Kolokwium połówkowe z analizy matematycznej

WETI, AiR gr.1-2, EiT gr. 6-8, 2 sem., r. ak. 2006/2007

1. Rozwinąć w przedziale [−π, π] w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję f (x) = π

2

12

− x

2

4

i

korzystając z tego rozwinięcia obliczyć sumę szeregu liczbowego

∞

P

n=1

(−1)

n−1

n

2

.

2. a) Wyznaczyć i narysować dziedzinę funkcji f (x, y) = ln

x

2

+y

2

+2y

x+y

.

b) Na podstawie definicji granicy funkcji w punkcje udowodnić, że

lim

(x,y)→(0,0)

x

2

+y

2

x

2

−y

2

nie istnieje.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Sprawdzić czy funkcja z = e

−x

(x − y)

2

spełnia równanie różniczkowe z

xx

− z

yy

− 2z

y

− z = 0.

4. a) Znaleźć ekstrema lokalne funkcji z = 8

x +

x

y + y.

b) Stosując definicję różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (1, 003)

1,99

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanej y = y(x) danej równaniem

ln

q

x

2

+ y

2

− arctg

y

x

= 0

.

6. a) Obliczyć

Z

D

Z

(x

2

+ y

2

) dxdy, gdzie obszar D określony jest nierównościami 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 2y

i y ­ |x|.
b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych uogólnionych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] Obliczyć

Z

D

Z



1

3

√

x+1

+ x



ye

y

dxdy

2[3

3

q

(

π

2

+ 1)

2

+

π

2

4

− 3

3

q

(arc sin y + 1)

2

− (arc sin y)

2

]

, gdzie ob-

szar D jest ograniczony krzyw¸

a

y = sin x i prostymi y = 0, x = 0, x =

π

2

.