Pasmo płytowe
Przygotował:
Marcin Jankiewicz
Pasmo płytowe y
PÅ‚yta posiada brzegi x=0 oraz x=a. W
kierunku ąy ciągnie się w nieskooczonośd.
a  szerokośd płyty
x
h  grubośd płyty
x
z
a
h
Pasmo płytowe swobodnie podparte
Równanie płyty:
Sztywnośd płyty:
Momenty zginajÄ…ce:
Moment skręcający:
Siły tnące:
Pasmo płytowe swobodnie podparte, którego
obciążenie jest zmienne tylko w kierunku
poprzecznym
Równanie płyty:
Momenty zginajÄ…ce:
Moment skręcający:
Siły tnące:
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie równomiernie rozłożone
Obciążenie o natężeniu p na jednostkę powierzchni środkowej
Warunki brzegowe zadania dla x=0 oraz x=a
Rozwiązując równanie różniczkowe:
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie równomiernie rozłożone
Z warunków brzegowych otrzymujemy:
Po podstawieniu:
Siły wewnętrzne:
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie równomiernie rozłożone
Porównanie TSiP - MES
Dla danych:
p
" B20:
E = 29 GPa
½ = 0,2
" PÅ‚yta:
a = 5m
h = 0,25m
5m
" Obciążenie:
p = 10kPa
" Sztywnośd:
0.25m
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie równomiernie rozłożone
Porównanie TSiP - MES
Model w MES
Dla danych:
" B20:
E = 29 GPa
½ = 0,2
" PÅ‚yta:
Parametry siatkowania:
a = 5m
" Siatkowanie proste Coons
l = 100m
" Typ podziału: kwadraty w
obszarze prostokÄ…tnym
h = 0,25m
" Elementy skooczone:
" Obciążenie:
czworokąty 4-węzłowe
p = 10kPa
" Rozmiar elementu: 0,25m
Porównanie wyników
Pasmo swobodnie podparte. Obciążenie równomiernie rozłożone.
Mx [kNm] My [kNm] Qx [kN] w [cm]
LP x [m]
TSiP MES TSiP MES TSiP MES TSiP MES " [%]
1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 25,00 -23,76 0,0000 0,0000 0,00
2,00 0,50 11,25 -11,25 2,25 -2,25 20,00 -20,01 0,0649 -0,0652 0,39
3,00 1,00 20,00 -20,00 4,00 -4,00 15,00 -15,01 0,1229 -0,1234 0,42
4,00 1,50 26,25 -26,25 5,25 -5,25 10,00 -10,00 0,1682 -0,1689 0,40
5,00 2,00 30,00 -30,00 6,00 -6,00 5,00 -5,00 0,1970 -0,1978 0,39
6,00 2,50 31,25 -31,25 6,25 -6,25 0,00 0,00 0,2069 -0,2077 0,39
7,00 3,00 30,00 -30,00 6,00 -6,00 -5,00 5,00 0,1970 -0,1978 0,39
8,00 3,50 26,25 -26,25 5,25 -5,25 -10,00 10,00 0,1682 -0,1689 0,40
9,00 4,00 20,00 -20,00 4,00 -4,00 -15,00 15,01 0,1229 -0,1234 0,42
10,00 4,50 11,25 -11,25 2,25 -2,25 -20,00 20,01 0,0649 -0,0652 0,39
11,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -25,00 23,76 0,0000 0,0000 0,00
Porównanie wyników
Przemieszczenia
x [m]
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
TSiP MES
w [cm]
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie równomiernie rozłożone
Porównanie TSiP - MES
Dla danych:
p
" B45:
E = 34 GPa
½ = 0,2
" PÅ‚yta:
a = 15m
h = 0,40m
15m
" Obciążenie:
p = 10kPa
" Sztywnośd:
0.40m
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie równomiernie rozłożone
Porównanie TSiP - MES
Model w MES
Dla danych:
" B45:
E = 34 GPa
½ = 0,2
" PÅ‚yta:
Parametry siatkowania:
a = 15m
" Siatkowanie proste Coons
l = 100m
" Typ podziału: kwadraty w
obszarze prostokÄ…tnym
h = 0,40m
" Elementy skooczone:
" Obciążenie:
czworokąty 4-węzłowe
p = 10kPa
" Rozmiar elementu: 0,50m
Porównanie wyników
Pasmo swobodnie podparte. Obciążenie równomiernie rozłożone.
