Elektrodynamika

Część 8

Fale elektromagnetyczne

Ryszard Tanaś

Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas

Spis treści

9

Fale elektromagnetyczne

3

9.1

Fale w jednym wymiarze

. . . . . . . . . . . . . . . . .

3

9.2

Fale elektromagnetyczne w próżni

. . . . . . . . . . . .

13

9.3

Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym

. . . .

23

9.4

Absorpcja i dyspersja

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

9 Fale elektromagnetyczne

9.1 Fale w jednym wymiarze

9.1.1 Równanie falowe

f

z

vt

f(z, 0)

f(z, t)

v

f(z, t) = f(z − vt, 0) = g(z − vt)

∂

2

f

∂z

2

=

1

v

2

∂

2

f

∂t

2

równanie falowe

f(z, t) = g(z − vt) + h(z + vt)

rozwiązanie ogólne

9.1.2 Fale sinusoidalne

(i) Terminologia

f(z, 0)

δ/k

maksimum centralne

A

λ

v

z

f(z, t) = A cos[k(z − vt) + δ]

λ =

2π

k

, λ

— długość fali,

k

— liczba falowa

T =

2π

kv

=

λ

v

,

okres

ν =

1

T

=

kv

2π

=

v

λ

,

częstość

ω = 2πν = kv,

częstość kątowa

f(z, t) = A cos(kz − ωt + δ)

fala biegnąca w prawo

f(z, t) = A cos(−kz − ωt + δ)

fala biegnąca w lewo,

k ⇒ −k

(ii) Notacja zespolona

e

iθ

= cos θ + i sin θ

wzór Eulera

f(z, t) = Re[Ae

i(kz−ωt+δ)

]

˜

f(z, t) ≡ ˜

Ae

i(kz−ωt)

zespolona funkcja falowa

˜

A = Ae

iδ

zespolona amplituda

f(z, t) = Re[ ˜

f(z, t)]

(iii) Liniowe kombinacje fal sinusoidalnych

˜

f(z, t) =

∞

Z

−∞

˜

A(k)e

i(kz−ωt)

dk

każdą falę można przedstawić

w postaci kombinacji liniowej

fal sinusoidalnych

Amplitudę

˜

A(k)

można wyznaczyć z warunków początkowych

f(z, 0)

i

˙f(z, 0)

przy wykorzystaniu teorii

transformat Fouriera

.

9.1.4 Polaryzacja

v

fala podłużna

z

x

y

v

fala poprzeczna: polaryzacja pionowa,

˜

f

v

(z, t) = ˜

Ae

i(kz−ωt)

ˆ

x

z

x

y

v

fala poprzeczna: polaryzacja pozioma,

˜

f

h

(z, t) = ˜

Ae

i(kz−ωt)

ˆ

y

z

x

y

v

ˆn

θ

fala poprzeczna: polaryzacja ukośna,

˜

f

(z, t) = ˜

Ae

i(kz−ωt)

ˆ

n

ˆ

n

= cos θ ˆ

x

+ sin θ ˆ

y

, θ

— kąt polaryzacji

˜

f

(z, t) = ( ˜

A cos θ)e

i(kz−ωt)

ˆ

x

+ ( ˜

A sin θ)e

i(kz−ωt)

ˆ

y

9.2 Fale elektromagnetyczne w próżni

9.2.1 Równanie falowe dla E i B

(i)

∇ · E = 0,

(iii)

∇ × E = −

∂B

∂t

,

(ii)

∇ · B = 0,

(iv)

∇ × B = µ

0



0

∂E

∂t

,











równania Maxwella

w obszarach bez

ładunków i prądów

∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = ∇ ×

−

∂B

∂t

!

= −

∂

∂t

(∇ × B) = −µ

0



0

∂

2

E

∂t

2

∇ × (∇ × B) = ∇(∇ · B) − ∆B = ∇ ×

µ

0



0

∂E

∂t

!

