kol pol ETI 2007 B

background image

Kolokwium połówkowe z analizy matematycznej

WETI, AiR gr.1-2, EiT gr. 6-8, 2 sem., r. ak. 2006/2007

1. Rozwinąć w przedziale [−π, π] w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję f (x) = π

2

12

− x

2

4

i

korzystając z tego rozwinięcia obliczyć sumę szeregu liczbowego

P

n=1

(1)

n−1

n

2

.

2. a) Wyznaczyć i narysować dziedzinę funkcji f (x, y) = ln

x

2

+y

2

+2y

x+y

.

b) Na podstawie definicji granicy funkcji w punkcje udowodnić, że

lim

(x,y)(0,0)

x

2

+y

2

x

2

−y

2

nie istnieje.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Sprawdzić czy funkcja z = e

−x

(x − y)

2

spełnia równanie różniczkowe z

xx

− z

yy

2z

y

− z = 0.

4. a) Znaleźć ekstrema lokalne funkcji z = 8

x +

x

y + y.

b) Stosując definicję różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (1, 003)

1,99

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanej y = y(x) danej równaniem

ln

q

x

2

+ y

2

arctg

y

x

= 0

.

6. a) Obliczyć

Z

D

Z

(x

2

+ y

2

) dxdy, gdzie obszar D określony jest nierównościami 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 2y

i y ­ |x|.
b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych uogólnionych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] Obliczyć

Z

D

Z



1

3

x+1

+ x



ye

y

dxdy

2[3

3

q

(

π

2

+ 1)

2

+

π

2

4

3

3

q

(arc sin y + 1)

2

(arc sin y)

2

]

, gdzie ob-

szar D jest ograniczony krzyw¸

a

y = sin x i prostymi y = 0, x = 0, x =

π

2

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kol pol ETI 2007 A
egz pol ETI 2007 8 A
kol pop sem2 ETI 2007 AiB
123 607 pol ed01 2007
165 167 607 pol ed01 2007
65 66 607 pol ed01 2007
30 31 607 pol ed01 2007
53 607 pol ed01 2007
150 607 pol ed01 2007
44 47 607 pol ed01 2007
162 607 pol ed01 2007
107 108 607 pol ed01 2007
egz pol ETI EiT 2011 12
67 69 607 pol ed01 2007
32 33 607 pol ed01 2007
egz pol ETI AiR IBM 2011 12

więcej podobnych podstron