Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Spis tre±ci

1 Logika i zbiory

1

2 Wªasno±ci funkcji jednej zmiennej

3

3 Ci¡g i granica ci¡gu

6

4 Granica i ci¡gªo±¢ funkcji

8

5 Pochodna funkcji. Reguªa de l'Hospitala

10

6 Badanie przebiegu zmienno±ci funkcji

12

7 Zastosowanie rachunku ró»niczkowego w ekonomii

13

8 Caªki nieoznaczone

15

9 Caªki oznaczone

17

10 Caªki niewªa±ciwe. Funkcje gamma i beta

18

11 Szeregi liczbowe

19

12 Przestrze« wektorowa

20

13 Macierze, dziaªania na macierzach. Wyznaczniki

22

14 Macierz odwrotna. Rz¡d macierzy

25

15 Ukªady równa« liniowych: Cramera, niejednorodne i jednorodne

26

16 Ukªady równa« liniowych: metoda operacji elementarnych, rozwi¡zania bazowe

27

17 Ukªady nierówno±ci liniowych

28

18 Funkcje wielu zmiennych

30

19 Pochodne cz¡stkowe. Pochodna kierunkowa i gradient

31

20 Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych

33

21 Ekstrema warunkowe. Programowanie liniowe

34

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 1. Logika i zbiory

Zadanie 1.1. Dla podanych zbiorów A i B wyznaczy¢ A ∪ B, A ∩ B, A \ B. Wyniki zaznaczy¢ na osi

liczbowej.

a) A =



x ∈ R :

3x

3

x

2

− 1

−

4x + 16

x + 1

= 0



B = {x ∈ R : |x − 1| + |x − 5| > 8}

b) A =

(

x ∈ R : 3

√

log x + 2 log

r 1

x

= 2

)

B =

x ∈ R : log

2

(x − 1) − 2 log (x − 1) > 0

c) A = {x ∈ R : ||x + 1| + 2| = 2} B = x ∈ R :

√

x + 1 −

√

x − 1 = 1

d) A = {x ∈ R : |x − 3| + |x + 4| = 9} B =

n

x ∈ R :

1
2

1−x

|x|

≤ 1

o

e) A = {x ∈ R : cos 3x = cos x} B = {x ∈ R : cos

2

2x = 1}

f) A = {x ∈ R : 3 sin x = 2 cos

2

x}

B = {x ∈ R : sin x − cos 2x = 0}

g) A =



x ∈ R : x <

1

x



B =



x ∈ R :

1 + x

1 − x

> 1



h) A =



x ∈ R :

x

2

+ 1

x

>

x

2

x + 1



B = {x ∈ R : |x + 2| > 3}

i) A =

(

x ∈ R :

(x + 3)

2

(x

2

+ x + 1)

(4 − x) x

≥ 0

)

B = {x ∈ R : |x − 1| ≤ 5}

j) A = x ∈ R : log

x−2

(x − 1) > 1

B = {x ∈ R : |2x − 1| < |x + 3|}

Zadanie 1.2. Oceni¢ warto±¢ logiczn¡ ka»dego ze zda«, a nast¦pnie napisa¢ jego negacj¦:

a)

^

x∈R

x = 2x

b)

^

x∈N

x

2

x + 1

≥

x + 2

x + 1

c)

_

x∈N

1

x + 1

≥

1

x + 2

d)

^

x∈N

3x + 1

2x + 1

≥ 0

e)

_

x∈R

−2x

2

+ x − 4

−3x

2

− 2

≤ 0

f)

_

x∈C

2x

2

− 4x + 2

−2x

2

− 3

≤ 0

g)

^

x∈R

|x + 1|

x

2

+ 1

≥ 0

h)

_

m∈N

_

n∈N

m

2

+ n

2

= 10

i)

^

x∈R

_

y∈R

+

y = x

2

− 4

j)

^

x∈C

−

_

y∈N

x ≤ y

k)

_

y∈N

^

x∈C

−

x ≤ y

Zadanie 1.3. W prostok¡tnym ukªadzie wspóªrz¦dnych zaznaczy¢ zbiory A × B oraz B × A, je±li:

a) A = {x ∈ R : x = 1, 2, . . .} B = {y ∈ R : y = 0}

1

1 Logika i zbiory

b) A = {y ∈ R : y ≤ 2} B = {x ∈ R : x > 2}

c) A = {x ∈ R : |x − 2| > 3} B = {y ∈ R : |y + 2| ≤ 3}

d) A =



x ∈ R :

x

2

− 2x + 1

4x − x

2

≥ 0



B = {y ∈ R : 0 < |y| < 3}

e) A = {y ∈ R : 1 < |y| < 5} B =



x ∈ R :

16 − x

2

x

3

+ 27



f) A = {x ∈ C : log

2

(x

2

− 1) < 3}

B =



y ∈ R :

2y − 1

y + 1

< 1



g) A = {x ∈ C : log

2

(x + 1) + log

2

(x − 1) < 3}

B = (−1, 2)

h) A =

n

t ∈ R : log

1
3

(− |1 − t| + 4) < −1

o

B =



x ∈ R :

x

3

− x

2

− 4x + 4

x − 1

≤ 0



Zadanie 1.4. W prostok¡tnym ukªadzie wspóªrz¦dnych zaznaczy¢ zbiory punktów:

A = {(x, y) : 2x − y − 2 > 0}

B = {(x, y) : x + 3y + 6 ≤ 0}

C = {(x, y) : x − 2y < 0}

D = {(x, y) : x − y ≥ 4 ∧ 2x − y < 6}

E = {(x, y) : 2x + y ≥ 2 ∧ 4x + 2y ≤ 12}

F = {(x, y) : x + 2y > 0 ∧ x < −2}

G = {(x, y) : |x| − 1 < y}

H = {(x, y) : |y − 1| + x > 3}

I = {(x, y) : y ≤ 3 − |x − 2|}

J =

(x, y) :

1
2

x + |y − 2| ≤ 2

K = {(x, y) : |y − 1| − 2 < 3x}

L = {(x, y) : |x − 1| < y}

M = {(x, y) : |x| − |y − 2| ≤ 2}

N = {(x, y) : |2x + 4| − |y| = 4}

O = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 4}

P = {(x, y) : |y − 3| < 2}

Q = {(x, y) : |1 − x| ≥ 3}

R = {(x, y) : |x − 3| ≥ 2}

S = {(x, y) : |y + 1| < 3}

T = {(x, y) : x

2

− y

2

≤ 0}

Zadanie 1.5. Zaznaczy¢ w prostok¡tnym ukªadzie wspóªrz¦dnych sum¦, iloczyn i ró»nic¦ zbiorów A

i B:

a) A = {(x, y) : |x + 2| < 4} B = {(x, y) : |x − 1| + y ≥ 3}

b) A = {(x, y) : x

2

+ y

2

− 2x − 4y ≤ 0}

B = {(x, y) : x − 4y ≥ 0}

c) A = {(x, y) : |x| + x = y + |y|} B = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1} .

Zadanie 1.6. Obliczy¢:

(−1)

13!

,

3·13!

15!

,

6
2

,

13
11

,

15

P

k=7

5

,

5

P

k=2

5k −

2
k

,

4

P

k=0

−

1
2

k

,

5

Q

i=2

i

i

,

6

Q

i=0

i

2

(i − 1)

,

3

Q

k=0

sin kπ

,

3

P

k=1

3

P

i=1

k

i

,

3

P

k=1

5

P

j=1

(3k

2

+ 2j)

.

Zadanie 1.7. Korzystaj¡c z dwumianu Newtona i trójk¡ta Pascala poda¢ wzór na (a + b)

6

.

2

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 2. Wªasno±ci funkcji jednej zmiennej

Zadanie 2.1. Dla funkcji

f (x) =

1 − x

1 + x

znale¹¢: f (0), f (−x), f (x + 1), f (x) + 1, f

1
x

,

1

f (x)

.

Zadanie 2.2. Dana jest funkcja

f (x) =

(

2

x

dla |x| ≤ 2

x

2

− 1

dla |x| > 2

Obliczy¢: f (−1), f (0), f (2), f (−8), f (8).
Zadanie 2.3. Dane s¡ funkcje f (x) = x

3

− x

oraz g (x) = sin 2x. Obliczy¢: f g

π

12

, g (f (1)),

g (f (2))

, f (f (f (1))).

Zadanie 2.4. Znale¹¢: f (f (x)), g (g (x)), f (g (x)), g (f (x)), je»eli f (x) = x

2

oraz g (x) = 2

x

.

Zadanie 2.5. Wyznaczy¢ dziedziny funkcji:

a) f (x) =

x

2

x + 1

b) f (x) =

4

√

1 − x

2

c) f (x) =

1

√

x

2

− 4x

d) f (x) = (x − 2)

r 1 + x

1 − x

e) f (x) =

√

2 + x − x

2

+

1

√

x

2

− 3x

f) f (x) = e

1

x2−x−2

g) f (x) =

1

log (1 − x)

+

√

x + 2

h) f (x) = log |x|

i) f (x) = log (sin x)

j) f (x) = ln (e

x

− e)

k) f (x) = log

x

2

l) f (x) = arc sin

2x

1 + x

m) f (x) = arc cos

2x

1 + x

2

n) f (x) = 1 +

x

π

6

2

− (arc sin x)

2

o) f (x) =

√

3 − x + arc sin

3 − 2x

5

p) f (x) = arc sin (1 − x) + log (log x)

Zadanie 2.6. Czy funkcje f i g okre±lone nast¦puj¡co:

a) f (x) = x

2

+ 1

i g (z) = z

2

+ 1

b) f (x) =

√

x

2

i g (z) = z

c) f (x) = |x| i g (z) =

√

z

2

d) f (x) =

x
x

i g (z) = 1

e) f (x) = 1 i g (z) = sin

2

z + cos

2

z

f) f (x) = 1 i g (z) = tg z · ctg z

s¡ równe?

