OWNANIA R ´
O ˙
ZNICZKOWE ZWYCZAJNE, SEMESTR LETNI 2012/2013
WYK LAD I ´
CWICZENIA W TYGODNIU ZACZYNAJA
ÇYM SIE
¸ 04.03.2013
Wyk lad
1. Dokończenie rozwi¸
azania równania liniowego o zmiennych wspó lczynnikach metod¸
a czynnika ca lkuj¸
acego.
2. Przyk lady różnych równań (historyczny rys), np. równanie problemu brachistochrony, równanie Bernoul-liego, równanie o zmiennych rozdzielonych, równanie jednorodne, równanie Jacobiego, równanie zupe lne.
3. Równanie o zmiennych rozdzielonych - ogólna procedura i konkretny przyk lad (rozwi¸
azanie w postaci
uwik lanej).
4. Równania autonomiczne i dynamika populacji.
5. Równania zupe lne i ich rozwi¸
azywanie metod¸
a czynnika ca lkuj¸
acego.
Sugerowane zadania do przerobienia na ´
cwiczeniach
(niekt´
ore zadania mog¸
a by´
c opuszczone, inne za´
s dodane)
1. Znaleźć rozwi¸
azanie ogólne równania y′ − 2 y = 4 − t.
{ ty′ + 2 y = 4 t 2
2. Rozwi¸
azać problem pocz¸
atkowy
y(1)
=
2
{ 2 y′ + ty = 2
3. Rozwi¸
azać problem pocz¸
atkowy
y(0)
=
1
dy
3 x 2 + 4 x + 2
4. Rozwi¸
azać problem pocz¸
atkowy
=
,
y(0) = − 1, i wyznaczyć przedzia l na którym dx
2( y − 1)
rozwi¸
azanie istnieje.
dy
4 x − x 3
5. Rozwi¸
azać równanie
=
i podać rozwi¸
azanie które przechodzi przez punkt (0 , 1). Znaleźć dx
4 + y 3
przedzia l na którym to konkretne rozwi¸
azanie istnieje.
( y − 3) cos x
6. Znaleźć rozwi¸
azanie, które jest funkcj¸
a sta l¸
a, nast¸epuj¸
acego równania y′ =
.
1 + 2 y 2
dy
y − 4 x
7. Rozwi¸
azać równanie
=
. Jest to tzw. równanie jednorodne, gdzie prawa strona zależy dx
x − y
jedynie od y/x. Zastosować zamian¸
e zmiennej v = y/x i sprowadzić je do równania o zmiennych rozdzielonych.
8. W czasie t = 0 zbiornik zawiera Q 0 kg soli rozpuszczonej w 100 L wody. Przypuśćmy, że woda zawieraj¸
aca 1 kg/L soli wplywa do zbiornika z szybkości¸
a r L/min i po dobrym wymieszaniu, mieszanka 4
wyp lywa ze zbiornika z tak¸
a sam¸
a szybkości¸
a. Sformu lować problem pocz¸
atkowy opisuj¸
acy ten proces
przep lywu.
9. Przypuśćmy, że pewna suma pieni¸
edzy jest z lożona w banku, który p laci odsetki, r% w skali roku. W
zależności od banku, s¸
a one naliczane co rok lub co miesi¸
ac lub co tydzień lub codziennie; rzadko kiedy w sposób ci¸
ag ly. Niech pocz¸
atkowa suma wp lacona b¸edzie S 0, a S( t) oznacza wysokość depozytu w czasie t. Sformu lować problem pocz¸
atkowy jeśli odsetki s¸
a wyp lacane w sposób ci¸
ag ly. Jaki b¸edzie
depozyt w sytuacji kiedy odsetki s¸
a naliczane m-razy do roku? W którym przypadku depozyt b¸edzie wyższy: jeśli odsetki naliczane s¸
a m razy do roku czy jeśli naliczane s¸
a w sposób ci¸
ag ly?
10. Niech dany b¸edzie bardzo duży basen, który zawiera 107 litrów czystej wody.
Woda zawieraj¸
aca
niepoż¸
adane chemikalia wp lywa do basenu z szybkości¸
a 5 milionów litrów/rok, i po dok ladnym wymieszaniu wyp lywa z t¸
a sam¸
a szybkości¸
a. Koncentracja γ( t) chemikaliów we wp lywaj¸
acej wodzie zmienia si¸e
okresowo z czasem tak jak w wyrażeniu γ( t) = 2 + sin 2 t g/L. Skonstruować model matematyczny procesu przep lywu.
