fale elektromagnetyczne /

1

RÓWNANIA MAXWELLA

rot

rot

div

div

0

B

D

E

H

j

t

t

D

B

ρ

∂

∂

= −

=

+

∂

∂

=

=

m

H

H

B

m

F

E

D

/

10

4

/

10

85

,

8

7

0

0

12

0

0

−

−

⋅

π

=

µ

µµ

=

⋅

=

ε

εε

=

V

m

F

/

=

A

Vs

H

/

=

Dla ośrodka nie zawierającego ładunków swobodnych
(

ρ

= 0 i j = 0) jednorodne równania Maxwella

rot

rot

div

0 div

0

B

D

E

H

t

t

D

B

∂

∂

= −

=

∂

∂

=

=

dla

ε

= const. z jednorodnych równań Maxwella

wynika równanie falowe

fale elektromagnetyczne /

2

RÓWNANIA FALOWE

2

0

0

2

0

E

E

t

εε µµ

∂

∆ −

=

∂

0

2

2

0

0

=

∂

∂

µµ

εε

−

∆

t

H

H

Laplasjan

2

∆ = ∇ ⋅∇ = ∇

We współrzędnych kartezjańskich













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∆

2

2

2

2

2

2

z

y

x

fale elektromagnetyczne /

3

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Rozwiązaniem równania falowego jest dowolna funkcja
argumentu

r n

t

v

τ

⋅

= −

,

która ma ciągłe drugie pochodne.

W ośrodku rozchodzi się fala, której pole
elektryczne dane jest funkcją

r n

E

f t

v

⋅





=

−









x

y

z

n r

n x

n y

n z

⋅ =

+

+

n

określa kierunek a v wartość prędkości z jaką porusza

się punkt o stałej wartości

τ

o

v

µµ

εε

=

0

2

1

0

0

1

µ

ε

=

c

.

c

v

εµ

=

fale elektromagnetyczne /

4

FRONT FALOWY

Punkty o stałej wartości

τ

const.

r n

t

v

τ

⋅

= −

=

wyznaczają powierzchnie stałej fazy (fronty falowe).

Dla określonej chwili czasu (t = const.)

τ

= const.

oznacza, że

const.

r n

⋅ =

Dwuwymiarowe fronty falowe:

fale elektromagnetyczne /

5

FALA PŁASKA

z

front falowy

ˆ

n

x

r

r n

x

⋅ =

x

r

x

Powierzchnie stałej fazy tworzą płaszczyzny prostopadłe do
kierunku propagacji. Opisuje je równanie

x

= const.

Falę o dowolnym kształcie frontu falowego można
przedstawić jako sumę fal płaskich

Dla fali płaskiej propagującej się w kierunku x pochodne po y
i po z są równe 0. Powoduje to, że równania Maxwella
rozdzielają się na dwa podukłady

0

0

0

y

z

y

z

x

H

E

x

t

H

E

x

t

H

µµ

εε

∂

∂ =

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

=

0

0

y

z

o

y

z

x

E

H

x

t

E

H

x

t

E

µµ

εε

∂

∂

= −

∂

∂

∂

∂

= −

∂

∂

=

których rozwiązaniami są niezależne pary pól

(E

z

, H

y

)

oraz

(E

y

,

H

z

)

n

fale elektromagnetyczne /

6

FALE MONOCHROMATYCZNE

Jedną z możliwych funkcji

r n

E

f t

v

⋅





=

−









jest funkcja okresowa

E

=Ε

0

cos (

ωτ

)

gdzie

ω

= 2

π

/T częstość kołowa

(

)

(

)

0

0

0

cos

cos

lub

. .

i

t k r

E

E

t

n r

v

E

E

t

k r

E

E Ae

c c

ω

ω

ω

ω

− ⋅





=

−

⋅









=

− ⋅

=

+

k

-

wektor falowy

k

n

v

ω

=

0

0

µµ

εε

ω

=

k

ε

=

ε

(

ω

)

- dyspersja ośrodka.

fale elektromagnetyczne /

7

MONOCHROMATYCZNE FALE

PŁASKIE

(

)

(

)

cos

cos

0

0

kx

t

H

H

kx

t

E

E

z

y

−

ω

=

−

ω

=

0

0

0

0

y

z

E

H

µµ

εε

=

(

)

(

)

cos

cos

0

0

kx

t

H

H

kx

t

E

E

y

z

−

ω

=

−

ω

=

0

0

0

0

z

y

E

H

µµ

εε

−

=

Ogólnie

E

n

v

B

E

n

H

×

=

×

µµ

εε

=

1

lub

0

0

POLE

MAGNETYCZNE

POLE

ELEKTRYCZNE

fale elektromagnetyczne /

8

WIDMO

FAL ELEKTROMAGNETYCZNYCH

czopki

pręciki

fale elektromagnetyczne /

9

POLARYZACJA FAL

W ogólnym przypadku występują oba pola razem E = E

y

+ E

z

(

)

(

)

2

2

1

1

cos

ˆ

cos

ˆ

δ

+

−

ω

=

δ

+

−

ω

=

kx

t

A

z

E

kx

t

A

y

E

z

y

δ

1

-

δ

2

przesunięcie fazowe

fala spolaryzowana kołowo

A

1

= A

2

i

δ

1

-

δ

2

= (2m + 1)

π

/2 m = 0,

±

1, ...

fala spolaryzowana liniowo

A

1

= 0 lub A

2

= 0 lub

δ

1

-

δ

2

= m

π

fale elektromagnetyczne /

10

POLARYZATORY

Metody uzyskania fal spolaryzowanych np. liniowo:

•

emisja selektywna

•

absorpcja selektywna

•

selektywne odbicie

•

dwójłomność

Po przejściu przez polaryzator

E = E

0

cos

θ

I = I

0

cos

2

θ

prawo Malusa

θ

- kąt między osią łatwego przepuszczania polaryzatora, a

kierunkiem natężenia pola elektrycznego fali świetlnej.

KRYSZTAŁ DWÓJŁOMNY

fale elektromagnetyczne /

11

ENERGIA FALI

ELEKTROMAGNETYCZNEJ

•

Gęstość energii

2

0

.

2

1

2

1

E

D

E

e

el

εε

=

⋅

=

2

0

2

1

2

1

H

B

H

e

m

µµ

=

⋅

=

e

e

e

E

H

m

el

=

+

=

+

1

2

0

2

0

2

(

)

εε

µµ

2

0

E

e

εε

=

•

Strumień energii

S

E H

= ×

wektor Poyntinga

:

fale elektromagnetyczne /

12

NATĘśENIE FALI

0

1

T

sr

I

S

Sdt

T

=

=

∫

S

E

H

= ×

Dla fali płaskiej spolaryzowanej liniowo

H

E

=

εε

µµ

0

0

2

0

0

S

EH

E

εε

µµ

=

=

dla

t

T

>>

dt

kx

t

E

T

I

T

)

(

cos

1

2

2

0

0

0

0

−

=

∫

ω

µµ

εε

2

0

0

0

2

1

E

I

µµ

εε

=