Zadanie 2.7. Dane s¡ funkcje:

A) f (x) = x

3

B) f (x) = sin x C) f (x) =

1

x

dla x 6= 0

Naszkicowa¢ wykresy funkcji:

a) x 7→ f (x)

b) x 7→ −f (x)

c) x 7→ f (−x) d) x 7→ f (x) − 1

e) x 7→ f (x + 1) f) x 7→ f (2 − x) + 1 g) x 7→ |f (x)| h) x 7→ f (|x|)

3

2 Wªasno±ci funkcji jednej zmiennej

Zadanie 2.8. Odwoªuj¡c si¦ do wykresów poda¢ zbiory warto±ci nast¦puj¡cych funkcji:

a) f (x) = x −

1
2

2

+ 3

b) f (x) = ln (2 − x) + 1 dla x < 2

c) f (x) = |1 − |x − 2|| + 3 d) f (x) = 1 − e

2−x

Zadanie 2.9. Na podstawie wykresów poda¢ wªasno±ci funkcji:

a) f (x) = |x|

b) f (x) = |x| + 1

c) f (x) = |x − 2|

d) f (x) = − |x + 1|

e) f (x) = 2 − |x + 1|

f) f (x) = |4 − x

2

|

g) f (x) = x

2

− 3x

h) f (x) = (x − 1)

2

− 4

i) f (x) = 2

x+1

j) f (x) = 2

x

− 2

k) f (x) = 3

x−2

− 1

l) f (x) = 1 −

2
3

x

m) f (x) = log

3

(x + 2)

n) f (x) = log

1
2

(−x) + 1

o) f (x) = tg x −

π

2

p) f (x) = −2 sin x

q) f (x) = sin 2x

r) f (x) = 2 + sin 2x

s) f (x) =

(

x + 1

dla x < 0

1 − x

2

dla x ≥ 0

Zadanie 2.10. Wyja±ni¢, które z poni»szych funkcji s¡ parzyste, a które nieparzyste:

a) f (x) = (x − 1)

2

b) f (x) = x |x|

c) f (x) =

2 + x

2

x

2

d) f (x) =

√

1 + x

2

e) f (x) = 3

x

− 3

−x

f) f (x) = x log x

2

g) f (x) = 1 + cos 2x h) f (x) = sin

2

x

i) f (x) = |sin x|

j) f (x) =

sin x

x

3

k) f (x) = sin x

3

Zadanie 2.11. Okre±li¢ funkcje zªo»one f ◦ f, f ◦ g, g ◦ f, g ◦ g, je»eli:

a) f (x) = x

2

, g (x) = 2

x

b) f (x) = 2 + cos x, g (x) =

√

x

Zadanie 2.12. Z jakich funkcji zªo»ona jest funkcja:

a) f (x) = (1 − 3x

2

)

5

b) f (x) =

1

(1 − x

2

)

4

c) f (x) =

3

q

(4 + 3x)

2

d) f (x) = ln

x

x

2

+ 1

e) f (x) = sin 2x

f) f (x) = sin

2

x

4

2 Wªasno±ci funkcji jednej zmiennej

Zadanie 2.13. Znale¹¢ funkcje odwrotne do nast¦puj¡cych funkcji i sporz¡dzi¢ wykresy obu funkcji

w jednym ukªadzie wspóªrz¦dnych:

a) f (x) = 3x + 5

b) f (x) = x

2

dla x ≤ 1 c) f (x) =

√

2x + 3

d) f (x) = 3

x+2

− 1

e) f (x) = log

2

(x + 3)

f) f (x) = 1 + log

1
2

x

5

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 3. Ci¡g i granica ci¡gu

Zadanie 3.1. Napisa¢ kilka pierwszych wyrazów ci¡gu (a

n

)

okre±lonego nast¦puj¡co:

a) a

n

= 2

b) a

n

= n

(−1)

n

c) a

n

=

(−1)

n

n

+

1 + (−1)

n

2

d) a

n

= (−1)

n+1

·

3

n + 1

e) a

n

= −n (2 + (−1)

n

)

f) a

n

= sin

nπ

2

g) a

n

= (−1)

n

+ sin

nπ

2

h) a

n

= 1 + n sin

nπ

2

i) a

n

= 1 +

n

n + 1

cos

nπ

2

Zadanie 3.2. Obliczy¢ pi¡ty wyraz ci¡gu (a

n

) ,

je±li suma jego n pierwszych wyrazów wynosi 4n

2

−3n.

Zadanie 3.3. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gów o wyrazach ogólnych a

n

+ b

n

, a

n

− b

n

, a

n

· b

n

oraz

a

n

b

n

,

je±li:

a) a

n

= 2n

2

+ 3n − 1, b

n

= 2n

2

+ 3n

b) a

n

= 3n

2

− 7, b

n

= 2n

2

+ 4

c) a

n

= n, b

n

=

1

n

d) a

n

=

n + 1

n

, b

n

= n

2

Czy w powy»szych prypadkach mo»na korzysta¢ z twierdzenia o granicy sumy, ró»nicy, iloczynu i

ilorazu ci¡gów?

Zadanie 3.4. Obliczy¢ nast¦puj¡ce granice (o ile istniej¡):

a) lim

n→∞

(n

2

+ 5n − 6)

b) lim

n→∞

(−2n

7

+ 3n

2

− 4)

c) lim

n→∞

n

2

+ 3n

n

2

− 1

d) lim

n→∞

6n

3

− 1

3n

3

+ 2n − 4

e) lim

n→∞

n

2

− 2

n

f) lim

n→∞

−3n

3

+ 1

n

2

+ 4

g) lim

n→∞

n − 1

n

2

+ 2n − 1

h) lim

n→∞

n

3

+ 2n − 1

n

4

+ n

i) lim

n→∞

(1 − 2n)

3

(2n + 3)

2

(1 − 7n)

j) lim

n→∞

 2n + 3

n + 1



3

k) lim

n→∞

1 + 2 + 3 + . . . + n

(3n − 1)

2

l) lim

n→∞

2 + 4 + 6 + . . . + 2n

(1 − 9n

2

)

m) lim

n→∞

1 − 2n

2 +

√

n

n) lim

n→∞

2 +

√

n

1 − 2n

o) lim

n→∞

(3 −

√

n)

2

5 + 4n

p) lim

n→∞

r

9n

2

+ 4n

n

2

+ 3

q) lim

n→∞

√

2n − 1 −

√

n − 7

r) lim

n→∞

3n −

√

9n

2

+ 1

s) lim

n→∞

√

4n

2

+ 9n − 2 − 2n

t) lim

n→∞

3

√

n

3

+ 5 − n

u) lim

n→∞

e

n

n+1

v) lim

n→∞

2

1

n

w) lim

n→∞

4

n−1

− 5

2

2n

− 7

x) lim

n→∞

2

n+1

− 3

n+2

3

n+2

y) lim

n→∞

n

√

2

n

+ 3

n

z) lim

n→∞

n

√

4n

2

+ n + 5

aa) lim

n→∞

n

q

1
2

n

+

2
3

n

+

3
5

n

ab) lim

n→∞

sin n

n + 1

ac) lim

n→∞

n

n

2

+ 1

sin (3n + 1)

ad) lim

n→∞

3

√

n

2

sin n

n + 1

ae) lim

n→∞

 n − 1

n + 2



n

af) lim

n→∞



1 +

2

n + 1



n+1

ag) lim

n→∞

 n + 4

n



2n

ah) lim

n→∞

 n

2

+ 9

n

2



n

2

ai) lim

n→∞



1

√

n

2

+ 1

+

1

√

n

2

+ 2

+ . . . +

1

√

n

2

+ n



6

3 Ci¡g i granica ci¡gu

Zadanie 3.5. Poda¢ wzór na procent skªadany. W którym banku nale»y zªo»y¢ roczn¡ lokat¦ ter-

minow¡, je±li w Banku I dopisuje si¦ 21% co póª roku, natomiast w Banku II dopisuje si¦ 10% co

kwartaª?

Zadanie 3.6. Zaªó»my, »e fundusz wyj±ciowy 40 000 zª podlega przez 5 lat oprocentowaniu prostemu,

a roczna stopa procentowa wynosi 8%. Jakiego kapitaªu mo»na si¦ spodziewa¢ po upªywie tego okresu?

Jaki byªby kapitaª w przypadku oprocentowania skªadanego?

Zadanie 3.7. Niech roczna stopa procentowa wynosi 5%. Po ilu latach odsetki od kapitaªu wyj±cio-

wego 4000 zª w oprocentowaniu prostym wynios¡ 1000 zª?

Zadanie 3.8. Odsetki od kapitaªu wyj±ciowego 5400 zª oprocentowanego w systemie prostym przez

9 miesi¦cy wynosz¡ 360 zª. Wyznaczy¢ roczn¡ stop¦ procentow¡.

Zadanie 3.9. Niech roczna stopa procentowa wynosi 10%. Po ilu latach kapitaª pocz¡tkowy potroi

si¦, je±li oprocentowanie jest:

a) proste,

b) skªadane?

Zadanie 3.10. (

1

) Do pewnego banku wpªacono 12 000 zª na 3 lata. Jak du»e odsetki wypªaci bank po

tym okresie, je±li stopa procentowa w pierwszym roku wynosiªa 18%, natomiast w latach nast¦pnych

zostaªa zmniejszona do 15%?

Zadanie 3.11. Pewien starszy pan otrzymaª spadek w wysoko±ci 20 000 zª i zdeponowaª go w banku.

Po 12 latach zgromadzony w banku kapitaª, ów pan podarowaª wnuczce. Jaki du»y posag otrzymaªa

wnuczka, je±li stopa procentowa w banku byªa zmienna i wynosiªa w pierwszych czterech latach 18%,

w nast¦pnych pi¦ciu latach 15%, a przez ostatnie trzy lata byªa na poziomie 10%?

1

W zadaniach

3.10



3.11

przyjmujemy, »e kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu.

7

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 4. Granica i ci¡gªo±¢ funkcji

Zadanie 4.1. Obliczy¢ nast¦puj¡ce granice (o ile istniej¡):

a) lim

x→1

(x − 1)

√

2 − x

x

2

− 1

b) lim

x→

1
2

8x

3

− 1

6x

2

− 5x + 1

c) lim

x→1



1

1 − x

−

3

1 − x

3



d) lim

x→4

√

1 + 2x − 3

√

x − 2

e) lim

x→3

√

x + 13 − 2

√

x + 1

x

2

− 9

f) lim

x→0

sin 5x

sin 3x

g) lim

x→

π

2

cos x

π − 2x

h) lim

x→0

1 − cos x

x

2

i) lim

x→∞

 x

2

+ 1

x

2

− 2



x

2

j) lim

x→∞

√

1 + x + x

2

−

√

1 − x + x

2

k) lim

x→∞

√

x + 3 −

√

x + 1

l) lim

x→∞

x sin

1

x

m) lim

x→0

x ctg 3x,

n) lim

x→∞

 2x + 3

2x + 1



x+1

o) lim

x→∞

 3x − 1

2x + 1



2x−5

p) lim

x→0

√

cos x − 1

x

2

q) lim

x→

π

4

cos x − sin x

cos 2x

r) lim

x→0

sin 5x − sin 3x

sin x

Zadanie 4.2. Obliczy¢ granice jednostronne funkcji f w punkcie x

0

,

je±li:

a) f (x) =

1

x − 3

, x

0

= 3

b) f (x) =

1

3 − x

, x

0

= 3

c) f (x) =

1

(3 − x)

