LISTA 6

CAŁKI ZESPOLONE, SZEREGI, RESIDUA

1. Obliczyć podane całki po zadanych krzywych:

a)

Z

C

|e

z

| z dz, C – odcinek o początku −i i końcu 1;

b)

Z

C

(3z + 1)z dz, C – półokrąg {z ∈

C

: |z| = 1, Rez ­ 0} o początku −i i końcu i;

c)

Z

C

(z − z) dz, C – łuk paraboli y = x

2

o początku 1 + i i końcu 0;

d)

Z

C

z Rez

2

dz, C – ćwiartka okręgu {z ∈

C

: |z| = 2, Rez ­ 0, Imz ­ 0} o początku 2i

i końcu 2,

2. Bez wykonywania obliczeń uzasadnić, że poniższe całki są równe 0:

a)

Z

C

e

z

z

dz, C – trójkąt o wierzchołkach −1, 2i, −2 + 4i;

b)

Z

C

z

z

2

+ 4

dz, C – okrąg |z| = 1.

3. Korzystając ze wzoru Cauchy’ego lub jego uogólnień obliczyć podane całki:

a)

Z

C

e

z

dz

z(z − 2i)

, C – okrąg |z − 3i| = 2 zorientowany dodatnio;

b)

Z

C

ze

2πz

dz

z

2

+ 1

, C – łamana zamknięta o wierzchołkach 0, 1 + 2i, −1 + 2i zorientowana

dodatnio;

c)

Z

C

dz

(z

2

+ 9)

2

, C – okrąg |z − 2i| = 2 zorientowany dodatnio;

d)

Z

C

sin z dz

(z

2

− π

2

)

2

, C – okrąg |z − 3| = 1 zorientowany dodatnio;

a)

Z

C

e

z

dz

z(z − πi)

3

, C – okrąg |z − πi| = 1 zorientowany dodatnio.

4. Znaleźć promienie i koła zbieżności podanych szeregów potęgowych:

a)

∞

X

n=1

z

n

n

2

;

b)

∞

X

n=0

i

n

z

n

n!

;

c)

∞

X

n=0

(1 + i)

n

z

n

;

d)

∞

X

n=1

(z − i)

n

n

2

(1 + i)

n

;

e)

∞

X

n=1

e

in

(z − 2i)

n

(1 +

√

3i)

n

;

f )

∞

X

n=0

(n + i)(z − 1 + i)

n

(2n + i)

.

5. Korzystajac ze znanych rozwinięć, znaleźć rozwinięcia podanych funkcji f (z) w szereg

Taylora w otoczeniu punktu z

0

oraz koło zbieżności otrzymanego szeregu:

a) f (z) = z sin z

2

, z

0

= 0;

b) f (z) =

1

1 + z

, z

0

= i;

c) f (z) =

cos z − 1

z

dla z 6= 0, f (0) = 0, z

0

= 0;

d) f (z) = e

z

, z

0

= πi.

6. Znaleźć wszystkie zera podanych funkcji i zbadać ich krotność:

a) f (z) = (z

3

+ 1)

2

z

4

;

b) f (z) = z

2

(e

iz

− 1);

c) f (z) =

sin z

z

;

d) f (z) = 1 − cos 2z.

7. Określić rodzaj punktów osobliwych odosobnionych podanych funkcji. W przypadku bie-

gunów zbadać ich krotność:

a) f (z) =

z

2

z

2

+ 1

;

b) f (z) =

sin z

z

2

− π

2

;

c) f (z) =

z

sin z

;

d) f (z) =

z

2

e

z

− 1

;

e) f (z) = z sin

1

z

;

f ) f (z) =

1

z(cos z − 1)

.

8. Obliczyć residua funkcji f (z) w punktach osobliwych:

a) f (z) =

z + 1

z

2

+ 1

;

b) f (z) =

z

2

(z − 1)

2

;

c) f (z) =

1

z

3

− z

5

;

d) f (z) =

1

z

2

cos z

;

e) f (z) =

e

z

z

;

f ) f (z) = ze

1
z

;

g) f (z) =

1

1 − z

8

w punkcie z = i.

9. Korzystając ze wzoru

∞

Z

−∞

f (x) dx = 2πi

n

X

k=1

res

z

k

f (z),

gdzie suma obejmuje residua w górnej półpłaszczyźnie, obliczyć całki:

a)

∞

Z

−∞

x

2

+ 1

x

4

+ 1

dx;

b)

∞

Z

−∞

dx

(1 + x

2

)

3

;

c)

∞

Z

−∞

dx

(x

2

+ 2)(x

2

+ 5)

.

Odpowiedzi i przykłady można znaleźć w książce dr Jolanty Długosz: Funkcje zespolone.