Liczby i funkcje elementarne

Agnieszka Kolesiak

11 listopada 2008

1

Działania na liczbach

1.1

Zbiór liczb rzeczywistych

• struktura zbioru liczb rzeczywistych

• oznaczenia

Przykład 1.1. Przedstaw w postaci ułamka zwykłego 0, (5) + 1, (23)

1.2

Wartość bezwzględna

• definicja algebraiczna i geometryczna

• równania i nierówności

Przykład 1.2. Rozwiąż równanie: |4x + 4| + |2 − x| = 8.

Przykład 1.3. Rozwiąż nierówności:

• x + 3 > 4

• |x − 3| − |2 − x| > 2

• |x| ≥ x + 1

Przykład 1.4. Naszkicuj wykres funkcji danej wzorem f (x) = ||x − 1| − 3|.

1

1.3

Potęgowanie i pierwiastkowanie

• definicja

• prawa działań na potęgach

• potęgi o wykładniku wymiernym

Przykład 1.5. Zapisz podane wyrażenie w postaci a

x

:

q

a

−2

a

−3

·

3

√

a.

1.4

Wzór dwumianowy Newtona

• definicja silni

• definicja symbolu Newtona

• definicja dwumianu Newtona

Przykład 1.6. Oblicz:

•

119!
(5!)!

•

(

6
2

)

+

(

6
3

)

(

6
0

)

Przykład 1.7. Uprość wyrażenie:

•

(n+1)!
(n−1)!

•

(

n

n−2

)

(

n

n−1

)

Przykład 1.8. Udowodnij tożsamość:

•

n
k

+

n

k+1

=

n+1
k+1

•

P

n
k=0

n
k

= 2

n

Przykład 1.9. Znajdź współczynnik znajdujący się przy x w rozwinięciu
dwumianu Newtona (

3

√

x + 2)

12

.

2

2

Funkcje i ich własności

Definicje:

• funkcja

• dziedzina, dziedzina naturalna

• miejsce zerowe funkcji

• równość funkcji

• funkcja monotoniczna

• funkcja okresowa

• funkcja parzysta i nieparzysta

Przykład 2.1. Wyznacz dziedzinę wyrażenia

√

0,25−x

2

√

x

2

+1

.

Przykład 2.2. Czy dane funkcje są równe? f (x) =

1

x−5

, g(x) =

x

x

2

−5x

.

Przykład 2.3. Udowodnij, że w przedziale (0, 3) funkcja f (x) =

x

2

x

2

−9

jest

malejąca.

Przykład 2.4. Poniższa implikacja jest prawdziwa: Jeżeli funkcja f jest
funkcją nieparzystą, to wykres funkcji f ma środek symetrii. Sformułuj im-
plikację do niej odwrotną i sprawdź jej prawdziwość.

Przykład 2.5. Czy dane funkcje są parzyste lub nieparzyste?

• f (x) = −x|x|

• g(x) = |x

2

− x|.

Definicja 2.6 (złożenie funkcji). Złożeniem funkcji f : X → Y i g: Y → Z
nazywamy funkcję h: X → Z daną wzorem h(x) = g(f (x)) = (g ◦ f )(x).

Przykład 2.7. Dane są funkcje f : R → R i g: R → R dane wzorami f (x) =
x

3

− 1, g(x) = x − 2. Wyznacz złożenia g ◦ f , f ◦ g oraz f ◦ f .

Definicje:

3

• funkcja różnowartościowa

• funkcja „na”

• bijekcja

• funkcja odwrotna

Przykład 2.8. Funkcja f (x) = ax

2

+ bx + c jest różnowartościowa. Jakie

warunki spełniają wówczas współczynniki a, b i c?

Przykład 2.9. Znajdź funkcję odwrotną do funkcji f (x) = −3x + 5 (jeśli
istnieje). Zaznacz obie funkcje na wykresie. Co zauważasz?

4