Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, AiR (gr. 1-3) i EiT (gr. 7-10), 1 sem., r. ak. 2007/2008

1. Obliczyć całki

a)

Z

dx

(1 + tg x) sin

2

x

b)

2

Z

1

x ln



1 +

1

x



dx

2. a) Zbadać, czy istnieje objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograni-

czonego przez krzywe

f (x) = e

−x

√

x,

y = 0,

x = 0

dla x ­ 0. Jeśli tak, obliczyć tę objętość.
b) Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla całek nieoznaczonych wy-

prowadzić wzór na całkę

Z

f

0

(x)dx

√

f (x)

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. a) Wyznaczyć macierz Y z równania



1

2

Y

−1

A



−1

= Y + B

gdzie

A

−1

=






1

0 2

−1 1 0

0

0 2






,

B =






1
0
2






b) Podać i zilustrować przykładami 4 dowolnie wybrane własności wyznaczników.

4. Wyznaczyć dla jakich wartości parametru m układ równań











(2 − m)x + y + 2z = 0

2x + (1 − m)y + 2z = 0

2x + y + (2 − m)z = 0

ma niezerowe rozwiązania. Znaleźć te rozwiązania.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Wyznaczyć odległość punktu P (1, 0, 2) od prostej x =

y + 1

2

= z − 1

3

oraz jego symetryczne

odbicie względem podanej prostej.

6. a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji f (x, y) = x

2

y(4 − x − y) w obszarze ¯

D

opisanym nierównościami x ­ 0, y ­ 0 i x + y ¬ 6.
b) Za pomocą różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia ln



3

√

1, 03 +

4

√

0, 98 − 1



.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] Obliczyć całkę

Z

D

Z

1

y

2

e

x

√

y

dxdy

gdzie obszar D ograniczony jest krzywą y = x

2

oraz prostymi y = 2 i x = 1, dla x ­ 1.