= µ

0



0

∂

∂t

(∇ × E) = −µ

0



0

∂

2

B

∂t

2

∇ · E = 0

i

∇ · B = 0

w obszarach bez ładunków

∆E = µ

0



0

∂

2

E

∂t

2

, ∆B = µ

0



0

∂

2

B

∂t

2

∆f =

1

v

2

∂

2

f

∂t

2

każda składowa pól

E

i

B

spełnia

trójwymiarowe równanie falowe

v =

1

õ

0



0

= 3, 00 · 10

8

m/s

prędkość fali elektromagnetycznej

w próżni

9.2.2 Fale monochromatyczne płaskie

˜

E

(z, t) = ˜

E

0

e

i(kz−ωt)

,

˜

B

(z, t) = ˜

B

0

e

i(kz−ωt)

z

x

y

v

fala płaska

∇ · E = 0

i

∇ · B = 0 ⇒ ( ˜

E

0

)

z

= ( ˜

B

0

)

z

= 0

fale są poprzeczne

∇ × E = −

∂B

∂t

⇒ −k( ˜

E

0

)

y

= ω( ˜

B

0

)

x

, k( ˜

E

0

)

x

= ω( ˜

B

0

)

y

˜

B

0

=

k

ω

( ˆ

z

× ˜

E

0

)

pola

E

i

B

są

zgodne w fazie

i wzajemnie prostopadłe

B

0

=

k

ω

E

0

=

1

c

E

0

amplitudy pola elektrycznego i

magnetycznego są ze sobą związane

z

x

y

c

E

E

0

B

E

0

/c

Jeśli

˜

E

(z, t) = ˜

E

0

e

i(kz−ωt)

ˆ

x

,

to

˜

B

(z, t) =

1

c

˜

E

0

e

i(kz−ωt)

ˆ

y

E

(z, t) = E

0

cos(kz − ωt + δ) ˆ

x

B

(z, t) =

1

c

E

0

cos(kz − ωt + δ) ˆ

y

pola rzeczywiste

Kierunek pola elektrycznego określa polaryzację fali

elektromagnetycznej.

c

k

r

ˆk · r

dowolny kierunek propagacji

˜

E

(r, t) = ˜

E

0

e

i(k·r−ωt)

ˆ

n

˜

B

(r, t) =

1

c

˜

E

0

e

i(k·r−ωt)

(ˆk × ˆ

n

) =

1

c

ˆk × ˜

E

(r, t)

ˆ

n

· k = 0

fala poprzeczna

ˆ

n

— wektor polaryzacji,

k

— wektor falowy

E

(r, t) = E

0

cos(k · r − ωt + δ) ˆ

n

B

(r, t) =

1

c

E

0

cos(k · r − ωt + δ)(ˆk × ˆ

n

)

9.2.3 Energia i pęd fal elektromagnetycznych

u =

1
2



0

E

2

+

1

µ

0

B

2

!

B

2

=

1

c

2

E

2

= µ

0



0

E

2

dla płaskiej fali monochromatycznej

u = 

0

E

2

= 

0

E

2

0

cos

2

(kz − ωt + δ)

wkład elektryczny i

magnetyczny są równe

S

=

1

µ

0

(E × B)

gęstość strumienia energii

S

= c

0

E

2

0

cos

2

(kz − ωt + δ) ˆ

z

= cu ˆ

z

dla płaskiej fali

monochromatycznej

℘

=

1

c

2

S

gęstość pędu

℘

=

1

c



0

E

2

0

cos

2

(kz − ωt + δ) ˆ

z

=

1

c

u ˆ

z

dla płaskiej fali

monochromatycznej

hui =

1
2



0

E

2

0

hSi =

1
2

c

0

E

2

0

ˆ

z

h℘i =

1

2c



0

E

2

0

ˆ

z

średnie po okresie

I ≡ h|S|i =

1
2

c

0

E

2

0

natężenie fali

9.3 Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym

9.3.1 Rozchodzenie się fal w ośrodkach liniowych

(i)

∇ · D = 0,

(iii)

∇ × E = −

∂B

∂t

,

(ii)

∇ · B = 0,

(iv)

