x | A

*

y),

x,y

K

nazywamy OPERATOREM SPRZĘŻONYM do A.
Szczególnie A=A

*

, to mówimy że A jest op.samosprzężonym

(Ax | y) = (x | Ay );

Komentarz:

I

*

=I, (A+B)

*

=A

*

+ B

*

, (

A)

*

=

A

*

(A

*

)

*

=A, (AB)

*

=B

*

A

*

(A

-1

)

*

= (A

*

)

-1

, jeżeli A jest nieosobliwa


ćw. Jeżeli A

B(V), e=(e

1

,... e

n

) baza V, to

(

| )

, (

| )

*

*

Ax y

x Ay

A x y

x A y

t

t

,

gdy A[(Ae

i

| e

j

)]


A

*

=A =>

(A)

R widmo macierzy Hermitte’a jest rzeczywiste

U - unitarna =>

(U)

S widmo macierzy unitarnej leży na

obrzeżu koła jednostkowego.

INFORMACJE O DIAGONALIZACJI MACIERZY
(F1) Macierz A

Mat

n

(K), K-ciało alg.,zamknięte, jest w danej

bazie e=(e

1

,... e

n

) diagonalna  e jest bazą złożoną z wektorów

własnych macierzy.

x

x e

x

x Ae

i i

i

n

i

i

i

n

, A

background image

10

A

B

x

e

x

x

e

e

i

i

n

i

n n

n

i

1 1

1

0

0

0

0

0

0

...

...

(F2) Układ wektorów własnych odpowiada różnym wart.
własnym. Op. lin. A:V

V jest liniowo niezależny

Gdy wartości własne operatora A są jednokrotne to
wektory własne tworzą bazę V.
Niech e

1,

...,e

k

, 1

k

n - wektory własne odp. Kolejnym

wart.własnym

1

k

, e

1

{e

1

}

e

1

…e

k

są lin. niezależne

indukcja(1

l

k

n)

1)

1

e

1

+…

l

e

l

=0 =>

1=…=

l

=0

2)

1

e

1

+…

l

e

l

+

l+1

e

1+1

=0

1)

, 2)-1)

=:

l+1

e

l+1

=0 =>

l+1

= 0


(F3) Wektory własne wektora samosprzężonego na przest
n wymiarowej Euklidesa V nad ciałem K (R lub C) odp.
różnym wartościom własnym są ortogonalne.
D-d. Niech

1

(

x

1

),

2

(

x

2

) (

1



2

)-wart.wł. operatora A

Ax

1

=

1

x

1

, Ax

2

=

2

x

2

(Ax

1

|x

2

)=(x

1

|Ax

2

), bo A=A

*

=(x

1

|

1

x

2

) =

(x

1

x

2

),

=

*

R

(Ax

1

|x

2

) = (

x

1

|x

2

) =

1

(x

1

|x

2

) => (

1*

2

)(x

1

|x

2

)=>(x

1

|x

2

)=>0

 x

1

ort x

2

TW. O RZUCIE ORTOGONALNYM
Jeżeli w przest. Euklidesa V, X

0

jest

podprzestrzenią właściwą (nie jest ident z X
i nie jest zerowa), to V=X

0

X,

gdzie

x

0

X

mamy x

X

0

(x

x

0

,

x

0

X

0

)

(F4) Jeżeli A jest operatorem samosprzeżonym na
n-wymiarowej przest. Euklidesa V, to przest. V ma bazę
ortogonalną (i też ortonormalną) złożoną z wekt.własnych A.
D-d,szkic.

1

-wart. e

1

-wekt.wł.op.A, ||e

1

||-1, x

1

={e

1

}

V=X

1

X

n-1

, e

1

X

n-1

. Małą podprzestrzeń

2

,e

2

X

n-1

,

tak wybrać e

2

aby e

1

e

2

. Rozważam podprzest. na e

1

,e

2

,

istnieje podp. ortog. do p.

3

,e

3

X

n-2,

TWIERDZENIE - macierz samosprzężona jest diagonali-
zowalna. Dokładniej: gdy A

Mat

n

(C) ma własność A

*

=A,

to istnieje macierz unitarna S, że S

*

AS=diag(

1

,…,

n

),

gdzie

1

,…,

n

- wart. własne mat.A, przy czym każda wartość

wyst. tyle razy ile wynosi jej krotność jako pierwiastek
równania charakterystyczngo.

Obieramy przestrzeń Eulidesa V=C

n

z

S (x|y)=

x y

i i

n

1

rozumiejąc xe x

i

y

i

- współrzędne elemntu x,y, odp. w bazie

standardowej (ortogonalnej)

Niech A będzie operatorem samo-
sprzężonym na C

n

, który w bazie

ma zadaną macierz (samosprz)A.

Układ wektorów własnych operato-
ra A (a więc A) tworzy bazę ortonor-

malną przestrzeni C

n

:

e

e

e

n

1

... Niech elementy e

1

,...,e

n

bazy

e mają w bazie standardowej

współrzędne:

Niech P - macierz przejścia z

do e. Wtedy P

t

=e

P=e

t

=

n

n

n

nn

...

...

1

1

Wiemy że (e

i

|e

j

)=

1
0

,

,

i

j

i

j




PP

*

=

n

n

n

nn

n

n

n

nn

...
...

...
...

. .

1

1

1

1

1 0 0
0 1 0
0 0 1

=I

(UU

*

=Ie

U

*

U=I U

*

=U

-1

), więc P=S-macierz unitarna.

Zatem macierz A op A po przejściu z bazy

do e będzie

postaci P

*

AP (P

*

=P

-1

). Z drugiej strony m. A op A w

bazie ortonormalnej e ma postać diagonalną diag(

1…

n

)

Mamy tezę: S

*

AS=diag(

1…

n

).

FORMY LINIOWE, FORMY KWADRATOWE
X-p.l. nad K=R, f: X*X

R, które jest liniowe ze względu

na obie zmienne f=f(x,y): f(x+z,y)=f(x,y)+f(x,y)
f(

x,y)=

f(x,y), f(x,y+z)=f(x,y)+f(x,z), f(x,

y)=

f(x,y)

nazywamy FORMĄ DWULINIOWĄ. Jest ona symetryczna
jeśli

x,y

X f(x,y)=f(y,x). Jeżeli zachodzi równość

f(x,y)=-f(y,x) to formę nazywamy skośnie symetryczną.
Zad. Każdą f.2lin f na X można przedstawić(jednoznacznie)
w postaci sumy 2lin form: symetrycznej i skośnie symetrycz.

f

s

,f

a

,

x,y

X f=f

a

+f

a

(np. f(x,y)=0,5(f(x,y)+f(y,x))+0,5(f(x,y)-f(y,x)) )
Forma dwuliniowa na n-wym przest. Euklidesa V:

x

x e y

y e

i i

j j

n

n

1

1

f(x,y)=f(

x e

y e

i i

j j

i

n

n

,

1

)=

x y f e e

i

i j

n

j

i

j

, ,

( ,

1

)=**

f(e

i

,e

j

)

a

ij

, A=[a

ij

] - macierz formy 2lin w bazie e

W ustalonej bazie forma jest wilomianem wielu zmien.

