Egzamin poprawkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2008/2009

1. [7p.] Wyznaczyć wartości parametru k ∈ R, dla których funkcja f (x) jest ciągła

f (x) =



















(x − 2)arctg

1

2−x

dla

x < 2

5k

2

− 1

dla

x = 2

5

−

1

x−2

dla

x > 2

2. [7p.] a) Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji g(x) =

1 + ln x

ex

w punkcie, w którym

osiąga ona wartość ekstremalną.
[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = sin 2x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] Obliczyć całki ( w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

dx

8 − 4 sin x + 7 cos x

b)

1

Z

−∞

e

3x

dx

1 + e

2x

4. [7p.] a) Wyznaczyć macierz X z równania (

1
3

AX

−1

)

−1

− B = X, gdzie

A

−1

=






1 0 1
1 1 0
1 0 1






,

B

T

=






1
0

−1






[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = e

x−y

(x

2

− 2y

2

).

[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

3

q

(2, 01)

3

+ 117, 1.

6. [7p.] a) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = 1 −

√

x

2

+ y

2

i z = 3 − x

2

−y

2

.

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego typu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Napisać równanie parametryczne prostej o równaniu krawędziowym







x + y − 2z = 1

2x − y + z = 2