Zaczyna siÄ™ od slajdu 3
- oznacza przejście do kolejnego slajdu
Jeżeli grubość tarczy h jest bardzo maÅ‚a, to możemy przyjąć, że skÅ‚adowe naprężenia Ãz, Äzx i Äzy sÄ…
równe 0. Tym samym wszystkie powierzchnie elementarne, równoległe do płaszczyzny środkowej, są
wolne od naprężeń i mamy doczynienia z płaskim stanem naprężenia.
SkÅ‚adowe Ãx, Ãy i Äxy stanowiÄ… wielkoÅ›ci okreÅ›lajÄ…ce pÅ‚aski stan naprężenia w ukÅ‚adzie
kartezjańskim i po uwzględnieniu warunku (1)spełniają warunki równowagi, czyli równania (2)
Z uwagi na to, że Äzx i Äzy również odksztaÅ‚cenia kÄ…towe sÄ… równe zeru Å‚ zx i Å‚ zy przez, co pozostaÅ‚e
związki przedstawiają się następująco (3)
Przy wyznaczaniu sił wewnętrznych i odkształceń mamy do dyspozycji warunki równowagi, zależności
geometryczne i równania wiążące naprężenia z wydłużeniami. W przypadku PSN, jeżeli pominiemy
siły objętościowe, to równania równowagi (2) będą spełnione, jeżeli składowe naprężenia wyrazimy
przez pewnÄ… funkcjÄ™ F(xy),
według następujących zależności (4)
Aby również warunki ujęte we wzorach (3) były spełnione, funkcja musi również spełniać określone
równanie różniczkowe, nazywane warunkiem nierozdzielności (5)
W efekcie po wprowadzeniu wyrażeń na składowe odkształcenia równanie przybiera postać
równania różniczkowego czwartego rzędu, nazywanego równaniem tarczy (6) Ostatecznie mamy
doczynienia z funkcją biharmoniczną, niezależną od stałych sprężystości (E, v, czy G), a
wyprowadzone zależności obowiązują dla każdego jednorodnego, izotropowego materiału, który
podlega prawu Hooke a.
Przejście z układu płaskiego/prostokątnego jest korzystne wtedy, gdy część brzegu tarczy utworzona
jest przez łuk koła. Wtedy warto zastosować zamiast współrzędnych kartezjańskich x,y, współrzędne
r, Õ. MiÄ™dzy tymi współrzÄ™dnymi zachodzÄ… nastÄ™pujÄ…ce zwiÄ…zki (7)
PSN w punkcie o współrzÄ™dnych r, Õ okreÅ›lony jest wtedy skÅ‚adowymi naprężenia Ãr , ÃÕ oraz ÄrÕ
Aby ustalić zależnosci pomiędzy tymi składowymi, a składowymi z układu kartezjańskiego, piszemy
warunki równowagi sił dla kierunków x i y. W efekcie otrzymujemy (8), co po prostych
przekształceniach prowadzi do równania (9), a ono po zsumowaniu stronami dowodzi, że suma
naprężeń normalnych dla dwóch prostopadłych do siebie kierunków posiada stałą wartość (10)
Na bieżącym slajdzie pokazane jest porównanie obu układów.
Równanie tarczy dla F jako funkcji r, Õ przy uwzglÄ™dnieniu zależnoÅ›ci przedstawia siÄ™ wzorem (11), a
także podobnie wzorem (12)
Ostatecznie przy zastosowaniu operatora Laplace a otrzymamy równanie tarczy we współrzędnych
biegunowych (13), a także wzory na obliczanie naprężeń (14)
Stan naprężenia przedstawiony przy pomocy caÅ‚ki szczególnej w postaci F = Cr2 jest niezależny od Õ, a
wiÄ™c Ãr , ÃÕ sÄ… naprężeniami głównymi, posiadajÄ… takÄ… samÄ… wielkość i przedstawiajÄ… siÄ™ wzorami
(15). Tarcza jest zatem w swojej płaszczyz
nie jednakowo we wszystkich kierunkach rozciągana siłą
wielkości 2C na jednostkę powierzchni.
W przypadku funkcji naprężeÅ„ w postaci F = Cr2sin2Õ otrzymujemy skÅ‚adowe w postaci (15), a stÄ…d
przy podstawieniu Õ = 0: Ãr = 2C, ÃÕ = 0, ÄrÕ = 0. Oznacza to, że w kierunku Õ = 0, tarcza jest
rozciągana osiowo wielkością à = 0.
W przypadku funkcji naprężeÅ„ w postaci F = Cr2cos2Õ, po podstawieniu wzoru cos2 Õ = cos2 Õ  sin2Õ
funkcjÄ™ F można rozdzielić na funkcjÄ™ naprężeÅ„ dla osiowego rozciÄ…gania w kierunu Õ = Ä„/2 i na
funkcjÄ™ osiowego Å›ciskania w kierunku Õ = 0. Funkcja F okreÅ›la zatem w tej formie stan czystego
odkształcenia postaciowego. Główne naprężenia normalne i główne naprężenia styczne mają przy
tym wielkość +- 2C. Oprócz wspomnianych tutaj przykładów przyjęcia funkcji istnieje również
Tarcza w postaci klina posiada brzegi ½ = +- Ä…. W obszarze y >= 0 rozciÄ…gana jest w nieskoÅ„czoność.
Działającą w wierzchołku siłę R rozłożymy na składowe X oraz Y i rozpatrzymy każde z działań
składowych oddzielnie.
Działanie siły X. Opierając się na wzorze naprężeń we współrzędnych biegunowych dla półpłaszczyzny
obciążonej siłą styczną na brzegu
i wstawiajÄ…c do niego ½ = 1/2Ä„  Õ równania przyjmÄ… postać (19). WzdÅ‚uż przekrojów radialnych,
wychodzących z punktu przyłożenia siły, nie są przenoszone żadne siły wewnętrzne. Możemy więc
poprowadzić przekroje ½ = +- Ä…, nie zmieniajÄ…c nic w stanie naprężenia półpÅ‚aszczyzny. Równania (19)
opisują zatem stan naprężenia w tarczy klinowej. Musimy jedynie obciążenie P półpłaszczyzny
wyrazić przez część X od P przypadającą na tarczę klinową. Po dokonaniu niezbędnych obliczeń
otrzymujemy wzór i podstawiając go do równania (19) otrzymujemy składowe
naprężenia w postaci (20)
W przypadku działania siły równoległej do osi klina tarczowego, korzystamy wtedy ponownie
z przeksztaÅ‚cenia równania dla półpÅ‚aszczyzny, wstawiajÄ…c ½ = 1/2Ä„  Õ
. Wyznaczamy ponownie część siły P, wyrażoną przez Y
i przypadającą na klin: , wstawiamy do wzoru (21) i otrzymujemy ostateczny wzór
na składowe naprężenia w postaci wzoru (22).