Przebiegających i,j. **=

a x y

ij i

j

i j

n

, ,

1

Zad. f jest symetryczna(skośnie sym.)A jest sym(skos.sym)
Jeżeli f jest formą 2lin symetr. na V, to f(x,y)=x

t

Ay=(Ax|y)

=(x|Ay)

Zmieniamy bazę, jak zmieni się macierz formy ?
Na V f jest symetr. i ma w bazie e postać f(x,y)=x

t

Ay

e

=P

t

e, x=Px

, y=Py

, f(x,y)=x

t

Ay=(Px

)

t

A(Py

)=

=x

’t

(P

t

AP)y

A

e

-macierz formy w bazie e => P

t

AP-macierz

formy w e

FORMY KWADRATOWE
Jeżeli f=f(x,y) jest symetryczną formą dwuliniową na V, to funkcję f: X

R

f(x)=f(x,x) - wartość

formy dwuliniowej na przekątnej nazywamy formą kwadratową na V. Mówimy wtedy, że f(.) jest formą
biegunową (polarną) formy kwadratowej f. f(

x)=

2

f(x)

x

V

i



R

Zachodzi równość:

f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(x,y)+f(y,y)

f(x,y)=0.5(f(x+y,x+y)-f(x,x)-f(y,y))

x,y

V

1

1 0 0
0 1 0
0 0 1

...

. .

n

e

e

e

n

n

n

n

nn

1

1

1

...

...

X

0

x

background image

11

A

B

Forma dwuliniowa symetryczna na przekątnej:

f(x,y)=0.5(f(x,y)-f(x)-f(y))

Zmiana macierzy formy:

V,e,f –forma liniowa na V, A[a

ij

], a

ij

=f(e

i

,e

j

)

1)

n

j

i

j

i

ij

x

x

a

x

f

1

,

)

(

=x

T

Ax

(Ax

n)

(x

An)

2)

V(e

e’)

f(x)=x

T

Ax=(x’)

T

(P

T

AP)x’

xPx’



macierz formy

Def Jeżeli forma kwadratowa f ma postać (w pewnej bazie) f(x)=

1

x

1

2

+...+

n

x

n

2

i

R to mówimy o

tej formie, że ma postać kanoniczną.

Powiedzmy, że

1

,...,

k

>0, zaś

k+1

,...,

n

<0,

niektóre mogą być zerami.
Wtedy:

i

i

i

x

x

1

i=1,...,k

zaś:

i

i

i

x

x

1

i=k+1,...,n

dla pozostałych x

i

=x

i

’.

Wtedy forma daje się zapisać jako
f(x)=x

1

2

+...+ x’

k

2

- x’

k+1

2

-...-x’n

2

Jest to postać normalna formy kwadratowej.

Tw (O redukcji formy kwadratowej do postaci kanonicznej)

Niech f=f(x)=x

T

Ax będzie f. kwadratową na danej bazie e przestrzeni liniowej.

Istnieje przekształcenie ortogonalne

V

V

x=Sx’ (gdzie S jest macierzą unitarną) ,że forma f ma w pewnej bazie e’ postać kanoniczną

f(x)=

1

x’

1

2

+...+

n

x’

n

2

Dow A-a macierz formy na danej bazie e przestrzeni V jest symetryczna

(A

t

=A) Ma więc widmo rzeczywiste.

1

,...,

n

– wartość własna A. Wiadomo, że wektory własne

macierzy A : e’

1

,...,e’

n

tworzą bazę ortogonalną przestrzeni V.

Mamy e’=P

T

e ,x=Px

Zatem f(x)=(Px’)

T

A(Px’)=x

T

Ax=(x’)

T

(P

T

AP)x’

Jednak (Tw. podst) P diagonalizuje A, gdy P

T

AP=diag(

1

,...,

n

)=D

zatem f(x)=(x’)

T

D

x= D

[x’

1

,...,x’

n

]

n

...

0

0

...

...

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1

n

x

x

x

. . .

2

1

=

1

x’

1

2

+..+

n

x’

n

2

S=P=

n

e

e

'

...

'

1

Def Formę kwadratową f na V nazywamy

f(x)>0 dodatnio okr

1) określoną , jeżeli

x

0

f(x)<0 ujemnie okr


f(x)>=0 dodatnio półokr

2) półokreśloną, jeżeli

x

0

f(x)<=0 ujemnie półokr

3)

nieokreśloną, jeżeli

x’

0 i x’’

0 ,że f(x’)f(x’’)<0

Wniosek: Forma kwadratowa f na V (=R

4

) jest:

1)

dodatnio określona

1

,...,

n

>0

półokreślona

1

,...,

n

>=0 i



i

0

2)

ujemnie określona

1

,...,

n

<0

półokreślona

1

,...,

n

<=0 i



i

0

3)

nieokreślona

1

,

2

,

1

2

<0

(J)

f(x)=

1

x’

1

2

+..+

n

x’

n

2

>0



i

>0

f(x)=

1

x’

1

2

+..+

n

x’

n

2

<0



i

<0

Tw (Sylwester):

Forma kwadratowa f na R

n

jest:

1)

dodatnio określona

wszystkie minory główne macierzy A są dodatnie

M

1

=a

11

>0, M

2

=

2 2

2 1

1 2

1 1

a

a

a

a

, ..., M

n

=detA>0

dodatnio półokreślona:

M

1

=a

11

>=0, M

2

=

2 2

2 1

1 2

1 1

a

a

a

a

, ..., M

n

=detA>=0

2) ujemnie określona

(-1)

k

M

k

>0 k=1,2,...,n

ujemnie półokreślona

(-1)

k

M

k

>=0

W pozostałych przypadkach forma jest nieokreślona.
Examplum :
R

n

Zbadać odwrotność formy :

f(x)=a

1

+ ... + a

n

x

1

2

+ 2(x

1

x

2

+ x

2

x

3

+ ... + x

n-1

x

n

)


a

1

1 ... 0

1 ...

I Twierdzenie Sylu

A= . . .

II Metoda widmowa

0 ... 1 a

n

Twierdzenie Gershgorina :
Widmo macierzy A jest zawarte w sumie kół G. i – te koło G to :
D

i

|

- a

1

| <

1

= 1

|

- a

n

| <

n

= 1


2<i<n-1 |

- a

0

|<

i

= 2 | a

i

> 2 na prawo

Stąd widmo w R => forma dodatnio określona

Zamiana formy kwadratowej do postaci kanonicznej.

Metoda Lagrange’a

W unitarnej bazie mamy :

I f(x) a

1

= a

n

<> 0

F(x) = a

1

x

1

2

+ (...) x

1

+ ( reszta bez x

1

) = a

1

( x

1

2

+ 2 a

12

/a

1

x

1

x

2

+ ...) + pozostałość

background image

12

A

B

Do postaci kanonicznej

= a

1

(x

1

+

1

x

2

2

+ ...)