∇ × H =

∂D

∂t

,











jeśli nie ma

ładunków i prądów

swobodnych

D

= E,

H

=

1

µ

B

w ośrodku liniowym

(i)

∇ · E = 0,

(iii)

∇ × E = −

∂B

∂t

,

(ii)

∇ · B = 0,

(iv)

∇ × B = µ

∂E

∂t

,











w ośrodku liniowym

i jednorodnym

µ

0



0

⇒ µ

v =

1

õ =

c

n

n ≡

r

µ



0

µ

0

współczynnik załamania

µ/µ

0

∼

= 1, n ∼

=

√



r

dla większości materiałów

Poprzednie wyniki pozostają słuszne po zamianie



0

→ 

,

µ

0

→ µ

,

c → v

u =

1
2

E

2

+

1

µ

B

2

!

gęstość energii

S

=

1

µ

(E × B)

wektor Poyntinga

I =

1
2

vE

2

0

natężenie fali

Co się dzieje, gdy fala przechodzi z jednego ośrodka do drugiego?

(i)



1

E

⊥

1

= 

2

E

⊥

2

,

(iii)

E

k

1

= E

k

2

,

(ii)

B

⊥

1

= B

⊥

2

,

(iv)

1

µ

1

B

k

1

=

1

µ

2

B

k

2

,











warunki brzegowe

9.3.2 Odbicie i przejście przy padaniu prostopadłym

x

z

y

1

2

powierzchnia graniczna

v

1

B

I

E

I

−v

1

B

R

E

R

v

2

B

T

E

T

˜

E

I

(z, t) = ˜

E

0

I

e

i(k

1

z−ωt)

ˆ

x

˜

B

I

(z, t) =

1

v

1

˜

E

0

I

e

i(k

1

z−ωt)

ˆ

y











fala padająca

˜

E

R

(z, t) = ˜

E

0

R

e

i(−k

1

z−ωt)

ˆ

x

˜

B

R

(z, t) = −

1

v

1

˜

E

0

R

e

i(−k

1

z−ωt)

ˆ

y











fala odbita

˜

E

T

(z, t) = ˜

E

0

T

e

i(k

2

z−ωt)

ˆ

x

˜

B

T

(z, t) =

1

v

2

˜

E

0

T

e

i(k

2

z−ωt)

ˆ

y











fala przechodząca

˜

E

0

I

+ ˜

E

0

R

= ˜

E

0

T

z (iii)

1

µ

1



1

v

1

˜

E

0

I

−

1

v

1

˜

E

0

R



=

1

µ

2



1

v

2

˜

E

0

T



z (iv)

˜

E

0

I

− ˜

E

0

R

= β ˜

E

0

T

,

β ≡

µ

1

v

1

µ

2

v

2

=

µ

1

n

2

µ

2

n

1

˜

E

0

R

=

1 − β
1 + β

!

˜

E

0

I

,

˜

E

0

T

=

2

1 + β

!

˜

E

0

I

˜

E

0

R

=



v

2

− v

1

v

2

+ v

1



˜

E

0

I

,

˜

E

0

T

=



2v

2

v

2

+ v

1



˜

E

0

I

dla

µ

1

= µ

2

= µ

0

E

0

R

=






v

2

− v

1

v

2

+ v

1






E

0

I

,

E

0

T

=






2v

2

v

2

+ v

1






E

0

I

amplitudy

rzeczywiste

E

0

R

=






n

1

− n

2

n

1

+ n

2






E

0

I

,

E

0

T

=






2n

1

n

1

+ n

2






E

0

I

amplitudy

rzeczywiste

I =

1
2

vE

2

0

natężenie fali

R ≡

I

R

I

I

=

E

0

R

E

0

I

!

2

=



n

1

− n

2

n

1

+ n

2



2

współczynnik odbicia

T ≡

I

T

I

I

=



2

v

2



1

v

1

E

0

T

E

0

I

!

