Podstawy teoretyczne:

- struktura niezawodnościowa połączenia szeregowego:

ϕ=

1

k

i

1

Xi

−

(

)

∏

=

Marek L##### gr ### MTR

Niezawodność i bezpieczeństwo systemów mechatronicznych

PRACA DOMOWA NR 1

Ścieżki:
S

1

: x

a

, x

e

S

2

: x

b

, x

e

S

3

: x

c

, x

d

, x

e

S

4

: x

c

, x

f

, x

e

Ścieżki te są ścieżkami minimalnymi obiektu.

Cięcia:
C

1

: x

a

,x

b

,x

c

C

2

: x

a

,x

b

,x

d

,x

f

C

3

: x

e

Cięcia te są cięciami minimalnymi obiektu.

- struktura niezawodnościowa połączenia równoległego:

∏

∈

=

sj

S

i

i

j

x

x

s

)

(

- struktura zdatności minimalnych ścieżek:

- struktura niezdatności minimalnych cięć:

∏

∈

∈

−

−

=

=

sj

S

i

i

sj

S

i

i

j

x

x

x

c

)

1

(

1

)

(

C

ϕ

ϕ

D

n

x

x

x

x

( )

(

,

,...,

)

= −

−

−

−

1

1

1

1

1

2

- struktura dualna:

Sposób 1 - schemat blokowy

Cały układ staramy się połączyć w jeden blok, łącząc ze sobą
elementy szeregowo jak i równolegle.

xab

1

1

xa

−

(

)

1

xb

−

(

)

−

:=

xa

xab

xa xb

+

xa xb

⋅

−

:=

xa

xdf

1

1

xd

−

(

)

1

xf

−

(

)

−

:=

xd

xdf

xd xf

+

xd xf

⋅

−

:=

xd

xcdf

xc xd xf

+

xd xf

⋅

−

(

)

⋅

:=

xc

xabcdf

1

1

xa xb

+

xa xb

⋅

−

(

)

−





1

xc xd xf

+

xd xf

⋅

−

(

)

⋅

−





⋅

−

:=

xa

xabcdf

xa xb

+

xa xb

⋅

−

xc xd

⋅

+

xc xf

⋅

+

xa xc

⋅

xd

⋅

−

xb xc

⋅

xd

⋅

−

xa xc

⋅

xf

⋅

−

xb xc

⋅

xf

⋅

−

xc xd

⋅

xf

⋅

−

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

+

xa xb

⋅

xc

⋅

xf

⋅

+

xa xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

+

xb xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

+

−

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

+

...

:=

xabcdef

xe 1

1

xa xb

+

xa xb

⋅

−

(

)

−





1

xc xd xf

+

xd xf

⋅

−

(

)

⋅

−





⋅

−





⋅

:=

xe

xabcdef

xe xa xb

+

xa xb

⋅

−

xc xd

⋅

+

xc xf

⋅

+

xa xc

⋅

xd

⋅

−

xb xc

⋅

xd

⋅

−

xa xc

⋅

xf

⋅

−

xb xc

⋅

xf

⋅

−

xc xd

⋅

xf

⋅

−

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

+

xa xb

⋅

xc

⋅

xf

⋅

+

xa xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

+

+

xb xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

−

+

...













⋅

:=

ϕ

xe xa xb

+

xa xb

⋅

−

xc xd

⋅

+

xc xf

⋅

+

xa xc

⋅

xd

⋅

−

xb xc

⋅

xd

⋅

−

xa xc

⋅

xf

⋅

−

xb xc

⋅

xf

⋅

−

xc xd

⋅

xf

⋅

−

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

+

xa xb

⋅

xc

⋅

xf

⋅

+

xa xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

+

+

xb xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

−

+

...













⋅

:=

Sposób 2 - minimalne ścieżki

Wyznaczamy minimalne ścieżki, czyli takie ścieżki, w których znajduje się minimalna ilość elementów, których zdatność
powoduje zdatność całego układu.

