Kolokwium połówkowe z „Analizy matematycznej i algebry liniowej”

WETI, IBM gr.1-3, 2 sem., r. ak. 2009/2010

1. [4p.] Obliczyć całkę

Z Z

V

Z

(2x+3y−z) dxdydz, gdzie V jest graniastosłupem ograniczonym

płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, z = 3 i x + y = 2. Wykonać odpowiedni rysunek.

2. [4p.] a) Stosując całki potrójne obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

x

2

+ y

2

+ z

2

= 4

i

x

2

+ y

2

= 3z

2

znajdującej się wewnątrz tych powierzchni. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

Z

K

2xydx + xdy

gdzie K jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru określonego nierównościami
x

2

+ y

2

¬ 1 oraz y ¬ 0. Wykonać odpowiedni rysunek.

[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) jedno z zastosowań geometrycznych całek
krzywoliniowych skierowanych.

4. [4p.] Uzasadnić, że całka

Z

L

cos 4ydx − 4x sin 4ydy

nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(2,

π

4

) do punktu B(1,

π

6

).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Obliczyć całkę

Z

S

Z

(xz +

q

1 + 4y)dS, gdzie S jest częścią powierzchni y = x

2

zawartą między płaszczyznami z = 0, z = 2 i y = 1. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płaszczyzny
XOZ.

6. [4p.] Wyznaczyć gradient pola skalarnego F (x, y, z) = z − arctg

y

x

. Dla otrzymanego pola

wektorowego ~

W = grad F wyznaczyć jego dywergencję.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę

Z

S

Z

xdydz + ydxdz + zdxdy

jeżeli S jest zewnętrzną stroną powierzchni kuli o równaniu x

2

+ y

2

+ z

2

= a

2

.