kol pol sem2 AiR 2010

background image

Kolokwium połówkowe z „Analizy matematycznej i algebry liniowej”

WETI, AiR gr.1-5, 2 sem., r. ak. 2009/2010

1. [4p.] Obliczyć całkę

Z Z

V

Z

q

x

2

+ y

2

+ z

2

dxdydz, gdzie

V = {(x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+ y

2

+ z

2

− y ¬ 0}

Wykonać odpowiedni rysunek.

2. [4p.] a) Stosując całki potrójne obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

4x

2

+ 9y

2

= 36z

2

,

4x

2

+ 9y

2

= 36

i płaszczyzną z = 0, dla z ­ 0. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych uogólnionych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

Z

K

xye

2x

dx + e

−x

y

2

dy,

gdzie K jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi y = e

x

i y = e

2x

oraz prostą x = 1. Wykonać odpowiedni rysunek.

[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) zastosowanie geometryczne całek powierzchniowych
niezorientowanych.

4. [4p.] Uzasadnić, że całka

Z

L

2y sin 2xdx − cos 2xdy

nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(

π

6

, 1) do punktu B(

π

4

, 2).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Obliczyć całkę

Z

S

Z

x

2

dydz + y

2

dxdz + z

2

dxdy, gdzie S jest częścią powierzchni

z =

1

4

−x

2

−y

2

leżącą w I oktancie układu współrzędnych i zorientowaną tak, że cos γ > 0.

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płaszczyzny
XOZ.

6. [4p.] Wyznaczyć dywergencję i rotację pola wektorowego

~

W = (x

3

+ 2xy + z

2

)~i +

x

yz

~j + (sin x + ln z)~k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę

Z

S

Z

xzdydz + xydxdz + yzdxdy

jeżeli S jest zewnętrzną stroną powierzchni ograniczonej powierzchnią

x

2

+ y

2

= R

2

i

płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0 i z = k.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kol kon sem2 AiR 2010
kol pol sem2 IBM 2010
kol pol sem2 AiR 2011
kol pol sem2 AiR 2009
kol kon sem2 AiR 2010
kol zal sem2 AiR IBM 2012 2013
kol pol sem2 IBM 2009
kol kon sem2 AiR 2011
kol pol sem2 EiT 2009
kol pol sem2 EiT 2011
kol zal sem2 AiR IBM 2013 2014

więcej podobnych podstron