Wydział Inżynierii Lądowej, Środowiska i Geodezji
Politechnika Koszalińska
ĆWICZENIE NR 1.
Wyznaczenie linii ugięcia belki.
Wykonał(-a):
Imię Nazwisko,
gr. 2.x.y
Koszalin, 2015
Wydział Inżynierii Lądowej, Środowiska i Geodezji
Politechnika Koszalińska
ĆWICZENIE NR 1.
Wyznaczenie linii ugięcia belki.
Wykonał(-a):
Imię Nazwisko,
gr. 2.x.y
Koszalin, 2015
I. Równania różniczkowe: EJ ∙
d
4
w
dx
4
= −q(x)
1. Funkcja obciążenia:
𝑑
4
𝑤
𝑑𝑥
4
𝐸𝐽 = −𝑞
𝑖
(𝑥
𝑖
), 𝑞
𝑖
(𝑥
𝑖
) − 𝑜𝑏𝑐𝑖ąż𝑒𝑛𝑖𝑒 𝑟𝑜𝑧ł𝑜ż𝑜𝑛𝑒:
𝑞
1
(𝑥
1
) = 7
𝑞
2
(𝑥
2
) = 0
𝑞
3
(𝑥
3
) = 0
𝑞
4
(𝑥
4
) = 0
2. Siła tnąca:
𝑑
3
𝑤
𝑑𝑥
3
𝐸𝐽 = 𝑇
𝑖
(𝑥
𝑖
), 𝑇
𝑖
(𝑥
𝑖
) = ∫ −𝑞
𝑖
(𝑥
𝑖
)𝑑𝑥
𝑇
1
(𝑥
1
) = −7𝑥
1
+ 𝐶
1
𝑇
2
(𝑥
2
) = 𝐶
2
𝑇
3
(𝑥
3
) = 𝐶
3
𝑇
4
(𝑥
4
) = 𝐶
4
3. Moment zginający:
𝑑
2
𝑤
𝑑𝑥
2
𝐸𝐽 = −𝑀
𝑖
(𝑥
𝑖
), 𝑀
𝑖
(𝑥
𝑖
) = ∫ 𝑇
𝑖
(𝑥
𝑖
)𝑑𝑥
𝑀
1
(𝑥
1
) = −
7
2
𝑥
1
2
+ 𝐶
1
𝑥
1
+ 𝐷
1
𝑀
2
(𝑥
2
) = 𝐶
2
𝑥
2
+ 𝐷
2
𝑀
3
(𝑥
3
) = 𝐶
3
𝑥
3
+ 𝐷
3
𝑀
4
(𝑥
4
) = 𝐶
4
𝑥
4
+ 𝐷
4
4. Kąt obrotu:
𝑑𝑤
𝑑𝑥
𝐸𝐽 = 𝜑
𝑖
(𝑥
𝑖
), 𝜑
𝑖
(𝑥
𝑖
) = ∫ −𝑀
𝑖
(𝑥
𝑖
)𝑑𝑥
𝜑
1
(𝑥
1
) =
7
6
𝑥
1
3
−
1
2
𝐶
1
𝑥
1
2
− 𝐷
1
𝑥
1
+ 𝐸
1
𝜑
2
(𝑥
2
) = −
1
2
𝐶
2
𝑥
2
2
− 𝐷
2
𝑥
2
+ 𝐸
2
𝜑
3
(𝑥
3
) = −
1
2
𝐶
3
𝑥
3
2
− 𝐷
3
𝑥
3
+ 𝐸
3
𝜑
4
(𝑥
4
) = −
1
2
𝐶
4
𝑥
4
2
− 𝐷
4
𝑥
4
+ 𝐸
4
5. Linia ugięcie:
𝐸𝐽 ∙ 𝑤
𝑖
(𝑥
𝑖
) = ∫ 𝜑
𝑖
(𝑥
𝑖
)𝑑𝑥
𝑤
1
(𝑥
1
) =
7
24
𝑥
1
4
−
1
6
𝐶
1
𝑥
1
3
−
1
2
𝐷
1
𝑥
1
2
+ 𝐸
1
𝑥
1
+ 𝐹
1
𝑤
2
(𝑥
2
) = −
1
6
𝐶
2
𝑥
2
3
−
1
2
𝐷
2
𝑥
2
2
+ 𝐸
2
𝑥
2
+ 𝐹
2
𝑤
3
(𝑥
3
) = −
1
6
𝐶
3
𝑥
3
3
−
1
2
𝐷
3
𝑥
3
2
+ 𝐸
3
𝑥
3
+ 𝐹
3
𝑤
4
(𝑥
4
) = −
1
6
𝐶
4
𝑥
4
3
−
1
2
𝐷
4
𝑥
4
2
+ 𝐸
4
𝑥
4
+ 𝐹
4
II. Określenie warunków brzegowych:
1.
