OWNANIA R ´
O ˙
ZNICZKOWE ZWYCZAJNE, SEMESTR LETNI 2012/2013
WYK LAD I ´
CWICZENIA W TYGODNIU ZACZYNAJA ÇYM SIE
¸ 22.04.2013
Wyk lad
1. Metoda uzmienniania parametrów dla liniowych równań różniczkowych zwyczajnych niejednorodnych (dokończenie).
2. Ca lki pierwsze uk ladów równań stopnia pierwszego.
3. Uk lady równań liniowych - wst¸epne informacje.
Sugerowane zadania do przerobienia na ´
cwiczeniach
(niekt´
ore zadania mog¸
a by´
c opuszczone, inne za´
s dodane)
1. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′′′ − 3 y′′ + 3 y′ − y = 4 et.
2. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y(4) + 2 y′′ + y = 3 sin t − 5 cos t.
3. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′′′ − 4 y′ = t + 3 cos t + e 2 t.
3
4. Znaleźć rozwi¸
azanie szczególne równania y′′ + 4 y =
na przedziale na którym równanie ma sens, sin t
np. (0 , π).
5. Dane s¸
a rozwi¸
azania y 1( t) = et, y 2( t) = tet, y 3( t) = e−t odpowiedniego równania jednorodnego, gdzie y′′′ − y′′ − y′ + y = g( t), przy czym g( t) jest dan¸a funkcj¸a. Znaleźć rozwi¸azanie szczególne powyższego równania niejednorodnego (oczywiście wzory b¸eda zależeć od funkcji g( t)). W szczególności, obliczyć dla funkcji g( t) = et ln t, t > 0.
Zadania domowe
1. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′′ − 2 y′ − 3 y = 3 e 2 t.
2. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′′ − 2 y′ − 3 y = − 3 te−t.
3. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′′ + 9 y = t 2 e 3 t + 6.
4. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′′ + 2 y′ + 5 y = 3 sin 2 t.
5. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′′ + 2 y′ = 3 + 4 sin 2 t.
6. Znaleźć rozwi¸
azanie problemu pocz¸
atkowego y′′ − 2 y′ + y = tet + 4, y(0) = 1, y′(0) = 1.
7. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′′′ − y′′ − y′ + y = 2 e−t + 3.
8. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′′′ + y′′ + y′ + y = e−t + 4 t.
9. Znaleźć rozwi¸
azanie zagadnienia poczatkowego y′′′ − 3 y′′ + 2 y′ = t + et, y(0) = 1, y′(0) = − 1 , 4
y′′(0) = − 3 .
2
10. Wyznaczyć odpowiedni¸
a form¸
e rozwi¸
azania szczególnego równania y(4) − 2 y′′ + y = et + sin t, ale nie obliczać wspó lczynników nieoznaczonych.
11. Wyznaczyć odpowiedni¸
a form¸
e rozwi¸
azania szczególnego równania y(4) + 4 y′′ = sin 2 t + tet + 4, ale nie obliczać wspó lczynników nieoznaczonych.
12. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′′ + y = tan t, 0 < t < π .
2
13. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′′ + 4 y′ + 4 y = t− 2 e− 2 t, 0 < t.
14. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′′ − 2 y′ + y =
.
1 + t 2
15. Znaleźć rozwi¸
azanie szczegolne równania t 2 y′′ − 2 y = 3 t 2 − 1, t > 0. Rozwi¸azaniami równania jednorodnego s¸
a funkcje y 1( t) = t 2 oraz y 2( t) = t− 1.
16. Znaleźć rozwi¸
azanie szczegolne równania ty′′ − (1 + t) y′ + y = t 2 e 2 t, t > 0. Rozwi¸azaniami równania jednorodnego s¸
a funkcje y 1( t) = 1 + t oraz y 2( t) = et.
17. Znaleźć rozwi¸
azanie szczegolne równania t 2 y′′ − 3 ty′ + 4 y = t 2 ln t, t > 0. Rozwi¸azaniami równania jednorodnego s¸
a funkcje y 1( t) = t 2 oraz y 2( t) = t 2 ln t.
18. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′′′ + y′ = tan t, 0 < t < π/ 2.
1
19. Znaleźć rozwi¸
azania zagadnienia pocz¸
atkowego y′′′ + y′ =
, y(0) = 2, y′(0) = 1, y′′(0) = − 2.
cos t
20. Dane s¸
a t, t 2, 1 /t rozwi¸
azania równania jednorodnego odpowiadaj¸
acego równaniu
t 3 y′′′ + t 2 y′′ − 2 ty′ + 2 y = 2 t 4, t > 0. Znaleźć rozwi¸azanie szczególne tego równania.