Mx [kNm] My [kNm] Qx [kN] w [cm]
LP x [m]
TSiP MES TSiP MES TSiP MES TSiP MES " [%]
1,00 0,00 0,00 -0,03 0,00 -0,01 75,00 -72,56 0,0000 0,0000 0,00
2,00 1,00 70,00 -70,00 14,00 -14,00 65,00 -65,05 0,7381 -0,7388 0,10
3,00 2,00 130,00 -130,00 26,00 -26,00 55,00 -55,04 1,4396 -1,4408 0,09
4,00 3,00 180,00 -179,99 36,00 -36,00 45,00 -45,04 2,0726 -2,0744 0,08
5,00 4,00 220,00 -219,99 44,00 -44,00 35,00 -35,03 2,6109 -2,6130 0,08
6,00 5,00 250,00 -249,99 50,00 -50,00 25,00 -25,02 3,0331 -3,0355 0,08
7,00 6,00 270,00 -269,99 54,00 -54,00 15,00 -15,01 3,3234 -3,3260 0,08
8,00 7,00 280,00 -279,99 56,00 -56,01 5,00 -5,00 3,4712 -3,4739 0,08
9,00 8,00 280,00 -279,99 56,00 -56,01 -5,00 5,00 3,4712 -3,4739 0,08
10,00 9,00 270,00 -269,99 54,00 -54,00 -15,00 15,01 3,3234 -3,3260 0,08
11,00 10,00 250,00 -249,99 50,00 -50,00 -25,00 25,02 3,0331 -3,0355 0,08
12,00 11,00 220,00 -219,99 44,00 -44,00 -35,00 35,03 2,6109 -2,6130 0,08
13,00 12,00 180,00 -179,99 36,00 -36,00 -45,00 45,04 2,0726 -2,0744 0,08
14,00 13,00 130,00 -130,00 26,00 -26,00 -55,00 55,04 1,4396 -1,4408 0,09
15,00 14,00 70,00 -70,00 14,00 -14,00 -65,00 65,05 0,7381 -0,7388 0,10
16,00 15,00 0,00 -0,03 0,00 -0,01 -75,00 72,56 0,0000 0,00 0,00
Porównanie wyników
Przemieszczenia
x [m]
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00 15,00
0,0000
0,5000
1,0000
1,5000
2,0000
2,5000
3,0000
3,5000
4,0000
TSiP MES
w [cm]
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie liniowo zmienne.
Wielkośd obciążenia na jednostkę
powierzchni środkowej wynosi:
gdzie: ² - dowolne
p(x)
p
²p
Rozwiązując równanie różniczkowe:
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie liniowo zmienne.
Po podstawieniu:
Siły wewnętrzne:
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie liniowo zmienne.
Porównanie TSiP - MES
p
Dla danych:
0,3p
" B20:
E = 29 GPa
½ = 0,2
" PÅ‚yta:
a = 5m
h = 0,25m
5m
" Obciążenie:
² = 0,3
p = 10kPa
" Sztywnośd:
0.25m
Porównanie wyników
Pasmo swobodnie podparte. Obciążenie liniowo zmienne ²=0,3
Mx(x) [kNm] My(x) [kNm] Qx(x) [kN] w(x) [cm]
LP x [m]
TSiP MES TSiP MES TSiP MES TSiP MES " [%]
1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 19,17 -17,94 0,0000 0,0000 0,00
2,00 0,50 8,36 -8,36 1,67 -1,67 14,34 -14,36 0,0436 -0,0439 0,62
3,00 1,00 14,40 -14,40 2,88 -2,88 9,87 -9,88 0,0821 -0,0824 0,40
4,00 1,50 18,29 -18,29 3,66 -3,66 5,74 -5,76 0,1115 -0,1119 0,39
5,00 2,00 20,20 -20,20 4,04 -4,04 1,97 -1,98 0,1293 -0,1299 0,43
6,00 2,50 20,31 -20,31 4,06 -4,06 -1,46 1,44 0,1345 -0,1350 0,38
7,00 3,00 18,80 -18,80 3,76 -3,76 -4,53 4,52 0,1268 -0,1273 0,40
8,00 3,50 15,84 -15,84 3,17 -3,17 -7,26 7,25 0,1072 -0,1077 0,43
9,00 4,00 11,60 -11,60 2,32 -2,32 -9,63 9,62 0,0777 -0,0780 0,41
10,00 4,50 6,26 -6,26 1,25 -1,25 -11,66 11,65 0,0408 -0,0410 0,48
11,00 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -13,33 12,95 0,0000 0,0000 0,00
Porównanie wyników
Przemieszczenia
x [m]
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00
0,0000
0,0200
0,0400
0,0600
0,0800
0,1000
0,1200
0,1400
0,1600
TSiP MES
w [cm]
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie liniowo zmienne.