2

, x

0

= 3

d) f (x) =

x + 1

x − 1

, x

0

= 1

e) f (x) =

1

x

2

− 4

, x

0

= 2

f) f (x) = 2

1

x−1

, x

0

= 1

g) f (x) = 4

1

x2−4

, x

0

= 2

h) f (x) = e

1

4−x2

, x

0

= −2

i) f (x) =

x

1 + e

1
x

, x

0

= 0

Zadanie 4.3. Obliczaj¡c granice jednostronne zbada¢, czy istniej¡ granice:

a) lim

x→1

x + 1

x − 1

b) lim

x→0

x [x]

c) lim

x→1

|x − 1|

3

x

3

− x

2

d) lim

x→1

e

1

1−x2

Zadanie 4.4. Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji f i poda¢ rodzaje nieci¡gªo±ci, je»eli:

a) f (x) =

(

2

x

+ 3

dla x ≤ 0

(x − 2)

2

dla x > 0

b) f (x) =

(

x − 1

dla x < 0

3

x

dla x ≥ 0

c) f (x) =

(

e

x

1−x

dla x 6= 1

0

dla x = 1

d) f (x) =

(

sin x

x

dla x 6= 0

0

dla x = 0

e) f (x) =

(

cos

1
x

dla x 6= 0

0

dla x = 0

f) f (x) =

(

arctg

1

x

dla x 6= 0

0

dla x = 0

Zadanie 4.5. Sprawdzi¢, czy mo»na dobra¢ warto±ci parametrów a i b tak, aby funkcja f : R → R

byªa ci¡gªa, je»eli:

8

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

a) f (x) =

(

2

x

+ 8

dla x ≤ 0

(x − a)

2

dla x > 0

b) f (x) =

(

cos

πx

2

dla x ≤ 1

a |x − 1|

dla x > 1

c) f (x) =











−a

x

dla

x ≤ −1

2x + 3

dla −1 < x ≤ 1

b (x − 2)

2

+ 3

dla

x > 1

d) f (x) =











2 + e

1
x

dla x < 0

sin ax

3x

dla x > 0

b

dla x = 0

9

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 5. Pochodna funkcji. Reguªa de l'Hospitala

Zadanie 5.1. Korzystaj¡c z denicji obliczy¢ pochodne podanych funkcji:

a) f (x) = −2x

2

+ 3x + 1

b) f (x) = x

−2

c) f (x) = e

−x

d) f (x) =

1

sin x

Zadanie 5.2. Obliczy¢ pochodne nast¦puj¡cych funkcji:

1) f(x) = 3

2) f(x) = x

4

+ 3x

2

−

1

x

+

√

x

3) f(x) = 2x

3

− x

2

4) f(x) =

5x − 1

3 − 2x

5) f(x) =

x

2

− 1

x

2

+ 1

6) f(x) =

2

x

3

− 1

7) f(x) = x

√

1 + x

2

8) f(x) = (

√

x + 1)(

1

√

x

− 1)

9) f(x) = x

2

e

10) f(x) =



x

3

+

1

x

2



e

x

11) f(x) = 10

x

12) f(x) =

x

4

x

13) f(x) = 2

√

x − 3 ln x + 1

14) f(x) = x ln x

15) f(x) =

ln x

1 + x

2

16) f(x) = log

3

x

17) f(x) = sin x + cos x

18) f(x) = x

3

sin x

19) f(x) =

√

x cos x

20) f(x) =

sin x

x

4

+ 4

21) f(x) =

sin x − cos x

sin x + cos x

22) f(x) = arc sin x + arc cos x 23) f(x) = x arc sin x

24) f(x) = x + arctg x

25) f(x) =

q

1−x
1+x

26) f(x) = ln(e

x

+

√

1 + e

x

)

27) f(x) = e

(x

2

−3x−4)

28) f(x) = cos

1 −

√

x

1 +

√

x

29) f(x) = (2x

3

− 1)

5

30) f(x) =

 1 + x

2

1 + x



5

31) f(x) =



sin x

1 + cos x



3

32) f(x) = cos

3

4x

33) f(x) =

√

4x

2

+ 2

3x

4

34) f(x) = (2x + 1) 2

2x+1

35) f(x) = (1 +

4

√

x) tg (

√

x)

36) f(x) = sin 2x cos

2

x

37) f(x) = arc sin

x
2

38) f(x) = arc sin

4

√

1 − 5x

39) f(x) = arctg

2x

1 − x

2

Zadanie 5.3. Obliczy¢ pochodne f

0

, f

00

, f

000

dla podanych funkcji:

a) f(x) = x ln x

b) f(x) = (x

2

+ x + 1) cos x

c) f(x) =

√

x

2

+ 1

Zadanie 5.4. Sprawdzi¢, »e funkcja y speªnia warunek:

a) y = e

x

sin x,

y

00

− 2y

0

+ 2y = 0

b) y = ln

2

x − 2 ln x,

y

00

+

1

x

y

0

−

2

x

2

= 0

10

5 Pochodna funkcji. Reguªa de l'Hospitala

Zadanie 5.5. Korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala obliczy¢ podane granice:

a) lim

x→1

x

3

− 1

x

2

− 1

b) lim

x→0

+

x ln x

c) lim

x→−∞

x



e

1
x

− 1



d) lim

x→0

e

x

− x − 1

x

2

e) lim

x→0

ln (1 + x)

x

f) lim

x→e

ln x − 1

x − e

g) lim

x→0

1 − cos x

x

2

h) lim

x→0

sin x

x

i) lim

x→0

sin x

x cos x

j) lim

x→+∞

e

x

x

k) lim

x→+∞

ln x

x

l) lim

x→+∞

ln x

√

x

m) lim

x→1

+



x

x − 1

−

1

ln x



n) lim

x→0

+

x

sin x

o) lim

x→

π

2

−

(sin x)

tg x

11

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 6. Badanie przebiegu zmienno±ci funkcji

Zadanie 6.1. Znale¹¢ asymptoty wykresów nast¦puj¡cych funkcji:

a) f(x) =

1

1 − x

2

b) f(x) =

x

2

2x + 3

c) f(x) =

x

x

2

+ 1

d) f(x) =

x

3

+ x

2

x

2

− 4

e) f(x) =

x − 3

√

x

2

− 9

f) f(x) =

√

1 + x

2

+ 2x

g) f(x) =

√

1 + x

2

x

h) f(x) =

sin x

x

i) f(x) = x

2

e

−x

Zadanie 6.2. Wyznaczy¢ ekstrema funkcji:

a) f(x) = 2x

3

− 15x

2

+ 36x − 14

b) f(x) = x

4

+ 4x − 2

c) f(x) =

x

x

2

+ 4

d) f(x) =

(1 − x)

2

2x

e) f(x) = x −

√

x

f) f(x) = e

x

+ e

−x

Zadanie 6.3. Wyznaczy¢ przedziaªy monotoniczno±ci nast¦puj¡cych funkcji:

a) f(x) = xe

−3x

b) f(x) = x − ln(1 + x)

c) f(x) = (x

2

− 3) e

−x

Zadanie 6.4. Znale¹¢ najwi¦ksze i najmniejsze warto±ci funkcji na wskazanych przedziaªach:

a) f(x) = x

2

− 2x + 3

, x ∈ [−2, 5]

b) f(x) = 2x

3

− 3x

2

− 36x − 8

, x ∈ [−3, 6]

c) f(x) = x − 2

√

x

, x ∈ [0, 5]

d) f(x) = x

2

ln x

, x ∈ [1, e]

e) f(x) = 2 sin x + sin 2x, x ∈ 0,

3
2

π



Zadanie 6.5. Wyznacza¢ punkty przegi¦cia, przedziaªy wypukªo±ci i wkl¦sªo±ci funkcji:

a) f(x) = x

4

− 12x

3

+ 48x

2

b) f(x) =

x

2

− 5x + 6

x + 1

c) (x) = x + sin 2x

d) f(x) = xe

−x

e) f(x) =

ln x

x

f) f(x) =

x

4

12

−

x

3

3

+ x

2

Zadanie 6.6. Zbada¢ przebieg zmienno±ci i sporz¡dzi¢ wykresy nast¦puj¡cych funkcji:

a) f(x) = x

3

− 3x

2

+ 4

b) f(x) = (x − 1)

2

(x + 2)

c) f(x) =

x

1 − x

2

d) f(x) =

x

3

x − 1

e) f(x) = x

√

1 − x

2

f) f(x) =

√

x − x

g) f(x) =

ln x

x

h) f(x) = e

−x

2

i) f(x) =

e

x

x + 1

12

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 7. Zastosowanie rachunku ró»niczkowego w ekonomii

Zadanie 7.1. Zbada¢ przebieg zmienno±ci funkcji logistycznej

y =

a

1 + be

−cx

gdzie a, b, c > 0, x ∈ hx

0

, ∞) .

Naszkicowa¢ wykres krzywej logistycznej.
Zadanie 7.2. Zbada¢ zale»no±¢ popytu y od dochodu x stosuj¡c:

a) dla dóbr podstawowych funkcj¦ Törnquista pierwszego rodzaju

y = a

x

x + b

gdzie a, b > 0, x ∈ hx

0

, ∞) ,

b) dla dóbr wy»szego rz¦du funkcj¦ Törnquista drugiego rodzaju (c oznacza minimalny dochód)

y = a

x − c

x + b

gdzie a, b, c > 0, x ∈ h0, ∞) ,

c) dla dóbr luksusowych funkcj¦ Törnquista trzeciego rodzaju

y = ax

x − c

x + b

gdzie a, b, c > 0, x ∈ h0, ∞) .

Poda¢ interpretacj¦ ekonomiczn¡ wynikaj¡c¡ z wykresów tych funkcji.

