Egzamin połówkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek AiR, EiT (gr. 8-9) i IBM, 1 sem., r. ak. 2008/2009

1. [4p.] Dla jakich wartości parametrów m, k ∈ R funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x

0

= 2?

Sprawdzić ciągłość funkcji dla pozostałych x ∈ R \ {2}. Jeśli istnieją punkty nieciągłości,
określić ich rodzaj.

f (x) =











































cos(m) +

x
2

dla

x < 2

|k − 2|

dla

x = 2

1

1 + 4

1

2−x

dla

2 < x ¬ 4

arcctg(ln |4 − x|)

dla

x > 4

2. [4p.] Wyznaczyć pochodną funkcji

f (x) =





cos

s

3x − 5

b − x





| ln a|

gdzie a = lim

n→∞

n

2

n

2

− 2

!

1−n

2

, b jest większym z pierwiastków równania −3x

2

+ 8x − 4 = 0.

[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną y = cos 2x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji g(x) = ln

e + x

e − x

w punkcie będącym

jej punktem przegięcia.
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

1

√

3,98

.

4. [4p.] Obliczyć całki

a)

Z

e

arc cos x

dx

b)

Z

3

√

x(ln x)

2

dx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Obliczyć całkę

Z

1 − x

5

x

4

− 16

dx

[2p.] b) Wyprowadzić wzór na

Z

f

0

(x)

f (x)

dx.

6. [4p.] Obliczyć całki

a)

Z

dx

sin

2

x + 2 sin x cos x + 5 cos

2

x

b)

Z

dx

√

1 + 4x − x

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć pochodną funkcji

y = (cos x)

(ln x)

x2