2. Tw. o trzech siłach:
Trzy nierównoległe do siebie działające w jednej płaszczyźnie pozostają w równowadze
wtedy i tylko w tedy gdy tworzą układ zbieżny a ich kierunki tworzą trójkąt
zamknięty.P

1

=P

2

+P

3

3. Tw. Varignona:

Suma momentów sił układu zbieżnego względem dowolnego punktu jest równa

momentowi wypadkowej tego układu względem punktu ∑

n

i=1

r∙∑P

i

=r∙W

4. Para sił:
Parą sił nazywamy układ 2 sił równoległych do siebie, równych co do wielkości, przeciwnie

skierowanych P

1

+P

2

=0

5. Moment siły (moment obrotowy) siły F względem punktu O jest to iloczyn wektorowy

promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz
siły F:

10. Kinematyczne równania ruchu: x=x(t). y=y(t). z=z(t)

11. Prędkość
v=lim Δr/Δt = dr/dt = r’ prędkość zawsze jest styczna do toru i zawsze jest wektorem

v=x’i+y’j+z’k v=√(x’)

2

+(y’)

2

+(z’)

2

12. Przyspieszenie

a=lim Δv/Δt = dv/dt = r’’ przyspieszenie nigdy nie jest styczne do toru chyba że jest linią
prostą v=x’’i+y’’j+z’’k v=√(x’’)

2

+(y’’)

2

+(z’’)

2

13. Przyspieszenie styczne i normalne:

a

s

=dv/dt – przyspieszenie styczne

a

n

=v

2

/ρ – przyspieszenie normalne

14. Droga: s=∫

t2

t1

Vdt

18. Rodzaje ruchów bryły sztywnej:

1. ruch postępowy - to taki ruch w którym dowolna prosta sztywno związana z tą bryłą
zajmuje położenie wzajemnie równoległe (3 stopnie swobody).
2. ruch obrotowy - to taki ruch bryły w którym dowolne dwa punkty bryły są nieruchome,
prosta przechodząca przez dwa punkty to oś obrotu (1 stopień swobody).

3.ruch płaski - to taki ruch bryły w którym dowolny przekrój tej bryły płaszczyzną zajmuje
położenie równoległe i jest równoległy do pewnej stałej płaszczyzny zwanej kierującą (3
stopnie swobody).

4. ruch kulisty - to taki ruch bryły w którym bryła porusza się dookoła nieruchomego
punktu bryły (3 stopnie swobody).
5. ruch ogólny -jest to złożenie ruch postępowego i kulistego.

19. Ruch postępowy bryły sztywnej:
Opis ruchu bryły to opis każdego punktu bryły czyli całej bryły r

i

=r

a

+ρ

i

Niech prosta przechodzi przez punkty A i P.

ρ

i

=const; V=

dt

dr

; a=

dt

dV

; r’

i

=V

i

=r’

a

+0; V

i

=V

a

; V’

i

=a

i

=a

a

; tory wszystkich punktów są

równoległe(prędkość i przyspieszenie wszystkich punktów są jednakowe).

20. Ruch obrotowy bryły:
V

i

=ω*ρ

i

– prędkość punktu bryły; a

i

=є*ρ

i

+ω

2

ρ

i

– przyspieszenie punktu bryły; ω=

r

V

-

prędkość kątowa; є=

dt

d



- przyspieszenie kątowe;

21. Prędkość kątowa:

Podczas ruchu po okręgu wraz z przebywaną drogą ∆L, zmienia się kąt pod jakim obserwowany
jest poruszający się obiekt ∆α, dlatego celowe jest wprowadzenie wielkości charakteryzującej
szybkość zmiany kąta. Wielkością tego rodzaju jest tzw. prędkość kątowa. Oznaczamy ją ω (mała
grecka litera omega).

ω - prędkość kątowa (układzie SI w rad/s, lub 1/s = 1 s

-1

)

∆α - kąt zakreślony przez promień wodzący (w radianach)
∆t - czas w jakim odbywa się ruch, lub jego fragment (w układzie SI sekundach s).

