Egzamin poprawkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2009/2010

1. [7p.] Wyznaczyć wartości parametru p ∈ R, dla których funkcja f (x) jest ciągła

f (x) =































2

1
x

− 1

2

1
x

+ 1

dla

x < 0

2p

2

dla

x = 0

e

−

1

x−1

dla

x > 0

2. [7p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = x

√

a sin x

w punkcie o współrzędnej

x

0

= b

2

·

π

2

, gdzie a = lim

n→∞

ln

n

2

n

2

− 1

!

4n

2

, natomiast b jest ujemnym pierwiastkiem równania

x

2

− 2x − 3 = 0.

[2p.] b) Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = ctg x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] Obliczyć całki ( w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

dx

5 − 3 cos x

dx

b)

+∞

Z

2

ln

2

x

x

dx

4. [7p.] a) Wyznaczyć macierz X z równania A · X · (40B)

−1

= (A

−1

· B)

−1

, gdzie

A =

"

1

2

3 −2

#

,

B =

"

2

1

1 −2

#

[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery rodzaje macierzy.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] a) Znaleźć funkcję holomorficzną f (z), gdy dana jest jej część rzeczywista

u(x, y) = x

2

− y

2

+ 2x

[2p.] b) Wyznaczyć

3

√

−i. Wynik przedstawić na płaszczyźnie zespolonej.

6. [7p.] a) Obliczyć

Z

D

Z

ln(1+x

2

+y

2

)dxdy, gdzie obszar D opisany jest nierównościami: x

2

+y

2

¬ 9,

x ­ 0 i y ¬ 0 . Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych.

7. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A(1, −1, 3), B(0, 2, −2)

i C(4, 2, 0).