𝑀
1
(0) = 0
𝐷
1
= 0
𝐷
1
= 0
2.
𝑤
1
(0) = 0
𝐹
1
= 0
𝐹
1
= 0
3.
𝑀
1
(6) = 0
−
7
2
∙ 6
2
+ 𝐶
1
∙ 6 + 𝐷
1
= 0
6𝐶
1
+ 𝐷
1
= 126
4.
𝑀
2
(0) = 0
𝐷
2
= 0
𝐷
2
= 0
5.
𝑇
1
(6) = 𝑇
2
(0)
−7 ∙ 6 + 𝐶
1
= 𝐶
2
𝐶
1
− 𝐶
2
= 42
6.
𝑤
1
(6) = 𝑤
2
(0)
7
24
6
4
−
1
6
𝐶
1
∙ 6
3
−
1
2
𝐷
1
∙ 6
2
+ 𝐸
1
∙ 6 + 𝐹
1
= 𝐹
2
−36𝐶
1
− 18𝐷
1
+ 6𝐸
1
+ 𝐹
1
− 𝐹
2
= −378
7.
𝑀
2
(2) = 𝑀
3
(0)
𝐶
2
∙ 2 + 𝐷
2
= 𝐷
3
2𝐶
2
+ 𝐷
2
− 𝐷
3
= 0
8.
𝜑
2
(2) = 𝜑
3
(0)
−
1
2
𝐶
2
∙ 2
2
− 𝐷
2
∙ 2 + 𝐸
2
= 𝐸
3
−2𝐶
2
− 2𝐷
2
+ 𝐸
2
− 𝐸
3
= 0
9.
𝑤
2
(2) = 0
−
1
6
𝐶
2
∙ 2
3
−
1
2
𝐷
2
∙ 2
2
+ 𝐸
2
∙ 2 + 𝐹
2
= 0
−
8
6
𝐶
2
− 2𝐷
2
+ 2𝐸
2
+ 𝐹
2
= 0
10. 𝑤
3
(0) = 0
𝐹
3
= 0
𝐹
3
= 0
11. 𝑇
3
(5) = 𝑇
4
(0) + 15
𝐶
3
= 𝐶
4
+ 15
𝐶
3
− 𝐶
4
= 15
12. 𝑀
3
(5) = 𝑀
4
(0)
𝐶
3
∙ 5 + 𝐷
3
= 𝐷
4
5𝐶
3
+ 𝐷
3
− 𝐷
4
= 0
13. 𝜑
3
(5) = 𝜑
4
(0)
−
1
2
𝐶
3
∙ 5
2
− 𝐷
3
∙ 5 + 𝐸
3
= 𝐸
4
−
25
2
𝐶
3
− 5𝐷
3
+ 𝐸
3
− 𝐸
4
= 0
14. 𝑤
3
(5) = 𝑤
4
(0)