Prędkość kątowa jest równa kątowi zakreślonemu podczas ruchu podzielonemu przez czas.

Prędkość kątowa w jednostkach układu SI wyrażana jest w radianach na sekundę:

[ω] = rad/s = 1/s

Płyta gramofonowa winylowa obracając się z prędkością 33 obr./min ma prędkość kątową równą:

ω = 33 ∙ 2 ∙ π / 60 s = 11 ∙ π / 10 ≈ 3,455751 rad/s.

Przyjęto :

Δα = 33 obr ∙ 2 ∙ π
t = 1 min = 60 s

22. Przyspieszenie kątowe:

Przyspieszenie kątowe, ε, wielkość pseudowektorowa charakteryzująca zmiany prędkości kątowej
ω bryły sztywnej lub punktu materialnego.

Przyspieszenie kątowe określone jest równaniem:

przy czym ε jest równoległe do ω przy przyspieszaniu ruchu obrotowego lub antyrównoległe do ω
przy zwalnianiu. Jednostką przyspieszenia kątowego w układzie SI jest radian/s

2

.

24. Ruch płaski bryły:
v=v

o

+ω



r’ a=a

o

+ε



r’+ω(ω∙r’)-ω

2

r’

25. Tw. o trzech rzutach – jeśli bryła znajduje się w ruchu płaskim to rzuty prędkości 2
dowolnych punktów A i B na łączące je proste są równe.
Taki punkt należący do bryły lub leżący poza nią który w pewnej chwili ma prędkość 0
nazywa się chwilowym środkiem obrotu (punkt C). Przy pomocy chwilowego środka obrotu
możemy znaleźć prędkość punktów posługując się wzorem v=ω



CA. Wektor prędkości

kątowej jest zawsze taki sam i jest jeden dla wszystkich punktów bryły.

26. Chwilowy środek obrotu:

Jeżeli figura płaska w chwili t

0

zajmuje położenie I, a w chwili t

1

położenie II (rys. 19.2) to można

wyznaczyć środek skończonego obrotu. Jeżeli bierzemy coraz bliższe położenie, tak że t

1

t

o

, to

dla każdego z tych położeń można wyznaczyć środek skończonego obrotu. Dla coraz bliższych
położeń, położenie środka skończonego obrotu zmierza do pewnego położenia granicznego.
Graniczne położenie środka skończonego obrotu, gdy t

1

t

0

, nazywamy

chwilowym środkiem

obrotu

w chwili t

0

.

33. Ruch złożony bryły
Ruchem bezwzględnym punktu materialnego nazywamy ruch względem nieruchomego
układu.

Ruchem względnym punktu materialnego nazywamy ruch punktu względem ruchomego
układu współrzędnych.
Ruchem unoszenia punktu materialnego nazywamy ruch punktu sztywno związanego z
układem ruchomym obserwowanym względem nieruchomego układu.

v=v

u

+v

w

v

u

=v

o

+ω



r’

a=a

u

+a

w

+a

c

a

u

=a

o

+ε



r’+ω



(ω



r’)

a

c

=2ω



v

w

34.Prędkość bezwzględna
prędkość bezwzględna V

b

jest to prędkość punktu A względem stałego układu odniesienia.

Prędkość bezwzględna V

b

jest równa sumie geometrycznej prędkości względnej V

w

i unoszenia V

u

35.Przyspieszenie bezwzględne

Jeżeli ruchomy układ odniesienia wykonuje ruch postępowy, to przyspieszenie
bezwzględne stanowi sumę geometryczną przyspieszeń względnego i unoszenia.
A

b

=a

w

+a

u

Gdzie:

A

b

– przyspieszenie bezwzględne, czyli przyspieszenie ruchomego punktu A względem

stałego układu odniesienia.
A

w

– przyspieszenie względne, czyli przyspieszenie ruchomego punktu A względem

ruchomego układu odniesienia,
A

u

– przyspieszenie unoszenia, czyli przyspieszenie punktu układu ruchomego względem

układu stałego, z którym w danej chwili pokrywa się ruchomy punkt A.
Jeżeli ruchomy układ odniesienia wykonuje ruch obrotowy, to przyspieszenie bezwzględne

jest sumą geometryczną trzech przyspieszeń
A

b

= a

w

+a

u

+a

C

A

c

przyspieszenie Coriolisa

36. Przyspieszenie Coriolisa
Przyspieszenie Coriolisa równe jest podwojonemu iloczynowi wektorowemu prędkości
kątowej układu ruchomego i prędkości względem punktu A. p

c

=2ω×v

r.

Przyspieszenie

Coliolisa nie występuje gdy ruchem unoszenia są ruchy: prostoliniowy, harmoniczny prosty
i postępowy (



= zero),gdy wektor prędkości kątowej jest równoległy do wektora

prędkości względnej oraz gdy prędkość względna jest równa zeru.

37. Prawa Newtona:
I prawo bezwładności: punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub działające siły

się równoważą, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii
prostej.
II prawo: przyśpieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do siły działającej na
ten punkt i ma kierunek taki jak ta siła. F=ma.

III prawo akcji i reakcji: siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych
mają jednakowe wartości, leżą na prostej łączącej te punkty i są przeciwnie skierowane.
IV prawo zasady superpozycji: jeżeli na punkt materialny działa jednocześnie kilka sił, to

każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają jak jedna siła
równa wektorowej sumie danych sił.
V prawo powszechnego ciążenia: Każde dwa punkty materialne o masach m

1

i m

2

przyciągają się z siłą wprost
proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r

między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty. F=k m

1

m

2

/r

2

38. Zasada d’Alamberta:
Suma sił rzeczywistych i siły bezwładności działających na punkt materialny jest w każdej

chwili równa zeru.
F+(-ma)=0

39. Zasada zachowania pędu:

jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych działających na ten układ materialny jest
równy zeru, to pęd tego układu materialnego jest stały: dp/dt=F; F=0; dp/dt=0; p=const.

40. Zasada pędu: Pochodna względem czasu pędu układu punktów materialnych jest

równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na ten układ. ma=F ; a=dv/dt
→ m dv/dt=F ; m=const. d/dt (mv)=F → dp/dt=F.

Zasada pędu i popędu (lub inaczej, prawo zmienności pędu) Przyrost pędu układu
materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi wektora głównego sił
zewnętrznych działających na ten układ. p(t)-p(0)=∫

t

0

Fdt

41. Kręt punktu
Krętem k

o

punktu materialnego o masie m względem punktu O nazywamy moment pędu

p=mv tego punktu materialnego względem punktu O: k

o

=r



p=r



mv.

Zasada krętu: pochodna względem czasu krętu układu punktów materialnych względem
dowolnego nieruchomego punktu jest równa momentowi głównemu wszystkich sił
zewnętrznych względem tego samego punktu. dk

o

/dt=M

o

Zasada zachowania krętu: jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem
nieruchomego punktu redukcji O jest równy zeru, to kręt układu materialnego (bryły)
względem tego punktu jest wielkością stałą. Jeżeli M

o

=0 to k

0

=const.

42. Zasada krętu i pokrętu
Przyrost krętu układu materialnego względem dowolnego nieruchomego punktu jest równy
pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych względem tego samego punktu.

43. Dynamiczne równania ruchu punktu:
a=dv/dt e

s

+v

2

/ρ e

n

e

s

=m dv/dt

e

n

=m v

2

/ρ

e

b

=e

s



e

n

57. Drgania:

Drgania swobodne mx’’=-kx ; ω

2

=k/m → x’’+ ω

2

x=0

x=Asinω

o

t gdzie. x-wychylenie ciała z położenia równowagi w chwili czasu t, A – amplituda

drgań, ω – częstość kołowa drgań. Brak tłumienia i brak wymuszenia.