2

+ pozostałość

II

iii

= 0 ,

(n) =

i,j = 1

a

ij

x

i

x

j

= 2

j>i

a

ij

x

i

y

j

a

12

=a<>0

f(x)=a x

1

x

2

+ Px + Qx

2

+ R

P – funkcja liniowa nie zawierająca zmiennych x

1

, x

2

Q - funkcja liniowa nie zawierająca zmiennych x

1

, x

2

R – pozostała część formy kwadratowej nie zawierająca x

1

, x

2

Piszemy :

(x) = a ( x

1

+ Q/a ) ( x

2

+ P/a ) + r – PQ/a = a( x

1

’2

– x

2

’2

) + f | f

1

= R – PQ/a

Def: f – forma kwadratowa na X (dim

R

X = n) to r(f)=r(A)


Definicja jest poprawna, ponieważ
e,A  e’ , Ae = P

t

AP

r( Ae’ ) = r( P

t

AP ) = r(A)


Tw. Sylwester o bezwładności formy kwadratowej .
Jeżeli f jest formą kwadratową (w pewnej bazie e), to istnieje baza e’’, że


d (szkic)
Tw. Podstawowe e,e’ ( baza wekt. własn. A z wektorem unormowanym )

Def. Sygnatura formy kwadratowej f.:

sgn f = (p,q)

Niektóre informacje o równaniach liniowych:
(0) f: XX - odwzorowanie liniowe

x

s

jest rozwiązaniem szczególnym | f(x

s

) = y

to każde rozwiązanie równania f(x) = y ma postać:


(1) Ax = y (A  A , K

n

 K

n

)

Jeżeli r(A) = r(Ay)
x = x

o

+ x

s

x

o

: Ax = 0

x

s

: Ax = y

k + r = n
k = n – r

a) AX + XB = C
A,B,C –
macierz dana w Mat

n

(C)

A lub B jest nie nieosobliwe
<=> X + A

-1

XB = A

-1

C


(3) Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu:
I – ustalony przedział na osi R
C

n

(I) – przestrzeń liniowa wszystkich funkcji rzeczywistych UC

n

na K

l

n

C

n

(I)  C(I)

l

n

jest odwzorowaniem liniowym z C

n

(I) do C(I)

l

n

– to tworzymy operator równań liniowych n-tego rzędu

Równanie

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu

Np.

Def. Zagadnienie początkowe ( też zagadnienie Cauchy ) dla równania l

n

x = y polega na

poszukiwaniu rozwiązania x = x(t), które spełnia warunek:

)

(

2

1

)

(

2

1

2

1

2

2

1

'

1

a

Q

P

x

x

x

a

Q

P

x

x

x


a

Q

P

x

x

x

a

Q

x

x

x

2

1

2

2

1

1

q

i

i

p

p

i

i

x

x

x

f

1

2

,

,

1

2

,

,

)

(

 

f

r

q

p

Z

q

p

liczby

,

,

q

i

i

p

n

i

i

i

x

x

x

f

1

2

,

1

2

,

)

(

i

i

i

e

e

e

e

*

,

,

,

,

,

q

i

i

p

p

i

i

x

x

x

f

x

f

1

2

,

,

1

2

,

,

)

(

)

(



q

p

q

p

f

Uwaga

znamy

'

'

sgn

'

'

:

in f

)

(

k er

k er

0

)

(

0

,

.

0

,

)

(



y

y

x

f

e

x

f

b a za

e

f

x

x

f

y

d

n iejed n o ro

y

jed n o ro d n e

y

x

f

x

 

f

x

x

x

x

o

s

o

ker

:

0

0

1

)

)

((

)

(

1

,

)

(

)

lub

(

)

2

(

y

A

y

A

y

A

I

x

y

x

A

I

y

Ax

x

q

A

O

x

B

a

R

K

B

X

k

k

k

e

ro zwia za n i

jed n o

istn ieje

to

q

B

A

O

B

A

A

X

B

A

XB

A

AX

C

Ma t

B

A

n

1

:

Jezeli

))

(

(

1

1

1

1

I

na

ciagle

funkcje

to

t

a

a

gdzie

a

t

x

a

t

x

a

t

x

l

i

i

n

n

n

o

n

)

(

)

(

...

)

(

)

(?))(

(

1

)

(

)

)

(

)

(

,

)

(

(

I

C

t

f

f

f

x

x

f

x

l

n



0

,

.

0

,

f

d

niejednoro

f

jednorodne

x

x

dx

x

f

c

dt

t

f

y

I

C

f

x

f

y

0

)

)

(

(

)

(

)

(

)

(

'

background image

13

A

B



Tw 1. ( o istnieniu jednoznaczności )
Jeżeli f , a

i

= a

i

(t) są ciągłe na I, to


zagadnienie początkowe O ma jedyne rozwiązanie:
Tw 2. Jeżeli a

i

= a

i

(t) są ciągłe na I, to dim ker l

n

= n.

Ex. n=2
x''(t) + px'(t) + qx(t) = f(t)
x'' = -px' – qx + f

Q | x

1

, ... , x

n

UB

Operator równania liniowego n-tego rzędu l

n

stałych współczynnikach

a

i

(t) = a

i

= const. i = 1, 2, ...

pozwala skonstruować UB (układ bazowy ).

D. 1) Poszukujemy rozw. równania szczególnego l

n

x = O w postaci


FAKT.
Przypisując w.w. zasadzie ...
Ex.
x'' +

x = O

R

,

sin

co s

sin

co s

-

:

ch arak t.

e

Ró wn an i

2

1

2

1

2

2

2



C

C

t

C

t

C

x

t

t

UB

i

O

e

x

t

Ćw.

x'' + 2x' + 2x = 1
najpierw: x'' + 2x' + 2x = O | x = e

t

równanie jednorodne

stąd :

'' + 2x' + 2x = O

x

o

= e

-t

( C

1

cost + C

2

sint )

Układ normalny równań różniczkowych liniowych

a

in

= a

in

(x) - to funkcje ciągłe na ICR

Równanie (*) | x = x(t) ,
zagadnienie początkowe

0

)

,...,

'

,

(

Zap is

o b ran e

d o wo ln ie

)

,

...

,

(

:

)

(

,

...

,

)

(

'

,

)

(

)

1

(

1

1

)

1

(

t

n

n

n

o

o

n

o

n

o

o

o

x

x

x

f

x

l

R

i

I

t

g d zie

t

x

t

x

t

x

n

R

I

t

)

,

(

0



I

t

t

x

x

)

(



)

(

sin

,...,

sin

,

co s

,...,

co s

,

calek

ch

n iezalezn y

lin io wo

u k lad

jemu

o d p o wiad a

to

ch arak t.

ró wn .

iem

p ierwiastk

k ro tn y m

-

k

jest

Jezeli

...

)

(

1

)

)

(

(

)

(

lin io w.

ró wn an ia

o p erato r

)

sin

co s

(

,

1

sin

1

co s

DLA

S TYCZNE

CHARAKTERY

RÓW NANIE

1

1

1

0

n

t

t

k

t

t

t

t

k

t

t

t

O

x

l

n

n

n

n

n

t

t

n

t

t

t

e

O

t

e

t

t

te

e

O

t

e

t

t

te

e

i

O

a

a

a

l

a

O

x

n

e

O

e

l

O

x

l

t

ie

t

e

C

i

e

x

n

1

n

sin

co s

1

4

2

2

2



t

e

t

e

UB

i

O

t

t

y

wielo mian

-

,

R

,

)

sin

)

(

co s

)

(

(

2

1

)

sin

co s

(

2

1

1

2

'

2

'

'

2

1

0

Q

P

t

t

Q

t

t

P

e

x

l

t

C

t

C

e

x

x

x

x

x

x

x

t

n

t

s

s

)

sin

co s

(

)

sin

co s

(

1

,

|

|

sin

co s

sin

,

co s

.

.

'

'

co s

'

'

)

(

ch arak t.

ró wn .

iem

p ierwiastk

jest

-

sto p ień

)

,

(

max

sto p n ia

wielo m.