−
1
6
𝐶
3
∙ 5
3
−
1
2
𝐷
3
∙ 5
2
+ 𝐸
3
∙ 5 + 𝐹
3
= 𝐹
4
−
125
6
𝐶
3
−
25
2
𝐷
3
+ 5𝐸
3
+ 𝐹
3
− 𝐹
4
= 0
15. 𝑀
4
(4) = 0
𝐶
4
∙ 4 + 𝐷
4
= 0
4𝐶
4
+ 𝐷
4
= 0
16. 𝑤
4
(4) = 0
−
1
6
𝐶
4
∙ 4
3
−
1
2
𝐷
4
∙ 4
2
+ 𝐸
4
∙ 4 + 𝐹
4
= 0
−
64
6
𝐶
4
− 8𝐷
4
+ 4𝐸
4
+ 𝐹
4
= 0
III. Obliczeniu układu równań – wyznaczenie stałych całkowania (program Matlab).
[𝑃] ∙ [𝑋] = [𝑄], wyznaczamy [𝑋] = [𝑃]
−1
∙ [𝑄]
[𝑃] =
[
0
1
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
1
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 0 −1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−36 −18 6 1
0
0
0 −1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
2
1
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 −2 −2 1
0
0
0
−1 0
0
0
0
0
0
0
0 0 −
8
6
−2 2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
1
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
5
1
0
0
0
−1
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
−
25
2
−5
1
0
0
0
−1
0
0
0
0 0
0
0
0
0
−
125
6
−
25
2
5
1
0
0
0
−1
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
1
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0 −
64
26
−8
4
1 ]
, [𝑋] =
[
𝐶
1
𝐷
1
𝐸
1
𝐹
1
𝐶
2
𝐷
2
𝐸
2
𝐹
2
𝐶
3
𝐷
3
𝐸
3
𝐹
3
𝐶
4
𝐷
4
𝐸
4
𝐹
4
]
, [𝑄] =
[
0
0
126
0
42
−378
0
0
0
0
15
0
0
0
0
0 ]
IV. Wyznaczenie punktów i obliczenie ugięć
(potrzebnych do narysowania linii ugięcia belki).
Charakterystyka materiałowo – geometryczna
(stal; dwuteownik zwykły I200):
𝐸 = 210𝐺𝑃𝑎 = 210 ∙ 10
9
𝑁
𝑚
2
= ⋯
𝑘𝑁
𝑚
2
𝐽 = 2140𝑐𝑚
4
= ⋯ 𝑚
4
} , 𝐸𝐽 = ⋯ [𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡𝑘𝑎 𝑘𝑁 𝑖 𝑚]
Wyznaczone stałe całkowania:
{
𝐶
1
𝐷
1
𝐸
1
𝐹
1
𝐶
2
𝐷
2
𝐸
2
𝐹
2
𝐶
3
𝐷
3
𝐸
3
𝐹
3
𝐶
4
𝐷
4
𝐸
4
𝐹
4
}
=
{
21,00
0,00
90,26
0,00
−21,00
0,00
−95,78
163,56
11,33
−42,00
−53,78
0,00
−3,67
14,67
14,56
20,00 }
𝑤
1
(𝑥
1
) =
1
𝐸𝐽
(0,29𝑥
1
4
− 3,5𝑥
1
3
+ 90,26𝑥
1
)
𝑤
1
(0) = 0,0 𝑚
𝑤
1
(1) = 0,019 𝑚
𝑤
1
(2) = 0,035 𝑚
𝑤
1
(3) = 0,044 𝑚
𝑤
1
(4) = 0,047 𝑚
𝑤
1
(5) = 0,043 𝑚
𝑤
1
(6) = 0,036 𝑚
𝑤
2
(𝑥
2
) =
1
𝐸𝐽
(3,5𝑥
2
3
− 95,78𝑥
2
+ 163,56)
𝑤
2
(0) = 0,036 𝑚
𝑤
2
(0,5) = 0,026 𝑚
𝑤
2
(1) = 0,016 𝑚
𝑤
2
(1,5) = 0,007 𝑚
𝑤
2
(2) = 0,000 𝑚
𝑤
3
(𝑥
3
) =
1
𝐸𝐽
(−1,89𝑥
3
3
+ 21𝑥
3
2
− 53,78𝑥
3
)
𝑤
3
(0) = 0,000 𝑚
𝑤
3
(1) = −0,0077 𝑚
𝑤
3
(2) = −0,0086 𝑚
𝑤
3
