Zaliczenie poprawkowe z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, kierunek EiT, 2 sem., r. ak. 2008/2009
1. [7p.] Uzasadnić, że całka
Z
L
(e
x
+ 4y)dx + (4x − sin y)dy
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(0, 0) do punktu B(0,
π
2
).
2. [7p.] a) Obliczyć całkę
Z
S
Z
(6x + 4y + 3z)dS,
gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu x + 2y + 3z = 6, leżącą w pierwszym oktancie
układu współrzędnych.
[2p.] b) W oparciu o definicję wyznaczyć gradient dowolnie wybranego pola skalarnego
określonego w pewnym obszarze V ⊂ R
3
.
3. [7p.] a) Wyznaczyć funkcję holomorficzną f (z), jeśli dana jest jej część urojona
v(x, y) = y
3
− 3yx
2
[2p.] b) Wyznaczyć
4
√
1. Otrzymane pierwiastki zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów i określić jej rodzaj:
a)
∞
X
n=1
(−1)
n+1
n
2n
2
− 1
b)
∞
X
n=1
n
3
2
n
+ 3
n
[2p.] c) Podać dwa przykłady szeregów rozbieżnych, z których jeden spełnia, a drugi nie
spełnia warunku koniecznego zbieżności.
5. [7p.] Rozwinąć funkcję f (x) = x ln(10 + x) w szereg Maclaurina. Określić przedział zbież-
ności otrzymanego szeregu.
6. [7p.] Stosując transformatę Laplace’a wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y
00
+ 9y = −e
t
przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y
0
(0) = 1.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a oryginału f (t) = t
2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania
y
0
−
y
x
=
1
x
2
,
y (1) = 0