Porównanie TSiP - MES
Dla danych:
" B20:
p
E = 29 GPa
½ = 0,2
" PÅ‚yta:
a = 5m
h = 0,25m
p
" Obciążenie:
5m
² =-1,0
p = 10kPa
" Sztywnośd:
0.25m
Porównanie wyników
Pasmo swobodnie podparte. Obciążenie liniowo zmienne ²=-1
Mx(x) [kNm] My(x) [kNm] Qx(x) [kN] w(x) [cm]
LP x [m]
TSiP MES TSiP MES TSiP MES TSiP MES " [%]
1,00 0,00 0,00 -0,01 0,00 0,00 50,00 -42,76 0,0000 0,0000 0,00
2,00 0,50 18,00 -18,00 3,60 -3,60 23,00 -23,26 0,0242 -0,0247 1,96
3,00 1,00 24,00 -24,00 4,80 -4,80 2,00 -2,25 0,0376 -0,0383 1,76
4,00 1,50 21,00 -21,00 4,20 -4,20 -13,00 12,75 0,0363 -0,0368 1,47
5,00 2,00 12,00 -12,00 2,40 -2,40 -22,00 21,76 0,0219 -0,0222 1,51
6,00 2,50 0,00 0,00 0,00 0,00 -25,00 24,76 0,0000 0,0000 0,00
7,00 3,00 -12,00 12,00 -2,40 2,40 -22,00 21,76 -0,0219 0,0222 1,51
8,00 3,50 -21,00 21,00 -4,20 4,20 -13,00 12,75 -0,0363 0,0368 1,47
9,00 4,00 -24,00 24,00 -4,80 4,80 2,00 -2,25 -0,0376 0,0383 1,76
10,00 4,50 -18,00 18,00 -3,60 3,60 23,00 -23,26 -0,0242 0,0247 1,96
11,00 5,00 0,00 0,01 0,00 0,00 50,00 -42,76 0,0000 0,0000 0,00
Porównanie wyników
Przemieszczenia
x [m]
-0,0500
-0,0400
-0,0300
-0,0200
-0,0100
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500
TSiP MES
w [cm]
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie na prostokącie.
y
Obciążenie równomiernie rozłożone p na prostokącie
o polu powierzchni 4cd
Rozwinięcie w szereg Fouriera w kierunku x, okres L=2a
p
x
Przedstawienie za pomocą całki Fouriera w kierunku y
c c
u
a
d
d
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie na prostokącie.
Powierzchnia ugięcia płyty
Z czego wynikajÄ… pochodne:
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie na prostokącie.
Równanie płyty
Po podstawieniu:
Dla:
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie na prostokącie.
Powierzchnia ugięcia płyty
Powierzchnia ugięcia płyty
Po podstawieniu:
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie na prostokącie.
dla:
dla:
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie na prostokącie.
Momenty zginajÄ…ce:
Moment skręcający:
Siły tnące:
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie na prostokącie.
Porównanie TSiP - MES
Dla danych:
p
" B20:
E = 29 GPa
½ = 0,2
" PÅ‚yta:
a = 5m
h = 0,25m
5m
" Obciążenie:
p = 10kPa
" Sztywnośd:
0.25m
Pasmo płytowe swobodnie podparte.
Obciążenie na prostokącie.