2

=

4n

1

n

2

(n

1

+ n

2

)

2

współczynnik przejścia

R + T = 1

zasada zachowania energii

9.3.3 Odbicie i przejście przy padaniu ukośnym

z

1

2

płaszczyzna padania

k

R

k

I

k

T

θ

T

θ

R

θ

I

˜

E

I

(r, t) = ˜

E

0

I

e

i(k

I

·r−ωt)

˜

B

I

(r, t) =

1

v

1

[ˆk

I

× ˜

E

I

(r, t)]











fala padająca

˜

E

R

(r, t) = ˜

E

0

R

e

i(k

R

·r−ωt)

˜

B

R

(r, t) =

1

v

1

[ˆk

R

× ˜

E

R

(r, t)]











fala odbita

˜

E

T

(r, t) = ˜

E

0

R

e

i(k

T

·r−ωt)

˜

B

T

(r, t) =

1

v

2

[ˆk

T

× ˜

E

T

(r, t)]











fala przechodząca

k

I

v

1

= k

R

v

1

= k

T

v

2

= ω

⇒ k

I

= k

R

=

v

2

v

1

k

T

=

n

1

n

2

k

T

(. . . )e

i(k

I

·r−ωt)

+ (. . . )e

i(k

R

·r−ωt)

= (. . . )e

i(k

T

·r−ωt)

dla

z = 0

k

I

· r = k

R

· r = k

T

· r

dla

z = 0

x(k

I

)

x

+ y(k

R

)

y

= x(k

R

)

x

+ y(k

R

)

y

= x(k

T

)

x

+ y(k

T

)

y

(k

I

)

y

= (k

R

)

y

= (k

T

)

y

dla

x = 0

(k

I

)

x

= (k

R

)

x

= (k

T

)

x

dla

y = 0

Wektory falowe fali padającej, odbitej i przechodzącej leżą w tej

samej płaszczyźnie —

płaszczyźnie padania

— wyznaczonej przez

wektor falowy fali padającej i normalną do powierzchni

k

I

sin θ

I

= k

R

sin θ

R

= k

T

sin θ

T

θ

I

—

kąt padania

,

θ

R

—

kąt odbicia

,

θ

T

—

kąt załamania

Kąt padania jest równy kątowi odbicia

θ

I

= θ

R

Prawo załamania, prawo Snella

sin θ

T

sin θ

I

=

n

1

n

2

n

1

< n

2

, θ

T

< θ

I

;

n

1

> n

2

, θ

T

> θ

I

n

1

> n

2

,

dla

θ

I

> θ

gr

≡ arcsin



n

2

n

1



całkowite wewnętrzne

odbicie

z

1

2

płaszczyzna padania

k

R

k

I

θ

R

θ

I

całkowite wewnętrzne odbicie (

n

1

> n

2

)

z

x

1

2

płaszczyzna padania

⊙

⊕

⊙

k

R

k

I

k

T

θ

T

θ

R

θ

I

E

I

E

R

E

T

B

I

B

R

B

T

fala spolaryzowana w płaszczyźnie padania

(i)



1

( ˜

E

0

I

+ ˜

E

0

R

)

z

= 

2

( ˜

E

0

T

)

z

(ii)

( ˜

B

0

I

+ ˜

B

0

R

)

z

= ( ˜

B

0

T

)

z

(iii)

( ˜

E

0

I

+ ˜

E

0

R

)

x,y

= ( ˜

E

0

T

)

x,y

(iv)

1

µ

1

( ˜

B

0

I

+ ˜

B

0

R

)

x,y

=

1

µ

2

( ˜

B

0

T

)

x,y



































na granicy ośrodków

Dla polaryzacji równoległej do płaszczyzny padania:



1

(− ˜

E

0

I

sin θ

I

+ ˜

E

0

R

sin θ

R

) = 

2

(− ˜

E

0

T

sin θ

T

)

z (i)

( ˜

E

0

I

cos θ

I

+ ˜

E

0

R

cos θ

R

) = ˜

E

0

T

cos θ

T

z (iii)

1

µ

1

v

1

( ˜

E

0

I

− ˜

E

0

R

) =

1

µ

2

v

2

˜

E

0

T

z (iv)

˜

E

0

I

− ˜

E

0

R

= β ˜

E

0

T

z praw odbicia i załamania

β ≡

µ

1

v

1

µ

2

v

2

=

µ

1

n

2

µ

2

n

1

˜

E

0

I

+ ˜

E

0

R

= α ˜

E

0

T

α ≡

cos θ

T

cos θ

I

˜

E

0

R

=

α − β
α + β

!

