MMF 1  Egzamin  po ówkowy  12.12.2009
l
1. (5 pkt) Korzystajac z metody indukcji matematycznej udowodnij twierdzenie:
Ä…

p

p n - p n
=
k m - k m
k=0
gdzie m i n sa ustalonymi liczbami naturalnymi takimi, że 0 d" m d" n oraz
Ä…
0 d" p d" n - m.
2. (3+2 pkt) Dane sa liczby zespolone:
Ä…

" " " "
z1 = 6 + 2 + i 6 - 2

" " " "
z2 = 6 - 2 + i 6 + 2
Ä„
a) Pokaż, że faza liczby z1 jest oraz znajdz
faze liczby z2.
Ä… Ä…
12
b) Nastepnie, korzystajac z postaci wyk
ladniczej liczby zespolonej, oblicz pier-
Ä… Ä…
z1
wiastek czwartego stopnia z liczby zespolonej w = , a wyniki przedstaw w
z2
postaci algebraicznej a + ib gdzie a i b to liczby rzeczywiste.
3. (1+4 pkt) Podaj ogólna definicje iloczynu skalarnego. Nastepnie pokaż, że
Ä… Ä…
4 Ä…
formu e y = xĆ"yi można przyjać jako definicje iloczynu skalarnego w
l x|
Ä… Ä… Ä…
i=1 i
przestrzeni C4. Korzystajac z metody ortogonalizacji Grama-Schmidta, zorto-
Ä…
normalizuj podany uk wektorów tak aby jeden z nowych wektorów mia ten
lad l
sam kierunek i zwrot co wektor
v1:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 -1 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
i 0 -1 1
= ïÅ‚ śł , = ïÅ‚ śł , = ïÅ‚ śł , = ïÅ‚ śł
v1 ïÅ‚ śł v2 ïÅ‚ śł v3 ïÅ‚ śł v4 ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 i i
i 0 i 0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 + i i 1
ïÅ‚ śł
4. (1+2+2 pkt) Dana jest macierz A = i i i ûÅ‚
ðÅ‚
1 - i 0 1 - i
a) Oblicz wyznacznik det A metoda rozwiniecia Laplace a,
Ä… Ä…
b) Znajdz
macierz odwrotna A-1 metoda Gaussa,
Ä… Ä…
c) Znajdz
macierz odwrotna A-1 metoda dope algebraicznych.
lnień
Ä… Ä…
5. (3+2 pkt) Podaj liczbe rozwiazań uk równań w zależności od wartości para-
ladu
Ä… Ä…
metru a. W przypadkach kiedy istnieja rozwiazania znajdz
je.
Ä… Ä…
ax - 2y + az = -1
x + ay + az = 4
2x - y + (a + 1)z = 3
Rozwiaż to zadanie a) metoda Gaussa, b) metoda wyznacznikowa.
Ä… Ä… Ä… Ä…
Dodatkowe informacje:
Ä… Ä… ² Ä… " ² Ä… + ² Ä… - ²
sin Ä… Ä… sin ² = 2 sin cos , cos Ä… Ä… cos ² = Ä…2 cos cos
2 2 2 2
sin (Ä… Ä… ²) = sin Ä… cos ² Ä… sin ² cos Ä…, cos (Ä… Ä… ²) = cos Ä… cos ² " sin Ä… sin ²