R ´

OWNANIA R ´

O ˙

ZNICZKOWE ZWYCZAJNE, SEMESTR LETNI 2012/2013

WYK LAD I ´

CWICZENIA W TYGODNIU ZACZYNAJA

¸ CYM SIE

¸ 22.04.2013

Wyk lad

1. Metoda uzmienniania parametr´

ow dla liniowych r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych zwyczajnych niejednorodnych

(doko´

nczenie).

2. Ca lki pierwsze uk lad´

ow r´

owna´

n stopnia pierwszego.

3. Uk lady r´

owna´

n liniowych - wst¸epne informacje.

Sugerowane zadania do przerobienia na ´

cwiczeniach

(niekt´

ore zadania mog¸

a by´

c opuszczone, inne za´

s dodane)

1. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′′′

− 3y

′′

+ 3y

′

− y = 4e

t

.

2. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

(4)

+ 2y

′′

+ y = 3 sin t

− 5 cos t.

3. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′′′

− 4y

′

= t + 3 cos t + e

2t

.

4. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie szczeg´

olne r´

ownania y

′′

+ 4y =

3

sin t

na przedziale na kt´

orym r´

ownanie ma sens,

np. (0, π).

5. Dane s¸

a rozwi¸

azania y

1

(t) = e

t

, y

2

(t) = te

t

, y

3

(t) = e

−t

odpowiedniego r´

ownania jednorodnego, gdzie

y

′′′

− y

′′

− y

′

+ y = g(t), przy czym g(t) jest dan¸

a funkcj¸

a. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie szczeg´

olne powy˙zszego

r´

ownania niejednorodnego (oczywi´

scie wzory b¸eda zale˙ze´

c od funkcji g(t)). W szczeg´

olno´

sci, obliczy´

c

dla funkcji g(t) = e

t

ln t, t > 0.

Zadania domowe

1. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′′

− 2y

′

− 3y = 3e

2t

.

2. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′′

− 2y

′

− 3y = −3te

−t

.

3. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′′

+ 9y = t

2

e

3t

+ 6.

4. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′′

+ 2y

′

+ 5y = 3 sin 2t.

5. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′′

+ 2y

′

= 3 + 4 sin 2t.

6. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie problemu pocz¸

atkowego y

′′

− 2y

′

+ y = te

t

+ 4, y(0) = 1, y

′

(0) = 1.

7. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′′′

− y

′′

− y

′

+ y = 2e

−t

+ 3.

8. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′′′

+ y

′′

+ y

′

+ y = e

−t

+ 4t.

9. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie zagadnienia poczatkowego y

′′′

− 3y

′′

+ 2y

′

= t + e

t

,

y(0) = 1,

y

′

(0) =

−

1
4

,

y

′′

(0) =

−

3
2

.

10. Wyznaczy´

c odpowiedni¸

a form¸

e rozwi¸

azania szczeg´

olnego r´

ownania y

(4)

− 2y

′′

+ y = e

t

+ sin t, ale nie

oblicza´

c wsp´

o lczynnik´

ow nieoznaczonych.

11. Wyznaczy´

c odpowiedni¸

a form¸

e rozwi¸

azania szczeg´

olnego r´

ownania y

(4)

+ 4y

′′

= sin 2t + te

t

+ 4, ale nie

oblicza´

c wsp´

o lczynnik´

ow nieoznaczonych.

12. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′′

+ y = tan t, 0 < t <

π

2

.

13. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′′

+ 4y

′

+ 4y = t

−2

e

−2t

, 0 < t.

14. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′′

− 2y

′

+ y =

e

t

1 + t

2

.

15. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie szczegolne r´

ownania t

2

y

′′

− 2y = 3t

2

− 1, t > 0. Rozwi¸azaniami r´ownania

jednorodnego s¸

a funkcje y

1

(t) = t

2

oraz y

2

(t) = t

−1

.

16. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie szczegolne r´

ownania ty

′′

− (1 + t)y

′

+ y = t

2

e

2t

, t > 0. Rozwi¸

azaniami r´

ownania

jednorodnego s¸

a funkcje y

1

(t) = 1 + t oraz y

2

(t) = e

t

.

17. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie szczegolne r´

ownania t

2

y

′′

− 3ty

′

+ 4y = t

2

ln t, t > 0. Rozwi¸

azaniami r´

ownania

jednorodnego s¸

a funkcje y

1

(t) = t

2

oraz y

2

(t) = t

2

ln t.

18. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie og´

olne r´

ownania y

′′′

+ y

′

= tan t, 0 < t < π/2.

19. Znale´

z´

c rozwi¸

azania zagadnienia pocz¸

atkowego y

′′′

+ y

′

=

1

cos t

, y(0) = 2, y

′

(0) = 1, y

′′

(0) =

−2.

20. Dane s¸

a t, t

2

, 1/t rozwi¸

azania r´

ownania jednorodnego odpowiadaj¸

acego r´

ownaniu

t

3

y

′′′

+ t

2

y

′′

− 2ty

′

+ 2y = 2t

4

, t > 0. Znale´

z´

c rozwi¸

azanie szczeg´

olne tego r´

ownania.