Kolokwium końcowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunek AiR gr. 1-4, 2 sem., r. ak. 2010/2011

1. [4p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności oraz określić rodzaj zbieżności w krańcach przedziału

zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(−1)

n+1

(x − 3)

n

n5

n

[2p.] b) Podać przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = 0
i przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = ∞. Odpowiedź
uzasadnić w oparciu o dowolnie wybrane kryterium.

2. [4p.] Znaleźć sumę szeregu wewnątrz przedziału zbieżności

∞

X

n=0

x

n

(n + 2)5

n

3. [4p.] a) Rozwinąć funkcję f (x) = 2x ln(5 + x) w szereg Maclaurina. Podać przedział

zbieżności otrzymanego szeregu.
[2p.] b) Podać przykład funkcji (wzór funkcji i wykres) posiadającej rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera samych cosinusów (bez wyznaczania go).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [4p.] Rozwiązać równanie

y

3

dy +



3y

2

x + 2x

3



dx = 0

przy zadanym warunku początkowym y(1) =

√

3.

5. [4p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania y

0

+ y cos x =

1

2

sin 2x spełniającą warunek

początkowy y(0) = 1.
[2p.] b) Podać postać ogólną równania różniczkowego liniowego niejednorodnego i opisać
sposób jego rozwiązywania.

6. [4p.] Sprawdzić, czy równanie różniczkowe 2(xe

−y

−1)dx+(e

y

− x

2

e

−y

) dy = 0 jest zupełne

i wyznaczyć jego całkę ogólną.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

− 2y

0

+ 2y = sin x

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y

0

(0) = 1.

Zadanie można rozwiązać również przy zastosowaniu transformaty Laplace’a.