(3) = −0,0052 𝑚
𝑤
3
(4) = −0,00002 ≅ 0 𝑚
𝑤
3
(4,5) = 0,004 𝑚
𝑤
3
(5) = 0,0044 𝑚
<< Zmiana znaku na wykresie, obliczany dla jakiego x
3
ugięcie jest równe zero >>
−1,89𝑥
3
3
+ 21𝑥
3
2
− 53,78𝑥
3
= 𝑥
3
(−1,89𝑥
3
2
+ 21𝑥
3
− 53,78) = 0 → ∆ → 𝑥
3
= 4,00 𝑚
𝑤
4
(𝑥
4
) =
1
𝐸𝐽
(0,61𝑥
4
3
− 7,33𝑥
4
2
+ 14,56𝑥
4
+ 20)
𝑤
4
(0) = 0,0045 𝑚
𝑤
4
(1) = 0,0062 𝑚
𝑤
4
(2) = 0,0055 𝑚
𝑤
4
(3) = 0,0032 𝑚
𝑤
4
(4) = 0,0 𝑚
<< Dla każdego przedziału obliczamy ugięcie w min. 5 punktach:
początek + koniec przedziału + min. 3 punkty w środku
(dla L<1m można policzyć 2 pkt. w środku)! >>
V. Narysowanie linii ugięcia belki.
<< Na „czystej” kartce – duży, czytelny i odpowiednio opisany rysunek >>
VI. Sprawdzenie poprawności otrzymanej linii ugięcia w programie RM-win.
WIELKOŚCI PRZEKROJOWE (I200):
Nr.
A[cm2]
Ix[cm4]
Iy[cm4]
Wg[cm3]
Wd[cm3]
h[cm]
Materiał:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
33,5
2140
117
214
214
20,0
2Stal St3
STAŁE MATERIAŁOWE:
Materiał:
Moduł E:
Napręż.gr.:
AlfaT:
[N/mm2]
[N/mm2]
[1/K]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 Stal St3
205000
215,000
1,20E-05
OBCIĄŻENIA:
W
Y
N
I
K
I
PRZEMIESZCZENIA WĘZŁÓW:
T.I rzędu
Węzeł:
Ux[m]:
Uy[m]:
Wypadkowe[m]:
Fi[rad] ([deg]):
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
0,00000
-0,00000
0,00000
-0,02057 (-1,179)
2
0,00000
-0,03728
0,03728
3
0,00000
-0,00000
0,00000
0,01226 (0,702)
4
0,00000
-0,00000
0,00000
0,00337 (0,193)
PRZEMIESZCZENIA:
1
2
3
7,0
7,0
15,0
VII. Sprawdzenie poprawności otrzymanej linii ugięcia w programie Robot.
WIELKOŚCI PRZEKROJOWE (IN 200):
HY=9,0, HZ=20,0 [cm]
AX=33,40 [cm2]
IX=14,60, IY=2140,00, IZ=117,00 [cm4]
Materiał=STAL
STAŁE MATERIAŁOWE:
Materiał
E (MPa)
G (MPa)
NI
LX (1/°C)
CW (kN/m3)
Re (MPa)
STAL
205000,00
80000,00
0,30
0,00
77,01
215,00
OBCIĄŻENIA:
PRZEMIESZCZENIA:
VIII. Wnioski.
1. Jak wyglądają obliczenia?
Porównanie 3 metod obliczenia ugięć belki (analityczna, RM-win oraz Robot). Jakie są ich
plusy i minusy, która była najlepsza, a która najmniej przyjazna?
2. Jak wyglądają ugięcia?
Porównanie wyników otrzymanych w Robocie, RM-winie oraz obliczeń analitycznych. Ile
jest % różnicy między wynikami, skąd może ona wynikać? Co z dokładnością obliczeń?