Zadanie 7.3. Zbada¢ przebieg zmienno±ci:

a) funkcji Pareta (x

0

oznacza minimalny dochód)

f (x) =

a

(x − x

0

)

b

gdzie a, b > 0, x ∈ hx

0

, ∞) ,

b) prognostycznej funkcji Gomperteza

f (x) = ab

c

x

gdzie a, b, c > 0

Zadanie 7.4. Przy produkcji i sprzeda»y x jednostek towaru, 50 ≤ x ≤ 100, zysk rmy wynosi
f (x) = 144x − x

2

− 400

zª (144 zª to bezpo±redni zysk na ka»dej jednostce, lecz koszty reklamy i koszty

staªe powoduj¡ strat¦ x

2

+ 400

zª ). Firma produkuje obecnie x = 70 jednostek towaru i na ka»dej

jednostce ma zysk f(70)/70 = 4780/70 ≈ 68.29 zª. Czy opªaca si¦ jej zwi¦kszy¢ produkcj¦? Ile wynosi

warto±¢ kra«cowa zysku dla x = 70? Wyznaczy¢ funkcj¦ kra«cow¡ zysku.
Zadanie 7.5. Koszt produkcji x jednostek towaru, 50 ≤ x ≤ 200, wynosi k(x) = 60x − 0.25x

3/2

+ 80

zª. Natomiast utarg wynosi u(x) = 70x − 0.03x

2

zª. Poda¢ funkcje: k

kr

(x)

kosztu kra«cowego, u

kr

(x)

utargu kra«cowego oraz z

kr

(x)

zysku kra«cowego. Ile wynosi koszt kra«cowy, utarg kra«cowy oraz

zysk kra«cowy dla x = 100?
Zadanie 7.6. Wyznaczy¢ elastyczno±¢ funkcji:

a) y = 3x − 6

b) y = 1 + 2x − x

2

c) y = 2x

2

+ 3x − 2

d) y = 120 − 0.4x

2

e) y = e

−x

f) y = x ln x

g) y = x − 6 dla x = 10

h) y = 1 + 2x +

1
2

x

2

dla x = 1

13

7 Zastosowanie rachunku ró»niczkowego w ekonomii

Zadanie 7.7. Przy produkcji x ton pewnego proszku dziennie, koszt produkcji ka»dej tony wynosi
4700 − 2x

zª. Poda¢ elastyczno±¢ kosztu produkcji ze wzgl¦du na wielko±¢ produkcji. Jak wpªynie

zwi¦kszenie obecnej produkcji 86 ton o ka»dy procent na zmniejszenie kosztów produkcji ka»dej tony?

Zadanie 7.8. Na podstawie okresu 1960  1970 oszacowano kilka wariantów funkcji popytu na obuwie:

y = 0.502 + 0.25x

y = e

−0.83

x

0.86

y = 1.86 + 0.127t

gdzie x, y, t oznaczaj¡ odpowiednio dochód realny netto na jednego mieszka«ca w tys. zª w roku t,

zu»ycie obuwia w parach na jednego mieszka«ca w roku t, czas (t = 1 dla 1960 roku). Na podstawie

modelu liniowego obliczy¢ elastyczno±¢ dla rocznego dochodu 10000 zª.

Zadanie 7.9. Funkcja popytu na pomidory ma posta¢ y = 120 − 0.4x

2

, gdzie x oznacza cen¦

pomidorów w zª na kg, natomiast y popyt miesi¦czny w kg na osob¦. Wyznaczy¢ elastyczno±¢ popytu

dla ceny maksymalizuj¡cej utarg.

Zadanie 7.10. Pewna rma mo»e wyprodukowa¢ x sztuk pewnego towaru miesi¦cznie przy koszcie

produkcji sztuki po 130 − 0.01x zª, za± ka»d¡ sztuk¦ mo»na sprzeda¢ w cenie 800 − 0.5x zª. Ponadto

staªe miesi¦czne koszty rmy wynosz¡ 90000 zª. Firma jest w stanie wyprodukowa¢ miesi¦cznie co

najwy»ej 650 sztuk. Przy jakiej miesi¦cznej produkcji zysk jest maksymalny i ile wynosi?

Zadanie 7.11. Jakie wymiary powinien mie¢ walec o podstawie koªowej, aby zminimalizowa¢ koszty

materiaªu na jego wykonanie? Walec ma mie¢ pojemno±¢ 8800 cm

3

. Na wyci¦cie kóª na obie podstawy

trzeba przeznaczy¢ odpowiednie kwadratowe kawaªki materiaªu. Cena materiaªu na obie podstawy

jest o 10% wy»sza ni» koszt materiaªu na powierzchni¦ boczn¡.

14

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 8. Caªki nieoznaczone

Zadanie 8.1. Wyznaczy¢ t¦ funkcj¦ pierwotn¡ funkcji f (x) =

ln x

x

, x > 0, do wykresu której nale»y

punkt A(1, −1).
Zadanie 8.2. W oparciu o wªasno±ci caªek obliczy¢:

a)

Z

(x

3

− 3x

2

+ 2x) dx

b)

Z

(x

2

− 1)

3

x

dx

c)

Z

x

1 − x

dx

d)

Z

x

4

x

2

+ 1

dx

e)

Z



3

3

√

x

2

+

1

x

3

− 2x

√

x



dx

f)

Z

x

3

√

x +

4

√

x

x

2

dx

g)

Z

x

2

−

√

x

3

√

x

dx

h)

Z

4

√

3

x

dx

i)

Z

q

x

p

x

√

xdx

j)

Z

2

x

− 5

x

10

x

dx

k)

Z

e

−2x

− 4

e

−x

+ 2

dx

l)

Z

e

3x

− 1

e

x

− 1

dx

m)

Z

cos 2x

cos x − sin x

dx

n)

Z

sin

2

x

2

dx

o)

Z

ctg

2

xdx

p)

Z

dx

sin

2

x cos

2

x

Zadanie 8.3. Stosuj¡c metod¦ podstawiania obliczy¢ caªki:

a)

Z

xdx

1 + x

2

b)

Z

xdx

(x

2

+ 3)

6

c)

Z

e

3x

dx

1 + e

6x

d)

Z

x

3

dx

q

(1 − x

2

)

3

e)

Z

x

√

x − 3dx

f)

Z

√

3x + 1dx

g)

Z

x

√

1 + x

2

dx

h)

Z

e

1
x

x

2

dx

i)

Z

dx

x

√

x

2

− 2

j)

Z

xdx

√

x

2

− 9

k)

Z

x

3

dx

√

1 − x

8

l)

Z

e

−4x

dx

√

4 + e

−4x

m)

Z

sin xdx

3 + 2 cos x

n)

Z

sin x cos xdx

o)

Z

cos ln x

x

dx

p)

Z

xe

−x

2

dx

Zadanie 8.4. Obliczy¢ caªkuj¡c przez cz¦±ci:

a)

Z

x cos xdx

b)

Z

x

2

e

x

dx

c)

Z

e

x

cos xdx

d)

Z

x sin x cos xdx

e)

Z

x ln

2

xdx

f)

Z

ln xdx

x

2

g)

Z

xdx

sin

2

x

h)

Z

(x − 1) e

x

x

2

dx

i)

Z

x

2

sin xdx

j)

Z

e

2x

sin xdx

k)

Z

xdx

cos

2

x

l)

Z

xe

−3x

dx

Zadanie 8.5. Obliczy¢ nast¦puj¡ce caªki:

a)

Z

cos

2

xdx

b)

Z

sin

2

xdx

c)

Z

sin

5

x cos xdx

d)

Z

cos xdx

√

1 + sin x

e)

Z

x ln (1 + x

2

) dx

f)

Z

p2 + ln |x|

x

dx

g)

Z

xdx

x

4

+ 1

h)

Z

x

2

dx

√

1 − x

6

15

8 Caªki nieoznaczone

Zadanie 8.6. Dana jest funkcja kosztów kra«cowych produkcji

K

K

(x) = 0.2x + 11

gdzie x oznacza wielko±¢ produkcji. Wyznaczy¢ funkcj¦ kosztów caªkowitych, je»eli koszt caªkowity

wyprodukowania 10 sztuk wyrobu wynosi 260 zª.

Zadanie 8.7. Zaªó»my, »e funkcja kosztu kra«cowego przy produkcji opon w ci¡gu dnia zale»y od

wielko±ci produkcji x wedªug wzoru

f (x) = 10 − 0.4x + 0.09x

2

, gdzie x > 0.

Wyznaczy¢ funkcj¦ kosztu przeci¦tnego produkcji opon, je»eli koszty staªe ponoszone w ci¡gu dnia

wynosz¡ 2000 jednostek pieni¦»nych.

16

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 9. Caªki oznaczone

Zadanie 9.1. Obliczy¢ caªki oznaczone:

a)

2

Z

0

dx

x

2

+ 4

b)

1

Z

−1

dx

√

4 − x

2

c)

1

Z

0

xe

−x

dx

d)

π

Z

0

x

2

cos xdx

e)

π

2

Z

−π

2

cos

3

xdx

f)

π

4

Z

0

x dx

cos

2

x

g)

2

Z

1

1

x

2

dx

h)

e

Z

1

ln x

x

dx

Zadanie 9.2. Obliczy¢ pola obszarów ograniczonych krzywymi:

a) y = x

3

− 2x

2

− 3x, x = −1, x = 2

i osi¡ OX

b) y =

1

1 + x

2

, x = −1, x = 1

i osi¡ OX

c) y = x

2

, y

2

= x

d) y = x

3

, y = 4x

e) y = 10

x

, y = 100, y = 10, x = 0

f) y = e

x

, y = e

−x

, x = 1

g) y = x

2

− 4, y = 4 − x

2

h) y =

1

1 + x

2

, y =

x

2

2

i) y =

a

x

2

, x = a, x = 2a, y = 0 (a > 0)

Zadanie 9.3. Obliczy¢ warto±ci ±rednie podanych funkcji na wskazanych przedziaªach:

a) f(x) = sin

3

x

, x ∈ [0, π] b) g(x) = e

x

, x ∈ [−2, 2] c) h(x) =

x

√

1 − x

2

, x ∈

h

0,

√

2

2

i

Zadanie 9.4. Do magazynu nadchodzi towar, przy czym ilo±¢ towaru nadchodz¡cego w jednostce

czasu okre±lona jest funkcj¡ ci¡gª¡ czasu f(t). Obliczy¢ przyrost zapasu w magazynie w odst¦pie

czasu od T

1

do T

2

.

Zadanie 9.5. Zapas pewnego wyrobu w magazynie zmniejsza si¦ w czasie t równomiernie z ilo±ci Q

jednostek w momencie pocz¡tkowym, do 0 w momencie ko«cowym. Obliczy¢ ±redni¡ wielko±¢ zapasu

wyrobu w magazynie.
Zadanie 9.6. Przedsi¦biorstwo nabyªo urz¡dzenie, które zapewnia zysk

Z (t) =



120 −

1

5

t

2



, t > 0,

gdzie t oznacza liczb¦ lat eksploatacji urz¡dzenia. Koszty zwi¡zane z utrzymaniem urz¡dzenia w stanie

sprawno±ci wzrastaj¡ z czasem, przy czym wzrost ten okre±la funkcja

K (t) = t

2

.

Obliczy¢ ª¡czny zysk osi¡gni¦ty z urz¡dzenia w okresie jego eksploatacji.

