Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2008/2009

1. [4p.] Obliczyć pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywą o równaniu y =

3x

1 + x

4

, jej asymp-

totą poziomą oraz prostą x = 1, dla x ­ 1.

2. [4p.] a) Napisać równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt A(2, 3, 1) i równo-

ległej do płaszczyzn o równaniach 6x − y + z − 2 = 0 oraz x + 3y − 2z + 1 = 0.
[2p.] b)Podać i pokazać na przykładach cztery wybrane rodzaje macierzy.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] Rozwiązać równanie






1

2

3

4

3

−1

1 −1

1






· X =






14

7
2






4. [4p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = e

−y/2

(x

2

− y).

[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

arctg(1, 01)

arc sin(0, 49)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru płaskiego ograniczonego liniami

x

2

+ y

2

+ 2y = 0, y = −x oraz prostą x = 0.

6. [4p.] a) Obliczyć

ZZ

V

Z

(x

2

+ 2y − 3z)dxdydz

gdzie bryła V ograniczona jest powierzchnią 2y = x

2

i płaszczyznami y = 2, z = 0 i z = 2.

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego typu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Pokazać, że nie istnieje granica funkcji

lim

(x,y)→(0,0)

x

2

− xy

2

+ y

4

x

2

− y

4

8. *) [poprawkowe] [7p.] Wyznaczyć asymptoty, przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji

f (x) = arctg(2x) +

1

4x