Egzamin poprawkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2008/2009
1. [7p.] Wyznaczyć wartości parametru k ∈ R, dla których funkcja f (x) jest ciągła
f (x) =
(x − 2)arctg
1
2−x
dla
x < 2
5k
2
− 1
dla
x = 2
5
−
1
x−2
dla
x > 2
2. [7p.] a) Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji g(x) =
1 + ln x
ex
w punkcie, w którym
osiąga ona wartość ekstremalną.
[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = sin 2x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] Obliczyć całki ( w punkcie b) zbadać zbieżność)
a)
Z
dx
8 − 4 sin x + 7 cos x
b)
1
Z
−∞
e
3x
dx
1 + e
2x
4. [7p.] a) Wyznaczyć macierz X z równania (
1
3
AX
−1
)
−1
− B = X, gdzie
A
−1
=
1 0 1
1 1 0
1 0 1
,
B
T
=
1
0
−1
[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = e
x−y
(x
2
− 2y
2
).
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
3
q
(2, 01)
3
+ 117, 1.
6. [7p.] a) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = 1 −
√
x
2
+ y
2
i z = 3 − x
2
−y
2
.
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego typu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Napisać równanie parametryczne prostej o równaniu krawędziowym
x + y − 2z = 1
2x − y + z = 2