Kolokwium/egzamin końcowy z „Analizy matematycznej i algebry liniowej”

WETI, AiR gr.1-3, EiT gr. 7-9, 2 sem., r. ak. 2007/2008

1. [4p.] Sprawdzić, czy pole wektorowe

~

w = [e

y

, xe

y

− 4y]

jest potencjalne. Jeśli tak, znaleźć jego potencjał.

2. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych

a)

∞

X

n=1

3

√

n

4

− 1 + 3n

2n

3

+ n

2

− 2

b)

∞

X

n=1

ln

n

n + 1

[2p.] c) Podać po jednym przykładzie szeregu rozbieżnego spełniającego warunek koniecz-
ny zbieżności oraz szeregu naprzemiennego zbieżnego warunkowo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1



3

2



n

(x − 1)

n

3

√

n

oraz zbadać zbieżność na końcach przedziału zbieżności.

4. [4p.] a) Funkcja f (x) = 3 − x dla x ∈ [0, 3] posiada rozwinięcie w szereg trygonometryczny

Fouriera postaci

3

2

+

∞

X

n=1

6(1 − (−1)

n

)

π

2

n

2

cos



nπx

3



.

W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu

∞

P

n=1

1

(2n−1)

2

.

[2p.] b) Podać przykład funkcji (wzór funkcji i wykres) posiadającej rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera samych sinusów (bez wyznaczania go).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] Wyznaczyć oryginał dla następującej transformaty Laplace’a

F (s) =

s + 3

s(s

2

+ 4)

6. [4p.] a) Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego

xy

0

= y(1 + ln y − ln x)

spełniające warunek początkowy y(1) = e

−1/2

.

[2p.] b) Podać postać ogólną równania różniczkowego jednorodnego i omówić sposób jego
rozwiązywania.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć czynnik całkujący i rozwiązać równanie

(2e

x

+ y

4

)dy − ye

x

dx = 0