S1

xa ae

⋅

:=

xa

układ wejściowy (założony)

|

\/

<-- graficzne przedstawienie ścieżek

S2

xb .⋅xe

:=

xb

S3

xc xd

⋅

xe

⋅

:=

xc

S4

xc xf

⋅

xe

⋅

:=

xc

Wzór ogólny:

ϕs S

( )

1

1

S1

−

(

)

1

S2

−

(

)

1

S3

−

(

)

⋅

1

S4

−

(

)

⋅

−

:=

S1

ϕs S

( )

1

1

xa xe

⋅

−

(

)

1

xb xe

⋅

−

(

)

1

xc xd

⋅

xe

⋅

−

(

)

1

xc xf

⋅

xe

⋅

−

(

)

−

:=

xa

<-- przy wykonywaniu obliczeń uwzględniona jest algebra Boole'a

ϕs S

( )

xa xe

⋅

xb xe

⋅

+

xc xd

⋅

xe

⋅

+

xc xe

⋅

xf

⋅

+

xa xb

⋅

xe

⋅

−

xa xc

⋅

xd

⋅

xe

⋅

−

xb xc

⋅

xd

⋅

xe

⋅

−

xa xc

⋅

xe

⋅

xf

⋅

−

xb xc

⋅

xe

⋅

xf

⋅

−

xc xd

⋅

xe

⋅

xf

⋅

−

xa xc

⋅

xd

⋅

xe

⋅

xf

⋅

+

+

xb xc

⋅

xd

⋅

xe

⋅

xf

⋅

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

xe

⋅

+

xa xb

⋅

xc

⋅

xe

⋅

xf

⋅

+

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

xe

⋅

xf

⋅

−

+

...

:=

czyli:

ϕs S

( )

xe xa xb

+

xa xb

⋅

−

xc xd

⋅

+

xc xf

⋅

+

xa xc

⋅

xd

⋅

−

xb xc

⋅

xd

⋅

−

xa xc

⋅

xf

⋅

−

xb xc

⋅

xf

⋅

−

xc xd

⋅

xf

⋅

−

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

+

xa xb

⋅

xc

⋅

xf

⋅

+

xa xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

+

+

xb xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

−

+

...













⋅

:=

Sposób 3 - minimalne cięcia

Wyznaczamy minimalne cięcia, czyli takie cięcia, w których znajdzie się minimalna ilość elementów, których niezdatność
powoduje niezdatność układu.

C

1

: x

a

,x

b

,x

c

C

2

: x

a

,x

b

,x

d

,x

f

C

3

: x

e

cięcie C

1

-->

C1

1

1

xa

−

(

)

1

xb

−

(

)

⋅

1

xc

−

(

)

⋅





−

:=

xa

C1

xa xb

+

xc

+

xa xb

⋅

−

xa xc

⋅

−

xb xc

⋅

−

xa xb

⋅

xc

⋅

+

:=

xa

cięcie C

2

-->

C2

1

1

xa

−

(

)

1

xb

−

(

)

⋅

1

xd

−

(

)

⋅

1

xf

−

(

)

⋅





−

:=

xa

C2

xa xb

+

xd

+

xf

+

xa xb

⋅

−

xa xd

⋅

−

xb xd

⋅

−

xa xf

⋅

−

xb xf

⋅

−

xd xf

⋅

−

xa xb

⋅

xd

⋅

+

xa xb

⋅

xf

⋅

+

xa xd

⋅

xf

⋅

+

xb xd

⋅

xf

⋅

+

xa xb

⋅

xd

⋅

xf

⋅

−

:=

xa

C3

1

1

xe

−

(

)

−

:=

xe

C3

xe

:=

xe

cięcie C

3

-->

ϕs C

( )

C1 C2

⋅

C3

⋅

:=

C1

ϕs C

( )

1

1

xa

−

(

)

1

xb

−

(

)

⋅

1

xc

−

(

)

⋅





−





1

1

xa

−

(

)

1

xb

−

(

)

⋅

1

xd

−

(

)

⋅

1

xf

−

(

)

⋅





−





⋅

xe

⋅

:=

xa

<-- przy wykonywaniu obliczeń uwzględniona jest algebra Boole'a

ϕs C

( )

xe xa xb

+

xa xb

⋅

−

xc xd

⋅

+

xc xf

⋅

+

xa xc

⋅

xd

⋅

−

xb xc

⋅

xd

⋅

−

xa xc

⋅

xf

⋅

−

xb xc

⋅

xf

⋅

−

xc xd

⋅

xf

⋅

−

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

+

xa xb

⋅

xc

⋅

xf

⋅

+

xa xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

+

+

xb xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

−

+

...