17

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 10. Caªki niewªa±ciwe. Funkcje gamma i beta

Zadanie 10.1. Obliczy¢ caªki niewªa±ciwe:

a)

1

Z

0

xdx

√

1 − x

2

b)

3

Z

2

xdx

√

x

2

− 4

c)

π

2

Z

0

tg xdx

d)

∞

Z

0

dx

1 + x

2

e)

∞

Z

√

3

dx

x

2

+ 9

f)

∞

Z

3

dx

x

2

g)

∞

Z

0

xe

−x

2

dx

h)

∞

Z

0

e

−x

sin xdx

i)

0

Z

−∞

e

−x

dx

j)

−1

Z

−∞

dx

x

3

k)

∞

Z

−∞

(arctg x)

2

1 + x

2

dx

l)

∞

Z

−∞

xdx

x

4

+ 1

m)

2

Z

−1

dx

x

n)

1

Z

−1

xdx

ln x

2

Zadanie 10.2. Obliczy¢ pola obszarów ograniczonych krzywymi:

a) y = e

−x

i osiami OX, OY

b) y =

x

1 + x

4

i osi¡ OX

c) y =

1

3

p

x
3

− 1

, y = 0, x = 0, x = 3

d) y =

1

|x − 1|

, y = 0, x = 0, x = 2

e) y =

8

x

2

+ 4

, y = 0, x = 0

f) y = ln x, y = 0, x = 0, x = e

g) y =

3

q

(x + 1)

2

, y = 0, x = 0

h) y =

1

x

3

, x = 1

i osiami ukªadu wspóªrz¦dnych

Zadanie 10.3. Czy pole obszaru zawartego mi¦dzy wykresami funkcji y = 2

x

, y =

1

x −

1
2

i osi¡ OX

jest sko«czone?
Zadanie 10.4. Obliczy¢:

a)

∞

Z

0

xe

−

x
2

dx

b)

∞

Z

0

x

5
2

e

−x

dx

c)

∞

Z

0

x

6

e

−x

dx

d)

∞

Z

0

x

√

xe

−3x

dx

e)

∞

Z

0

x

5

e

−4x

dx

f)

∞

Z

0

x

3

√

xe

−2x

dx

g)

1

Z

0

x

1
2

(1 − x)

3
2

dx

h)

1

Z

0

x

1
2

(1 − x)

1
2

dx

i)

1

Z

0

x

6

(1 − x)

4

dx

j)

1
3

Z

0

x

5

(1 − 3x)

8

dx

k)

5

Z

0

x

5

(5 − x)

12

dx

l)

1

Z

0

x

3

(1 − x)

5

dx

18

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 11. Szeregi liczbowe

Zadanie 11.1. Wykaza¢, »e nast¦puj¡ce szeregi s¡ zbie»ne oraz wyznaczy¢ ich sumy:

a)

∞

P

n=1

1

(n + 1) (n + 2)

b)

∞

P

n=2

3

n

+ 2

n

6

n

Zadanie 11.2. Korzystaj¡c z warunku koniecznego zbie»no±ci szeregów uzasadni¢, »e podane szeregi

s¡ rozbie»ne:

a)

∞

P

n=1

n + 2

n + 100

b)

∞

P

n=2

n

ln n

c)

∞

P

n=2

n

r

n

1000

d)

∞

P

n=1



1 −

1

n



n

Zadanie 11.3. Korzystaj¡c z kryterium porównawczego zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów:

a)

∞

P

n=1

n

n

3

+ 1

b)

∞

P

n=1

n sin

1

n

2

c)

∞

P

n=1

tg

1

√

n

d)

∞

P

n=2

√

n + 1

n

2

− 3

e)

∞

P

n=1

2

n

+ 1

3

n

− 1

Zadanie 11.4. Korzystaj¡c z kryterium d'Alemberta zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów:

a)

∞

P

n=1

3

n

n

3

b)

∞

P

n=1

3

n

− 2

n

5

n

− 4

n

c)

∞

P

n=2

n tg

π

2

n

d)

∞

P

n=1

(n!)(3n)!

[(2n)!]

2

e)

∞

P

n=1

(2n)!

n

2n

Zadanie 11.5. Korzystaj¡c z kryterium Cauchy'ego zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów:

a)

∞

P

n=1

 2n + 1

3n + 1



n

b)

∞

P

n=2

π

n

 n − 1

n



n

2

c)

∞

P

n=1

 arctg n

π



n

d)

∞

P

n=1

(n − 5)

n

√

n

n

19

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 12. Przestrze« wektorowa

Zadanie 12.1. Wyznaczy¢ wektor x ∈ R

3

, je»eli:

a) x = 2a

1

− 3a

2

+

1
2

a

3

b) x = a

3

− a

2

+ 2a

1

gdzie: a

1

= (3, −1, 2)

, a

2

= (−5, 1, −2)

, a

3

= (2, −8, 4)

Zadanie 12.2. Obliczy¢ wektor x = 2a − 3b + 7c, je»eli:

a) a = (4, −1), b = (3, 2), c = (5, −6)
b) a = (4, 0, −7, 6), b = (3, 2, −18, 7), c = (1, −3, −2, 2)

Zadanie 12.3. Czy wektor b mo»na zapisa¢ jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów a

1

i a

2

, je»eli:

a) b = (3, 4), a

1

= (1, 2)

, a

2

= (−1, 2)

b) b = (2, 7), a

1

= (3, 1)

, a

2

= (−6, −2)

Zadanie 12.4. Napisa¢ x = (3, −4, 2) jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów: e

1

= (1, 0, 0)

, e

2

= (0, 1, 0)

,

e

3

= (0, 0, 1)

. Czy mo»na przedstawi¢ e

3

jako kombinacj¦ liniow¡ e

1

, e

2

i x?

Zadanie 12.5. Przedstawi¢ wektor y = (4, 1, 0, 6) jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów: e

1

= (1, 0, 0, 0)

,

e

2

= (0, 1, 0, 0)

, e

3

= (0, 0, 1, 0)

, e

4

= (0, 0, 0, 1)

?

Zadanie 12.6. Udowodni¢, »e dane wektory s¡ liniowo niezale»ne:

a) x

1

= (2, 7)

, x

2

= (−3, 1)

b) x

1

= (1, 3, 1)

, x

2

= (2, 1, 1)

, x

3

= (2, 0, 1)

c) x

1

= (1, 1, 1, 1)

, x

2

= (1, 2, 1, 2)

, x

3

= (1, 1, 0, 0)

Zadanie 12.7. Zbada¢ liniow¡ zale»no±¢ wektorów:

a) x

1

= (3, 4)

, x

2

= (−1, 2)

b) x

1

= (3, −2, −3)

, x

2

= (1, 2, 1)

, x

3

= (5, 2, −1)

c) x

1

= (2, 0, 0, 0)

, x

2

= (−3, 1, 0, 0)

, x

3

= (0, 4, 3, 0)

, x

4

= (4, 2, 1, −7)

Zadanie 12.8. Wykaza¢, »e wektory:

a) x

1

= (0, 2, 1)

, x

2

= (2, 1, 0)

, x

3

= (2, 4,

3
2

)

b) x

1

= (−6, 1, 2)

, x

2

= (3, 2, −1)

, x

3

= (−9, −5, 3)

nie tworz¡ bazy w przestrzeni R

3

.

Zadanie 12.9. Udowodni¢, »e wektory:

a) x

1

= (1, 1, 0)

, x

2

= (1, −1, 0)

, x

3

= (0, 0, 1)

b) x

1

= (1, 1, 1)

, x

2

= (1, 1, 0)

, x

3

= (1, 0, 0)

tworz¡ baz¦ w przestrzeni R

3

.

Zadanie 12.10. Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora x = (1, 0, 0) w bazie utworzonej z wektorów:

a) b

1

= (1, 1, 1)

, b

2

= (0, 1, 1)

, b

3

= (0, 0, 1)

b) b

1

= (1, 1, 0)

, b

2

= (1, −1, 0)

, b

3

= (0, 0, 1)

20

12 Przestrze« wektorowa

Zadanie 12.11. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektora:

a) x = (4, 2, 0)
b) y = (0, −1, 2)

w bazie utworzonej z wektorów: b

1

= (1, 0, 0)

, b

2

= (2, 1, 0)

, b

3

= (3, 2, 1)

.

Zadanie 12.12. Obliczy¢ iloczyny skalarne podanych par wektorów:

a) u = (3, 1), v = (2, 1)
b) u = (−1, 5, 2), v = (3, 0, 7)
c) u = (1, 0, 3, 4), v = (8, 5, 0, 1)
d) u = e

1

− e

2

+ e

3

, v = 3e

1

− 2e

3

, gdzie e

1

= (1, 0, 0)

, e

2

= (0, 1, 0)

, e

3

= (0, 0, 1)

Zadanie 12.13. Obliczy¢ dªugo±ci nast¦puj¡cych wektorów:

a) u = (2, 4, 3)
b) v = (1, −

√

3,

√

5)

c) w = (8, 2, 0, 1)
d)

−→

P Q

, gdzie P = (1, 2, 3), Q = (4, 6, 15)

Zadanie 12.14. Czy podane wektory s¡ ortogonalne:

a) x = (1, 1, 0), y = (1, −1, 0)
b) x = (2, −1, 0), y = (1, 0, 1)
c) x = (1, 2, 3, 4), y = (−4, 1, −2, 1)
d) x = (1, 0, −1, 1), y = (3, 1, 3, 0)

Zadanie 12.15. Dobra¢ parametr m tak, aby wektory x = (m, m, 1, 0) i y = (m, 3, 2, 25) byªy

ortogonalne.

21

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 13. Macierze, dziaªania na macierzach. Wyznaczniki

Zadanie 13.1. Wyznaczy¢ macierze A + B, 2A, 2A − B i A − αB, gdzie α ∈ R, za±:

a) A =

"

3

1

0 −2

#

B =

"

−2 4

3 5

#

b) A =






0

7 1

1

0 4

−2

1
2

3






B =






−2 1 3

0 7 4

1 3 2






c) A =

"

1 −3

0

3

4 −2

#

B =

"

2 2

√

2

1 5 −

√

3

#

d) A =

"

α 1 − α

−3

4

#

B =

"

−α 7 + 2α

0

3α

#

Zadanie 13.2. Obliczy¢ (je»eli istniej¡) nast¦puj¡ce iloczyny: A · B, A · B

T

, B · A, B · A

T

, gdzie:

a) A =

"

1 −3

0

3

4 −2

#

B =






−2 1 3

0 7 4

1 3 2






b) A =

"

3

1

0 −2

#

B =

"

−2 4

3 5

#

Zadanie 13.3. Rozwi¡za¢ równanie (ukªad równa«) macierzowe:

a) 2

"

1 −4 −2

3

7

0

#

+ X =

"

3

−5 2

1 −11 3

#

b)



























X + Y =

"

7

0

1 −2

#

2X + 3Y =

"

1

4

5 −1

#

Zadanie 13.4. Obliczy¢ nast¦puj¡ce wyznaczniki:

a)







7

0

1 −1







b)









1 3 −2

2 4

5

−1 0 −2









c)












1

0 1

7

0 −3 2

2

0

0 4 −4

0

0 0

5












Zadanie 13.5. Obliczy¢ wyznaczniki sprowadzaj¡c do postaci trójk¡tnej:

a)












−1 −2 4 1

−3

1 3 1

0

2 1 4

1 −1 2 0












b)












0

1

3 −2

1

2 −1

4

−1 −3 −5

0

1

3 −2

1












Zadanie 13.6. Obliczy¢ poni»sze wyznaczniki korzystaj¡c z rozwini¦cia Laplace'a (a, b, c, d ∈ R):

a)












1 −2

0

0

0

1

3

5

2

4 −1 −1

−2

2

0

1












b)














2 −1

3

1

3

0

1

0 −1

0

1

3

0

2 −1

3 −1 −1 −2 −1

0

3

1

2

1














c)












a 3 0

1

0

b 2 −1

1 0

c

3

−5 d 0

1












22

13 Macierze, dziaªania na macierzach. Wyznaczniki

Zadanie 13.7. Rozwi¡za¢ równania:

a)









2 x + 2 −1

1

1

−2

5

−3

x









= 0

b)












1 + x

1

1

1

1

1 − x

1

1

1

1

1 + x

1

1

1

1

1 − x












= 0

Zadanie 13.8. Przedsi¦biorstwo wytwarza trzy wyroby w ilo±ciach odpowiednio P

1

= 100000

jedno-

stek, P

2

= 300000

jednostek, P

3

= 200000

jednostek. Do produkcji zu»ywane s¡ materiaªy 1, 2, 3, a

macierz¡ norm ich zu»ycia jest macierz

M =






0, 3 0, 1 0, 0

0, 2 0, 3 0, 2

0, 1 0, 0 0, 1




 .

