Egzamin połówkowy z przedmiotu ”Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek AiR (gr. 1-3) i EiT (gr. 7-10), 1 sem., r. ak. 2007/2008

1. [4p.] Wyznaczyć dziedzinę funkcji

f (x) =

arc sin(x − 3) − log(9 − x

2

)

q

|x − 4| − 1

2. [4p.] a) Obliczyć granicę ciągu lim

n→∞



√

a

n

− b

n

+ c

n



, gdzie

a

n

=



2n + 5

2n + 1



6n+3

,

b

n

=

e

√

n+1

e

√

n

,

c

n

=

n

n

2

+ 1

cos(5n + 3)

[2p.] b) Na podstawie definicji pokazać, że liczba g =

2

3

jest granicą ciągu a

n

=

2n

2

− 1

3n

2

+ n + 2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów m i a tak, aby podana funkcja była ciągła

f (x) =



























√

x

2

+ 5 − 3

x

2

− 4

dla

x 6= −2, x 6= 2

1
2

ln

2

a −

1
3

ln a

dla

x = 2

1
3

sin(m)

dla

x = −2

4. [4p.] a) Znaleźć (f ◦ g)

0

(x) mając dane f

0

(x) =

√

1 − x

2

i g(x) = cos x.

[2p.] b) Na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzić wzór na pochod-
ną funkcji y = arcctg x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Wyznaczyć asymptoty funkcji f (x) = x ln

2x

x − 2

.

[2p.] b) Na wybranym przykładzie omówić działanie reguły de l’Hospitala.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. [4p.] Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji y = (1 + x

2

)e

x

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć pochodną funkcji

y = (ln 2x)

(cos x)

x3