-

,

g d zie

*

)

sin

)

(

co s

)

(

(

:

p o staci

zesp o lo ną

calk ę

ma

)

I

I

(

ró wn an ie

)

(

ch arak t.

ró wn an ia

iem

p ierwiastk

k ro tn y m

-

k

jest

i

zesp o lo n a

liczb a

Jezeli

a

)

I

I

(

0

2

1

0

2

2

2

2

2

1

2

1

1

t

B

t

A

t

x

x

t

t

A

t

x

k

i

O

t

C

t

C

x

t

t

C

R

O

x

x

i

O

O

t

A

x

x

O

l

i

d g

d g Q

d g P

W

W

t

t

t

W

t

t

W

e

x

O

l

co n st

W

s

n

t

s

n

n

n

n n

n

n

n

f

x

a

x

a

x

f

x

a

x

a

x

...

'

..........

..........

..........

..........

...

'

(*)

1

1 1

1

1

1

1 1

1

f

Ax

x '

(* )

]

[a

A

,

ciag le

fu n k cje

-

in

1

1

n

n

x

x

x

f

f

f

background image

14

A

B



n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

a

x

a

x

a

x

x

x

x

x

x

x

x

a

x

a

x

a

x

x

x

x

x

x

x

a

x

a

x

a

x

a

f

x

l

x

l

R

t

x

f

x

x

1

2

1

1

1

3

2

2

1

)

1

(

1

)

(

1

1

2

1

1

)

1

(

1

)

(

0

n

0

0

...

'

'

'

'

...

'

'

..........

'

o zn .

...

|

(* )

u k ad em

z

jest

lin io we

Ró wn an ie

)

,

(t

|

)

(

A

'

1

0

0

...

0

1

0

,

1

1

1

n

n

n

x

x

a

a

x

x

w 1. Przy założeniu jak wyżej, zagadnienie początkowe

Tw 2. Maksymalna liczba rozwiązań liniowo niezależnych układu (*) jest
równa n.
Układ o stałych współczynnikach jednorodnych:

1 ,2 ,...

k

)

(

A

)

(

A

)

(

I

n a

stala

macierz

-

A

|

)

(

A

'

0

0

1

0

0

0



t

t

k

n

n k

ik

k

t

t

d s

s

x

x

x

x

x

x

d s

s

x

x

t

x

t

x

f

x

x

0

k

0

0

0

0

0

0

0

...)

A

!

)

(

...

A

!

1

1

(

)

(

...

A

!

)

(

...

)

(

!

1

A

)

(

,

x

k

t

t

t

t

t

x

x

k

t

t

t

t

x

x

t

x

k

x

x

k

k

k

k

Def.

0

)

(

0

0

)

(

A

0

0

)

(

A

!

)

(

x

e

t

x

k

t

t

e

t

t

A

k

k

k

t

t

Funkcja od macierzy:

0

0

A

)

A

(

(* )

to

),

(

A

Jezeli

:

Def.

R

,

)

(

)

R

(

R

ma

)

(

Niech

k

k

n

k

k

k

a

f

C

Ma t

z

z

a

z

f

O

z

K

z

f

f

FAKT
Jeżeli ||A||<R to szereg (*) jest zbieżny w Mat

n

(C) [tzn. def. jest poprawna !]


J.

Mat

n

(C) jest p??? Banacha

Mamy:

Ciąg sum częściowych szeregu (*) spełnia warunek Cauchy, zatem (*) jest zbieżny.
WNIOSEK:

Np.

)

I

przedziale

calym

na

okreśkreś

tzn.

(

globalne

e

rozwiąozwi

)

(

jedno

dokladnie

ma

A

'

0



t

x

f

x

x

.

R

|

z

|

zbiezny w

jest

szereg

ponieważ

A

A

0

k

k

q

p

k

k

k

q

p

k

k

k

z

a

O

a

a

A

macierzy

dla

A

A

)

(

A

|

,

:

ion

Justificat

zbiezny.

jest

(*)

szereg

to

R)

,

K(

(A)

Jezeli

x

x

O

x

x

x

x

O

0

)

A(

0

0

0

A

1

n

1

0

1

2

0

0

A

0

)

(

)

(

A

'

ZP

R

,

)

(

A

,

A

!

1

||

A

||

|

A

)

1

(

A)

1

(

R

|

A

)!

1

2

(

)

1

(

A

sin

)

(

A

A

!

1

!

A

x

e

t

x

x

t

x

x

x

t

C

Ma t

k

t

e

n

l

k

C

Ma t

k

k

e

t

t

n

k

k

t

n

n

k

k

k

n

k

k

k

background image

15

A

B

TWIERDZENIE SPEKTRALNE DLA MACIERZY

Tw. Donforda


Przestrzeń Banacha
X
- p. l. nad ciałem K = C lub R. Funkcję X

x

||x||

R o własnościach

N1.

||x|| = 0

x = 0,

N2.

||

x|| = |

| ||x||,

N3.

||x + y||

||x|| + ||y||

nazywamy normą w X. Parę uporządkowaną (X,||.||) - przestrzenią unormowaną.
Stwierdzamy natychmiast, że:
a)

x

X ||x||

0,

b)

x,y

X | ||x|| - ||y|| |

||x - y||

c) Funkcja X

X

(x,y)

d(x,y) = ||x - y||

R

jest metryką w X (tzw., metryka indukowana normą).
d) Metryka (c) jest niezmiennicza względem przesunięcia:

d(x+z,y+z) = d(x,y),

x,y,z

X.

Równość ||x|| = d(x,0) wskazuje, że normą elementu (jego odległość od x) można interpretować jako
długość wektora x.
Ciąg (x

n

) w (X,||.||) nazywamy zbieżnym do x pisząc

x

n

x, n

lub lim x

n

= x, dla n

jeżeli



0

N

0

n

N

||x

n

- x||

(tzn. ||x

n

- x||

0, n

).

Jeżeli



0

N

0

m,n

N

||x

n

- x

m

||

(tzn. ||x

n

- x

m

||

0, m,n

),

to (x

n

) nazywamy ciągiem Cauchy’ego.

Oczywiste jest, że

granica ciągu zbieżnego jest jedyna,

podciąg (x

nk

) ciągu (x

n

) zbieżnego do x, jest zbieżny do x,

ciąg zbieżny jest ograniczony: x

n

x, n

, to

r

0

n

N x

n

K(0,r),

ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego (LECZ NIE NA ODWRÓT).

Ponadto działania strukturalne

K

X

(

,x)

x

X, X

X

(x,y)

x+y

X

oraz norma ||.|| są ciągłe:

(

n

,x

n

)

(

,x)

n

x

n

x, n

,

(x

n

,y

n

)

(x,y)

x

n

+ y

n

x + y, n

,

x

n

x

||x

n

||

||x||, n

(Por. b)

Przestrzeń unormowana (X,||.||) zupełna w sensie metryki (c), a więc o własności

||x

n

- x

m

||

0, m,n

x

X x

n

x, n

,

nazywamy przestrzenią Banacha.
Niech w p.l. X dane będą normy ||.|| oraz ||.||

0

. Mówimy, że są one równoważne pisząc ||.||

||.||

0

, jeżeli w

(X,||.||) zbieżne są te i tylko te ciągi, które są zbieżne w (X, ||.||

0

)

tzn.

||x||

||.||0

x

n

x, n

x

n

x, n

.

FAKT1. W p.l. X (nad ciałem C lub R) o zadanych normach ||.|| oraz ||.||

0

mamy:

||.||

||.||

0

,

>0

x

X

||x||

0

||x||

||x||

0

.