Obliczy¢ wektor zu»ycia poszczególnych materiaªów w przedsi¦biorstwie.
Zadanie 13.9. Wektorem planowanej produkcji jest P = (100000, 300000, 200000). Przy produkcji

zatrudnieni s¡ robotnicy zaliczani do kategorii 1, 2, 3, 4, 5, 6. Macierz¡ norm pracochªonno±ci jest

macierz

N =














5

1

0

6

0 10

10

4

3

0

1

5

10 10

0

0

5 20














.

Obliczy¢ wektor zatrudnienia Z poszczególnych kategorii robotników (w roboczogodzinach).
Zadanie 13.10. W przedsi¦biorstwie przemysªowym wytwarza si¦ z pi¦ciu surowców S

1

, S

2

, S

3

, S

4

i S

5

dwa póªfabrykaty H

1

i H

2

. Póªfabrykaty w nast¦pnym stadium procesu produkcyjnego s¡ przerabiane

na wyroby gotowe G

1

, G

2

, G

3

i G

4

. Macierz¡ norm zu»ycia surowców do produkcji póªfabrykatów jest

macierz S, a macierz¡ norm zu»ycia póªfabrykatów do produkcji poszczególnych wyrobów gotowych

jest macierz H, gdzie:

S =











4 6

2 4

0 6

2 0

10 4











H =

"

8 4 6 1

2 6 4 5

#

,

Okre±li¢ planowane zu»ycia surowców, je»eli planowana produkcja towarowa przedsi¦biorstwa obejmuje

wyroby gotowe i póªfabrykaty, a planowane ich wielko±ci s¡ dane w postaci nast¦puj¡cych wektorów

wielko±ci produkcji:

G =









100

400

500

300









P =

"

200

100

#

,

23

13 Macierze, dziaªania na macierzach. Wyznaczniki

gdzie G jest wektorem planowanej wielko±ci produkcji wyrobów gotowych, a P jest wektorem póªfa-

brykatów przeznaczonych na sprzeda».

24

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 14. Macierz odwrotna. Rz¡d macierzy

Zadanie 14.1. Wyznaczy¢ (o ile istnieje) macierz odwrotn¡ do macierzy:

a)

"

1 3

2 5

#

(z denicji)

b)






1 −1 0

2

3 1

1

1 1






c)






1 2 3

0 1 5

1 2 3






d)









2 0 0 4

0 0 0 1

0 2 0 0

−1 0 1 0









Zadanie 14.2. Rozwi¡za¢ równania macierzowe (X jest macierz¡ o 2 wierszach i 2 kolumnach, Y o
3

wierszach i 2 kolumnach):

a) X ·

"

−1

1

3 −4

#

=

"

−2 −1

3

4

#

b) 3 · X +

"

1 3

−2 1

#

=

"

5 6

7 8

#

· X

c)






1

1 −1

4

5 −4

−2 −3

3






· Y =






1

2

0 −1

2

1






Zadanie 14.3. Obliczy¢ rz¦dy macierzy za pomoc¡ wyznaczników:

a)






2 6 0

1 3 0

−1 3 1






b)

"

1 3 2 5

2 1 0 2

#

c)






3 −2

4 1

4

2 −4 0

1

1 −2 0






Zadanie 14.4. Wyznaczy¢ rz¦dy macierzy metod¡ przeksztaªce« elementarnych:

a)






1 2

5

2 4 10

3 6 15






b)






1 −1

0 2 1

3

1

1 3 2

−1 −3 −1 1 0






c)














2 1 1 1

1 3 1 1

1 1 4 1

1 1 1 5

1 2 3 4

1 1 1 1














d)









1

3

5 −1

2 −1 −3

4

5

1 −1

7

7

7

9

1









25

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 15. Ukªady równa« liniowych: Cramera, niejednorodne i

jednorodne

Zadanie 15.1. Rozwi¡za¢ metod¡ wyznaczników nast¦puj¡ce ukªady równa« liniowych:

a)











x

1

− 3x

2

+ 5x

3

= −4

2x

1

+ 5x

2

− x

3

=

3

− x

1

− x

2

+ 3x

3

= −4

b)











− x

1

+ 2x

2

− x

3

=

2

3x

1

− x

2

+ x

3

=

1
2

2x

1

+ 8x

2

− 3x

3

= 12

c)











5x

1

− 3x

2

+ 7x

3

= 0

− 4x

1

+ x

2

− 5x

3

= 0

x

1

− x

2

+ x

3

= 0

d)























x

2

− 3x

3

+ 4x

4

= 0

x

1

− 2x

3

= 0

3x

1

+ 2x

2

− 5x

4

= 2

4x

1

− 5x

3

= 0

Zadanie 15.2. Rozwi¡za¢ nast¦puj¡ce ukªady równa« liniowych:

a)






1

1 −1

1 −3

2

−1

2 −1











x

1

x

2

x

3






=






−2

0

1






b)

"

2

5 −7

3 −8

5

#






x

1

x

2

x

3






=

"

1

2

#

c)

"

1 −2

5

1

2 −3

#






x

1

x

2

x

3






=

"

0

0

#

d)









1

4
3

−3

3

2 −5

3

4 −9

5

2 −8














x

1

x

2

x

3






=









3

0

9

0









Zadanie 15.3. Znale¹¢ rozwi¡zanie ogólne i dwa ró»ne rozwi¡zania szczególne ukªadu równa« liniowych:

a)











2x

1

− x

2

+ x

3

− x

4

= 0

− x

1

+ 3x

2

− x

3

+ 2x

4

= 0

x

1

+ 2x

2

+ x

4

= 0

b)























− x

1

+ 2x

3

+ x

4

= 0

2x

1

− x

2

+ 2x

3

− x

4

= 0

x

1

+ 2x

2

− x

3

= 0

2x

1

+ x

2

+ 3x

3

= 0

c)











x

1

+ x

2

+ 2x

3

+ 3x

4

= 0

2x

1

− 3x

2

+ 4x

3

+ x

4

= 0

4x

1

− x

2

+ 8x

3

+ 7x

4

= 0

d)











x

1

− x

2

+ 2x

3

= −3

x

2

+ x

3

= −2

x

1

− 2x

2

+ x

3

= −1

26

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 16. Ukªady równa« liniowych: metoda operacji elemen-

tarnych, rozwi¡zania bazowe

Zadanie 16.1. Rozwi¡za¢ metod¡ operacji elementarnych nast¦puj¡ce ukªady równa« liniowych:

a)











x

1

− 2x

2

= −2

2x

2

+ x

3

=

1

x

1

− x

3

=

1

b)











x

1

+ 3x

2

− x

3

= 8

x

1

+ x

2

− 3x

3

= 2

2x

2

+ x

3

= 5

c)











x

1

− 2x

2

= 2

− 2x

1

+ 4x

2

+ x

3

= 3

− x

1

+ 2x

2

+ x

3

= 1

d)











x

1

+ x

2

+ x

3

=

0

2x

1

− x

2

− x

3

= −3

x

1

− x

2

+ x

3

=

0

Zadanie 16.2. Znale¹¢ dowolne rozwi¡zanie bazowe ukªadu równa« liniowych:

a)

(

x

1

− x

2

+ x

3

− x

4

= −1

2x

1

+ x

2

− 3x

3

+ x

4

=

5

b)











x

1

− x

2

+ x

3

+ 2x

4

=

0

− x

1

+ 2x

2

+ x

3

=

1

− 2x

2

+ 3x

4

= −2

c)











− 2x

1

+ x

3

+ x

4

=

5

x

1

+ x

2

− x

3

= −2

3x

1

+ 2x

3

+ x

5

= −2

d)











x

1

− 2x

2

=

1

2x

2

+ x

3

= −1

x

1

+ x

3

=

0

Zadanie 16.3. Znale¹¢ wszystkie rozwi¡zania bazowe nast¦puj¡cych ukªadów równa« liniowych:

a)

(

x

1

− 2x

2

+ 3x

4

= 2

−2x

1

+ 4x

2

+ x

3

+ x

4

= 3

b)











x

1

+ x

2

+ x

3

=

1

−2x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

= −1

−x

1

+ 3x

2

+ 4x

3

=

0

c)























− 5x

2

+ x

5

= 3

+ 6x

2

+ x

4

= 3

x

1

− 7x

2

= 2

8x

2

+ x

3

= 1

d)











x

1

+ x

2

+ x

3

= 3

− 2x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

= 3

− x

1

+ 3x

2

+ 4x

3

= 6

27

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 17. Ukªady nierówno±ci liniowych

Zadanie 17.1. Zaznaczy¢ w ukªadzie wspóªrz¦dnych zbiory rozwi¡za« ukªadów:

a)































x

1

+ x

2

≥ 1

3x

1

+ 2x

2

≤ 6

x

1

− 2x

2

≤ 4

3x

1

+ 2x

2

≥ 6

x

1

≤ 6

b)









1 −2

−1 −1

1

0

0 −1









"

x

1

x

2

#

≤









4

2

6

0









c)































x

1

− 2x

2

≤ 4

x

1

+ x

2

≥ 5

x

1

+ x

2

≤ 5

x

1

≤ 6

x

2

≤ 3

d)