y
Dla danych:
c=1m
d=2m
p
x
u=3m
c=1 c=1
u=3
5
d=2
d=2
Porównanie wyników
Pasmo swobodnie podparte, Obciążenie dowolne, C=1, D=2, U=3, Y=0
Mx(x) [kNm] My(x) [kNm] Mxy(x) [kNm] Qx(x) [kN] Qy(x) [kN] w(x) [cm]
LP x [m]
TSiP MES TSiP MES TSiP MES TSiP MES TSiP MES TSiP MES " [%]
1,00 0,00 0,00 0,14 0,00 -0,02 0,00 0,00 5,03 -4,95 0,00 0,00 0,0000 0,0000 0,00
2,00 0,50 1,86 -1,95 1,18 -1,22 0,00 0,00 5,14 -4,66 0,00 0,00 0,0173 -0,0175 1,14
3,00 1,00 3,85 -3,92 2,36 -2,40 0,00 0,00 5,46 -5,05 0,00 0,00 0,0334 -0,0339 1,47
4,00 1,50 6,13 -6,19 3,51 -3,56 0,00 0,00 6,01 -5,68 0,00 0,00 0,0474 -0,0480 1,25
5,00 2,00 8,86 -8,92 4,60 -4,66 0,00 0,00 6,69 -5,96 0,00 0,00 0,0577 -0,0584 1,20
6,00 2,50 11,00 -11,07 5,32 -5,39 0,00 0,00 2,77 -2,71 0,00 0,00 0,0628 -0,0636 1,26
7,00 3,00 11,42 -11,50 5,38 -5,45 0,00 0,00 -1,17 1,04 0,00 0,00 0,0613 -0,0622 1,45
8,00 3,50 10,17 -10,26 4,74 -4,81 0,00 0,00 -5,15 4,84 0,00 0,00 0,0532 -0,0539 1,30
9,00 4,00 7,16 -7,26 3,43 -3,49 0,00 0,00 -9,21 8,22 0,00 0,00 0,0390 -0,0395 1,27
10,00 4,50 3,44 -3,57 1,75 -1,80 0,00 0,00 -8,77 8,16 0,00 0,00 0,0205 -0,0208 1,44
11,00 5,00 0,00 0,19 0,00 -0,03 0,00 0,00 -8,58 8,48 0,00 0,00 0,0000 0,0000 0,00
Porównanie wyników
Przemieszczenia
x [m]
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500
0,0600
0,0700
TSiP MES
w [cm]
Porównanie wyników
Pasmo swobodnie podparte, Obciążenie dowolne, C=1, D=2, U=3, Y=4
Mx(x) [kNm] My(x) [kNm] Mxy(x) [kNm] Qx(x) [kN] Qy(x) [kN] w(x) [cm]
LP x [m]
TSiP MES TSiP MES TSiP MES TSiP MES TSiP MES TSiP MES " [%]
1,00 0,00 0,00 -0,05 0,00 0,01 1,78 -1,43 1,36 -1,40 0,00 0,00 0,0000 0,0000 0,00
2,00 0,50 0,91 -0,89 -0,11 0,12 1,72 -1,75 1,31 -1,49 -0,38 0,13 0,0069 -0,0069 -0,29
3,00 1,00 1,77 -1,76 -0,22 0,24 1,52 -1,53 1,17 -1,32 -0,75 0,60 0,0132 -0,0132 0,00
4,00 1,50 2,52 -2,51 -0,34 0,36 1,18 -1,19 0,92 -1,05 -1,08 0,85 0,0183 -0,0183 0,00
5,00 2,00 3,07 -3,07 -0,44 0,47 0,71 -0,71 0,56 -0,65 -1,35 1,03 0,0217 -0,0218 0,46
6,00 2,50 3,35 -3,35 -0,51 0,54 0,13 -0,13 0,12 -0,15 -1,50 1,13 0,0231 -0,0231 0,00
7,00 3,00 3,29 -3,28 -0,53 0,56 -0,50 0,51 -0,38 0,42 -1,49 1,11 0,0221 -0,0221 0,00
8,00 3,50 2,86 -2,85 -0,47 0,50 -1,10 1,11 -0,85 0,97 -1,30 0,97 0,0189 -0,0189 0,00
9,00 4,00 2,11 -2,09 -0,35 0,38 -1,60 1,61 -1,24 1,43 -0,96 0,72 0,0138 -0,0138 0,00
10,00 4,50 1,12 -1,08 -0,19 0,21 -1,92 1,96 -1,49 1,74 -0,51 0,18 0,0073 -0,0073 0,00
11,00 5,00 0,00 -0,07 0,00 0,01 -2,03 1,62 -1,58 1,63 0,00 0,00 0,0000 0,0000 0,00
Porównanie wyników
Przemieszczenia
x [m]
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00
0,0000
0,0050
0,0100
0,0150
0,0200
0,0250
TSiP MES
w [cm]
Literatura
1. Karl Girkmann  Dz
wigary powierzchniowe  wstęp do elastostatyki
tarcz, płyt, powłok i tarczownic Wydawnictwo Arkady, Warszawa
2. Zbigniew KÄ…czkowski  PÅ‚yty. Obliczenia statyczne Wydawnictwo
Arkady, Warszawa
3.Witold Nowacki  Dz
wigary powierzchniowe PWN, Warszawa