FAKT2. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa X (nad C lub R) jest przestrzenią Banacha
(tzn. w X istnieje norma ||.||, że (X,||.||)

B). W skończenie wymiarowej przestrzeni Banacha wszystkie

normy są równoważne.

Dowód Niech dim X = n (n

N), e = (e

1

, ..., e

n

) - baza w X.

x

X mamy jednoznaczną reprezentację x =

n

1

n

e

n

. Odwzorowanie

X

x

x

= (

1

, ...,

n

)

K

n

jest izomorfizmem. Ponadto

||x|| = (

n

1

|

k

|

2

)

1/2

(= ||x

||

2

w K

n

)

jest normą w X (także w K

n

). Przestrzenie (X,||.||) oraz (K

n

,||.||

2

) są zatem (liniowo) izometryczne. Stąd

(X,||.||) jest (wraz z (K

n

,||.||

2

)) przestrzenią Banacha.

Niech ||.||

0

będzie dowolną normą w X. Nierówność CBS daje

||x||

0

= ||

n

1

n

e

n

||

0

n

1

|

n

| ||e

n

||

0

(CBS)

||x||, gdzie

= (

n

1

||

k

||

0

2

)

1/2

Przestrzeń Banacha (X,||.||) jest izometryczna z (K

n

,||.||

2

), zatem sfera jednostkowa

S = {x

X: ||x||

0

=1} (jako podzbiór domknięty i ograniczony: dim X = n

) jest zbiorem zwartym.

Norma jest funkcją ciągłą, zatem tw. Weierstrassa daje:

= inf ||x|| = ||x’|| dla pewnego x

S (a więc x’

0)

x

S

Stąd

> 0 oraz

||x||,

x

S (tj. ||x||

0

= 1). Jeżeli x

X\{0}, to x/||x||

0

S, czyli

||x||

0

||x||,

x

X, co wraz z (*) daje tezę o równoważności norm.


FAKT3. Dane są p.u. X,Y nad wspólnym ciałem K(=C lub R) oraz odwzorowanie liniowe A: X

Y.

Równoważne są warunki:
(i)

A jest ciągłe w punkcie x = 0,

(ii)

A jest ciągłe,

(iii)

M>0

x

X ||Ax||

M||x||.

(dla prostoty zapisu normą w X,Y oznaczamy tym samym symbolem ||.||).

Dowód. (i)

(ii). Jeżeli x

n

0, n

, x

X, to x + x

n

x, n

, zatem (ii):

A(x+x

n

) = Ax + Ax

n

Ax + A(0) = Ax + 0 = Ax, n

.

(ii)

(iii). Niech A będzie ciągłe. Załóżmy, że (iii) nie zachodzi, czyli

M>0

x

X ||A(x

M

)||

M||x

M

||, x

M

0.

Dowolność liczby M>0 zredukowana do przypadku M = n (n = 1,2,...) daje

n

N

x

n

0 ||Ax

n

|| > n||x

n

||.

Jednak relacje

n

N ||A(x/(n||x||))|| > 1 oraz A(x

n

/(n||x

n

||))

0, n

dają sprzeczność. Wynikanie (iii)

(i) jest oczywiste.


Warunek ciągłości odwzorowania liniowego w postaci (iii) oznacza tyle samo, co stwierdzenie:

A jest odwzorowaniem ograniczonym w każdym podzbiorze ograniczonym (



), w

szczególności

||A(x)||

M, ||x||

1,

lub też

A spełnia warunek Lipschitza:

x

1

,x

2

X ||Ax

1

- Ax

2

|| = ||A(x

1

- x

2

)||

M ||x

1

- x

2

||

Jeżeli A: X

Y jest ciągłym odwzorowaniem liniowym, to liczbę

||A|| = inf {M>0:

x

X ||Ax||

M ||x||}

nazywamy normą ciągłego odwzorowania (operatora) liniowego A.
Oszacowanie (iii) implikuje : ||A||

M.

 

)

...

(

,...,

1

,

|

...

cja

rep rezen ta

n a

jed n o zn acz

zach o d zi

(3 )

,...

1

...

sp an

)

2

(

,...,

1

,

,

A

(1 )

:

Wlasn o sci

I)

-

A

(

)

...

,

1

(

,...,

A

wlasn e

warto sci

,...,

)

(

Mat

A

Niech

1

b aza

1

1

1

n

i

k

i

k

i

x

k

i

i

i

i

i

n

i

k

i

k

k

x

x

x

k

i

X

x

x

x

x

X

x

i

x

x

X

n

i

x

x

X

x

O

x

C

x

X

n

C

i









k

i

x

x

t

t

f

i

t

f

t

C

Ma t

z

a

z

f

f

i

i

i

k

i

l

i

l

i

l

n

k

k

i

,...,

1

,

E

:

ró wn an iem

y m

n astęastęp

o k reslo n e

macierze

to

E

g d zie

E

*

)

(

1

)

A

(

R

o raz

)

(

A

macierzy

d o wo ln ej

d la

to

)

)

(

(

calk o witą

fu n k cją

jest

Jezeli

1

1

)

(

0

1

 

background image

16

A

B


FAKT4. Jeżeli A: X

Y jest ciągłym operatorem liniowym, to

(P)

,

sup

1

Ax

A

x

(A)

x

Ax

A

x

sup

0

Dowód wynika z określenia normy ||A||.
Norma ||.|| ciągłego operatora liniowego z X do Y ma własności N1-3:
||A|| = 0

A = 0, ||

A|| = |

| ||A||, ||A+B||

||A|| + ||B||.

Dla przestrzeni unormowanych X,Y niech B(X,Y,) będzie zbiorem wszystkich ciągłych odwzorowań
liniowych z X do Y. W szczególności oznaczamy:

B(X) = B(X,X) - algebra ciągłych operatorów liniowych na X,

X

*

= B(X,K) - przestrzeń dualna do X (czyli przestrzeń wszystkich ciągłych form

liniowych na X).
W sensie zwykłej struktury liniowej oraz normy określonej zgodnie z FAKTEM4 przestrzenie B(X,Y),
B(X), X

*

są unormowane. Ponadto, gdy w B(X) określić mnożenie rozumiane jako składanie

odwzorowań:

(A,B)(x) = A(B(x)),

x

X,

to B(X) staje się algebrą (z jednością e

I = id

x

, komutatywna jedynie, gdy dimX = 1

0).

W algebrze B(X) mamy

||AB||

||A|| ||B||.

Istotnie, AB

B(X) wraz z A i B, a poza tym

  

 

.

sup

sup

sup

1

1

1

B

A

Bx

A

Bx

A

x

AB

AB

x

x

x

Oczywiście ||I|| = 1, ||A

n

||

||A||

n

, n = 0, 1, 2, ...

FAKT5. B(X,Y) przy unormowaniu jak w F.4 jest przestrzenią Banacha wraz z Y. B(X) jest przestrzenią
(algebrą) Banacha wraz z X.
X

*

= B(X,K) - przestrzeń dualna do przestrzeni unormowanej X, jest przestrzenią Banacha.


Dowód. Niech (A

n

) będzie ciągiem Cauchy’ego w B(X,Y):

||A

n

- A

m

|| = sup ||(A

n

- A

m

)x|| <

, dla ||x||=1, m,n

N

.

Ciąg (A

n

x) elementów przestrzeni Banacha Y jest również ciągiem Cauchy’ego:

(*)

||A

n

x - A

m

x||

||x||,

x

X, m,n

N

,

zatem istnieje granica

Ax

lim A

n

x, dla n

,

x

X.