˜

E

0

I

,

˜

E

0

T

=

2

α + β

!

˜

E

0

I

równania Fresnela

10

20

30

40

50

60

70

80

90

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

E

0R

E

0I

E

0T

E

0I

θ

I

θ

B

n

2

n

1

= 1.5

α =

p

1 − sin

2

θ

T

cos θ

I

=

p

1 − [(n

1

/n

2

) sin θ

I

]

2

cos θ

I

sin

2

θ

B

=

1 − β

2

(n

1

/n

2

)

2

− β

2

kąt Brewstera

µ

1

∼

= µ

2

⇒ β ∼

= n

2

/n

1

, sin

2

θ

B

∼

= β

2

/(1 + β

2

)

typowo

tg θ

B

∼

=

n

2

n

1

I

I

=

1
2



1

v

1

E

2

0

I

cos θ

I

natężenie fali padającej

I

R

=

1
2



1

v

1

E

2

0

R

cos θ

R

natężenie fali odbitej

I

T

=

1
2



2

v

2

E

2

0

T

cos θ

T

natężenie fali przechodzącej

R ≡

I

R

I

I

=

E

0

R

E

0

I

!

2

=

α − β
α + β

!

2

współczynnik odbicia

T ≡

I

T

I

I

=



2

v

2



1

v

1

E

0

T

E

0

I

!

2

cos θ

T

cos θ

I

= αβ

2

α + β

!

2

współczynnik

przejścia

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R

T

θ

I

θ

B

n

2

n

1

= 1.5

z

x

1

2

płaszczyzna padania

⊙

⊙

⊙

k

R

k

I

k

T

θ

T

θ

R

θ

I

B

I

B

R

B

T

E

I

E

R

E

T

fala spolaryzowana prostopadle do płaszczyzny padania

Dla polaryzacji prostopadłej do płaszczyzny padania:

(i)



1

( ˜

E

0

I

+ ˜

E

0

R

)

z

= 

2

( ˜

E

0

T

)

z

(ii)

( ˜

B

0

I

+ ˜

B

0

R

)

z

= ( ˜

B

0

T

)

z

(iii)

( ˜

E

0

I

+ ˜

E

0

R

)

x,y

= ( ˜

E

0

T

)

x,y

(iv)

1

µ

1

( ˜

B

0

I

+ ˜

B

0

R

)

x,y

=

1

µ

2

( ˜

B

0

T

)

x,y



































na granicy ośrodków

˜

E

0

I

+ ˜

E

0

R

= ˜

E

0

T

z (iii)

˜

E

0

I

− ˜

E

0

R

= αβ ˜

E

0

T

z (iv)

˜

E

0

R

=

1 − αβ
1 + αβ

!

˜

E

0

I

,

˜

E

0

T

=

2

1 + αβ

!

˜

E

0

I

równania Fresnela

10

20

30

40

50

60

70

80

90

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

E

0R

E

0I

E

0T

E

0I

θ

I

n

2

n

1

= 1.5

R ≡

˜

E

0

R

˜

E

0

I

!

2

=

1 − αβ
1 + αβ

!

2

współczynnik odbicia

T ≡



2

v

2



1

v

1

α

˜

E

0

T

˜

E

0

I

!

2

= αβ

2

1 + αβ

!

