Liczby i funkcje elementarne
Agnieszka Kolesiak
11 listopada 2008
1
Działania na liczbach
1.1
Zbiór liczb rzeczywistych
• struktura zbioru liczb rzeczywistych
• oznaczenia
Przykład 1.1. Przedstaw w postaci ułamka zwykłego 0, (5) + 1, (23)
1.2
Wartość bezwzględna
• definicja algebraiczna i geometryczna
• równania i nierówności
Przykład 1.2. Rozwiąż równanie: |4x + 4| + |2 − x| = 8.
Przykład 1.3. Rozwiąż nierówności:
• x + 3 > 4
• |x − 3| − |2 − x| > 2
• |x| ≥ x + 1
Przykład 1.4. Naszkicuj wykres funkcji danej wzorem f (x) = ||x − 1| − 3|.
1
1.3
Potęgowanie i pierwiastkowanie
• definicja
• prawa działań na potęgach
• potęgi o wykładniku wymiernym
Przykład 1.5. Zapisz podane wyrażenie w postaci a
x
:
q
a
−2
a
−3
·
3
√
a.
1.4
Wzór dwumianowy Newtona
• definicja silni
• definicja symbolu Newtona
• definicja dwumianu Newtona
Przykład 1.6. Oblicz:
•
119!
(5!)!
•
(
6
2
)
+
(
6
3
)
(
6
0
)
Przykład 1.7. Uprość wyrażenie:
•
(n+1)!
(n−1)!
•
(
n
n−2
)
(
n
n−1
)
Przykład 1.8. Udowodnij tożsamość:
•
n
k
+
n
k+1
=
n+1
k+1
•
P
n
k=0
n
k
= 2
n
Przykład 1.9. Znajdź współczynnik znajdujący się przy x w rozwinięciu
dwumianu Newtona (
3
√
x + 2)
12
.
2
2
Funkcje i ich własności
Definicje:
• funkcja
• dziedzina, dziedzina naturalna
• miejsce zerowe funkcji
• równość funkcji
• funkcja monotoniczna
• funkcja okresowa
• funkcja parzysta i nieparzysta
Przykład 2.1. Wyznacz dziedzinę wyrażenia
√
0,25−x
2
√
x
2
+1
.
Przykład 2.2. Czy dane funkcje są równe? f (x) =
1
x−5
, g(x) =
x
x
2
−5x
.
Przykład 2.3. Udowodnij, że w przedziale (0, 3) funkcja f (x) =
x
2
x
2
−9
jest
malejąca.
Przykład 2.4. Poniższa implikacja jest prawdziwa: Jeżeli funkcja f jest
funkcją nieparzystą, to wykres funkcji f ma środek symetrii. Sformułuj im-
plikację do niej odwrotną i sprawdź jej prawdziwość.
Przykład 2.5. Czy dane funkcje są parzyste lub nieparzyste?
• f (x) = −x|x|
• g(x) = |x
2
− x|.
Definicja 2.6 (złożenie funkcji). Złożeniem funkcji f : X → Y i g: Y → Z
nazywamy funkcję h: X → Z daną wzorem h(x) = g(f (x)) = (g ◦ f )(x).
Przykład 2.7. Dane są funkcje f : R → R i g: R → R dane wzorami f (x) =
x
3
− 1, g(x) = x − 2. Wyznacz złożenia g ◦ f , f ◦ g oraz f ◦ f .
Definicje:
3
• funkcja różnowartościowa
• funkcja „na”
• bijekcja
• funkcja odwrotna
Przykład 2.8. Funkcja f (x) = ax
2
+ bx + c jest różnowartościowa. Jakie
warunki spełniają wówczas współczynniki a, b i c?
Przykład 2.9. Znajdź funkcję odwrotną do funkcji f (x) = −3x + 5 (jeśli
istnieje). Zaznacz obie funkcje na wykresie. Co zauważasz?
4