Tak określone odwzorowanie X

x

Ax

Y jest liniowe:

A(

x

1

+

x

2

) = lim A

n

(

x

1

+

x

2

) =

Ax

1

+

Ax

2

.

Przejście graniczne m

w (*) daje ||(A

n

- A)x||

||x||, n

N

, skąd A

n

- A

B(X,Y).

Tym samym A = A

n

+ (A - A

n

) jest w B(X,Y). Ponadto

||A - A

n

|| = sup ||(A

n

- A)x||

, dla ||x||=1, n

N

,

więc A jest granicą ciągu (A

n

) w metryce przestrzeni B(X,Y).

Uwaga Zbieżność ciągu (A

n

) do A w przestrzeni B(X,Y) to po prostu zbieżność ciągu (A

n

) do A

jednostajna na każdej kuli K(0,r), r>0.
FAKT6. Niech X będzie przestrzenią Banacha, A

B(X) oraz ||A||

q

1.

Wtedy w B(X) istnieje operator (I-A)

-1

odwrotny do I-A oraz

(I-A)

-1

=

k=0

A

k

.

Dowód. B(X) jest przestrzenią Banacha, przeto równość

||A

n

+ ... + A

m

||

q

n

+ ... +q

m

<

, dla m,n

N

stwierdza zbieżność szeregu

0

A

k

(w przestrzeni B(X)). Ponadto w algebrze B(X) mamy

A

n

0, n

. Jeżeli sumę szeregu

0

A

k

oznaczyć przez B, to

(I - A)B = (I - A)lim(

0

A

k

) = lim (I-A)(I + A + ... + A

n

) = lim (I- A

n+1

) = I, dla n

(na mocy ciągłości mnożenia w algebrze B(X)). W algebrze B(X) równość (I -A)B = I potwierdza, że
elementy I - A oraz B są wzajemnie odwrotne:

B = (I - A)

-1

B(X)

FAKT6’. (Eq) Jeżeli X jest przestrzenią Banacha A

B(X) oraz ||A||

q

1, to

y

X równanie

x - Ax = y

ma w X jedyne rozwiązanie

x = (I-A)

-1

y =

k=0

A

k

.

FAKT7. Niech X będzie przestrzenią Banacha, a G(X) zbiorem wszystkich odwracalnych B(X).
(i).

G(X) jest grupą

(ii)

G(X) jest podzbiorem otwartym w B(X)


Dowód. Własność (i) jest oczywista. (ii) Należy zauważyć, że każdy punkty A w G(X) (dim X > 0) jest
punktem wewnętrznym. W tym celu obieramy B w B(X) żądając, by norma ||B|| była dostatecznie mała,
np. ||A

-1

B||

q/(||A

-1

||). Faktoryzacja:

A + B = A

-1

(I + A

-1

B) na czynniki odwracalne daje zatem A + B

G(X). (inaczej: G(X) zawiera kulę

K(A,r), 0<r<||A

-1

B|| (

q

1).)


Komentarz Powyższe fakty odnoszą się w szczególności do przestrzeni B(K

n

,K

m

), a także do algebry

B(K

n

), gdzie K = C lub R. A zatem również do przestrzeni macierzy Mat

m

n

(K) oraz algebry macierzy

Mat

n

(K). Wiemy bowiem, że ustalając bazy w K

n

oraz w K

m

można ustalić odwzorowanie

B(K

n

,K

m

)

A

A

Mat

m

n

(K),

które jest izomorfizmem. Jest to również izometria (liniowa), jeżeli przyjąć

||A|| = ||A|| ( = sup ||Ax||) dla ||x||=1

W szczególności w przestrzeni (algebrze) Mat

n

(K) grupa G macierzy nieosobliwych jest zbiorem

otwartym. (Jest to swego rodzaju własność stabilności:
jeżeli A jest nieosobliwa to A+B też, jednak, gdy B ma dostatecznie małą normę.

Przestrzeń Hilberta
X – przestrzeń liniowa na K = C lub R. Odwzorowanie XxX

(x, y)  (x | y)

C o własnościach:

ES1. (x + y | z) = (x | y) + (y | z)
ES2. (

x | y) =

( x | y)

ES3. (x | y) = (y | x)
ES4. (x | x) >0

x

X \ {0} (tzn.

x

X (x | x)

i (x | x) = 0  x = 0)

nazywamy iloczynem skalarnym w X.

Ilocznyn skalarny jest więc funkcją liniową względem pierwszej zmiennej, a „półtora liniowa” względem

pozostałej; jest funkcją dwuliniową w przypadku K = R.
Fakt 1. (Nierówność CBS) W przestrzeni liniowej X z iloczynem skalarnym (

|

) mamy oszacowanie

(*):

     

2

1

2

1

|

|

|

y

y

x

x

y

x

a znak równości zachodzi wyłącznie wtedy, gdy elementy x, y są liniowo

zależne.
Dowód:



C, (x +

y | x +

y)

0, a stąd:

 

   

0

|

|

|

|

|

2

y

x

y

y

x

x

. Jeśli y = 0, teza jest

rzeczywista. Jeżeli y

0, to biorąc

= - (x | y) / (y | y), otrzymujemy:

   

 

 

 

 

   

 

 

0

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

2

2

2

2

y

y

y

x

x

x

y

y

y

x

y

y

y

x

y

y

y

x

x

x

stąd (*). Znak równości w (*) zachodzi

jedynie wtedy, gdy przy pewnym

, (x +

y | x +

y) = 0. To jednak – zgodnie z ES4. – oznacza, że x +

y = 0, czyli: x, y są liniowo zależne.

Fakt 2. W przestrzeni X z ES odwzorowanie X

x  (x | x)

½

R jest normą.

Dowód: Mamy : || x || = 0  (x | x) = 0  x = 0 (ES4.),

 

2

2

2

|

|

x

x

x

x

x

x

, stąd

N.2, a nierówność:

 

 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

|

Re

2

|

Re

2

|

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

daje N3

Def. Przestrzeń liniowa X z iloczynem skalarnym (

|

), wyposażoną w normę indukowaną tym

iloczynem skalarnym: || x || = (x | x)

½

nazywamy przestrzenią unitarną (lub pre-Hilberta) Gdy jest to

przestrzeń zupełna w sensie metryki indukowanej normą: d(x, y) = || x – y || ( = (x - y | x - y)

½

) , to

nazywamy ją przestrzenią Hilberta.

background image

17

A

B

Przykłady przestrzeni Hilberta: a) R

n

,

  

n

k

k

k

y

x

y

x

1

|

b) C

n

  

n

k

k

k

y

x

y

x

1

|

c) l

2

  

1

|

k

k

k

y

x

y

x

. Natomiast przestrzeń liniowa C(-l, l) wszystkich funkcji zespolonych ciągłych i

ograniczonych na odcinku (-l, l) wraz z iloczynem skalarnym:

 

dt

t

y

t

x

y

x

l

l

)

(

)

(

|

nie jest przestrzenią

Hilberta (brak zupełności).
Tw. Każda przestrzeń Hilberata jest przestrzenią Banacha, lecz nie na odwrót.

Fakt 3. W przestrzeni unitarnej mamy: jeżeli



0

, y

x

y

x

y

x

to elementy x, y są liniowo zależne.

