kol kon sem2 AiR 2011

background image

Kolokwium końcowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunek AiR gr. 1-4, 2 sem., r. ak. 2010/2011

1. [4p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności oraz określić rodzaj zbieżności w krańcach przedziału

zbieżności szeregu potęgowego

X

n=1

(1)

n+1

(x − 3)

n

n5

n

[2p.] b) Podać przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = 0
i przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = . Odpowiedź
uzasadnić w oparciu o dowolnie wybrane kryterium.

2. [4p.] Znaleźć sumę szeregu wewnątrz przedziału zbieżności

X

n=0

x

n

(n + 2)5

n

3. [4p.] a) Rozwinąć funkcję f (x) = 2x ln(5 + x) w szereg Maclaurina. Podać przedział

zbieżności otrzymanego szeregu.
[2p.] b) Podać przykład funkcji (wzór funkcji i wykres) posiadającej rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera samych cosinusów (bez wyznaczania go).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [4p.] Rozwiązać równanie

y

3

dy +



3y

2

x + 2x

3



dx = 0

przy zadanym warunku początkowym y(1) =

3.

5. [4p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania y

0

+ y cos x =

1

2

sin 2x spełniającą warunek

początkowy y(0) = 1.
[2p.] b) Podać postać ogólną równania różniczkowego liniowego niejednorodnego i opisać
sposób jego rozwiązywania.

6. [4p.] Sprawdzić, czy równanie różniczkowe 2(xe

−y

1)dx+(e

y

− x

2

e

−y

) dy = 0 jest zupełne

i wyznaczyć jego całkę ogólną.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

2y

0

+ 2y = sin x

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y

0

(0) = 1.

Zadanie można rozwiązać również przy zastosowaniu transformaty Laplace’a.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kol kon sem2 AiR 2010
kol pol sem2 AiR 2011
kol kon sem2 IBM 2011
kol kon sem2 EiT 2011
kol kon sem2 AiR 2010
kol zal sem2 AiR IBM 2012 2013
kol pol sem2 AiR 2010
kol kon sem2 ETI 2008 K1
kol pop sem2 ETI 2011
kol pol sem2 EiT 2011
kol zal sem2 AiR IBM 2013 2014
kol pol sem2 AiR 2009
kol kon sem2 IBM 2009

więcej podobnych podstron