Kolokwium połówkowe z „Analizy matematycznej II”

WETI, EiT, 2 sem., r. ak. 2010/2011

1. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchniami

x

2

+ y

2

+ z

2

= 4z

i

x

2

+ y

2

= z

2

znajdującej się wewnątrz tych powierzchni. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego
typu.

2. [4p.] Obliczyć

Z

K

ye

−x

dl, gdzie K jest krzywą postaci:

K = {(x, y) : x(t) = ln (1 + t

2

), y(t) = 2arctg t − t + 1, 0 ¬ t ¬ 2}

3. [4p.] Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

Z

K

3(x

2

+ y

2

)dx + (x + y)

2

dy,

gdzie K jest brzegiem trójkąta zorientowanym dodatnio o wierzchołkach w punktach
A(1, 1), B(2, 2) i C(3, 1). Wykonać odpowiedni rysunek.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [4p.] Obliczyć

Z

S

Z

z

2

dS, gdzie S jest powierzchnią o równaniu x

2

+ y

2

+ z

2

= 9.

5. [4p.] a) Sprawdzić, czy pole ~

W = 6(x + y)~i + (6x + 3y

2

)~j jest potencjalne. Jeśli tak, znaleźć

jego potencjał.
[2p.] b) Uzasadnić, że

grad(a ϕ + b ψ) = a gradϕ + b gradψ

gdzie ϕ , ψ są różniczkowalnymi polami skalarnymi, a, b ∈ R.

6. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych

a)

∞

X

n=1

√

2n

2

− 1

3n

3

+ n − 2

b)

∞

X

n=1

(n!)

2

e

2n

(2n)!

[2p.] c) Podać dwa przykłady szeregów spełniających warunek konieczny zbieżności, z
których jeden jest zbieżny, a drugi rozbieżny. Odpowiedź uzasadnić.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć sumę szeregu

∞

X

n=1

ln

1 −

2

(n + 1)(n + 2)

!