2

współczynnik przejścia

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R

T

θ

I

n

2

n

1

= 1.5

9.4 Absorpcja i dyspersja

9.4.1 Fale elektromagnetyczne w przewodnikach

J

sw

= σE

prawo Ohma

(i)

∇ · E =

1



ρ

sw

,

(iii)

∇ × E = −

∂B

∂t

,

(ii)

∇ · B = 0,

(iv)

∇ × B = µσE + µ

∂E

∂t

,











równania

Maxwella

∇ · J

sw

= −

∂ρ

sw

∂t

równanie ciągłości

∂ρ

sw

∂t

= −σ(∇ · E) = −

σ



ρ

sw

⇒ ρ

sw

(t) = e

−(σ/)t

ρ

sw

(0)

Ładunek swobodny szybko rozpływa się na brzegi

(i)

∇ · E = 0,

(iii)

∇ × E = −

∂B

∂t

,

(ii)

∇ · B = 0,

(iv)

∇ × B = µ

∂E

∂t

+ µσE,











równania

Maxwella

∆E = µ

∂

2

E

∂t

2

+ µσ

∂E

∂t

∆B = µ

∂

2

B

∂t

2

+ µσ

∂B

∂t











zmodyfikowane równania falowe

˜

E

(z, t) = ˜

E

0

e

i(˜

kz−ωt)

˜

B

(z, t) = ˜

B

0

e

i(˜

kz−ωt)











rozwiązania

˜k

2

= µω

2

+ iµσω

zespolona liczba falowa

˜k = k + iκ

k ≡ ω

q

µ

2

"r

1 +



σ

ω



2

+ 1

#

1/2

κ ≡ ω

q

µ

2

"r

1 +



σ

ω



2

− 1

#

1/2

˜

E

(z, t) = ˜

E

0

e

−κz

e

i(kz−ωt)

˜

B

(z, t) = ˜

B

0

e

−κz

e

i(kz−ωt)











rozwiązania

d ≡

1

κ

głębokość wnikania

λ =

2π

k

, v =

ω

k

, n =

ck

ω

˜

E

(z, t) = ˜

E

0

e

−κz

e

i(kz−ωt)

ˆ

x

˜

B

(z, t) =

˜

k

ω

˜

E

0

e

−κz

e

i(kz−ωt)

ˆ

y

z równań Maxwella

pola są prostopadłe

˜k = Ke

iφ

K ≡ |˜k| =

p

k

2

+ κ

2

= ω

v
u
u
t

µ

s

1 +



σ

ω



2

φ ≡ arctg



κ

k



B

0

e

iδ

B

=

Ke

iφ

ω

E

0

e

iδ

E

pola nie są w fazie

δ

B

− δ

E

= φ

B

0

E

0

=

K

ω

=

v
u
u
t

µ

s

1 +



σ

ω



2

rzeczywiste amplitudy

E

(z, t) = E

0

e

−κz

cos(kz − ωt + δ

E

) ˆ

x

B

(z, t) = B

0

e

−κz

cos(kz − ωt + δ

E

+ φ) ˆ

y

rozwiązania

rzeczywiste

z

x

y

E

B

9.4.2 Odbicie na powierzchni przewodzącej

(i)



1

E

⊥

1

− 

2

E

⊥

2

= σ

sw

,

(iii)

E

k

1

= E

k

2

,

(ii)

B

⊥

1

= B

⊥

2

,

(iv)

1

µ

1

B

k

1

−

1

µ

2

B

k

2

= K

sw

× ˆ

n

,











˜

E

I

(z, t) = ˜

E

0

I

e

i(k

1

z−ωt)

ˆ

x

˜

B

I

(z, t) =

1

v

1

˜

E

0

I

e

i(k

1

z−ωt)

ˆ

y











fala padająca

˜

E

R

(z, t) = ˜

E

0

R

e

i(−k

1

z−ωt)

ˆ

x

˜

B

R

(z, t) = −

1

v

1

˜

E

0

R

e

i(−k

1

z−ωt)

ˆ

y











fala odbita

˜

E

T

(z, t) = ˜

E

0

T

e

i(˜

k

2

z−ωt)

ˆ

x

˜

B

T

(z, t) =

˜

k

2

ω

˜

E

0

T

e

i(˜

k

2

z−ωt)

ˆ

y











fala przechodząca

˜

E

0

I

+ ˜

E

0

R

= ˜

E

0

T

z (iii)

1

µ

1

v

1

( ˜

E

0

I

− ˜

E

0

R

) −

˜k

2

µ

2

ω

˜

E

0

T

= 0

z (iv) przy

K

sw

= 0

˜

E

0

I

− ˜

E

0

R

= ˜β ˜

E

0

T

˜β ≡ µ

1

v

1

µ

2

ω

˜k

2

˜

E

0

R

=

1 − ˜β
1 + ˜β

!