58. Drgania tłumione mx’’+βx’+kx=0 ; x’’+β/m x’+k/m x=0 ; β/m = 2u ; k/m=ω

2

Drgania słabo tłumione(u<ω).Okres drgań jest dłuższy od okresy drgań nie tłumionych
zachodzących pod działaniem takiej samej siły sprężystej. Drgania tłumione nie są

drganiami periodycznymi. Drgania silnie tłumione (u>ω) drgania tłumione są drganiami
aperiodycznymi dla tych drgań wychylenie maleje wykładniczo z czasem. Tłumienie
krytyczne (u=ω).
60.Drgania wymuszone mx’’+kx=Hsinpt gdzie p- częstość kołowa siły wymuszającej,

H- amplituda wymuszenia;
x’’+k/m x=H/m sinpt; x’’+ω

2

x=hsinp

p<ω – wówczas przesunięcie fazowe dąży do 0 i mówimy że częstość siły wymuszającej

jest zgodna w fazie z siłą wymuszającą
p>ω – przesunięcie fazowe dąży do –π i wychylenia drgań harmonicznych zależy od masy
ciała wykonującego drgania

p=ω – przesunięcie fazowe dąży do π/2 i zachodzi zjawisko rezonansu.

61 Rezonans
Rezonans – zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się pochłanianiem
energii poprzez wykonywanie drgań o dużej amplitudzie przez układ drgający dla określonych
częstotliwości drgań.

62. Amplituda

Amplituda w ruchu drgającym i w ruchu falowym jest to największe wychylenie z położenia
równowagi. Jednostka amplitudy zależy od rodzaju ruchu drgającego: dla drgań mechanicznych
jednostką może być metr, jednostka gęstości lub ciśnienia (np. dla fali podłużnej); dla fali
elektromagnetycznej tą jednostką będzie V/m.

W formalnym opisie drgań amplituda jest liczbą nieujemną określająca wielkość przebiegu funkcji
okresowej.

Amplituda A w przebiegach sinusoidalnych jest maksymalną wartością tego przebiegu:

(1)

W przypadku funkcji ze składową stałą, amplituda dotyczy tylko części sinusoidalnej:

(2)

Amplitudą w tym przypadku nie jest A+B, a tylko wartość A.

63. Okres drgań
Okres drgań, dla ruchu periodycznego czas, po jakim układ drgający znajduje się ponownie w
takiej samej fazie.
64. Częstotliwość drgań

Częstotliwość (częstość) określa liczbę cykli zjawiska okresowego występujących w jednostce
czasu. W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). Częstotliwość 1 herca odpowiada
występowaniu jednego zdarzenia (cyklu) w ciągu 1 sekundy. Najczęściej rozważa się częstotliwość
w ruchu obrotowym, częstotliwość drgań, napięcia, fali.

W fizyce częstotliwość oznacza się literą f lub grecką literą ν. Z definicji wynika wzór:

gdzie:

f – częstotliwość,
n – liczba drgań,
t – czas, w którym te drgania zostały wykonane.

Z innymi wielkościami wiążą ją następujące zależności:

,

gdzie:

T – okres,

,

gdzie: ω – pulsacja (częstość kołowa). Odpowiada ona prędkości kątowej w ruchu po okręgu.

65. Częstotliwość własna drgań
to częstotliwość z którą drga ciało wprawione w drgania i pozostawione samo
sobie.

66. Faza drgań
Faza drgania – α [rad]
α=ω⋅t+ϕ,
gdzie ϕ to faza początkowa, która wynosi zero gdy obserwacje zaczynamy od położenia
równowagi. Faza drgania, to faza ruchu określona przez kąt α.
67. Faza początkowa drgań

Dla drgań harmonicznych opisanych równaniem

fazą drgań określa się argument funkcji sinus, czyli

lub resztę z dzielenia tego kąta przez miarę kąta pełnego

Faza jest wyrażana w jednostkach kąta, zwykle w układzie SI w radianach.

Kąt φ nazywa się fazą początkową drgań, czyli fazą w chwili początkowej t = 0.