Kolokwium połówkowe z „Analizy matematycznej i algebry liniowej”
WETI, AiR gr.1-5, 2 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Obliczyć całkę
Z Z
V
Z
q
x
2
+ y
2
+ z
2
dxdydz, gdzie
V = {(x, y, z) ∈ R
3
: x
2
+ y
2
+ z
2
− y ¬ 0}
Wykonać odpowiedni rysunek.
2. [4p.] a) Stosując całki potrójne obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
4x
2
+ 9y
2
= 36z
2
,
4x
2
+ 9y
2
= 36
i płaszczyzną z = 0, dla z 0. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych uogólnionych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę
Z
K
xye
−2x
dx + e
−x
y
2
dy,
gdzie K jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi y = e
x
i y = e
2x
oraz prostą x = 1. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) zastosowanie geometryczne całek powierzchniowych
niezorientowanych.
4. [4p.] Uzasadnić, że całka
Z
L
2y sin 2xdx − cos 2xdy
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(
π
6
, 1) do punktu B(
π
4
, 2).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Obliczyć całkę
Z
S
Z
x
2
dydz + y
2
dxdz + z
2
dxdy, gdzie S jest częścią powierzchni
z =
1
4
−x
2
−y
2
leżącą w I oktancie układu współrzędnych i zorientowaną tak, że cos γ > 0.
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płaszczyzny
XOZ.
6. [4p.] Wyznaczyć dywergencję i rotację pola wektorowego
~
W = (x
3
+ 2xy + z
2
)~i +
x
yz
~j + (sin x + ln z)~k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę
Z
S
Z
xzdydz + xydxdz + yzdxdy
jeżeli S jest zewnętrzną stroną powierzchni ograniczonej powierzchnią
x
2
+ y
2
= R
2
i
płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0 i z = k.