1. Znaleźć ogólne rozwi¸
azanie równania ty′ + 3 y = t 2.
2. Znaleźć ogólne rozwi¸
azanie równania y′ + 3 y = t + e− 2 t.
3. Znaleźć ogólne rozwi¸
azanie równania y′ + (1 /t) y = 3 cos 2 t, t > 0.
4. Znaleźć ogólne rozwi¸
azanie równania ty′ + 2 y = sin t, t > 0.
5. Rozwi¸
azać problem pocz¸
atkowy
ty′ + 2 y = t 2 − t + 1, y(1) = 1 ,
t > 0. (Znalezienie rozwi¸
azania
2
ogólnego równania by lo w pracy domowej z tygodnia 25.02) 6. Rozwi¸
azać problem pocz¸
atkowy
y′ + (2 /t) y = (cos t) /t 2, y( π) = 0,
t > 0.
7. Znaleźć tak¸
a wartość pocz¸
atkow¸
a y 0 dla której rozwi¸
azanie problemu pocz¸
atkowego y′ − y = 1 + 3 sin t, y(0) = y 0 pozostaje skończone gdy t → ∞.
8. Skonstruować takie równanie różniczkowe zwyczajne dla którego wszystkie rozwi¸
azania maj¸
a granice
3 gdy t → ∞.
9. Znaleźć ogólne rozwi¸
azanie równania y′ = x 2 /y.
10. Znaleźć ogólne rozwi¸
azanie równania y′ = (cos2 x)(cos22 y).
11. Znaleźć ogólne rozwi¸
azanie równania xy′ = (1 − y 2)1 / 2.
x − e−x
12. Znaleźć ogólne rozwi¸
azanie równania y′ =
.
y + ey
13. Znaleźć ogólne rozwi¸
azanie problemu pocz¸
atkowego xdx + ye−xdy = 0, y(0) = 1, oraz wyznaczyć
przedzia l na którym rozwi¸
azanie istnieje.
1 + 3 x 2
14. Znaleźć ogólne rozwi¸
azanie problemu pocz¸
atkowego
y′ =
,
y(0) = 1, oraz wyznaczyć
3 y 2 − 6 y
przedzia l na którym rozwi¸
azanie istnieje.
dy
4 y − 3 x
15. Rozwi¸
azać równanie
=
.
dx
2 x − y
dy
x 2 − 3 y 2
16. Rozwi¸
azać równanie
=
.
dx
2 xy
17. Zbiornik o pojemności 500 litrów zawiera 200 litrów wody z rozpuszczon¸
a w niej 10 kg soli. Woda
zawieraj¸
aca 0 . 1 kg soli w litrze wp lywa do zbiornika z szybkości¸
a 3 L/min i po dok ladnym wymieszaniu, mieszanka wyp lywa z szybkości¸
a 2 L/min. Obliczyć ilość soli w zbiorniku w każdym czasie t zanim mieszanka zacznie si¸e przelewać ze zbiornika.
18. Populacja komarów w pewnym miejscu wzrasta proporcjonalnie do bież¸
acej populacji. Przy braku
innych czynników, populacja komarów podwaja si¸
e każdego tygodnia. Pocz¸
atkowa populacja komarów
wynosi 200,000 a drapieżnicy (ptaki, nietoperze itp) zjadaj¸
a 20,000 komarów/dzień. Obliczyć jaka jest populacja komarów w czasie t.
19. Prawo Newtona o ch lodzeniu mówi, że temperatura obiektu zmienia si¸e z szybkości¸
a proporcjonaln¸
a
do różnicy mi¸
edzy temperatur¸
a obiektu a temperatur¸
a otoczenia. Przypuśćmy, że temperatura kawy wynosi 100oC a po jednej minucie och ladza si¸e do 97oC w temperaturze pokojowej 20oC. Obliczyć kiedy temperatura kawy osi¸
agnie 50oC?
20. Skoczek spadochronowy waż¸
acy z oporz¸
adeniem 100 kg spada pionowo w dó l z wysokości 5000 m i otwiera spadochron po 10 sekundach swobodnego spadania. Przypuśćmy, że si la oporu powietrza wynosi 0 . 75 |v| kiedy spadochron jest zamkni¸ety i 12 |v| kiedy spadochron jest otwarty.
(a) obliczyć szybkość skoczka w momencie otworzenia si¸
e spadochronu.
(b) Obliczyć jaka jest odleg lość skoczka do ziemi w momencie otworzenia si¸e spadochronu.
(c) Obliczyć jak d lugo skoczek by l w powietrzu od momentu otworzenia si¸e spadochronu.