⋅

:=

W łatwy sposób można sprawdzić poprawność cięć, poprzez macierz zasięgu dla zbioru ścieżek.

Otrzymane minimalne ścieżki z układu:
S

1

: x

a

, x

e

S

2

: x

b

, x

e

S

3

: x

c

, x

d

, x

e

S

4

: x

c

, x

f

, x

e

Mając wyznaczone ścieżki, tworzymy macierz zasięgu, w kolumnach znajdują się ścieżki, natomiast w wierszach są wyszczególnione wszystkie elementy układu.
Mając tak określoną macierz, dokonujemy jej wypełnienia, sprawdzając czy w poszczególnych ścieżkach występują dane elementy.

S

1

S

2

S

3

S

4

x

a

x

b

x

c

x

d

x

e

x

f

<-- macierz zasięgu

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

































Aby określić minimalne cięcia, musimy znaleźć dopełnienia wierszami, w wyniku czego otrzymujemy:

C

1

: x

a

,x

b

,x

c

C

2

: x

a

,x

b

,x

d

,x

f

C

3

: x

e

W ten łatwy sposób sprawdziliśmy, czy dobrze zostały dokonane cięcia.
Wynika z tego, iż wcześniej określone przeze mnie minimalne cięcia zostały dokonane poprawnie.

Sposób 4 - struktura dualna

Wykorzystując wcześniej obliczoną niezawodność systemu (obojętnie jakiej struktury, ponieważ wszystkie są sobie równe) wyznaczam zawodność
układu :

ϕ

xe xa xb

+

xa xb

⋅

−

xc xd

⋅

+

xc xf

⋅

+

xa xc

⋅

xd

⋅

−

xb xc

⋅

xd

⋅

−

xa xc

⋅

xf

⋅

−

xb xc

⋅

xf

⋅

−

xc xd

⋅

xf

⋅

−

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

+

xa xb

⋅

xc

⋅

xf

⋅

+

xa xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

+

+

xb xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

−

+

...













⋅

:=

Wzór teoretyczny struktury dualnej:

ϕD

1

ϕ 1

xa

−

1

xb

−

,

1

xc

−

,

1

xd

−

,

1

xe

−

,

1

xe

−

,

1

xf

−

,

(

)

−

:=

ϕ

Podstawiając do powyższego wzoru ϕ otrzymujemy:

ϕD

1

1

xe

−

(

)

1

xa

−

(

)

1

xb

−

(

)

+

1

xa

−

(

)

1

xb

−

(

)

⋅





−

1

xc

−

(

)

1

xd

−

(

)

⋅





+

1

xc

−

(

)

1

xf

−

(

)

⋅





+

1

xa

−

(

)

1

xc

−

(

)

⋅

1

xd

−

(

)

⋅





−

−

1

xb

−

(

)

1

xc

−

(

)

⋅

1

xd

−

(

)

⋅





1

xa

−

(

)

1

xc

−

(

)

⋅

1

xf

−

(

)

⋅





−

1

xb

−

(

)

1

xc

−

(

)

⋅

1

xf

−

(

)

⋅





−

1

xc

−

(

)

1

xd

−

(

)

⋅

1

xf

−

(

)

⋅





−

+

+

...

1

xa

−

(

)

1

xb

−

(

)

⋅

1

xc

−

(

)

⋅

1

xd

−

(

)

⋅





1

xa

−

(

)

1

xb

−

(

)

⋅

1

xc

−

(

)

⋅

1

xf

−

(

)

⋅





+

1

xa

−

(

)

1

xc

−

(

)

⋅

1

xd

−

(

)

⋅

1

xf

−

(

)

⋅





+

+

+

...

1

xb

−

(

)

1

xc

−

(

)

⋅

1

xd

−

(

)

⋅

1

xf

−

(

)

⋅





1

xa

−

(

)

1

xb

−

(

)

⋅

1

xc

−

(

)

⋅

1

xd

−

(

)

⋅

1

xf

−

(

)

⋅





−

+

...

