1 −2

−1 −1

1

0

0

1









"

x

1

x

2

#

≤









4

2

6

3









e)























x

1

+ x

2

≥ 2

x

1

− 2x

2

≤ 2

x

1

≥ 0

x

2

≥ 0

f)











x

1

+ x

2

≤ 4

x

1

− x

2

≥ 3

x

2

≥ 1

Zadanie 17.2. Rozwi¡za¢ gracznie i algebraicznie nast¦puj¡ce ukªady nierówno±ci liniowych:

a)























x

1

+ x

2

≤ 10

x

1

− x

2

≤

6

x

1

≥

0

x

2

≥

0

b)











2

4

3

3

5

1

−1

0

0 −1











"

x

1

x

2

#

≤











180

180

200

0

0











Zadanie 17.3. Wyznaczy¢ ukªad nierówno±ci, którego rozwi¡zaniem jest zbiór:

a)

("

x

1

x

2

#

∈ R

2

:

"

x

1

x

2

#

= α

1

"

0

0

#

+ α

2

"

3

0

#

+ α

3

"

0

3

#

∧ α

1

+ α

2

+ α

3

= 1 ∧ α

i

≥ 0

dla i = 1, 2, 3

)

b)

("

x

1

x

2

#

∈ R

2

:

"

x

1

x

2

#

= α

1

"

0

0

#

+ α

2

"

4

0

#

+ α

3

"

6

6

#

+ α

4

"

0

2

#

∧ α

1

+ α

2

+ α

3

+

+ α

4

= 1 ∧ α

i

≥ 0

dla i = 1, 2, 3, 4

)

Zadanie 17.4. Poda¢ analityczny opis zbioru rozwi¡za« ukªadu nierówno±ci:











































5x

1

+ 3x

2

≤ 150

6x

1

+ 4x

2

+ 3x

3

≤ 120

5x

2

+ 4x

3

≤ 200

x

1

≥

0

x

2

≥

0

x

3

≥

0

28

17 Ukªady nierówno±ci liniowych

Zadanie 17.5. Przedsi¦biorstwo przemysªu metalowego produkuje dwa wyroby I i II, do których pro-

dukcji zu»ywa stal, drewno, tworzywo sztuczne, energi¦ elektryczn¡ oraz prac¦ ludzk¡. Normy zu»ycia

tych czynników produkcji oraz ich zasoby znajduj¡ce si¦ w posiadaniu przedsi¦biorstwa przedstawia

poni»sza tabelka

Czynnik

Jednostka

Zasoby

Normy zu»ycia czynników

produkcji

miary

czynnika

I

II

Stal

kg

8000

20

40

Drewno

kg

6400

40

16

Tworzywo sztuczne kg

6000

30

20

Praca ludzka

roboczo-godz.

1400

10

2

Energia elektryczna kWh

12500

50

25

Wyznaczy¢ zbiór dopuszczalnych planów produkcji przedsi¦biorstwa.

Zadanie 17.6. Zakªad wytwarza dwa produkty P i W zu»ywaj¡c trzy surowce S

1

, S

2

, S

3

. Normy

zu»ycia surowców na jednostk¦ produktu oraz zasoby surowców podane s¡ w nast¦puj¡cej tabelce

Zu»ycie surowca

Surowiec na jednostk¦ produktu Zasoby

P

W

surowca

S

1

2

1

30

S

2

1

1

25

S

3

5

1

60

Wyznaczy¢ zbiór dopuszczalnych planów produkcji zakªadu oraz obliczy¢ ilo±ci niewykorzystanych

surowców przy takich planach produkcji, które s¡ wierzchoªkami zbioru wszystkich dopuszczalnych

planów produkcji.

29

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 18. Funkcje wielu zmiennych

Zadanie 18.1. Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji z = f(x, y) i przedstawi¢ j¡ gracznie:

a) f (x, y) =

1

px

2

+ y

2

b) f (x, y) =

1

x − y

c) f (x, y) =

√

xy

d) f (x, y) =

√

x

2

− 1

e) f (x, y) = px

2

− y

2

f) f (x, y) =

√

x +

√

y

g) f (x, y) = ln (4 + 4x − y

2

)

h) f (x, y) = px

2

+ y

2

− 1 + ln (4 − x

2

− y

2

)

i) f (x, y) = arc sin

x
y

Zadanie 18.2. Wyznaczy¢ dziedzin¦ i warstwice funkcji:

a) f (x, y) = x

2

+ y

2

b) f (x, y) = y − x

2

c) f (x, y) =

y

x

2

+ y

2

d) f (x, y) = xy

e) f (x, y) = p9 − x

2

− y

2

f) f (x, y) = y

2

g) f (x, y) = 1 −

1

2

x −

1

3

y

Zadanie 18.3. Wykaza¢, »e nie istniej¡ nast¦puj¡ce granice:

a)

lim

(x, y)→(0, 0)

xy

x

2

+ y

2

b)

lim

(x, y)→(0, 0)

x

2

x

2

+ y

2

c)

lim

(x, y)→(0, 0)

2x

2

+ y

2

x

2

− y

2

d)

lim

(x, y)→(0, 1)

x

6

y

2

− 1

Zadanie 18.4. Pokaza¢, »e:

a) lim

x→0
y→1

1

x + y

2

= 1

b) lim

x→0
y→0

x

4

− y

4

x

2

+ y

2

= 0

c) lim

x→0
y→2

q

x

2

+ (y − 2)

2

+ 1 − 1

x

2

+ (y − 2)

2

=

1

2

d) lim

x→0
y→0

x

3

x

2

+ y

2

= 0

e) lim

x→0
y→0

e

x

2

+y

2

− 1

x

2

+ y

2

= 1

Zadanie 18.5. Stwierdzi¢, czy podane funkcje mo»na tak okre±li¢ w punkcie (0, 0), aby byªy ci¡gªe

w tym punkcie:

a) f (x, y) =

p9 + x

2

+ y

2

− 3

x

2

+ y

2

b) f (x, y) = x sin

1

x

2

+ y

2

c) f (x, y) = (1 + x

2

+ y

2

)

1

x2+y2

d) f (x, y) =

e

x+y

− 1

x + y

e) f (x, y) = sin

1

x

2

+ y

2

f) f (x, y) =

x

2

x

2

+ y

2

g) f (x, y) =

x

4

x

2

+ y

2

30

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 19. Pochodne cz¡stkowe. Pochodna kierunkowa i gradient

Zadanie 19.1. Wyznaczy¢ pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du funkcji:

a) f(x, y) = x

3

y + 2xy

b) f(x, y) = e

x

(cos x + x sin y)

c) f(x, y) =

y

x

2

+ y

2

d) f(x, y) =

x − y

x + y

e) z = x

y

f) z = e

xy

2

g) z = ln



x +

px

2

− y

2



h) z = arc tg

y

x

i) f(x, y, z) = x

2

y

2

z

4

+ 3xy

j) f(x, y, z) = x

5

y

10

− x

3

sin z + y

2

e

x

k) f(x, y, z) = ln (x + y + z)

l) f(x, y, z) = sin (x

2

+ y

2

+ z

2

)

m) u = e

x

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

n) u = e

x sin yz

Zadanie 19.2. Znale¹¢ elastyczno±ci cz¡stkowe wzgl¦dem ka»dej zmiennej funkcji:

a) f(x, y) = x

3

y + 2xy

b) f(x, y) = px

2

+ y

4

+ 2x sin y

c) f(x, y) = e

xy

2

Zadanie 19.3. Funkcja produkcji pewnego przedsi¦biorstwa jest postaci

z = 2, 08x

0,54

y

0,46

,

gdzie z jest warto±ci¡ produkcji przedsi¦biorstwa w mln zª, x  wielko±ci¡ funduszu pªac zatrudnionych

przy produkcji w mln zª, a y  warto±ci¡ produkcyjnego maj¡tku trwaªego w mln zª.

a) Obliczy¢ elastyczno±¢ cz¡stkow¡ funkcji produkcji wzgl¦dem wielko±ci funduszu pªac oraz wzgl¦-

dem wielko±ci produkcyjnego maj¡tku trwaªego.

b) Jak zmieni si¦ warto±¢ produkcji, je»eli zwi¦kszymy tylko zatrudnienie, które spowoduje wzrost

funduszu pªac o 4%?

Zadanie 19.4. Obliczy¢ wszystkie pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du funkcji:

a) f(x, y) = x

3

+ xy

2

− 5xy

3

+ y

5

b) f(x, y) = xy +

x

2

y

3

c) f(x, y) = x

y

d) f(x, y) = e

x
y

e) z = ln

x

y

f) z = arc tg xy

g) f(x, y, z) = e

xyz

h) u = e

3x+4y

cos 5z

Zadanie 19.5. Dana jest funkcja z = xe

y

+ ye

x

. Wykaza¢, »e

∂

3

z

∂x

3

+

∂

3

z

∂y

3

= x

∂

3

z

∂x∂y

2

+ y

∂

3

z

∂x

2

∂y

.

31

19 Pochodne cz¡stkowe. Pochodna kierunkowa i gradient

Zadanie 19.6. Obliczy¢ pochodn¡ funkcji z = x

2

y + y

2

w punkcie P

0

(1, 1)

w kierunku póªosi P

0

S

o

k¡tach kierunkowych α =

1
3

π

, β =

1
6

π

.

Zadanie 19.7. Znale¹¢ pochodn¡ funkcji u = xy

2

z

3

w punkcie P

0

(3, 2, 1)

w kierunku od danego

punktu do punktu P

1

(5, 4, 2)

.

Zadanie 19.8. Znale¹¢ gradienty podanych funkcji we wskazanych punktach:

a) f(x, y) = x

2

y

3

− x sin y,

P

0

(−2, 0)

b) f(x, y) = x

√

y +

y

√

x

,

P

0

1
4

, 9

c) z = px

2

− y

2

,

P

0

(−5, 3)

d) z = ln(x

2

+ y

2

),

P

0

(3, −4)

e) f(x, y, z) = x

3

+ 3xyz + yz

3

,

P

0

(5, −2, 1)

f) f(x, y, z) = (3x

2

y + z

4

)

10

,

P

0

(−1, 0, 1)

g) u = x

5

y

10

− x

3

sin z + y

2

e

x

,

P

0

(−1, 1, 0)

Zadanie 19.9. Obliczy¢ pochodne kierunkowe funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:

a) z = x

2

+ y

2

,

P

0

(−3, 4)

, u = 

12
13

,

5

13



b) z = sin x cos y,

P

0

(0, π)

, u =

h

−

1
2

,

√

3

2

i

c) f(x, y) = arc tg xy,

P

0

(1, 1)

, u = [1, 1]

d) f(x, y, z) = xy

2

+ z

2

− xyz

,

P

0

(1, 1, 2)

, u = [1, 2, 1]

e) f(x, y, z) =

z − x

z + y

,

P

0

(1, 0, −3)

, u = −

6
7

,

3
7

, −

2
7



f) u = ln (x

2

+ y

2

+ z

2

)

,

P

0

(1, 2, 1)

, u = [2, 4, 4]

g) u = e

xyz

,

P

0

(−1, 1, −1)

, u =

h

1
2

, −

3
4

,

√

3

4

i

Zadanie 19.10. Sprawdzi¢, czy dla funkcji f(x, y) = ln

√

x +

√

y

zachodzi to»samo±¢

[x, y] ◦ grad f (x, y) =

1
2

.