Dowód: Założenie || x + y || = || x || + || y || oraz równość || x + y ||

2

= (x + y | x + y) dają Re (x | y) = || x ||

|| y ||. Pisząc:

   

y

x

CBS

y

x

y

x

y

x

)

(

|

|

Re

otrzymujemy

 

y

x

y

x

|

. Wobec F1

elementy x, y są liniowo zależne

Ortogonalność

Dana jest przestrzeń unitarna X. Jeżeli x, y

X \ {0} oraz (x | y) = 0 to mówimy, że elementy x i y są

ortogonalne, pisząc x + y. (Oczywiście

x

X (x | 0) = 0 lecz to nie oznacza ortogonalności x to 0!).

Niezerowy układ elementów x

1

, ..., x

n

, ... o własności x

k

x

l

(tj. ( x

k

| x

l

) = 0), k

l nazywamy układem

ortogonalnym. Układ ortogonalny o własności || x

k

|| 1, k = 1, 2, ... nazywamy układem ortogonalanym.

Jeżeli x

1

, ..., x

n

, ... jest układem ortogonalnym, to

,...

,...

1

1

n

n

x

x

x

x

jest układem ortonormalnym.

Fakt 1. Układ ortogonalny x

1

, x

2

.... jest liniowo nieleżny.

Dowód: Jeżeli dla pewnego n (n

2) elementy x

1

, x

2

, ..., x

n

układu ortogonalnego są liniowo zależne, to

istnieją

1

,

2

, ...,

n

w C, |

1

| + |

2

| + ... + |

n

| > 0, że

1

x

1

+ ...+

n

x

n

= 0. Stąd

i

{1, ..., n}, 0 =

(

1

x

1

+ ... +

n

x

n

| x

i

) =

i

|| x

i

||

2

, czyli

1

= ... =

n

= 0. Sprzeczność.

Układ liniowo niezależny nie musi być ortogonalny to jednak można przyporządkować jemu układ

ortogonalny utworzony z kombinacji liniowych. Bliżej mówi o tym proces ortogonalizacji Schmidta.
Fakt (E. Schidt). W przestrzeni unitarnej X, dany jest układ liniowo niezależny x

1

, ..., x

n

, ... Wtedy, w X

istnieje układ ortogonalny f

1

, ..., f

n

, .., że (*) span {x

1

, ..., x

n

} = span {f

1

, ..., f

n

},

n = 1, 2, ...

Dowód: kładziemy: f

1

= x

1

, f

2

= x

2

– a

21

f

1

żądając, aby f

2

f

1

czyli a

21

= (x

2

| f

1

) / || f

1

||

2

, f

n

= x

n

– a

n,n-

1

f

n-1

- ... – a

n,1

f

1

żądając, aby f

n

f

n-1

, ..., f

1

, czyli a

n,n-1

= (x

n

| f

n-1

) / || f

n-1

||

2

, ... , a

n,1

= (x

n

| f

1

) / || f

1

||

2

. Tak

otrzymany układ f

1

, ..., f

n

jest ortogonlany, a zatem liniowo niezależny. Relacja (*) jest oczywista.

Uwaga Układ e

1

, ..., e

n

, ... , gdzie e

n

= f

n

/ || f

n

|| , n = 1, 2, ... jest ortonormalny

Wniosek: W n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa istnieje baza ortononalna (ortonormalna).

Przestrzeń Euklidesa.

Skończenie wymiarową przestrzeń unitarną V nad ciałem K ( = C lub R), dim X = n, wyposażoną w

normę || . || indukowaną iloczynem skalarnym (

|

), a więc || x || = (x | x)

½

x

V nazywamy n-

wymiarową przestrzenią Euklidesa (- zespoloną lub rzeczywistą).
W przestrzeni Euklidesa zachodzi nierówność CBS:

 

y

x

y

x

|

tak, że przy założeniu x, y

0,

będzie:

 

1

|

y

x

y

x

.

W rzeczywistej przestrzeni Euklidesa V przez kąt między wektorami x, y (x, y

0) rozumiemy liczbę

<0,

>, że

 

y

x

y

x |

cos

. Mamy wtedy (x | y) = || x || || y || cos

,

x, y

V, a ponadto x

y 

=

/2 (x , y

0).

Uwaga: Powyższa nierówność jest prawdziwa również, gdy x lub y jest elementem zerowym, bowiem

przez kąt między wektorem niezerowym x, a wektorem zerowym 0 można rozumieć dowolną liczbę

<0,

>.

Fakt 3. W przestrzeni Euklidesa V rozwinięcia elementów według bazy ortonormalnej (e) mają

własności: 1)

n

i

i

e

x

x

1

, gdzie x

i

= (x | e

i

) (współrzędne w bazie ON) 2)

n

i

x

x

1

2

2

(Pitogorean Theorem) 3)

  

n

i

i

y

x

y

x

1

|

, gdzie x

i

, y

i

to współrzędne w bazie (e) elementu x, y.

Dowód: Własność 1) jest oczywista. Wystarczy zanotować równość

 

 

 

n

i

i

n

i

n

k

k

i

k

i

n

n

k

k

i

i

n

k

k

n

i

i

y

x

e

e

y

x

e

y

e

x

e

y

e

x

y

x

1

1

1

1

1

1

1

|

|

|

|

, ponieważ



i

k

i

k

e

e

k

i

0

1

|

Odwzorowanie

 

n

i

e

e

x

x

P

x

i

i

i

Pi

,...,

1

,

|



V

V

nazywamy rzutem V na i-tą osi

ortonormalnego układu współrzędnych (e

1

, ..., e

n

).

Fakt 4. Operatory rzutowania P

i

mają własności:

1) P

i

B(V), to jest P

i

jest ciągłym operatorem linowym na V (Ponadto || P

i

|| = 1)

2)



i

k

i

k

P

P

P

i

k

i

0

3)

 

 

V

V

B

A

Ae

e

x

Ax

x

P

x

x

n

i

i

n

i

gdy

,

|

1

1

Dowód: Dowodząc 3) wystarczy napisać:

    

 

  

  



i

k

i

k

e

x

e

e

e

x

e

e

x

P

x

P

P

x

P

P

i

k

i

i

k

i

i

k

i

k

i

,

0

,

|

|

|

|

, reszta jest oczywista.

Uwaga: W rzeczywistej przestrzeni Euklidesa V z wyróżnioną bazą ortonormlną (e), mamy: x

i

= (x | e

i

)

= || x || cos

i

, gdzie

i

to kąt między wektorem x (x

0) a i-tą osią e

i

układu współrzędnych (e). Ponadto

1

cos

cos

1

1

2

n

k

i

i

x

x

, co czytamy: x jest wektorem jednostkowej długości wyłącznie

wtedy, gdy jego współrzędne to cosinusy kierunkowe tego wektora z poszczególnymi osiami

ortonormalnego układu współrzędnych.



DODATKOWE
Def.
Niech A

M

n

(K). Jeśli istnieje macierz A’

M

n

(K) taka, że AA’ = A’A = I, gdzie I jest macierzą

jednostkową stopnia n, to macierz A’ nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A.
Tw. (Kronecker-Cappelli) Układ równań linowych ma co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko
wtedy, gdy rząd macierzy układu równań jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej.
Dowód: Niech A = (A

1

, A

2

, ..., A

n

) będzie macierzą układu równań i A

b

= (A

1

, ..., A

n

, B) macierzą

rozszerzoną tego układu. Zachodzą wówczas następujące równoważności:
(

1

, ...,

n

) jest rozwiązaniem układu równań 

1

A

1

+ ... +

n

A

n

= B B

L(A

1

, ..., A

n

) 

 L(A

1

, ..., A

n

) = L(A

1

, ..., A

n

, B)  dim L(A

1

, ..., A

n

) = dim L(A

1

, ..., A

n

, B) 

 rz (A

1

, ..., A

n

) = rz(A

1

, ..., A

n

, B)  rz A = rz A

d

( L(..) – zbiór wszystkich kombinacji liniowych wszystkich skończonych produktów układu ...)