˜

E

0

I

,

˜

E

0

T

=

2

1 + ˜β

!

˜

E

0

I

˜

E

0

R

= − ˜

E

0

I

,

˜

E

0

T

= 0

dla doskonałego przewodnika

(˜k

2

= ∞)

9.4.3 Zależność przenikalności elektrycznej od częstości

v =

ω

k

prędkość fazowa

v

g

=

dω

dk

prędkość grupowa

Elektron związany można potraktować jak tłumiony oscylator

harmoniczny.

m

d

2

x

dt

2

+ mγ

dx

dt

+ mω

2

0

x = qE

0

cos(ωt)

d

2

˜x

dt

2

+ γ

d˜x

dt

+ ω

2

0

˜x =

q

m

E

0

e

−iωt

w zmiennych zespolonych

˜x(t) = ˜x

0

e

−iωt

˜x

0

=

q/m

ω

2

0

− ω

2

− iγω

E

0

amplituda drgań

˜p(t) = q˜x(t) =

q

2

/m

ω

2

0

− ω

2

− iγω

E

0

e

−iωt

moment dipolowy

˜

P

=

Nq

2

m





X

j

f

j

ω

2

j

− ω

2

− iγ

j

ω





˜

E

polaryzacja ośrodka

˜

P

= 

0

˜χ

e

˜

E

zespolona podatność elektryczna

˜ = 

0

(1 + ˜χ

e

)

zespolona przenikalność elektryczna

˜

r

= 1 +

Nq

2

m

0

X

j

f

j

ω

2

j

− ω

2

− iγ

j

ω

zespolona względna

przenikalność elektryczna

∆ ˜

E

= ˜µ

0

∂

2

˜

E

∂t

2

równanie falowe dla danej częstości w

ośrodku dyspersyjnym

˜

E

(z, t) = ˜

E

0

e

i(˜

kz−ωt)

rozwiązanie

˜k ≡

p

˜µ

0

ω =

ω

c

√

˜

r

zespolona liczba falowa

˜k = k + iκ

˜

E

(z, t) = ˜

E

0

e

−κz

e

i(kz−ωt)

α = 2κ

współczynnik absorpcji

n =

ck

ω

współczynnik załamania

˜k = ω

c

√

˜

r

∼

=

ω

c





1 +

Nq

2

2m

0

X

j

f

j

ω

2

j

− ω

2

− iγ

j

ω





n =

ck

ω

∼

= 1 +

Nq

2

2m

0

X

j

f

j

(ω

2

j

− ω

2

)

(ω

2

j

− ω

2

)

2

+ γ

2

j

ω

2

α = 2κ ∼

=

Nq

2

ω

2

m

0

c

X

j

f

j

γ

j

(ω

2

j

− ω

2

)

2

+ γ

2

j

ω

2

0.8

1

1.2

1.4

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

dyspersja anomalna

ω/ω

j

κ(ω)

κ(ω

j

)

[n(ω) − 1]

ω

j

κ(ω

j

)c

γ

j

/ω

j

= 0.2

n = 1 +

Nq

2

2m

0

X

j

f

j

ω

2

j

− ω

2

daleko od rezonansów

1

ω

2

j

− ω

2

=

1

ω

2

j

1 −

ω

2

ω

2

j

!

−1

∼

=

1

ω

2

j

1 +

ω

2

ω

2

j

!

dla

ω < ω

j

n = 1 +





Nq

2

2m

0

X

j

f

j

ω

2

j





+ ω

2





Nq

2

2m

0

X

j

f

j

ω

4

j





n = 1 + A

1 +

B

λ

2

!

wzór Cauchy’ego

dla gazów w obszarze optycznym