Zadanie 19.11. Wyznaczy¢ wektor b =

1
2

det Hf (−1, 1) grad f (1, −1)

dla funkcji f(x, y) =

y

x

2

.

32

20 Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych

Zestaw 20. Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych

Zadanie 20.1. Zbada¢, czy podane funkcje maj¡ ekstrema:

a) f(x, y) = 4x

2

y + 8x

2

−

1
3

y

3

b) f(x, y) = 3x

3

+ 3x

2

y − y

3

− 15x

c) f(x, y) = x

3

+ y

3

− 3xy

d) f(x, y) = x

4

+ y

4

− 2x

2

+ 4xy − 2y

2

e) f(x, y) = 2 − p3x

2

+ y

2

f) f(x, y) = (x

2

+ y)

√

e

y

g) f(x, y) = (2x + y

2

)e

x

h) f(x, y) = e

x−y

(x

2

− 2y

2

)

i) f(x, y) = sin x + cos y + cos(x − y), gdzie 0 ≤ x, y ≤ π j) u = 2x

2

+ y

2

+ 2z − xy − xz

k) u = 3 ln x + 2 ln y + 5 ln z + ln( 22 − x − y − z)

l) u = x

2

− y

2

− z

2

+ yz + x + y

Zadanie 20.2. Znale¹¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji:

a) z = x

2

+ y

2

− xy + x + y

w obszarze x, y ≤ 0, x + y ≥ −3

b) z = x

2

− 2y

2

w obszarze x

2

+ y

2

≤ 36

c) z = sin x + sin y + sin(x + y) w prostok¡cie 0 ≤ x ≤

π

2

, 0 ≤ y ≤

π

2

d) z = xy − x(x + 1) − y(y + 1) w trójk¡cie ograniczonym przez proste x = 0, y = 0, x + y = −4
e) z = x

3

+ y

3

− 3xy

w obszarze 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2

f) z = e

−x

2

−y

2

(2x

2

+ 3y

2

)

w kole x

2

+ y

2

≤ 4

g) z = x

2

+ 3y

2

− x + 18y − 4

w obszarze 0 ≤ x ≤ y ≤ 4

Zadanie 20.3. Firma mo»e wyprodukowa¢ dziennie x hektolitrów substancji, któr¡ sprzedaje po
60

zª oraz y hektolitrów substancji, która sprzedaje po 100 zª za hektolitr. Koszty produkcji wynosz¡

(40x + 60y + x

2

+ 2y

2

)

zª. Przy jakim wyborze x oraz y zysk b¦dzie najwi¦kszy i ile wyniesie? Rozwa»y¢

dwa warianty:

a) gdy daje si¦ wyprodukowa¢ co najwy»ej 8 hektolitrów pierwszej substancji oraz 15 hektolitrów

drugiej,

b) gdy w sumie daje si¦ wyprodukowa¢ 17 hektolitrów obu substancji.

Zadanie 20.4. Przedsi¦biorstwo mo»e wytwarza¢ tygodniowo towar X w ilo±ci x ≤ 40 oraz towar Y

w ilo±ci y ≤ 35 lecz w sumie co najwy»ej 70 jednostek. Przedsi¦biorstwo sprzedaje towar X po 570 zª za

jednostk¦, za± towar Y w cenie 790 zª. Koszty produkcji wynosz¡ (370x + 450y + 4x

2

− 2xy + 10y

2

+ 600)

zª. Jakie ilo±ci obu towarów maksymalizuj¡ zysk i ile on wynosi przy zaªo»eniu, »e przedsi¦biorstwo

podj¦ªo wcze±niej zobowi¡zanie dostarczania:

a) po co najmniej 20 jednostek ka»dego z towarów,

b) w sumie co najmniej 55 jednostek obu towarów?

33

Wydziaª Zarz¡dzania  Matematyka  ‚wiczenia

Zestaw 21. Ekstrema warunkowe. Programowanie liniowe

Zadanie 21.1. Wyznaczy¢ ekstrema warunkowe funkcji:

a) f(x

1

, x

2

) = x

1

x

2

przy warunku x

1

+ x

2

= 1

b) f(x

1

, x

2

) = −x

2
1

+ 4x

2
2

przy warunku x

2
1

+ x

2
2

= 1

c) f(x

1

, x

2

) = −x

2
1

+ 4x

2
2

przy warunku x

2

= x

2
1

+ 1

d) f(x

1

, x

2

) = cos

2

x

1

+ cos

2

x

2

przy warunku x

2

− x

1

=

π

4

, gdzie −

π

8

≤ x

1

, x

2

≤

π

8

e) f(x

1

, x

2

, x

3

) = x

1

+ x

2

+ x

3

przy warunku

1

x

1

+

1

x

2

+

1

x

3

= 1

f) f(x

1

, x

2

, x

3

) = x

1

x

2
2

x

3
3

przy warunku x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

= a

, x

1

, x

2

, x

3

, a > 0

g) f(x

1

, x

2

, x

3

) = x

1

− 2x

2

+ 2x

3

przy warunku x

2
1

+ x

2
2

+ x

2
3

= 1

Zadanie 21.2. Firma wytwarza i sprzedaje produkt X po 80 zª oraz produkt Y po 25 zª. Planu-

je wyda¢ na produkcj¦ 12 500 zª dziennie. Przy wytwarzaniu x jednostek produktu X i y jednostek

produktu Y koszt produkcji wynosi (128x + 40y − 0, 4x

2

+ 0, 2xy − 0, 035y

2

+ 660)

zª. Ile nale»y wy-

twarza¢ ka»dego z produktów aby zmaksymalizowa¢ zysk?

Zadanie 21.3. Znale¹¢ metod¡ graczn¡ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funkcji z = 2x

1

+ 3x

2

przy

ograniczeniach

3x

1

+ x

2

≤ 18

x

1

+ 2x

2

≤ 20

3x

1

+ 2x

2

≤ 24

x

1

≥ 0

x

2

≥ 0

Zadanie 21.4. Wyznaczy¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funkcji f (x

1

, x

2

) = 3x

1

− x

2

na zbiorze

S =











"

x

1

x

2

#

∈ R

2

:






2

1

−2

1

2 −5






"

x

1

x

2

#

≤






7

3

1






∧ x

1

, x

2

≥ 0











Zadanie 21.5. Znale¹¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji z = x

1

+ 2x

2

przy ograniczeniach

2x

1

+ x

2

≥ 2

x

1

+ 3x

2

≥ 3

x

1

− x

2

≤ 6

x

1

+ x

2

≤ 5

x

1

≥ 0

x

2

≥ 0

Zadanie 21.6. Fabryka mebli produkuje stoªy i szafy biblioteczne u»ywaj¡c dwóch ró»nych gatunków

drewna. Fabryka posiada zapasy drewna odpowiednio w ilo±ci: 730 m

3

pierwszego gatunku i 560 m

3

drugiego gatunku. Na wytworzenie jednego stoªu zu»ywa si¦ 0, 18 m

3

drewna pierwszego gatunku i 0, 08

m

3

drewna drugiego gatunku, na szaf¦ za± odpowiednio: 0, 09 m

3

oraz 0, 28 m

3

drewna okre±lonych

gatunków.

34

21 Ekstrema warunkowe. Programowanie liniowe

a) Wyznaczy¢ program produkcji, przy którym ª¡czna ilo±¢ wytworzonych stoªów i szaf b¦dzie

najwi¦ksza.

b) Przyjmijmy, »e cena stoªu wynosi 70 zª, szafy 240 zª. Okre±li¢ program produkcji, przy którym

utarg ze sprzeda»y tych wyrobów b¦dzie najwi¦kszy.

Zadanie 21.7. Do wyrobu ubra« i pªaszczy chªopi¦cych zakªad krawiecki zu»ywa trzy surowce pod-

stawowe: materiaª, podszewk¦ i watolin¦. Zu»ycie ka»dego z surowców na 1 sztuk¦ odpowiedniego

wyrobu, aktualny stan zapasów tych surowców oraz uzyskiwane ceny hurtowe za 1 sztuk¦ wyrobu
podaje nast¦puj¡ca tabelka:

Zu»ycie surowca

Surowiec

na jednostk¦ wyrobu Zapasy surowca
Ubranie

Pªaszcz

Materiaª

1

2

180

Podszewka

2

2

240

Watolina

0

2

140

Cena jednostki wyrobu w zª

80

130

Wyznacz takie rozmiary produkcji, aby zakªad osi¡gn¡ª najwi¦kszy zysk

Zadanie 21.8. Zgodnie ze wskazaniami lekarza dieta zalecona pacjentowi skªada si¦ m.in. z w¡troby

i soku z marchwi. Dzienne spo»ycie tych produktów powinno dawa¢ nie mniej ni» 240 kcal i nie wi¦cej

ni» 20 g biaªka. Wiadomo, »e 100 g w¡troby dostarcza organizmowi 120 kcal i 20 g biaªka, natomiast
100

g marchwi daje 20 kcal i zawiera 1 g biaªka. Ponadto, cena 1 kg w¡troby wynosi 6 zª, a cena 1 kg

marchwi 2 zª. Jakie ilo±ci produktów musi dziennie kupi¢ pacjent tak, aby wypeªni¢ zalecenia lekarza

i jednocze±nie wyda¢ na te diet¦ najmniej pieni¦dzy?

Zadanie 21.9. Ziemniaki i zbo»a sªu»¡ce jako pasze dla trzody chlewnej zawieraj¡ trzy skªadniki

od»ywcze: S

1

, S

2

, S

3

. Skªadnika S

1

powinno by¢ jak najwi¦cej w mieszance otrzymywanej z tych pasz,

natomiast nadmierne ilo±ci skªadników S

2

i S

3

s¡ szkodliwe. Zawarto±¢ poszczególnych skªadników

od»ywczych w ka»dej z pasz, zapotrzebowanie na ka»dy z tych skªadników oraz ceny pasz podaje

poni»sza tabelka:

Zawarto±¢ skªadnika

Zapotrzebowanie

Skªadnik od»ywczy

od»ywczego w 1kg paszy

na skªadnik

Ziemniaki

Zbo»a

od»ywczy

S

1

4

6

24

(min)

S

2

8

6

48

(max)

S

3

3

12

36

(max)

Cena 1 kg paszy w zª

4

3

Wyznacz takie ilo±ci pasz, aby koszt ich zakupu byª najmniejszy.

35