Tw. (Kronecker-Cappelli) i Dowód wg. Henia: strona 4a
Def.
Jeżeli istnieje wektor niezerowy

(w K

n

), że przy pewnym



K będzie: Ax=

x (Ax=

x), to

mówimy, że x jest wektorem własnym macierzy A, odpowiadającym wartości własnej

. A

(x,

)

Tw. Każda macierz A=[a

ik

]

m

n

nad ciałem alg. zamkniętym ma wartości własne oraz wektor własny.

Dowód:

,x – to wartość własna i wektor własny macierzy A

jest x

0 oraz



K | Gdy spełnione

jest równanie Ax=

x

(A-

I)x=0

jest ukł. kwadratowych równań jednorodnych

Def. Rzędem macierzy A = (A

1

, ..., A

n

)

M

m x n

(K) nazywamy rząd układu jej kolumn, rozpatrywanych

jako wektory przestrzeni K

m

.

Tw. (o rzędzie macierzy) Rząd macierzy A

M

m x n

(K) jest równy największemu stopniowi jej nie

znikających minorów.
W równaniach 2 prostych, gdy: rz A = rz A

b

= 2 – przecinają się (ozn.); rz A = 1, rz A

b

= 1 – porywają się

(nieoznaczony), rz A = 1, rz A

b

= 2 – równoległe (sprzeczny).

background image

18

A

B

TW. (KRONECKERA-CAPELLIEGO).

(*)

a x

a x

a x

b

a x

a x

a x

b

n n

m

m

mn n

m

11 1

12 2

1

1

1 1

2 2




...

...

...

A

a

a

a

a

n

m

mn

11

1

1

...
...
...

(**)

x

x

x

n

n

1

1

2

2

,

,...,

C

a

a b

a

a b

n

m

mn m

11

1

1

1

...
...
...

Układ liniowy (*) złożony z m równań o n niewiadomych jest rozwiązywalny wtedy i tylko wtedy, gdy
R(A) = R(C), przy czym R(A) = R(C) = n, to układ (*) na dokładnie jedno rozwiązanie, gdy zaś
R(A) = R(C) = r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n - r parametrów.
DOWÓD
K o n i e c z n o ś ć . Jeśli układ (*) ma rozwiązanie (**) to R(A) = R(C), bo rząd macierzy C nie ulegnie
zmianie w wyniku odjęcia od kolumny wyrazów wolnych sumy i-tej kolumny pomnożonej przez

i

,

a ostatnia kolumna wyrazów wolnych zostanie wyzerowana.
D o w ó d d o s t a t e c z n o ś c i . W przypadku r = n jednoznaczność rozwiązania jest oczywista bo
układ jest albo układem Cramera, albo równań jest więcej niż niewiadomych - równoważne układowi
Cramera. Gdy r < n, to można tak przenumerować zmienne i wybrać r równań spośród równań układu
(*), by otrzymać układ Cramera o r równaniach:

(***)

a x

a x

b

a

x

a x

a x

a x

b

a

x

a x

r r

r

r

n n

r

rr r

r

rr

r

rn n

11 1

1

1

1 1

1

1

1 1

1

1

 

 

 

 

 

 




...

...

...

...

...

Wtedy pozostałe równania układu (*) jako zależne od równań układu (***) można odrzucić. Układ (***)
jest jednoznacznie rozwiązalny względem zmiennych x

x

r

1

,..,

w zależności od pozostałych zmiennych

x

x

r

n

1

,...,

. Wobec tego układ (*) jest nieoznaczony, a jego rozwiązanie zależy od n - r dowolnych

parametrów (którymi mogą być np. zmienne x

x

r

n

1

,...,

).


WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE

(*)

A

E

A

A

 

a

a

a

a

tr

11

12

21

22

2

0

det

(**)

A

E X

0 lub

a

a

a

a

x
x

11

12

21

22

1

2

0
0

Równanie (*) nazywamy równaniach charakterystycznym macierzy A, jego lewą stronę - wielomianem
charakterystycznym macierzy A
, pierwiastki

1

,...,

n

równania (*) - wartościami własnymi macierzy A,

wektory

X

X

1

,..,

n

będące rozwiązaniami równań (**) dla wartości własnych macierzy - wektorami

własnymi macierzy A. Wektor własny odpowiadający wartości

i

znajdujemy rozwiązując jedno

z równań równania (**).

RZĄD MACIERZY
Rzędem macierzy o wymiarze

m n

nazywamy:

1)

liczbę R równą najwyższemu ze stopni jej różnych od zera minorów, gdy macierz jest niezerowa;

2)

liczbę zero, gdy macierz jest zerowa

Rząd macierzy spełnia następującą nierówność

 

0

 

R

m n

min ,

Rząd macierzy nieosobliwej stopnia n jest równy n; rząd kwadratowej macierzy osobliwej i niezerowej
jest niższy od jej stopnia.

PRZESTRZEŃ PRZEDHILBERTOWSKA (UNITARNA PRZESTRZEŃ LINIOWA)
Iloczynem pseudoskalarnym na przestrzeni liniowej E nad ciałem R nazywamy odwzorowanie

 



 

| :

,

|

E E

R

x y

x y

spełniające dla dowolnego

 

R i dowolnych x y z

, ,

E następujące

warunki:

1

o

y x

x y

|

|

(symertia) 2

o

x y

x y

|

|

(jednorodność) 3

o

x y z

x z

y z

|

|

|

(rozdzielność względem dodawania) 4

o

x x

|

R

0

Jeżeli ponadto spełniony jest warunek 5

o

x x

x

|

  

0

0 to odwzorowanie nazywamy iloczynem

skalarnym określonym na przestrzeni liniowej E. Parę

 

E, |



, tzn. przestrzeń liniową E wyposażoną w

iloczyn skalarny



| , nazywamy przestrzenią liniową unitarną lub przestrzenią przedhilbertowską.

Funkcja dwu zmiennych spełniająca warunki 1

o

- 3

o

jest symetryczną formą dwuliniową; jeżeli także 4

o

-

to dodatnio półokreśloną lub dodatnio określoną; gdy ponadto 5

o

- to jest to symetryczna forma

dwuliniowa dodatnio określona. W unitarnej przestrzeni liniowej zawsze wprowadzamy normę elementu

za pomocą wzoru x

x x

:

|


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
algebra z teoria liczb wyk
algebra z teoria liczb wyk cz2
Ściąga egzamin Algebra (teoria)
Algebra z teorią liczb
podstawy algebry teoria
algebra - teoria, Algebra
Algebra Teoria podzielnosci
Gewert M, Skoczylas Z Wstęp do analizy i algebry Teoria, przykłady, zadania wyd 2
Algebra teoria
Algebra (teoria)
algebra z teoria liczb wyk
Algebra z geometrią teoria, przykłady, zadania
Algebra odp teoria Zestaw B wyklady
Algebra liniowa teoria

więcej podobnych podstron