⋅

















−

:=

<-- przy wykonywaniu
obliczeń uwzględniona jest
algebra Boole'a

ϕD

xe xa xb

⋅

xc

⋅

+

xa xb

⋅

xc

⋅

xe

⋅

−

xa xb

⋅

xd

⋅

xf

⋅

+

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

−

xa xb

⋅

xd

⋅

xe

⋅

xf

⋅

−

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

xe

⋅

xf

⋅

+

:=

xe

Dokonuję sprawdzenia poprawności otrzymanego wyniku, w sposób bardzo prosty:

- strukturę równoległą niezawodnościową traktujemy jako szeregową zawodnościową;

- strukturę szeregową niezawodnościową traktujemy jako równoległą zawodnościową.

ϕD.spr

xe

xa xb

⋅

(

)

xc xd xf

⋅

+

xc xd

⋅

xf

⋅

−

(

)

⋅

+

xe xa xb

⋅

(

)

⋅

xc xd xf

⋅

+

xc xd

⋅

xf

⋅

−

(

)

⋅

−

:=

xe

ϕD.spr

xe xa xb

⋅

xc

⋅

+

xa xb

⋅

xc

⋅

xe

⋅

−

xa xb

⋅

xd

⋅

xf

⋅

+

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

xf

⋅

−

xa xb

⋅

xd

⋅

xe

⋅

xf

⋅

−

xa xb

⋅

xc

⋅

xd

⋅

xe

⋅

xf

⋅

+

:=

xe

ϕD = ϕD

spr

Tak jak widzimy, wartość ϕD i ϕD

spr

są sobie równe, potwierdza to dobrzee wykonaną strukturę dualną.

Sposób 5 - macierz połączeń

Macierz połączeń układu:

1 2 3 4

1
2
3
4

<-- Cyfry nad macierzą

oraz z jej lewej strony
oznaczają węzły.

1

0

0

0

xc

1

0

0

xa xb

+

xd xf

+

1

0

0

0

xe

1





















Powyższą macierz połączeń mnożę przez siebie tak, aby elementy wewnątrz macierzy się 'ustabilizowały', tzn.aby wartości w poszczególnych
komórkach przy kolejnej iteracji mnożenia (n+1) powtarzały się co w iteracji poprzedniej (n).
W moim przypadku wystarczyło przemnożyć 3 razy, aby elementy w poszczególnych komórkach powtarzały się wraz z kolejną iteracją.

1 2

3

4

1
2
3
4

1

0

0

0

xc

1

0

0

xa xb

+

xd xf

+

1

0

0

0

xe

1





















3

=

1

0

0

0

xc

1

0

0

xa xb

+

xc xd

⋅

+

xc xf

⋅

+

xd xf

+

1

0

xe xa xb

+

xc xd

⋅

+

xc xf

⋅

+

(

)

⋅

xe xd xf

+

(

)

⋅

xe

1





















<-- W macierzy uwzględniono algebrę Boole'a.

Tak jak widzimy (4 kolumna i 1 wiersz) są wyszczególnione wszystkie ścieżki, po ich wymnożeniu, uzyskujemy:

xa xe

⋅

xb xe

⋅

+

xc xd

⋅

xe

⋅

+

xc xe

⋅

xf

⋅

+

Powyższe ścieżki są zgodne z wcześniej założonymi ścieżkami, które zostały określone na drodze empirycznej.

Sposób 6 - redukcja macierzy

Do redukcji wykorzystamy macierz ze sposobu 5, macierz połączeń.

1 2 3 4

1
2
3
4

1

0

0

0

xc

1

0

0

xa xb

+

xd xf

+

1

0

0

0

xe

1





















Po redukcji k=2 (redukcja 2-go wiersza i 2-iej kolumny), otrzymujemy macierz 3x3:

1

3

4

1
3
4

1

0

0

xa xb

+

xc xd xf

+

(

)

+

1

0

0

xe

1





















Po redukcji węzła k=3, otrzymujemy macierz 2x2:

1

4

1
4

1

0

xe xa ab

+

xc xd

⋅

+

xc xf

⋅

+

(

)

⋅

1













Ostatnia macierz przedstawia zależności między wejściem a wyjściem, między węzłem nr 1 a nr 4.
Także jak w sposobie 5, mamy potwierdzenie co do poprawności wcześniej określonych ścieżek.