Kolokwium/egzamin końcowy z „Analizy matematycznej i algebry liniowej”
WETI, AiR gr.1-3, EiT gr. 7-9, 2 sem., r. ak. 2007/2008
1. [4p.] Sprawdzić, czy pole wektorowe
~
w = [e
y
, xe
y
− 4y]
jest potencjalne. Jeśli tak, znaleźć jego potencjał.
2. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
a)
∞
X
n=1
3
√
n
4
− 1 + 3n
2n
3
+ n
2
− 2
b)
∞
X
n=1
ln
n
n + 1
[2p.] c) Podać po jednym przykładzie szeregu rozbieżnego spełniającego warunek koniecz-
ny zbieżności oraz szeregu naprzemiennego zbieżnego warunkowo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n=1
3
2
n
(x − 1)
n
3
√
n
oraz zbadać zbieżność na końcach przedziału zbieżności.
4. [4p.] a) Funkcja f (x) = 3 − x dla x ∈ [0, 3] posiada rozwinięcie w szereg trygonometryczny
Fouriera postaci
3
2
+
∞
X
n=1
6(1 − (−1)
n
)
π
2
n
2
cos
nπx
3
.
W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu
∞
P
n=1
1
(2n−1)
2
.
[2p.] b) Podać przykład funkcji (wzór funkcji i wykres) posiadającej rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera samych sinusów (bez wyznaczania go).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Wyznaczyć oryginał dla następującej transformaty Laplace’a
F (s) =
s + 3
s(s
2
+ 4)
6. [4p.] a) Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego
xy
0
= y(1 + ln y − ln x)
spełniające warunek początkowy y(1) = e
−1/2
.
[2p.] b) Podać postać ogólną równania różniczkowego jednorodnego i omówić sposób jego
rozwiązywania.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć czynnik całkujący i rozwiązać równanie
(2e
x
+ y
4
)dy − ye
x
dx = 0